Pifaqor üçlüyündə sadə ədədlər. Pifaqor üçlüyü

Natural ədədlərin xassələrinin tədqiqi pifaqorçuları nəzəri hesabın başqa bir "əbədi" probleminə (ədədlər nəzəriyyəsi) - mikrobları Qədim Misirdə və Qədim Babildə Pifaqordan çox-çox əvvəl yol açmış və ümumi həlli tapılmayan problemə gətirib çıxardı. bugünə. Müasir dildə aşağıdakı kimi tərtib edilə bilən problemdən başlayaq: natural ədədlərdə qeyri-müəyyən tənliyi həll edin

Bu gün bu vəzifə adlanır Pifaqor problemi, və onun həlli - (1.2.1) tənliyini təmin edən natural ədədlərin üçlüyü adlanır. Pifaqor üçlüyü. Pifaqor teoreminin Pifaqor problemi ilə açıq əlaqəsi səbəbindən sonuncuya həndəsi düstur verilə bilər: tam ayaqlı bütün düzgün üçbucaqları tapın. x, y və tam hipotenuz z.

Pifaqor probleminin xüsusi həll yolları qədim zamanlarda məlum idi. Berlindəki Misir Muzeyində saxlanılan Firon I Amenemhet (e.ə. 2000-ci il) dövrünə aid papirusda tərəflərin nisbəti () olan düzbucaqlı üçbucaq tapırıq. Ən böyük alman riyaziyyat tarixçisi M. Kantorun (1829 - 1920) fikrincə, qədim Misirdə xüsusi bir peşə var idi. harpedonaptlar- məbədlərin və piramidaların qoyulması təntənəli mərasimi zamanı bərabər məsafədə 12 (= 3 + 4 + 5) düyünləri olan iplə düz bucaqları qeyd edən "ip dartıcılar". Harpedonaptlarla düz bucağın qurulması üsulu Şəkil 36-dan aydın görünür.

Demək lazımdır ki, qədim riyaziyyatın başqa bir bilicisi van der Vaerden Kantorla qəti şəkildə razılaşmır, baxmayaraq ki, qədim Misir memarlığının çox nisbətləri Kantorun xeyrinə şəhadət verir. Nə olursa olsun, bu gün tərəf nisbəti olan düzbucaqlı üçbucaq deyilir misirli.

Səh.-də qeyd edildiyi kimi. 76, qədim Babil dövrünə aid və 15 sətir Pifaqor üçlüyü olan gil lövhə qorunub saxlanılmışdır. Misirdən (3, 4, 5) 15-ə (45, 60, 75) vurmaqla əldə edilən əhəmiyyətsiz üçlüyə əlavə olaraq, (3367, 3456, 4825) və hətta (12709) kimi çox mürəkkəb Pifaqor üçlükləri də var. , 13500, 18541)! Şübhə yoxdur ki, bu rəqəmlər sadə sadalama ilə deyil, bəzi vahid qaydalarla tapılıb.

Buna baxmayaraq, (1.2.1) tənliyinin natural ədədlərdə ümumi həlli məsələsi yalnız pifaqorçular tərəfindən qaldırılmış və həll edilmişdir. İstənilən riyazi məsələnin ümumi tərtibi həm qədim misirlilər, həm də qədim babillilər üçün yad idi. Riyaziyyatın deduktiv elm kimi formalaşması yalnız Pifaqorla başlayır və bu yolda ilk addımlardan biri Pifaqor üçlüyü məsələsinin həlli oldu. Qədim ənənə (1.2.1) tənliyinin ilk həllərini Pifaqor və Platonun adları ilə əlaqələndirir. Gəlin bu həlləri yenidən qurmağa çalışaq.

Aydındır ki, Pifaqor (1.2.1) tənliyini analitik formada deyil, kvadrat ədəd şəklində düşünmüşdür, bunun içərisində kvadrat ədədləri tapmaq lazım idi və . Ədədin tərəfi olan kvadrat şəklində təqdim edilməsi təbii idi y bir tərəfi azdır z orijinal kvadrat, yəni. O zaman, Şəkil 37-dən asanlıqla göründüyü kimi (sadəcə baxın!), qalan kvadrat ədəd üçün bərabərlik təmin edilməlidir. Beləliklə, xətti tənliklər sisteminə gəlirik

Bu tənlikləri toplamaq və çıxmaqla (1.2.1) tənliyinin həllini tapırıq:

Nəticə həllinin yalnız tək üçün natural ədədlər verdiyini görmək asandır. Beləliklə, nəhayət əldə etdik

Və s.. Ənənə bu qərarı Pifaqorun adı ilə bağlayır.

Qeyd edək ki, (1.2.2) sistemi formal olaraq (1.2.1) tənliyindən də əldə etmək olar. Həqiqətən,

buradan, fərz etsək, (1.2.2) -ə çatırıq.

Aydındır ki, Pifaqor həlli kifayət qədər sərt bir məhdudiyyət () altında tapıldı və bütün Pifaqor üçlüyündən uzaqdır. Növbəti addım , onda qoymaqdır, çünki yalnız bu halda kvadrat ədəd olacaqdır. Beləliklə ortaya çıxan sistem də Pifaqor üçlüyü olacaq. İndi əsas

Teorem.Əgər səh Və q müxtəlif paritetlərin ümumi ədədləri, onda bütün primitiv Pifaqor üçlükləri düsturlarla tapılır.

