Həll. Düzbucaqlı ∆ ASC həll edirik: sin A=, BH=12, deməli AB=13,AK=5 (Pifaqor üçlüyü 5,12,13). Düzbucaqlı ∆ BCH həll edin: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pifaqor üçqat 3,4,5).Radius r === düsturu ilə tapılır 4. Cavab.4.

2.4. Triqonometriyada Pifaqor üçlüyü

Əsas triqonometrik eynilik Pifaqor teoreminin xüsusi halıdır: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Buna görə də, bəzi triqonometrik tapşırıqlar Pifaqor üçlüyü ilə asanlıqla şifahi şəkildə həll olunur.

Bir funksiyanın verilmiş dəyərindən digər triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapmağın tələb olunduğu məsələlər kvadrat kökünü kvadratlaşdırmadan və çıxarmadan həll edilə bilər. Məktəb cəbr dərsliyində (10-11) Mordkoviçdə (No 000-No 000) bu tipli bütün tapşırıqlar yalnız bir neçə Pifaqor üçlüyünü bilməklə şifahi şəkildə həll edilə bilər: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . İki vəzifənin həllini nəzərdən keçirək.

№ 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Həll. Pifaqor üçlüyü: 3, 4, 5. Buna görə də, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№ 000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Həll. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Pifaqor üçlüyü 5,12,13. İşarələri nəzərə alaraq, sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12 alırıq.

3. İmtahanın nəzarət-ölçü materialları

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) günah (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tq (π–arksin (–3/5))= 4/3 tq (π+arksin 3/5)= 4/3 tq arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) bərabərliyin etibarlılığını yoxlayın:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Həll. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

günah (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Nəticə

Həndəsi məsələlərdə çox vaxt düzbucaqlı üçbucaqları, bəzən bir neçə dəfə həll etmək lazımdır. Məktəb dərsliklərinin və İSTİFADƏ materiallarının tapşırıqlarını təhlil etdikdən sonra belə nəticəyə gəlmək olar ki, üçlülər əsasən istifadə olunur: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yadda saxlamaq asan olan. Bəzi triqonometrik tapşırıqları həll edərkən triqonometrik düsturlardan və çoxlu sayda hesablamalardan istifadə edən klassik həll vaxt tələb edir və Pifaqor üçlüyü haqqında biliklər hesablamalardakı səhvləri aradan qaldıracaq və imtahanda daha çətin problemlərin həlli üçün vaxta qənaət edəcəkdir.

Biblioqrafik siyahı

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcları. 10-11 siniflər. 2 saatda 2-ci hissə. Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı / [və başqaları]; red. . - 8-ci nəşr, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : xəstə.

2. Perelman cəbri. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

3. Roqanovski: Proc. 7-9 hüceyrə üçün. dərinliyi ilə ümumi təhsil riyaziyyatının öyrənilməsi. məktəb rus dilindən dil. öyrənmək, - 3-cü nəşr. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: xəstə.

4. Riyaziyyat: Tarix, metodologiya, didaktika üzrə oxucu. / Komp. . - M.: URAO nəşriyyatı, 2001. - 384 s.

5. «Məktəbdə riyaziyyat» jurnalı, 1965-ci il.

6. İmtahanın nəzarət-ölçü materialları.

7. Həndəsə, 7-9: Proc. təhsil müəssisələri üçün / və s. - 13-cü nəşr - M .: Təhsil, 2003. – 384 səh. : xəstə.

8. Həndəsə: Proc. 10-11 hüceyrə üçün. orta məktəb / və s. - 2-ci nəşr. - M .: Təhsil, 1993, - 207 s.: xəstə.

Perelman cəbri. - D.: VAP, 1994. - 200 s.

“Məktəbdə riyaziyyat” jurnalı, 1965-ci il.

Həndəsə, 7-9: Proc. təhsil müəssisələri üçün / və s. - 13-cü nəşr - M .: Təhsil, 2003. – 384 səh. : xəstə.

Roganovski: Proc. 7-9 hüceyrə üçün. dərinliyi ilə ümumi təhsil riyaziyyatının öyrənilməsi. məktəb rus dilindən dil. öyrənmək, - 3-cü nəşr. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 s.: xəstə.

Cəbr və analizin başlanğıcı. 10-11 siniflər. 2 saatda 2-ci hissə. Təhsil müəssisələri üçün tapşırıq kitabı / [və başqaları]; red. . - 8-ci nəşr, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 s. : xəstə, s.18.

Diofant tənliyinə mühüm nümunə düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarının x və y uzunluqlarını onun hipotenuzunun z uzunluğu ilə əlaqələndirən Pifaqor teoremi ilə verilmişdir:

Təbii ki, siz təbii ədədlərdə bu tənliyin gözəl həllərindən birinə, yəni Pifaqor üçlüyünə rast gəldiniz. x=3, y=4, z=5. Başqa üçəmlər varmı?

Belə çıxır ki, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyü var və onların hamısı çoxdan tapılıb. Onları bu paraqrafdan öyrənəcəyiniz tanınmış düsturlarla əldə etmək olar.

Əgər birinci və ikinci dərəcəli Diofant tənlikləri artıq həll olunubsa, aparıcı riyaziyyatçıların səylərinə baxmayaraq, daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli məsələsi hələ də açıq qalır. Hal-hazırda, məsələn, Fermatın məşhur fərziyyəsi hər hansı bir tam dəyər üçün n2 tənlik

tam ədədlərdə həlli yoxdur.

Diophantine tənliklərinin müəyyən növlərini həll etmək üçün, sözdə mürəkkəb ədədlər. Bu nədir? i hərfi şərti ödəyən hansısa obyekti ifadə etsin i 2 \u003d -1(aydındır ki, heç bir real ədəd bu şərti ödəmir). Formanın ifadələrini nəzərdən keçirin α+iβ, burada α və β həqiqi ədədlərdir. Bu cür ifadələr kompleks ədədlər adlanacaq, onlar üzərində toplama və vurma əməliyyatlarını, eləcə də binomiallar üzərində müəyyən etmişlər, lakin ifadənin yeganə fərqi ilə mən 2 hər yerdə -1 rəqəmini əvəz edəcəyik:

7.1. Üçünün çoxu

Bunu sübut et x0, y0, z0- Pifaqor üçlü, sonra üçqat y 0 , x 0 , z 0 Və x 0 k, y 0 k, z 0 k k təbii parametrinin istənilən qiyməti üçün də Pifaqordur.

7.2. Şəxsi düsturlar

Hər hansı təbii dəyərlər üçün yoxlayın m>n formanın üçlüyü

Pifaqorçudur. Hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, züçlükdə x və y ədədlərini yenidən yerləşdirməyə icazə versəniz, bu formada təmsil oluna bilərmi?

7.3. Təkrarlanmayan üçlüklər

Ümumi böləni 1-dən böyük olmayan ədədlərin Pifaqor üçlüyü reduksiya olunmayan adlanacaq. Sübut edin ki, Pifaqor üçlüyü yalnız üçlükdəki ədədlərdən hər hansı ikisi ikiqat olarsa, reduksiya edilə bilməz.