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

İşin məqsədi a2+b2=c2 formasının Pifaqor üçlüklərinin hesablanması üsullarını və alqoritmlərini hazırlamaqdır. Təhlil prosesi sistemli yanaşma prinsiplərinə uyğun aparılmışdır. Riyazi modellərlə yanaşı, Pifaqor üçlüyünün hər bir üzvünü hər biri vahid kvadratlar toplusundan ibarət olan kompozit kvadratlar şəklində göstərən qrafik modellərdən istifadə olunur. Müəyyən edilmişdir ki, sonsuz Pifaqor üçlüyü çoxluğu b-c dəyərləri arasındakı fərqlə fərqlənən sonsuz sayda alt çoxluqlardan ibarətdir. Bu fərqin əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı dəyəri ilə Pifaqor üçlüyünün formalaşması üçün bir alqoritm təklif olunur. Göstərilir ki, Pifaqor üçlüyü istənilən 3≤a dəyəri üçün mövcuddur

Pifaqor üçlüyü

sistem təhlili

riyazi model

qrafik modeli

1. Anosov D.N. Riyaziyyata və ondan bir şeyə baxış. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 s.: xəstə.

2. Ayerland K., Rosen M. Müasir ədədlər nəzəriyyəsinə klassik giriş. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovnıy İ.M. Təşkilatlarda Sistem Təhlili və İnformasiya Texnologiyaları: Dərslik. - M.: RUDN, 2012. - 392 s.

4. Simon Singh. Fermatın son teoremi.

5. Ferma P. Saylar nəzəriyyəsi və diofant analizi üzrə tədqiqatlar. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Bu ünvanda mövcuddur: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pifaqor üçlüyü x2 + y2 = z2 Pifaqor münasibətini təmin edən üç tam ədəddən ibarət kohortdur. Ümumiyyətlə, bu, Diofant tənliklərinin xüsusi halıdır, yəni bilinməyənlərin sayı tənliklərin sayından çox olan tənliklər sistemləridir. Onlar uzun müddət, Babil dövründən, yəni Pifaqordan çox əvvəl məlumdur. Və bu adı Pifaqorun öz məşhur teoremini onların əsasında sübut etməsindən sonra alıblar. Bununla belə, Pifaqor üçlüyü məsələsinə bu və ya digər şəkildə toxunulan çoxsaylı mənbələrin təhlilindən belə çıxır ki, bu üçlüklərin mövcud sinifləri və onların formalaşmasının mümkün yolları məsələsi hələ tam açıqlanmayıb.

Belə ki, Simon Singh kitabında deyir: - "Pythagoras şagirdləri və ardıcılları ... sözdə Pifaqor üç k tapmaq sirrini dünyaya bildirib." Ancaq bunun ardınca oxuyuruq: - “Pifaqorlular başqa Pifaqor üçlükləri, başqa kvadratlar tapmağı xəyal edirdilər ki, onlardan üçüncü böyük kvadrat əlavə etmək olar. ...Rəqəmlər artdıqca, Pifaqor üçlüyü getdikcə nadir hala gəlir və tapmaq çətinləşir. Pifaqorçular belə üçlükləri tapmaq üçün bir üsul icad etdilər və ondan istifadə edərək, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyünün olduğunu sübut etdilər.

Sitatda çaşqınlıq yaradan sözlər vurğulanır. Niyə "pifaqorlular tapmaq arzusunda idilər ..." əgər "belə üçlüyü tapmaq üçün bir üsul icad etdilər ..." və niyə çox sayda "onları tapmaq getdikcə çətinləşir ...".

Məşhur riyaziyyatçı D.V.-nin əsərində. Anosov, deyəsən, istədiyiniz cavab verilib. - “X, y, z təbii (yəni müsbət tam) ədədlərin elə üçlüləri var ki,

x2 + y2 = z2. (1)

…x2+y2=z2 tənliyinin bütün həll yollarını natural ədədlərdə tapmaq mümkündürmü? …Bəli. Cavab budur ki, hər bir belə həll kimi təmsil oluna bilər

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

burada l, m, n natural ədədlər və m>n və ya x və y-nin dəyişdirildiyi oxşar formadadır. Bir az daha qısa şəkildə deyə bilərik ki, (2)-dən x, y, z bütün mümkün natural l və m > n ilə (1)-in x və y-nin dəyişməsinə qədər bütün mümkün həllərdir. Məsələn, üçlük (3, 4, 5) l=1, m=2, n=1 ilə alınır. ...Görünür, babillilər bu cavabı bilirdilər, lakin buna necə çatdıqları məlum deyil”.

Adətən riyaziyyatçılar öz tərtibatlarının sərtliyi ilə tanınırlar. Lakin bu sitatda belə bir sərtlik müşahidə olunmur. Beləliklə, dəqiq nə: tapmaq və ya təsəvvür etmək? Aydındır ki, bunlar tamam başqa şeylərdir. Budur "təzə bişmiş" üçlü bir xətt (aşağıda təsvir edilən üsulla əldə edilir):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Şübhə yoxdur ki, bu üçlüklərin hər biri (2) əlaqə şəklində göstərilə bilər və sonra l, m, n qiymətləri hesablana bilər. Ancaq bu, üçlülərin bütün dəyərləri tapıldıqdan sonradır. Bəs ondan əvvəl?

Bu sualların cavablarının çoxdan məlum olduğunu istisna etmək olmaz. Amma nədənsə onlar hələ də tapılmayıb. Beləliklə, bu işin məqsədi Pifaqor üçlüyünün məlum nümunələrinin məcmusunun sistematik təhlili, üçlülərin müxtəlif qruplarında sistem əmələ gətirən əlaqələrin axtarışı və bu qruplara xas olan sistem xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsi, daha sonra isə sadə irqlərin işlənib hazırlanmasıdır. əvvəlcədən müəyyən edilmiş konfiqurasiya ilə üçlü hesablamaq üçün səmərəli alqoritmlər. Konfiqurasiya dedikdə, üçlüyü təşkil edən kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni nəzərdə tuturuq.

Alətlər dəsti olaraq orta məktəbdə tədris olunan riyaziyyat çərçivəsindən kənara çıxmayan səviyyədə riyazi aparatdan istifadə olunacaq və burada göstərilən üsullar əsasında sistem təhlili aparılacaq.

Modelin qurulması

Sistem təhlili nöqteyi-nəzərindən hər hansı bir Pifaqor üçlüyü üç ədəd və onların xassələri olan obyektlərin yaratdığı sistemdir. Obyektlərin müəyyən münasibətlərdə yerləşdiyi və nə ayrı-ayrı obyektlərə, nə də onların məcmusunun hər hansı digərinə xas olmayan yeni xassələri olan bir sistem meydana gətirdiyi, obyektlərin başqa münasibətlərdə yerləşdiyi onların məcmusudur.

(1) tənliyində sistemin obyektləri sadə cəbri əlaqələrlə əlaqəli natural ədədlərdir: bərabər işarənin solunda iki ədədin cəmi 2-nin qüvvəsinə qaldırılmışdır, sağda üçüncü ədəddir. 2-nin gücünə. Fərdi ədədlər, bərabərliyin solunda, 2-nin gücünə qaldırılaraq, onların cəmlənməsinin işinə heç bir məhdudiyyət qoymurlar - nəticədə cəm hər hansı bir şey ola bilər. Lakin toplama əməliyyatından sonra qoyulan bərabər işarəsi bu cəmin dəyərinə sistem məhdudiyyəti qoyur: cəmi elə bir ədəd olmalıdır ki, kvadrat kökün çıxarılması əməliyyatının nəticəsi natural ədəd olsun. Bərabərliyin sol tərəfində əvəzlənən heç bir ədəd üçün bu şərt təmin edilmir. Beləliklə, tənliyin iki həddi ilə üçüncü həddi arasına qoyulan bərabər işarəsi üçlü həddi sistemə çevirir. Bu sistemin yeni bir xüsusiyyəti orijinal nömrələrin dəyərlərinə məhdudiyyətlərin tətbiqidir.

Yazı formasına əsaslanaraq, Pifaqor üçlüyü Şəkil 1-də göstərildiyi kimi toplama və bərabərlik münasibətləri ilə bir-birinə bağlı olan üç kvadratdan ibarət həndəsi sistemin riyazi modeli kimi qəbul edilə bilər. 1. Şek. Şəkil 1 nəzərdən keçirilən sistemin qrafik modelidir və onun şifahi modeli aşağıdakı ifadədir:

Yan uzunluğu c olan kvadratın sahəsini qalıqsız yan uzunluqları a və b olan iki kvadrata bölmək olar ki, onların sahələrinin cəmi ilkin kvadratın sahəsinə bərabər olsun, yəni hər üçü a, b və c kəmiyyətləri əlaqə ilə bağlıdır

Kvadratın parçalanmasının qrafik modeli

Sistem analizinin kanonları çərçivəsində məlumdur ki, riyazi model müəyyən həndəsi sistemin xassələrini adekvat şəkildə əks etdirirsə, bu sistemin özünün xassələrinin təhlili onun riyazi modelinin xassələrini aydınlaşdırmağa imkan verir. onları daha dərindən tanıyın, aydınlaşdırın və lazım gələrsə təkmilləşdirin. Bu bizim gedəcəyimiz yoldur.

Aydınlaşdıraq ki, sistem analizinin prinsiplərinə əsasən toplama və çıxma əməliyyatları yalnız mürəkkəb obyektlər, yəni elementar obyektlər toplusundan təşkil olunmuş obyektlər üzərində aparıla bilər. Buna görə də biz istənilən kvadratı elementar və ya vahid kvadratlar toplusundan ibarət fiqur kimi qəbul edəcəyik. Onda natural ədədlərdə həllin alınması şərti vahid kvadratın bölünməz olması şərtini qəbul etməyə bərabərdir.

Vahid kvadrat hər tərəfinin uzunluğu birə bərabər olan kvadratdır. Yəni, vahid kvadratın sahəsi aşağıdakı ifadəni təyin etdikdə.

Kvadratın kəmiyyət parametri onun sahəsidir ki, bu da verilmiş sahəyə yerləşdirilə bilən vahid kvadratların sayı ilə müəyyən edilir. İxtiyari x dəyəri olan bir kvadrat üçün x2 ifadəsi uzunluqlu x vahid seqmentlərinin seqmentlərinin yaratdığı kvadratın sahəsini təyin edir. Bu kvadratın sahəsinə x2 vahid kvadratlar yerləşdirilə bilər.

Yuxarıdakı təriflər mənasız və aşkar kimi qəbul edilə bilər, lakin belə deyil. D.N. Anosov sahə anlayışını başqa cür müəyyənləşdirir: - “... fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir. Bunun belə olduğuna niyə əminik? ... Biz bir növ homojen materialdan hazırlanmış bir fiqur təsəvvür edirik, onda onun sahəsi içindəki maddənin miqdarı - kütləsi ilə mütənasibdir. Daha sonra başa düşülür ki, bir cismi bir neçə hissəyə böldükdə onların kütlələrinin cəmi ilkin cismin kütləsinə bərabər olur. Bu başa düşüləndir, çünki hər şey atomlardan və molekullardan ibarətdir və onların sayı dəyişmədiyi üçün ümumi kütləsi də dəyişməyib... Axı, əslində, bircins material parçasının kütləsi onun həcminə mütənasibdir; buna görə də bilmək lazımdır ki, verilmiş fiqurun formasına malik olan “vərəq”in həcmi onun sahəsinə mütənasibdir. Bir sözlə, ... fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir, həndəsədə bunu sübut etmək lazımdır. ...Kiselevin dərsliyində indi müzakirə etdiyimiz özəlliyi olan ərazinin mövcudluğu səmimi şəkildə bir növ fərziyyə kimi irəli sürülüb və bunun əslində doğru olduğu deyilirdi, lakin biz bunu sübut etməyəcəyik. Beləliklə, Pifaqor teoremi, əgər sahələrlə sübut olunarsa, sırf məntiqi mənada, tam sübut olunmamış qalacaq.