7.4. Azaldılmayan üçlüklərin xassəsi

Sübut edin ki, istənilən reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyü x, y, z-də z ədədi və x və ya y ədədlərindən dəqiq biri təkdir.

7.5. Bütün azalmayan üçlüklər

Sübut edin ki, x, y, z ədədlərinin üçlüyü, ilk iki ədədin sırasına qədər üçlü ilə üst-üstə düşərsə, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüdür. 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Harada m>n- müxtəlif paritetli natural ədədlərin koprisiyası.

7.6. Ümumi düsturlar

Tənliyin bütün həllərini sübut edin

natural ədədlərdə naməlum x və y sırasına qədər düsturlarla verilir

burada m>n və k təbii parametrlərdir (hər hansı üçlüyün təkrarlanmasının qarşısını almaq üçün coprime tipli və üstəlik müxtəlif paritetli ədədləri seçmək kifayətdir).

7.7. İlk 10 üçlük

Bütün Pifaqor üçlüyü tapın x, y, zşərti təmin edir x

7.8. Pifaqor üçlülərinin xüsusiyyətləri

Bunu istənilən Pifaqor üçlüyü üçün sübut edin x, y, z ifadələr doğrudur:

a) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 3-ə qatdır;

b) x və ya y ədədlərindən ən azı biri 4-ün qatıdır;

c) x, y və ya z ədədlərindən ən azı biri 5-in qatıdır.

7.9. Kompleks ədədlərin tətbiqi

Kompleks ədədin modulu α + iβ mənfi olmayan nömrə adlanır

Hər hansı bir kompleks ədəd üçün bunu yoxlayın α + iβ Və γ + iδəmlak icra edilir

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək sübut edin ki, istənilən iki m və n tam ədədi bərabərliyi təmin edir.

yəni tənliyin həllini verirlər

tam ədədlər (məsələ 7.5 ilə müqayisə edin).

7.10. Pifaqor olmayan üçlüklər

Kompleks ədədlərin xassələrindən və onların modullarından istifadə edərək (məsələ 7.9-a baxın) tənliyin istənilən tam həlli üçün düsturları tapın:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Həll yolları

7.1. Əgər x 0 2 + y 0 2 = z 0 2, Bu y 0 2 + x 0 2 = z 0 2, və k-nin istənilən təbii dəyəri üçün bizdə var

Q.E.D.

7.2. Bərabərlikdən

belə nəticəyə gəlirik ki, məsələdə göstərilən üçlük tənliyi ödəyir x 2 + y 2 = z 2 natural ədədlərdə. Ancaq hər Pifaqor üçlüyü deyil x, y, z bu formada təmsil oluna bilər; məsələn, üçlü 9, 12, 15 Pifaqordur, lakin 15 rəqəmi hər hansı iki m və n natural ədədinin kvadratlarının cəmi kimi təqdim edilə bilməz.

7.3. Pifaqor üçlüyündən hər hansı iki ədəd varsa x, y, z ortaq bölən d varsa, o da üçüncü ədədin bölməsi olacaq (deməli, halda x = x 1 d, y = y 1 d bizdə var z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, buradan z 2 d 2-yə, z isə d) bölünür. Buna görə də, Pifaqor üçlüyünün reduksiya edilməməsi üçün üçlüyə daxil olan hər iki ədədin əlavə sadə olması lazımdır,

7.4. Qeyd edək ki, x və ya y ədədlərindən biri, deyək ki, x, reduksiya olunmayan Pifaqor üçlüyünün x, y, z təkdir, çünki əks halda x və y ədədləri müştərək olmazdı (7.3-cü məsələyə bax). Əgər digər y ədədi də təkdirsə, onda hər iki ədəd

4-ə bölündükdə 1-in qalığını və ədədi verin z 2 \u003d x 2 + y 2 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verir, yəni 2-yə bölünür, lakin 4-ə bölünmür, ola bilməz. Beləliklə, y ədədi cüt, z ədədi isə tək olmalıdır.

7.5. Pifaqorlu üçqat olsun x, y, z azalmazdır və müəyyənlik üçün x ədədi cüt, y, z ədədləri isə təkdir (bax. Məsələ 7.4). Sonra

rəqəmlər haradadır bütövdürlər. a və b ədədlərinin ikiqat olduğunu sübut edək. Həqiqətən, əgər onların ümumi bölənləri 1-dən böyük olsaydı, ədədlərin eyni bölənləri olardı. z = a + b, y = a - b, yəni üçlük azaldılmaz olmayacaq (bax. Məsələ 7.3). İndi, a və b ədədlərini əsas amillərin hasillərinə genişləndirərək, hər hansı bir baş amilin məhsula daxil edilməli olduğunu görürük. 4ab = x2 yalnız cüt dərəcəyə qədər və əgər a ədədinin genişlənməsinə daxil edilirsə, onda b ədədinin genişlənməsinə daxil edilmir və əksinə. Buna görə də, hər hansı bir sadə amil a və ya b ədədinin yalnız cüt dərəcəyə qədər genişlənməsinə daxil edilir, yəni bu ədədlərin özləri tam ədədlərin kvadratlarıdır. qoyaq onda bərabərlikləri əldə edirik

üstəlik, m>n natural parametrləri kobuddur (a və b ədədlərinin ümumiliyinə görə) və fərqli paritetə ​​malikdirlər (tək ədədə görə). z \u003d m 2 + n 2).

İndi müxtəlif paritetli m>n natural ədədləri kobud olsun. Sonra troyka x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, Problem 7.2-ə görə, Pifaqordur. Gəlin sübut edək ki, azalmazdır. Bunun üçün y və z ədədlərinin ortaq bölənlərinin olmadığını yoxlamaq kifayətdir (bax. Məsələ 7.3). Əslində, bu nömrələrin hər ikisi təkdir, çünki növ nömrələri fərqli paritetlərə malikdir. Əgər y və z ədədlərinin bəzi sadə ümumi bölənləri varsa (onda o, tək olmalıdır), onda ədədlərin hər biri və onlarla birlikdə m və n ədədlərinin hər biri eyni bölücüyə malikdir ki, bu da onların qarşılıqlı sadəliyinə ziddir.

7.6. 7.1 və 7.2-ci Məsələlərdə tərtib edilmiş müddəalara görə, bu düsturlar yalnız Pifaqor üçlüyünü müəyyən edir. Digər tərəfdən, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü x, y, zən böyük ümumi bölən k ilə azaldılandan sonra x və y ədədləri cütü azalmaz hala gəlir (7.3-cü məsələyə bax) və buna görə də, məsələ 7.5-də təsvir olunan formada x və y ədədlərinin sırasına qədər təmsil oluna bilər. Buna görə də, hər hansı bir Pifaqor üçlüyü parametrlərin bəzi dəyərləri üçün göstərilən düsturlarla verilir.

7.7. Bərabərsizlikdən z və 7.6-cı məsələnin düsturlarından istifadə edərək təxmini əldə edirik m 2 yəni. m≤5. fərz edirik m = 2, n = 1 Və k = 1, 2, 3, 4, 5,üçəmlər alırıq 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. fərz edirik m=3, n=2 Və k = 1, 2,üçəmlər alırıq 5, 12, 13; 10, 24, 26. fərz edirik m = 4, n = 1, 3 Və k = 1,üçəmlər alırıq 8, 15, 17; 7, 24, 25. Nəhayət, fərz edirik m=5, n=2 Və k = 1,üç alırıq 20, 21, 29.

Torpaq tədqiqatçılarının yerə perpendikulyar xətlər çəkmək üçün istifadə etdiyi rahat və çox dəqiq üsul aşağıdakı kimidir. A nöqtəsindən MN xəttinə perpendikulyar çəkmək tələb olunsun (şək. 13). A-dan AM istiqamətində üç dəfə bir qədər a məsafəsinə enin. Sonra kordona üç düyün bağlanır, aralarındakı məsafələr 4a və 5a-dır. Həddindən artıq düyünləri A və B nöqtələrinə bağlayaraq, kordonu orta düyün üzərinə çəkin. Şnur üçbucaqda yerləşəcək, burada A bucağı düzdür.

Misir piramidalarını inşa edənlərin, yəqin ki, min illər əvvəl istifadə etdikləri bu qədim üsul, məlum Pifaqor teoreminə görə tərəfləri 3:4:5 nisbətində əlaqəli olan hər üçbucağın düzbucaqlı, ildən

3 2 + 4 2 = 5 2 .

3, 4, 5 rəqəmlərinə əlavə olaraq, məlum olduğu kimi, əlaqəni təmin edən a, b, c müsbət tam ədədlərin saysız çoxluğu var.

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Onlara Pifaqor nömrələri deyilir. Pifaqor teoreminə görə, belə ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqları rolunu oynaya bilər; buna görə də a və b "ayaqlar", c isə "hipotenuza" adlanır.

Aydındır ki, a, b, c Pifaqor ədədlərinin üçlüyüdürsə, p-nin tam əmsal olduğu pa, pb, pc Pifaqor ədədləridir. Əksinə, əgər Pifaqor ədədlərinin ümumi amili varsa, bu ümumi amillə siz onların hamısını azalda bilərsiniz və yenə də Pifaqor ədədlərinin üçqatını əldə edə bilərsiniz. Buna görə də, biz əvvəlcə yalnız üçlü ikiqat Pifaqor ədədlərini öyrənəcəyik (qalanları onlardan p tam əmsalı ilə çarpılmaqla əldə edilir).

Göstərək ki, belə a, b, c üçlüklərinin hər birində “ayaqlardan” biri cüt, digəri tək olmalıdır. Gəlin “əksinə” mübahisə edək. Əgər hər iki "ayaq" a və b cütdürsə, onda a 2 + b 2 sayı cüt olacaq və deməli, "hipotenuz". Bununla belə, bu, a, b, c ədədlərinin ümumi amillərinin olmaması ilə ziddiyyət təşkil edir, çünki üç cüt ədədin ümumi əmsalı 2-dir. Beləliklə, a, b "ayaqlarından" ən azı biri təkdir.

Daha bir ehtimal qalır: hər iki "ayaq" tək, "hipotenuz" isə cütdür. Bunun ola bilməyəcəyini sübut etmək asandır. Həqiqətən, əgər "ayaqların" forması varsa

2x + 1 və 2y + 1,

onda onların kvadratlarının cəmidir

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

yəni 4-ə bölündükdə 2-nin qalığını verən bir ədəddir. Bu arada istənilən cüt ədədin kvadratı 4-ə qalıqsız bölünməlidir. Deməli, iki tək ədədin kvadratlarının cəmi cüt ədədin kvadratı ola bilməz; başqa sözlə, üç ədədimiz Pifaqor deyil.

Deməli, a, b “ayaqlarından” biri cüt, digəri təkdir. Buna görə də a 2 + b 2 ədədi təkdir, yəni "hipotenuza" c da təkdir.

Tutaq ki, müəyyənlik üçün bu tək "ayaq" a və hətta b. Bərabərlikdən

a 2 + b 2 = c 2

asanlıqla əldə edirik:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Sağ tərəfdəki c + b və c - b faktorları bir-birini əvəz edir. Həqiqətən, əgər bu ədədlərin birdən başqa ümumi sadə amili olsaydı, o zaman cəm də bu amilə bölünərdi.

(c + b) + (c - b) = 2c,

və fərq

(c + b) - (c - b) = 2b,

və işləyin

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

yəni 2c, 2b və a rəqəmlərinin ortaq amili olacaq. a tək olduğundan, bu amil ikidən fərqlidir və buna görə də a, b, c ədədləri eyni ümumi əmsala malikdir, lakin ola bilməz. Nəticədə ortaya çıxan ziddiyyət c + b və c - b ədədlərinin üst-üst olduğunu göstərir.

Ancaq ümumi ədədlərin hasili dəqiq kvadratdırsa, onda onların hər biri kvadratdır, yəni.

Bu sistemi həll edərək, tapırıq:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 və 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Beləliklə, nəzərdən keçirilən Pifaqor nömrələri formaya malikdir

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

burada m və n bəzi ümumi tək ədədlərdir. Oxucu bunun əksini asanlıqla yoxlaya bilər: hər hansı tək tip üçün yazılı düsturlar üç Pifaqor rəqəmi a, b, c verir.

Müxtəlif növlərlə əldə edilən Pifaqor ədədlərinin bəzi üçlüləri:

m = 3 üçün, m = 5 üçün n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, m = 7 üçün n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, m üçün n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 = 9, m = 11-də n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2, m = 13-də n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2, m = 5-də n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 , m = 7 üçün n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, m = 11 üçün n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, m = 13, n üçün n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, n = 3 39 2 + 80 2 = m = 7-də 89 2, m = 9-da n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2, m = 11-də n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2, n = 5 m = 13-də 55 2 + 48 2 = 73 2, m = 9-da n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2, m = 11-də n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Pifaqor ədədlərinin bütün digər üçlüyü ya ümumi amillərə malikdir, ya da yüzdən çox ədədləri ehtiva edir.)

Belotelov V.A. Pifaqor üçlüyü və onların sayı // Nesterovların ensiklopediyası

Bu məqalə bir professora cavabdır - bir çimdik. Bax, professor, bizim kənddə bunu necə edirlər.

Nijni Novqorod vilayəti, Zavoljye.

Diofant tənliklərinin (ADDE) həlli alqoritmini bilmək və çoxhədli irəliləmələr haqqında bilik tələb olunur.

IF sadə ədəddir.

MF mürəkkəb ədəddir.

Tək ədəd N olsun. Birdən başqa hər hansı tək ədəd üçün tənlik yaza bilərsiniz.

p 2 + N \u003d q 2,

burada r + q = N, q – р = 1.