Bizə elə gəlir ki, yuxarıda təqdim olunan vahid kvadratın tərifləri göstərilən D.N. Anosov qeyri-müəyyənliyi. Axı, kvadratın və düzbucağın sahəsi onları dolduran vahid kvadratların cəmi ilə müəyyən edilirsə, düzbucaqlı ixtiyari bitişik hissələrə bölündükdə, düzbucaqlının sahəsi təbii olaraq bərabərdir. onun bütün hissələrinin cəmi.

Üstəlik, təqdim edilən təriflər mücərrəd həndəsi fiqurlara münasibətdə "bölmək" və "əlavə etmək" anlayışlarından istifadənin qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırır. Doğrudan da, düzbucaqlı və ya hər hansı digər yastı fiqurun hissələrə bölünməsi nə deməkdir? Bir vərəqdirsə, qayçı ilə kəsilə bilər. Torpaq varsa - bir hasar qoyun. Otaq - arakəsmə qoyun. Bəs bu çəkilmiş kvadratdırsa? Bölmə xəttini çəkin və kvadratın bölündüyünü elan edin? Lakin, nəhayət, D.İ. Mendeleyev: "... Hər şeyi bəyan edə bilərsiniz, amma siz - irəliləyin, nümayiş etdirin!"

Təklif olunan təriflərdən istifadə edərək, "Bir rəqəmi bölmək" bu rəqəmi dolduran vahid kvadratların sayını iki (və ya daha çox) hissəyə bölmək deməkdir. Bu hissələrin hər birindəki vahid kvadratların sayı onun sahəsini müəyyənləşdirir. Bu hissələrin konfiqurasiyası ixtiyari olaraq verilə bilər, lakin onların sahələrinin cəmi həmişə orijinal rəqəmin sahəsinə bərabər olacaqdır. Ola bilsin ki, riyaziyyatçılar bu arqumentləri yanlış hesab edəcəklər, onda biz onları fərziyyə kimi qəbul edəcəyik. Kiselyovun dərsliyində belə fərziyyələr məqbuldursa, o zaman belə bir texnikadan istifadə etməmək bizim üçün günah olardı.

Sistem təhlilində ilk addım problemli vəziyyəti müəyyən etməkdir. Bu mərhələnin əvvəlində müxtəlif mənbələrdə tapılan bir neçə yüz Pifaqor üçlüyü nəzərdən keçirildi. Eyni zamanda, nəşrlərdə qeyd olunan bütün Pifaqor üçlüyünün konfiqurasiyasında fərqlənən bir neçə qrupa bölünə biləcəyinə diqqət yetirildi. Orijinal və çıxarılan kvadratların tərəflərinin uzunluqları fərqini, yəni c-b dəyərini müəyyən bir konfiqurasiyanın əlaməti kimi nəzərdən keçirəcəyik. Məsələn, nəşrlərdə c-b=1 şərtini ödəyən üçlüklər çox vaxt nümunə kimi göstərilir. Güman edirik ki, belə Pifaqor üçlülərinin bütün dəsti çoxluğu əmələ gətirir, biz bunu “Class c-1” adlandıracağıq və biz bu sinfin xüsusiyyətlərini təhlil edəcəyik.

Şəkildə göstərilən üç kvadratı nəzərdən keçirək, burada c kvadratın kiçilməli olan tərəfinin uzunluğu, b kvadratın çıxılacaq tərəfinin uzunluğu və a kvadratın yaranan tərəfinin uzunluğudur. onların fərqindən. Əncirdə. 1-dən görünə bilər ki, azaldılmış kvadratın sahəsindən çıxarılan kvadratın sahəsini çıxararkən, qalan hissədə iki vahid kvadrat zolağı qalır:

Bu qalıqdan kvadrat yaratmaq üçün şərt yerinə yetirilməlidir

Bu əlaqələr bizə verilən bir c ədədi ilə üçlüyün bütün üzvlərinin dəyərlərini təyin etməyə imkan verir. (6) münasibətini təmin edən ən kiçik c ədədi c = 5-dir. Beləliklə, (1) münasibətini ödəyən kvadratların hər üç tərəfinin uzunluqları müəyyən edilmişdir. Xatırladaq ki, orta kvadratın tərəfinin b qiyməti

orijinal kvadratın tərəfini bir azaltmaqla orta kvadrat yaratmaq qərarına gəldiyimiz zaman seçildi. Sonra münasibətlərdən (5), (6). (7) aşağıdakı əlaqəni əldə edirik:

buradan belə nəticə çıxır ki, seçilmiş c = 5 dəyəri unikal şəkildə b = 4, a = 3 dəyərlərini müəyyən edir.

Nəticədə, "c - 1" sinifinin hər hansı bir Pifaqor üçlüyünü belə bir formada təmsil etməyə imkan verən əlaqələr əldə edilir, burada hər üç üzvün dəyərləri müəyyən edilmiş bir parametr - c dəyəri ilə müəyyən edilir:

Əlavə edirik ki, yuxarıdakı misaldakı 5 rəqəmi (6) tənliyinin natural ədədlərdə həlli olan c-nin bütün mümkün qiymətlərinin minimumu kimi ortaya çıxdı. Eyni xassəyə malik olan növbəti ədəd 13, sonra 25, sonra 41, 61, 85 və s.. Göründüyü kimi, bu ədədlər silsiləsində qonşu ədədlər arasındakı intervallar sürətlə artır. Beləliklə, məsələn, etibarlı dəyərdən sonra, növbəti etibarlı dəyər , və sonra, növbəti etibarlı dəyər , yəni etibarlı dəyər əvvəlkindən əlli milyondan çoxdur!