Məsələn, 21 və 23 nömrələri üçün tənliklər, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Əgər N sadədirsə, bu tənlik unikaldır. Əgər N ədədi mürəkkəbdirsə, o zaman 1 x N daxil olmaqla, bu ədədi təmsil edən amil cütlərinin sayı üçün oxşar tənliklər tərtib etmək olar.

N = 45 ədədini götürək, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Mən xəyal etdim, amma IF və MF arasındakı bu fərqdən yapışaraq, onları müəyyən etmək üçün bir üsul tapmaq mümkündürmü?

Qeydi təqdim edək;

Aşağı tənliyi dəyişdirək, -

N \u003d 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

N-nin dəyərlərini - a, yəni meyara görə qruplaşdıraq. masa hazırlayaq.

N ədədləri bir matrisdə ümumiləşdirilmişdir, -

Məhz bu tapşırığa görə mən çoxhədlilərin və onların matrislərinin irəliləmələri ilə məşğul olmalı idim. Hər şey boş yerə çıxdı - PCh müdafiəsi güclü şəkildə tutulur. Cədvəl 1-ə bir sütun daxil edək, burada - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Bir daha. Cədvəl 2 İF və MF-nin müəyyən edilməsi problemini həll etmək cəhdi nəticəsində əldə edilmişdir. Cədvəldən belə çıxır ki, hər hansı bir N nömrəsi üçün 2-də 2 + N \u003d formasının çoxlu tənliyi var, N sayını neçə cüt faktora bölmək olar, o cümlədən 1 x N faktoru. Bundan əlavə N \u003d ℓ 2 nömrələrinə, burada

ℓ - FC. N = ℓ 2 üçün, burada ℓ IF olarsa, unikal p 2 + N = q 2 tənliyi mövcuddur. Cədvəldə birdən ∞-ə qədər N əmələ gətirən cütlüklərdən daha kiçik amilləri sadalayırsa, hansı əlavə sübutdan danışmaq olar. Cədvəl 2-ni bir sinə yerləşdirəcəyik və sinəni şkafda gizlədəcəyik.

Məqalənin başlığında qeyd olunan mövzuya qayıdaq.

Bu məqalə bir professora cavabdır - bir çimdik.

Mən kömək istədim - İnternetdə tapa bilmədiyim bir sıra nömrələrə ehtiyacım var idi. “Nə üçün?”, “Ancaq mənə metodu göstər” kimi suallarla qarşılaşdım. Xüsusilə, Pifaqor üçlü seriyasının sonsuz olub-olmaması, "bunu necə sübut etmək olar?" sualı var idi. Mənə kömək etmədi. Bax, professor, bizim kənddə bunu necə edirlər.

Pifaqor üçlüyünün düsturunu götürək, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Gəlin ARDU-dan keçək.

Üç vəziyyət mümkündür:

I. x tək ədəddir,

y cüt ədəddir

z cüt ədəddir.

Və x > y > z şərti var.

II. x tək ədəddir

y cüt ədəddir

z tək ədəddir.

x > z > y.

III.x - cüt ədəd,

y tək ədəddir

z tək ədəddir.

x > y > z.

Məndən başlayaq.

Yeni dəyişənləri təqdim edək

(1) tənliyini əvəz edin.

Kiçik dəyişən 2γ ilə ləğv edək.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Gəlin 2β – 2γ dəyişənini eyni vaxtda yeni ƒ parametrinin tətbiqi ilə daha kiçik birinə endirək, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Sonra, 2α - 2β = x - y - 1.

Tənlik (2) formasını alacaq, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Gəlin onu kvadrat edək -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU parametrlər vasitəsilə tənliyin əsas şərtləri arasındakı əlaqəni verir, buna görə də (3) tənliyini əldə etdik.

Həll seçimi ilə məşğul olmaq möhkəm deyil. Ancaq birincisi, getmək üçün heç bir yer yoxdur, ikincisi, bu həllərin bir neçəsinə ehtiyac var və biz sonsuz sayda həlli bərpa edə bilərik.

ƒ = 1, k = 1 üçün x – y = 1 olur.

ƒ = 12, k = 16 ilə x - y = 9 olur.

ƒ = 4, k = 32 ilə x - y = 25 olur.

Onu uzun müddət ala bilərsiniz, amma sonda seriya formasını alacaq -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

II variantı nəzərdən keçirin.

(1) tənliyinə yeni dəyişənlər daxil edək

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Daha kiçik bir dəyişən 2 β ilə azaldırıq, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Daha kiçik dəyişən 2α – 2β ilə azaldaq, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z və (4) tənliyinə əvəz edin.

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 ilə x - z = 2 olur.

ƒ = 8, k = 14 ilə x - z = 8 olur.

ƒ = 3, k = 24 ilə x - z = 18 olur.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Gəlin bir trapesiya çəkək -

Bir düstur yazaq.

burada n=1, 2,...∞.

III hal təsvir edilməyəcək - orada həll yolları yoxdur.

II şərt üçün üçlüklər dəsti aşağıdakı kimi olacaq:

Tənlik (1) aydınlıq üçün x 2 = z 2 + y 2 kimi təqdim olunur.

I şərt üçün üçlüklər dəsti aşağıdakı kimi olacaq:

Ümumilikdə, hər birində beş üçlü olmaqla 9 üçlü sütun rənglənir. Və təqdim olunan sütunların hər biri ∞-ə qədər yazıla bilər.

Nümunə olaraq, x - y \u003d 81 olan son sütunun üçlüyünü nəzərdən keçirin.

X dəyərləri üçün trapesiya yazırıq, -

Formulunu yazaq

Dəyərləri üçün bir trapesiya yazırıq, -

Formulunu yazaq

Z dəyərləri üçün bir trapesiya yazırıq, -

Formulunu yazaq

Burada n = 1 ÷ ∞.

Söz verildiyi kimi, x - y = 81 olan üçlülər silsiləsi ∞-ə uçur.

I və II hallar üçün x, y, z üçün matrislər qurmaq cəhdi olmuşdur.

Üst cərgələrdən x-in son beş sütununu yazın və trapesiya qurun.

Bu işə yaramadı və nümunə kvadrat olmalıdır. Hər şeyi açıq işdə etmək üçün I və II sütunları birləşdirmək lazım olduğu ortaya çıxdı.

II halda y, z kəmiyyətləri yenidən bir-birini əvəz edir.

Biz bir səbəbdən birləşməyi bacardıq - kartlar bu vəzifəyə yaxşı uyğun gəlir - şanslıyıq.

İndi x, y, z üçün matrislər yaza bilərsiniz.

Üst sətirlərdən x dəyərinin son beş sütunundan götürüb trapesiya quraq.

Hər şey qaydasındadır, siz matrislər qura bilərsiniz və gəlin z üçün matrislə başlayaq.

Sandıq üçün şkafa qaçıram.

Cəmi: Birə əlavə olaraq, ədədi oxun hər tək sayı, 1 x N əmsalı da daxil olmaqla, bu N sayını təşkil edən bərabər sayda amil cütü ilə Pifaqor üçlüyünün formalaşmasında iştirak edir.