İndi bu ifadənin kitabda haradan gəldiyi aydın oldu: - "Rəqəmlər artdıqca Pifaqor üçlüyü getdikcə daha az yayılır və onları tapmaq getdikcə çətinləşir ...". Lakin bu bəyanat həqiqətə uyğun deyil. Yalnız yuxarıdakı c-nin qonşu qiymətlərinə uyğun gələn Pifaqor üçlüyünə baxmaq lazımdır, çünki bir xüsusiyyət dərhal diqqəti cəlb edir - hər iki cütdə c dəyərləri belə böyük intervallarla ayrılır. bir növbənin dəyərləri qonşu tək ədədlərdir. Həqiqətən, ilk cüt üçün biz var

və ikinci cüt üçün

Beləliklə, "daha az və daha az yayılmış" olan üçlülərin özləri deyil, c-nin qonşu dəyərləri arasındakı intervallar artır. Pifaqor üçqatları, aşağıda göstərildiyi kimi, istənilən natural ədəd üçün mövcuddur.

İndi növbəti sinfin üçlüklərini nəzərdən keçirin - "Class c-2". Əncirdən göründüyü kimi. 1, tərəfi c olan kvadratdan tərəfi (c - 2) olan kvadratı çıxardıqda, qalıq iki vahid zolağın cəmidir. Bu məbləğin dəyəri tənliklə müəyyən edilir:

(10) tənliyindən "c-2" sinifinin sonsuz üçlü dəstindən hər hansı birini təyin edən əlaqə əldə edirik:

Natural ədədlərdə (11) tənliyinin həllinin mövcudluğu şərti a-nın natural ədəd olduğu hər hansı c qiymətidir. Həllinin mövcud olduğu c-nin minimum dəyəri c = 5-dir. Sonra bu üçlüklər sinfi üçün “başlanğıc” üçlüyü a = 4, b = 3, c = 5 çoxluğu ilə müəyyən edilir. Yəni, yenə də klassik üçlü 3, 4, 5 əmələ gəlir, yalnız indi çıxarılacaq kvadratın sahəsi qalanın sahəsindən azdır.

Və nəhayət, "s-8" sinfinin üçlüklərini təhlil edək. Bu üçlük sinfi üçün kvadratın sahəsini orijinal kvadratın c2 sahəsindən çıxararaq, alırıq:

Sonra (12) tənliyindən belə çıxır:

Həllin mövcud olduğu c-nin minimum dəyəri c = 13-dür. Bu dəyərdə Pifaqor üçlüyü 12, 5, 13 formasını alacaq. qalanın sahəsi. Və təyinatları yerlərdə yenidən təşkil edərək, konfiqurasiyasına görə "c - 1" sinfinə aid olan üçlü 5, 12, 13 alırıq. Görünür, digər mümkün konfiqurasiyaların sonrakı təhlili prinsipial olaraq yeni heç nə aşkar etməyəcək.

Hesablanmış əmsalların çıxarılması

Əvvəlki bölmədə təhlilin məntiqi onun beş əsas mərhələsindən dördündə sistem təhlilinin tələblərinə uyğun olaraq işlənib hazırlanmışdır: problem vəziyyətinin təhlili, məqsədlərin formalaşması, funksiyaların formalaşması və strukturun formalaşması. İndi son, beşinci mərhələyə - texniki-iqtisadi əsaslandırmanın yoxlanılmasına, yəni məqsədlərə nə dərəcədə nail olunmasının sınağına keçməyin vaxtıdır. .

Cədvəl 1 aşağıda göstərilmişdir. 1, "c - 1" sinfinə aid Pifaqor üçlüyünün dəyərlərini göstərir. Əksər üçlüklər müxtəlif nəşrlərdə tapılır, lakin 999, 1001-ə bərabər olan üçlüklər məlum nəşrlərdə tapılmamışdır.

Cədvəl 1

"c-1" sinfinin Pifaqor üçlüyü

Bütün üçlüklərin (3) əlaqəni təmin etdiyini yoxlamaq olar. Beləliklə, qarşıya qoyulan məqsədlərdən birinə nail olundu. Əvvəlki bölmədə əldə edilən (9), (11), (13) əlaqələri tək c parametri olan kiçildilmiş kvadratın tərəfini təyin etməklə sonsuz üçlü çoxluğu yaratmağa imkan verir. Bu, əlbəttə ki, (2) əlaqəsindən daha konstruktiv bir seçimdir, ondan istifadə etmək üçün hər hansı bir dəyəri olan ixtiyari üç ədəd l, m, n təyin edilməli, sonra həll yolu axtarılmalıdır, yalnız sonda, Pifaqor üçlüyü mütləq alınacaq və hansı bilinmir. Bizim vəziyyətimizdə formalaşan üçlüyün konfiqurasiyası əvvəlcədən məlumdur və yalnız bir parametr təyin etmək lazımdır. Ancaq təəssüf ki, bu parametrin hər dəyərinin həlli yoxdur. Və onun icazə verilən dəyərlərini əvvəlcədən bilmək lazımdır. Beləliklə, nəticə yaxşıdır, lakin idealdan uzaqdır. İstənilən ixtiyari verilmiş natural ədəd üçün Pifaqor üçlüyü hesablana bilsin ki, belə bir həll əldə etmək arzu edilir. Bu məqsədlə dördüncü mərhələyə - əldə edilmiş riyazi əlaqələrin strukturunun formalaşmasına qayıdaq.