N \u003d ℓ 2 sayı, burada ℓ - IF, bir Pifaqor üçlüyünü təşkil edir, əgər ℓ MF-dirsə, ℓхℓ amillərində üçlük yoxdur.

Gəlin x, y üçün matrislər quraq.

Gəlin x üçün matrisa ilə başlayaq. Bunu etmək üçün, IF və MF-nin müəyyən edilməsi problemindən koordinat şəbəkəsini çəkəcəyik.

Şaquli cərgələrin nömrələnməsi ifadə ilə normallaşdırılır

Birinci sütunu çıxaraq, çünki

Matris formasını alacaq -

Şaquli sıraları təsvir edək, -

"a"-dakı əmsalları təsvir edək, -

Pulsuz üzvləri təsvir edək, -

"x" üçün ümumi düstur yaradaq, -

"y" üçün oxşar bir iş görsək, alırıq -

Bu nəticəyə digər tərəfdən yanaşa bilərsiniz.

tənliyi götürək,

və 2 + N = 2-də.

Bir az dəyişək -

N \u003d 2 - a 2.

Gəlin onu kvadrat edək -

N 2 \u003d 4 - 2v 2 a 2 + a 4-də.

Tənliyin sol və sağ tərəflərinə 4v 2 a 2 böyüklüyünü əlavə edin, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d 4 + 2v 2 a 2 + a 4-də.

Və nəhayət -

(2 + a 2-də) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Pifaqor üçlüyü aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir:

N = 117 sayı ilə bir nümunə nəzərdən keçirin.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Cədvəl 2-nin şaquli sütunları - a ilə, 3-cü cədvəlin şaquli sütunları isə x - y dəyərləri ilə nömrələnir.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Üç tənlik yaradaq.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 və 39 faktorları nisbətən sadə ədədlər deyil, ona görə də 9 əmsalı ilə bir üçlük çıxdı.

Yuxarıdakıları ümumi simvollarla təsvir edək, -

Bu işdə hər şey, o cümlədən sayı ilə Pifaqor üçlüyünü hesablamaq üçün bir nümunə

N = 117, daha kiçik amillə bağlıdır - a. + a amili ilə bağlı açıq ayrı-seçkilik. Gəlin bu ədalətsizliyi düzəldək - faktoru + a olan üç tənlik quracağıq.

İF və MF-nin identifikasiyası məsələsinə qayıdaq.

Bu istiqamətdə çox işlər görülüb və bu gün əllərdən belə bir fikir gəlib – nə identifikasiya tənliyi var, nə də faktorları müəyyən edən.

Tutaq ki, biz F = a, b (N) münasibətini tapdıq.

Bir formula var

F düsturundan içəridən xilas ola bilərsiniz və a-ya münasibətdə n-ci dərəcəli homojen bir tənlik əldə edirsiniz, yəni. F = a(N).

Bu tənliyin istənilən n dərəcəsi üçün m > n üçün m cüt faktorlu N ədədi var.

Və nəticədə n dərəcəli homojen tənliyin m kökü olmalıdır.

Bəli, bu ola bilməz.

Bu yazıda N ədədləri x 2 = y 2 + z 2 tənliyi üçün z yerində tənlikdə olduqda nəzərə alınmışdır. N x yerinə olduqda, bu başqa bir vəzifədir.

Hörmətlə, Belotelov V.A.

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

İşin məqsədi a2+b2=c2 formasının Pifaqor üçlüklərinin hesablanması üsullarını və alqoritmlərini hazırlamaqdır. Təhlil prosesi sistemli yanaşma prinsiplərinə uyğun aparılmışdır. Riyazi modellərlə yanaşı, Pifaqor üçlüyünün hər bir üzvünü hər biri vahid kvadratlar toplusundan ibarət olan kompozit kvadratlar şəklində göstərən qrafik modellərdən istifadə olunur. Müəyyən edilmişdir ki, sonsuz Pifaqor üçlüyü çoxluğu b-c dəyərləri arasındakı fərqlə fərqlənən sonsuz sayda alt çoxluqlardan ibarətdir. Bu fərqin əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər hansı dəyəri ilə Pifaqor üçlüyünün formalaşması üçün bir alqoritm təklif olunur. Göstərilir ki, Pifaqor üçlüyü istənilən 3≤a dəyəri üçün mövcuddur

Pifaqor üçlüyü

sistem təhlili

riyazi model

qrafik modeli

1. Anosov D.N. Riyaziyyata və ondan bir şeyə baxış. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 s.: xəstə.

2. Ayerland K., Rosen M. Müasir ədədlər nəzəriyyəsinə klassik giriş. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovnıy İ.M. Təşkilatlarda Sistem Təhlili və İnformasiya Texnologiyaları: Dərslik. - M.: RUDN, 2012. - 392 s.

4. Simon Singh. Fermatın son teoremi.

5. Ferma P. Saylar nəzəriyyəsi və diofant analizi üzrə tədqiqatlar. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Bu ünvanda mövcuddur: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Pifaqor üçlüyü x2 + y2 = z2 Pifaqor münasibətini təmin edən üç tam ədəddən ibarət kohortdur. Ümumiyyətlə, bu, Diofant tənliklərinin xüsusi halıdır, yəni bilinməyənlərin sayı tənliklərin sayından çox olan tənliklər sistemləridir. Onlar uzun müddət, Babil dövründən, yəni Pifaqordan çox əvvəl məlumdur. Və bu adı Pifaqorun öz məşhur teoremini onların əsasında sübut etməsindən sonra alıblar. Bununla belə, Pifaqor üçlüyü məsələsinə bu və ya digər şəkildə toxunulan çoxsaylı mənbələrin təhlilindən belə çıxır ki, bu üçlüklərin mövcud sinifləri və onların formalaşmasının mümkün yolları məsələsi hələ tam açıqlanmayıb.

Belə ki, Simon Singh kitabında deyir: - "Pythagoras şagirdləri və ardıcılları ... sözdə Pifaqor üç k tapmaq sirrini dünyaya bildirib." Ancaq bunun ardınca oxuyuruq: - “Pifaqorlular başqa Pifaqor üçlükləri, başqa kvadratlar tapmağı xəyal edirdilər ki, onlardan üçüncü böyük kvadrat əlavə etmək olar. ...Rəqəmlər artdıqca, Pifaqor üçlüyü getdikcə nadir hala gəlir və tapmaq çətinləşir. Pifaqorçular belə üçlükləri tapmaq üçün bir üsul icad etdilər və ondan istifadə edərək, sonsuz sayda Pifaqor üçlüyünün olduğunu sübut etdilər.

Sitatda çaşqınlıq yaradan sözlər vurğulanır. Niyə "pifaqorlular tapmaq arzusunda idilər ..." əgər "belə üçlüyü tapmaq üçün bir üsul icad etdilər ..." və niyə çox sayda "onları tapmaq getdikcə çətinləşir ...".

Məşhur riyaziyyatçı D.V.-nin əsərində. Anosov, deyəsən, istədiyiniz cavab verilib. - “X, y, z təbii (yəni müsbət tam) ədədlərin elə üçlüləri var ki,

x2 + y2 = z2. (1)

…x2+y2=z2 tənliyinin bütün həll yollarını natural ədədlərdə tapmaq mümkündürmü? …Bəli. Cavab budur ki, hər bir belə həll kimi təmsil oluna bilər

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

burada l, m, n natural ədədlər və m>n və ya x və y-nin dəyişdirildiyi oxşar formadadır. Bir az daha qısa şəkildə deyə bilərik ki, (2)-dən x, y, z bütün mümkün natural l və m > n ilə (1)-in x və y-nin dəyişməsinə qədər bütün mümkün həllərdir. Məsələn, üçlük (3, 4, 5) l=1, m=2, n=1 ilə alınır. ...Görünür, babillilər bu cavabı bilirdilər, lakin buna necə çatdıqları məlum deyil”.

Adətən riyaziyyatçılar öz tərtibatlarının sərtliyi ilə tanınırlar. Lakin bu sitatda belə bir sərtlik müşahidə olunmur. Beləliklə, dəqiq nə: tapmaq və ya təsəvvür etmək? Aydındır ki, bunlar tamam başqa şeylərdir. Budur "təzə bişmiş" üçlü bir xətt (aşağıda təsvir edilən üsulla əldə edilir):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Şübhə yoxdur ki, bu üçlüklərin hər biri (2) əlaqə şəklində göstərilə bilər və sonra l, m, n qiymətləri hesablana bilər. Ancaq bu, üçlülərin bütün dəyərləri tapıldıqdan sonradır. Bəs ondan əvvəl?

Bu sualların cavablarının çoxdan məlum olduğunu istisna etmək olmaz. Amma nədənsə onlar hələ də tapılmayıb. Beləliklə, bu işin məqsədi Pifaqor üçlüyünün məlum nümunələrinin məcmusunun sistematik təhlili, üçlülərin müxtəlif qruplarında sistem əmələ gətirən əlaqələrin axtarışı və bu qruplara xas olan sistem xüsusiyyətlərinin müəyyən edilməsi, daha sonra isə sadə irqlərin işlənib hazırlanmasıdır. əvvəlcədən müəyyən edilmiş konfiqurasiya ilə üçlü hesablamaq üçün səmərəli alqoritmlər. Konfiqurasiya dedikdə, üçlüyü təşkil edən kəmiyyətlər arasındakı əlaqəni nəzərdə tuturuq.

Alətlər dəsti olaraq orta məktəbdə tədris olunan riyaziyyat çərçivəsindən kənara çıxmayan səviyyədə riyazi aparatdan istifadə olunacaq və burada göstərilən üsullar əsasında sistem təhlili aparılacaq.

Modelin qurulması

Sistem təhlili nöqteyi-nəzərindən hər hansı bir Pifaqor üçlüyü üç ədəd və onların xassələri olan obyektlərin yaratdığı sistemdir. Obyektlərin müəyyən münasibətlərdə yerləşdiyi və nə ayrı-ayrı obyektlərə, nə də onların məcmusunun hər hansı digərinə xas olmayan yeni xassələri olan bir sistem meydana gətirdiyi, obyektlərin başqa münasibətlərdə yerləşdiyi onların məcmusudur.

(1) tənliyində sistemin obyektləri sadə cəbri əlaqələrlə əlaqəli natural ədədlərdir: bərabər işarənin solunda iki ədədin cəmi 2-nin qüvvəsinə qaldırılmışdır, sağda üçüncü ədəddir. 2-nin gücünə. Fərdi ədədlər, bərabərliyin solunda, 2-nin gücünə qaldırılaraq, onların cəmlənməsinin işinə heç bir məhdudiyyət qoymurlar - nəticədə cəm hər hansı bir şey ola bilər. Lakin toplama əməliyyatından sonra qoyulan bərabər işarəsi bu cəmin dəyərinə sistem məhdudiyyəti qoyur: cəmi elə bir ədəd olmalıdır ki, kvadrat kökün çıxarılması əməliyyatının nəticəsi natural ədəd olsun. Bərabərliyin sol tərəfində əvəzlənən heç bir ədəd üçün bu şərt təmin edilmir. Beləliklə, tənliyin iki həddi ilə üçüncü həddi arasına qoyulan bərabər işarəsi üçlü həddi sistemə çevirir. Bu sistemin yeni bir xüsusiyyəti orijinal nömrələrin dəyərlərinə məhdudiyyətlərin tətbiqidir.

Yazı formasına əsaslanaraq, Pifaqor üçlüyü Şəkil 1-də göstərildiyi kimi toplama və bərabərlik münasibətləri ilə bir-birinə bağlı olan üç kvadratdan ibarət həndəsi sistemin riyazi modeli kimi qəbul edilə bilər. 1. Şek. Şəkil 1 nəzərdən keçirilən sistemin qrafik modelidir və onun şifahi modeli aşağıdakı ifadədir:

Yan uzunluğu c olan kvadratın sahəsini qalıqsız yan uzunluqları a və b olan iki kvadrata bölmək olar ki, onların sahələrinin cəmi ilkin kvadratın sahəsinə bərabər olsun, yəni hər üçü a, b və c kəmiyyətləri əlaqə ilə bağlıdır

Kvadratın parçalanmasının qrafik modeli

Sistem analizinin kanonları çərçivəsində məlumdur ki, riyazi model müəyyən həndəsi sistemin xassələrini adekvat şəkildə əks etdirirsə, bu sistemin özünün xassələrinin təhlili onun riyazi modelinin xassələrini aydınlaşdırmağa imkan verir. onları daha dərindən tanıyın, aydınlaşdırın və lazım gələrsə təkmilləşdirin. Bu bizim gedəcəyimiz yoldur.

Aydınlaşdıraq ki, sistem analizinin prinsiplərinə əsasən toplama və çıxma əməliyyatları yalnız mürəkkəb obyektlər, yəni elementar obyektlər toplusundan təşkil olunmuş obyektlər üzərində aparıla bilər. Buna görə də biz istənilən kvadratı elementar və ya vahid kvadratlar toplusundan ibarət fiqur kimi qəbul edəcəyik. Onda natural ədədlərdə həllin alınması şərti vahid kvadratın bölünməz olması şərtini qəbul etməyə bərabərdir.

Vahid kvadrat hər tərəfinin uzunluğu birə bərabər olan kvadratdır. Yəni, vahid kvadratın sahəsi aşağıdakı ifadəni təyin etdikdə.

Kvadratın kəmiyyət parametri onun sahəsidir ki, bu da verilmiş sahəyə yerləşdirilə bilən vahid kvadratların sayı ilə müəyyən edilir. İxtiyari x dəyəri olan bir kvadrat üçün x2 ifadəsi uzunluqlu x vahid seqmentlərinin seqmentlərinin yaratdığı kvadratın sahəsini təyin edir. Bu kvadratın sahəsinə x2 vahid kvadratlar yerləşdirilə bilər.