Üçlüyün qalan üzvlərini təyin etmək üçün əsas parametr kimi c dəyərinin seçilməsi əlverişsiz olduğu üçün başqa variantı sınamaq lazımdır. Cədvəldən göründüyü kimi. 1-də, əsas kimi a parametrinin seçilməsi daha məqsədəuyğun görünür, çünki bu parametrin dəyərləri tək natural ədədlər seriyasında ardıcıldır. Sadə transformasiyalardan sonra münasibətləri (9) daha konstruktiv formaya gətiririk:

Əlaqələr (14) bizə əvvəlcədən təyin edilmiş hər hansı tək dəyər a üçün Pifaqor üçlüyü tapmağa imkan verir. Eyni zamanda, b üçün ifadənin sadəliyi hətta kalkulyator olmadan da hesablamalar aparmağa imkan verir. Həqiqətən, məsələn, 13 nömrəsini seçərək alırıq:

Və 99 nömrəsi üçün müvafiq olaraq alırıq:

Əlaqələr (15) n=1-dən başlayaraq hər hansı bir n üçün Pifaqor sətirinin hər üç şərtinin qiymətini almağa imkan verir.

İndi "c - 2" sinfinin Pifaqor üçlüyünü nəzərdən keçirin. Cədvəldə. 2 misal olaraq on belə üçlüyü göstərir. Üstəlik, məlum nəşrlərdə yalnız üç cüt üçlük tapıldı - 8, 15, 23; 12, 35, 36; və 16, 63, 65. Bu, onların formalaşdığı qanunauyğunluqları müəyyən etmək üçün kifayət etdi. Qalan yeddi daha əvvəl əldə edilmiş əlaqələrdən tapıldı (11). Hesablamanın rahatlığı üçün bu əmsallar çevrildi ki, bütün parametrlər a ilə ifadə olunsun. (11)-dən aydın olur ki, "c - 2" sinfi üçün bütün üçlüklər aşağıdakı əlaqələri təmin edir:

cədvəl 2

"C-2" sinfinin Pifaqor üçlüyü

Cədvəldən göründüyü kimi. 2, "c - 2" sinifinin bütün sonsuz üçlü dəsti iki alt sinifə bölünə bilər. a-nın dəyərinin 4-ə qalıqsız bölündüyü üçlüklər üçün b və c-nin qiymətləri təkdir. GCD = 1 olan belə üçlüklər primitiv adlanır. Tam ədədlərdə a dəyərləri 4-ə bölünməyən üçlüklər üçün a, b, c üçlüyünün hər üç üzvü cütdür.

İndi seçilmiş siniflərin üçüncü - "c - 8" sinfinin təhlilinin nəticələrini nəzərdən keçirməyə keçək. (13)-dən alınan bu sinif üçün hesablanmış əlaqələr aşağıdakı formaya malikdir:

Əlaqələr (20), (21) mahiyyətcə eynidir. Fərq yalnız hərəkətlərin ardıcıllığının seçimindədir. Və ya (20) uyğun olaraq a-nın istənilən dəyəri seçilir (bu halda bu dəyərin 4-ə bölünməsi tələb olunur), sonra b və c dəyərləri müəyyən edilir. Yaxud ixtiyari bir ədəd seçilir və sonra (21) münasibətlərindən Pifaqor üçlüyünün hər üç üzvü müəyyən edilir. Cədvəldə. 3-də bu şəkildə hesablanmış bir sıra Pifaqor üçlüyü göstərilir. Bununla birlikdə, Pifaqor üçlüyünün dəyərlərini hesablamaq daha asandır. Ən azı bir dəyər məlumdursa, bütün sonrakı dəyərlər aşağıdakı əlaqələrlə çox sadə şəkildə müəyyən edilir:

Cədvəl 3

Münasibətin (22) hamı üçün etibarlılığı həm Cədvəldən üç dəfə yoxlanıla bilər. 2, eləcə də digər mənbələrdən. Nümunə olaraq, Cədvəldə. Pifaqor üçlüyünün geniş cədvəlindən (10000 üçlük) kompüter proqramı əsasında (2) əlaqə ilə hesablanmış 4 kursivlə üçlük və qalın şriftlə - (20) əlaqə ilə hesablanmış üçlük. Bu dəyərlər göstərilən cədvəldə deyildi.

Cədvəl 4

"S-8" sinifinin Pifaqor üçlüyü

Müvafiq olaraq, formanın üçlüyü üçün aşağıdakı əlaqələr istifadə edilə bilər:

Və formanın üçlüləri üçün<>, nisbətimiz var:

Vurğulamaq lazımdır ki, yuxarıda göstərilən "c - 1", "c - 2", "c - 8" üçlü sinifləri verilmiş cədvəldən ilk min üçlüyün 90% -dən çoxunu təşkil edir. Bu, həmin sinifləri baza hesab etməyə əsas verir. Əlavə edək ki, (22), (23), (24) münasibətləri çıxarılarkən ədədlər nəzəriyyəsində tədqiq olunan ədədlərin heç bir xüsusi xassələrindən (adə, ikiqat və s.) istifadə edilməmişdir. Pifaqor üçlüklərinin əmələ gəlməsində aşkar edilmiş qanunauyğunluqlar yalnız bu üçlüklərin təsvir etdiyi həndəsi fiqurların - vahid kvadratlar toplusundan ibarət kvadratların sistem xassələri ilə bağlıdır.

Nəticə

İndi, 1993-cü ildə Andrew Wiles dediyi kimi, "Məncə, orada dayanmalıyam". Qarşıya qoyulan məqsədə tam nail olunub. Göstərilir ki, strukturu həndəsi fiqurlarla bağlı olan riyazi modellərin xassələrinin təhlili, əgər analiz prosesində sırf riyazi hesablamalarla yanaşı, tədqiq olunan modellərin həndəsi xassələri də nəzərə alınarsa, xeyli sadələşir. nəzərə alınır. Sadələşdirmə, xüsusən də tədqiqatçının riyazi çevrilmələr etmədən istədiyi nəticələri “görməsi” sayəsində əldə edilir.

Məsələn, bərabərlik

sol tərəfində çevrilmələr olmadan aydın olur, yalnız əncirə baxmaq lazımdır. Bu bərabərliyin qrafik modeli üçün 1.