Yuxarıdakı təriflər mənasız və aşkar kimi qəbul edilə bilər, lakin belə deyil. D.N. Anosov sahə anlayışını başqa cür müəyyənləşdirir: - “... fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir. Bunun belə olduğuna niyə əminik? ... Biz bir növ homojen materialdan hazırlanmış bir fiqur təsəvvür edirik, onda onun sahəsi içindəki maddənin miqdarı - kütləsi ilə mütənasibdir. Daha sonra başa düşülür ki, bir cismi bir neçə hissəyə böldükdə onların kütlələrinin cəmi ilkin cismin kütləsinə bərabər olur. Bu başa düşüləndir, çünki hər şey atomlardan və molekullardan ibarətdir və onların sayı dəyişmədiyi üçün ümumi kütləsi də dəyişməyib... Axı, əslində, bircins material parçasının kütləsi onun həcminə mütənasibdir; buna görə də bilmək lazımdır ki, verilmiş fiqurun formasına malik olan “vərəq”in həcmi onun sahəsinə mütənasibdir. Bir sözlə, ... fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir, həndəsədə bunu sübut etmək lazımdır. ...Kiselevin dərsliyində indi müzakirə etdiyimiz özəlliyi olan ərazinin mövcudluğu səmimi şəkildə bir növ fərziyyə kimi irəli sürülüb və bunun əslində doğru olduğu deyilirdi, lakin biz bunu sübut etməyəcəyik. Beləliklə, Pifaqor teoremi, əgər sahələrlə sübut olunarsa, sırf məntiqi mənada, tam sübut olunmamış qalacaq.

Bizə elə gəlir ki, yuxarıda təqdim olunan vahid kvadratın tərifləri göstərilən D.N. Anosov qeyri-müəyyənliyi. Axı, kvadratın və düzbucağın sahəsi onları dolduran vahid kvadratların cəmi ilə müəyyən edilirsə, düzbucaqlı ixtiyari bitişik hissələrə bölündükdə, düzbucaqlının sahəsi təbii olaraq bərabərdir. onun bütün hissələrinin cəmi.

Üstəlik, təqdim edilən təriflər mücərrəd həndəsi fiqurlara münasibətdə "bölmək" və "əlavə etmək" anlayışlarından istifadənin qeyri-müəyyənliyini aradan qaldırır. Doğrudan da, düzbucaqlı və ya hər hansı digər yastı fiqurun hissələrə bölünməsi nə deməkdir? Bir vərəqdirsə, qayçı ilə kəsilə bilər. Torpaq varsa - bir hasar qoyun. Otaq - arakəsmə qoyun. Bəs bu çəkilmiş kvadratdırsa? Bölmə xəttini çəkin və kvadratın bölündüyünü elan edin? Lakin, nəhayət, D.İ. Mendeleyev: "... Hər şeyi bəyan edə bilərsiniz, amma siz - irəliləyin, nümayiş etdirin!"

Təklif olunan təriflərdən istifadə edərək, "Bir rəqəmi bölmək" bu rəqəmi dolduran vahid kvadratların sayını iki (və ya daha çox) hissəyə bölmək deməkdir. Bu hissələrin hər birindəki vahid kvadratların sayı onun sahəsini müəyyənləşdirir. Bu hissələrin konfiqurasiyası ixtiyari olaraq verilə bilər, lakin onların sahələrinin cəmi həmişə orijinal rəqəmin sahəsinə bərabər olacaqdır. Ola bilsin ki, riyaziyyatçılar bu arqumentləri yanlış hesab edəcəklər, onda biz onları fərziyyə kimi qəbul edəcəyik. Kiselyovun dərsliyində belə fərziyyələr məqbuldursa, o zaman belə bir texnikadan istifadə etməmək bizim üçün günah olardı.

Sistem təhlilində ilk addım problemli vəziyyəti müəyyən etməkdir. Bu mərhələnin əvvəlində müxtəlif mənbələrdə tapılan bir neçə yüz Pifaqor üçlüyü nəzərdən keçirildi. Eyni zamanda, nəşrlərdə qeyd olunan bütün Pifaqor üçlüyünün konfiqurasiyasında fərqlənən bir neçə qrupa bölünə biləcəyinə diqqət yetirildi. Orijinal və çıxarılan kvadratların tərəflərinin uzunluqları fərqini, yəni c-b dəyərini müəyyən bir konfiqurasiyanın əlaməti kimi nəzərdən keçirəcəyik. Məsələn, nəşrlərdə c-b=1 şərtini ödəyən üçlüklər çox vaxt nümunə kimi göstərilir. Güman edirik ki, belə Pifaqor üçlülərinin bütün dəsti çoxluğu əmələ gətirir, biz bunu “Class c-1” adlandıracağıq və biz bu sinfin xüsusiyyətlərini təhlil edəcəyik.

Şəkildə göstərilən üç kvadratı nəzərdən keçirək, burada c kvadratın kiçilməli olan tərəfinin uzunluğu, b kvadratın çıxılacaq tərəfinin uzunluğu və a kvadratın yaranan tərəfinin uzunluğudur. onların fərqindən. Əncirdə. 1-dən görünə bilər ki, azaldılmış kvadratın sahəsindən çıxarılan kvadratın sahəsini çıxararkən, qalan hissədə iki vahid kvadrat zolağı qalır:

Bu qalıqdan kvadrat yaratmaq üçün şərt yerinə yetirilməlidir

Bu əlaqələr bizə verilən bir c ədədi ilə üçlüyün bütün üzvlərinin dəyərlərini təyin etməyə imkan verir. (6) münasibətini təmin edən ən kiçik c ədədi c = 5-dir. Beləliklə, (1) münasibətini ödəyən kvadratların hər üç tərəfinin uzunluqları müəyyən edilmişdir. Xatırladaq ki, orta kvadratın tərəfinin b qiyməti

orijinal kvadratın tərəfini bir azaltmaqla orta kvadrat yaratmaq qərarına gəldiyimiz zaman seçildi. Sonra münasibətlərdən (5), (6). (7) aşağıdakı əlaqəni əldə edirik:

buradan belə nəticə çıxır ki, seçilmiş c = 5 dəyəri unikal şəkildə b = 4, a = 3 dəyərlərini müəyyən edir.

Nəticədə, "c - 1" sinifinin hər hansı bir Pifaqor üçlüyünü belə bir formada təmsil etməyə imkan verən əlaqələr əldə edilir, burada hər üç üzvün dəyərləri müəyyən edilmiş bir parametr - c dəyəri ilə müəyyən edilir:

Əlavə edirik ki, yuxarıdakı misaldakı 5 rəqəmi (6) tənliyinin natural ədədlərdə həlli olan c-nin bütün mümkün qiymətlərinin minimumu kimi ortaya çıxdı. Eyni xassəyə malik olan növbəti ədəd 13, sonra 25, sonra 41, 61, 85 və s.. Göründüyü kimi, bu ədədlər silsiləsində qonşu ədədlər arasındakı intervallar sürətlə artır. Beləliklə, məsələn, etibarlı dəyərdən sonra, növbəti etibarlı dəyər , və sonra, növbəti etibarlı dəyər , yəni etibarlı dəyər əvvəlkindən əlli milyondan çoxdur!