Nəticə olaraq, aparılmış təhlil əsasında göstərilir ki, tərəfi olan istənilən kvadrat üçün b və c tərəfi olan kvadratlar tapıla bilər ki, onlar üçün bərabərlik olsun və minimum miqdarda nəticə verən əlaqələr əldə edilir. hesablamalar:

tək dəyərlər üçün a,

və - bərabər dəyərlər üçün.

Biblioqrafik keçid

Beskrovny I.M. PİFAQOR ÜÇLƏRİNİN XÜSUSİYYƏTLƏRİNİN SİSTEM TƏHLİLİ // Müasir elm tutumlu texnologiyalar. - 2013. - No 11. - S. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (giriş tarixi: 20/03/2020). “Təbiət Tarixi Akademiyası” nəşriyyatında çap olunan jurnalları diqqətinizə çatdırırıq.

Sonra, effektiv Pifaqor üçlüyü yaratmaq üçün məşhur üsulları nəzərdən keçiririk. Pifaqorun tələbələri hissələri Pifaqor üçlüyünü təmsil edən bir düsturdan istifadə edərək, Pifaqor üçlüyü yaratmaq üçün sadə bir üsul hazırladılar:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Harada m- qoşalaşmamış, m>2. Həqiqətən,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Bənzər bir düstur qədim yunan filosofu Platon tərəfindən təklif edilmişdir:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Harada m- istənilən nömrə. üçün m= 2,3,4,5 aşağıdakı üçlüklər yaradılır:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Gördüyünüz kimi, bu düsturlar bütün mümkün primitiv üçlükləri verə bilməz.

Çoxhədlilərin cəminə parçalanan aşağıdakı polinomu nəzərdən keçirin:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Beləliklə, ibtidai üçlüyü əldə etmək üçün aşağıdakı düsturlar:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Bu düsturlar orta rəqəmin ən böyükdən tam olaraq bir ilə fərqləndiyi üçlük yaradır, yəni bütün mümkün üçlüklər də yaradılmır. Burada ilk üçlüklər bunlardır: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Bütün primitiv üçlülərin necə yaradılacağını müəyyən etmək üçün onların xassələrini araşdırmaq lazımdır. Birincisi, əgər ( a,b,c) primitiv üçlükdür, onda a Və b, b Və c, A Və c- üst-üstə düşməlidir. Qoy a Və b bölünür d. Sonra a 2 + b 2 də bölünür d. müvafiq olaraq, c 2 və c bölünməlidir d. Yəni primitiv üçlük deyil.

İkincisi, rəqəmlər arasında a, b biri qoşa, digəri isə qoşalaşmamalıdır. Həqiqətən, əgər a Və b- onda qoşalaşmış ilə qoşalaşdırılacaq və ədədlər ən azı 2-yə bölünə bilər. Əgər onların hər ikisi qoşalaşdırılmamışsa, o zaman 2 kimi təmsil oluna bilər. k+1 və 2 l+1, harada k,l- bəzi rəqəmlər. Sonra a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, yəni ilə 2, eləcə də a 2 + b 2-nin 4-ə bölündüyü zaman 2-nin qalığı olur.

Qoy ilə- istənilən nömrə, yəni ilə = 4k+i (i=0,…,3). Sonra ilə 2 = (4k+i) 2 0 və ya 1 qalığına malikdir və 2 qalığına malik ola bilməz. Beləliklə, a Və b qoşalaşdırıla bilməz, yəni a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 və qalan ilə 2-dən 4-ə 1 olmalıdır, bu o deməkdir ki ilə qoşalaşdırılmamış olmalıdır.

Pifaqor üçlüyünün elementləri üçün bu cür tələblər aşağıdakı rəqəmlərlə təmin edilir:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Harada m Və n müxtəlif cütləşmələrlə üst-üstə düşür. İlk dəfə bu asılılıqlar 2300 r yaşamış Evklidin əsərlərindən məlum oldu. geri.

Asılılıqların doğruluğunu sübut edək (2). Qoy A- ikiqat, onda b Və c- qoşalaşdırılmamış. Sonra c + b i c − b- cütlər. kimi təmsil oluna bilərlər c + b = 2u Və c − b = 2v, Harada u,v bəzi tam ədədlərdir. Buna görə də

a 2 = ilə 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u 2 v = 4UV

Və buna görə də ( a/2) 2 = UV.

Bunu ziddiyyətlə sübut etmək olar u Və vüst-üstə düşürlər. Qoy u Və v- bölünür d. Sonra ( c + b) Və ( c − b) bölünür d. Və buna görə də c Və b bölünməlidir d, və bu Pifaqor üçlüyü üçün şərtə ziddir.

Çünki UV = (a/2) 2 və u Və v coprime, bunu sübut etmək asandır u Və v bəzi ədədlərin kvadratları olmalıdır.

Beləliklə, müsbət tam ədədlər var m Və n, belə u = m 2 və v = n 2. Sonra

A 2 = 4UV = 4m 2 n 2 belə
A = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Çünki b> 0, onda m > n.

Bunu göstərmək qalır m Və n müxtəlif cütləşmələrə malikdir. Əgər m Və n- onda qoşalaşmış u Və v cütləşdirilməlidir, lakin bu, mümkün deyil, çünki onlar bir-birinə uyğundur. Əgər m Və n- cütləşməmiş, onda b = m 2 − n 2 və c = m 2 + n 2 cütləşəcək, çünki bu mümkün deyil c Və büst-üstə düşürlər.

Beləliklə, hər hansı bir primitiv Pifaqor üçlüyü (2) şərtlərini təmin etməlidir. Eyni zamanda, rəqəmlər m Və nçağırdı nömrələr yaratmaq primitiv üçlüklər. Məsələn, primitiv Pifaqor üçlüyü (120,119,169) tutaq. Bu halda

A= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, və c = 144+25=169,

Harada m = 12, n= 5 - yaradan nömrələr, 12 > 5; 12 və 5 cüt və müxtəlif cütləşmələrdir.

Bu rəqəmlər sübut edilə bilər m, n düsturlar (2) primitiv Pifaqor üçlüyü verir (a,b,c). Həqiqətən,

A 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

yəni ( a,b,c) Pifaqor üçlüyüdür. Gəlin bunu sübut edək a,b,c ziddiyyətli ümumi ədədlərdir. Bu ədədlər bölünsün səh> 1. ildən m Və n onda fərqli cütləşmələr var b Və c- cütləşməmiş, yəni səh≠ 2. O vaxtdan bəri R bölür b Və c, Bu R 2 bölmək lazımdır m 2 və 2 n 2, çünki mümkün deyil səh≠ 2. Buna görə də m, n coprime və a,b,c həm də üstündürlər.

Cədvəl 1-də (2) üçün düsturlarla yaradılan bütün primitiv Pifaqor üçlüyü göstərilir m≤10.

Cədvəl 1. üçün ibtidai Pifaqor üçlüyü m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Bu cədvəlin təhlili aşağıdakı nümunələr seriyasının mövcudluğunu göstərir:

• və ya a, və ya b 3-ə bölünür;
• nömrələrdən biridir a,b,c 5-ə bölünür;
• nömrə A 4-ə bölünür;
• iş a· b 12-yə bölünür.

1971-ci ildə amerikalı riyaziyyatçılar Teyqan və Hedvin üçlü yaratmaq üçün düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü (hündürlüyü) kimi az məlum olan parametrlərini təklif etdilər. h = c− b və artıqlıq (uğur) e = a + b − c. Fig.1-də. bu kəmiyyətlər müəyyən düzbucaqlı üçbucaqda göstərilir.

Şəkil 1. Düzbucaqlı üçbucaq və onun böyüməsi və artıqlığı

"Həddindən artıq" adı ondan irəli gəlir ki, bu, üçbucağın ayaqları boyunca, onun diaqonalı ilə getməsəniz, bir təpədən əks tərəfə keçməli olan əlavə məsafədir.

Artıqlıq və böyümə ilə Pifaqor üçbucağının tərəfləri aşağıdakı kimi ifadə edilə bilər:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Bütün birləşmələr deyil h Və e Pifaqor üçbucaqlarına uyğun ola bilər. Verilən üçün h mümkün dəyərlər e bəzi ədədin hasilidir d. Bu nömrə d artım adlanır və istinad edilir h aşağıdakı şəkildə: d kvadratı 2-yə bölünən ən kiçik müsbət tam ədəddir h. Çünki eçoxsaylı d, sonra belə yazılır e = kd, Harada k müsbət tam ədəddir.

Cütlərin köməyi ilə ( k,h) bütün Pifaqor üçbucaqlarını, o cümlədən primitiv olmayan və ümumiləşdirilmiş üçbucaqları aşağıdakı kimi yarada bilərsiniz:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Üstəlik, əgər üçlük primitivdir k Və h coprime və əgər h =± q 2 at q- qoşalaşdırılmamış.
Üstəlik, əgər tam olaraq Pifaqor üçlüyü olacaq k> √2 h/d Və h > 0.

Tapmaq k Və h-dən ( a,b,c) aşağıdakıları edin:

• h = c − b;
• yazın h Necə h = pq 2, harada səh> 0 və kvadrat deyil;
• d = 2pqƏgər səh- qoşalaşmamış və d = pq, əgər p qoşadırsa;
• k = (a − h)/d.

Məsələn, üçlü (8,15,17) üçün bizdə var h= 17−15 = 2 1, yəni səh= 2 və q = 1, d= 2 və k= (8 − 2)/2 = 3. Beləliklə, bu üçlük ( kimi verilir) k,h) = (3,2).

Üçlük üçün (459,1260,1341) bizdə var h= 1341 − 1260 = 81, yəni səh = 1, q= 9 və d= 18, deməli k= (459 − 81)/18 = 21, ona görə də bu üçlüyün kodu ( k,h) = (21, 81).

ilə üçlüklərin təyin edilməsi h Və k bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir. Parametr k bərabərdir

k = 4S/(dP), (5)

Harada S = ab/2 üçbucağın sahəsidir və P = a + b + c onun perimetridir. Bu bərabərlikdən irəli gəlir eP = 4S, Pifaqor teoremindən gəlir.

Düzgün üçbucaq üçün eüçbucağa daxil edilmiş dairənin diametrinə bərabərdir. Bu hipotenuzun olmasından irəli gəlir ilə = (A − r)+(b − r) = a + b − 2r, Harada r dairənin radiusudur. Buradan h = c − b = A − 2r Və e = a − h = 2r.

üçün h> 0 və k > 0, küçlülərin sıra sayıdır a-b-c artan ilə Pifaqor üçbucaqlarının ardıcıllığında h. Cütlər tərəfindən yaradılan üçlülər üçün bir neçə variantı göstərən cədvəl 2-dən h, k, artdıqca görmək olar küçbucağın tərəfləri artır. Beləliklə, klassik nömrələmədən fərqli olaraq, cüt nömrələmə h, küçlüklərin ardıcıllığında daha yüksək sıraya malikdir.

Cədvəl 2. h, k cütləri tərəfindən yaradılan Pifaqor üçlüyü.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

üçün h > 0, d 2√ bərabərsizliyini ödəyir h ≤ d ≤ 2h, burada aşağı sərhədə çatılır səh= 1 və yuxarı, at q= 1. Buna görə də dəyər d 2√ ilə əlaqədar h nə qədər olduğunun ölçüsüdür h bəzi ədədin kvadratından uzaqda.