İndi bu ifadənin kitabda haradan gəldiyi aydın oldu: - "Rəqəmlər artdıqca Pifaqor üçlüyü getdikcə daha az yayılır və onları tapmaq getdikcə çətinləşir ...". Lakin bu bəyanat həqiqətə uyğun deyil. Yalnız yuxarıdakı c-nin qonşu qiymətlərinə uyğun gələn Pifaqor üçlüyünə baxmaq lazımdır, çünki bir xüsusiyyət dərhal diqqəti cəlb edir - hər iki cütdə c dəyərləri belə böyük intervallarla ayrılır. bir növbənin dəyərləri qonşu tək ədədlərdir. Həqiqətən, ilk cüt üçün biz var

və ikinci cüt üçün

Beləliklə, "daha az və daha az yayılmış" olan üçlülərin özləri deyil, c-nin qonşu dəyərləri arasındakı intervallar artır. Pifaqor üçqatları, aşağıda göstərildiyi kimi, istənilən natural ədəd üçün mövcuddur.

İndi növbəti sinfin üçlüklərini nəzərdən keçirin - "Class c-2". Əncirdən göründüyü kimi. 1, tərəfi c olan kvadratdan tərəfi (c - 2) olan kvadratı çıxardıqda, qalıq iki vahid zolağın cəmidir. Bu məbləğin dəyəri tənliklə müəyyən edilir:

(10) tənliyindən "c-2" sinifinin sonsuz üçlü dəstindən hər hansı birini təyin edən əlaqə əldə edirik:

Natural ədədlərdə (11) tənliyinin həllinin mövcudluğu şərti a-nın natural ədəd olduğu hər hansı c qiymətidir. Həllinin mövcud olduğu c-nin minimum dəyəri c = 5-dir. Sonra bu üçlüklər sinfi üçün “başlanğıc” üçlüyü a = 4, b = 3, c = 5 çoxluğu ilə müəyyən edilir. Yəni, yenə də klassik üçlü 3, 4, 5 əmələ gəlir, yalnız indi çıxarılacaq kvadratın sahəsi qalanın sahəsindən azdır.

Və nəhayət, "s-8" sinfinin üçlüklərini təhlil edək. Bu üçlük sinfi üçün kvadratın sahəsini orijinal kvadratın c2 sahəsindən çıxararaq, alırıq:

Sonra (12) tənliyindən belə çıxır:

Həllin mövcud olduğu c-nin minimum dəyəri c = 13-dür. Bu dəyərdə Pifaqor üçlüyü 12, 5, 13 formasını alacaq. qalanın sahəsi. Və təyinatları yerlərdə yenidən təşkil edərək, konfiqurasiyasına görə "c - 1" sinfinə aid olan üçlü 5, 12, 13 alırıq. Görünür, digər mümkün konfiqurasiyaların sonrakı təhlili prinsipial olaraq yeni heç nə aşkar etməyəcək.

Hesablanmış əmsalların çıxarılması

Əvvəlki bölmədə təhlilin məntiqi onun beş əsas mərhələsindən dördündə sistem təhlilinin tələblərinə uyğun olaraq işlənib hazırlanmışdır: problem vəziyyətinin təhlili, məqsədlərin formalaşması, funksiyaların formalaşması və strukturun formalaşması. İndi son, beşinci mərhələyə - texniki-iqtisadi əsaslandırmanın yoxlanılmasına, yəni məqsədlərə nə dərəcədə nail olunmasının sınağına keçməyin vaxtıdır. .

Cədvəl 1 aşağıda göstərilmişdir. 1, "c - 1" sinfinə aid Pifaqor üçlüyünün dəyərlərini göstərir. Əksər üçlüklər müxtəlif nəşrlərdə tapılır, lakin 999, 1001-ə bərabər olan üçlüklər məlum nəşrlərdə tapılmamışdır.

Cədvəl 1

"c-1" sinfinin Pifaqor üçlüyü

Bütün üçlüklərin (3) əlaqəni təmin etdiyini yoxlamaq olar. Beləliklə, qarşıya qoyulan məqsədlərdən birinə nail olundu. Əvvəlki bölmədə əldə edilən (9), (11), (13) əlaqələri tək c parametri olan kiçildilmiş kvadratın tərəfini təyin etməklə sonsuz üçlü çoxluğu yaratmağa imkan verir. Bu, əlbəttə ki, (2) əlaqəsindən daha konstruktiv bir seçimdir, ondan istifadə etmək üçün hər hansı bir dəyəri olan ixtiyari üç ədəd l, m, n təyin edilməli, sonra həll yolu axtarılmalıdır, yalnız sonda, Pifaqor üçlüyü mütləq alınacaq və hansı bilinmir. Bizim vəziyyətimizdə formalaşan üçlüyün konfiqurasiyası əvvəlcədən məlumdur və yalnız bir parametr təyin etmək lazımdır. Ancaq təəssüf ki, bu parametrin hər dəyərinin həlli yoxdur. Və onun icazə verilən dəyərlərini əvvəlcədən bilmək lazımdır. Beləliklə, nəticə yaxşıdır, lakin idealdan uzaqdır. İstənilən ixtiyari verilmiş natural ədəd üçün Pifaqor üçlüyü hesablana bilsin ki, belə bir həll əldə etmək arzu edilir. Bu məqsədlə dördüncü mərhələyə - əldə edilmiş riyazi əlaqələrin strukturunun formalaşmasına qayıdaq.

Üçlüyün qalan üzvlərini təyin etmək üçün əsas parametr kimi c dəyərinin seçilməsi əlverişsiz olduğu üçün başqa variantı sınamaq lazımdır. Cədvəldən göründüyü kimi. 1-də, əsas kimi a parametrinin seçilməsi daha məqsədəuyğun görünür, çünki bu parametrin dəyərləri tək natural ədədlər seriyasında ardıcıldır. Sadə transformasiyalardan sonra münasibətləri (9) daha konstruktiv formaya gətiririk:

Əlaqələr (14) bizə əvvəlcədən təyin edilmiş hər hansı tək dəyər a üçün Pifaqor üçlüyü tapmağa imkan verir. Eyni zamanda, b üçün ifadənin sadəliyi hətta kalkulyator olmadan da hesablamalar aparmağa imkan verir. Həqiqətən, məsələn, 13 nömrəsini seçərək alırıq:

Və 99 nömrəsi üçün müvafiq olaraq alırıq:

Əlaqələr (15) n=1-dən başlayaraq hər hansı bir n üçün Pifaqor sətirinin hər üç şərtinin qiymətini almağa imkan verir.

İndi "c - 2" sinfinin Pifaqor üçlüyünü nəzərdən keçirin. Cədvəldə. 2 misal olaraq on belə üçlüyü göstərir. Üstəlik, məlum nəşrlərdə yalnız üç cüt üçlük tapıldı - 8, 15, 23; 12, 35, 36; və 16, 63, 65. Bu, onların formalaşdığı qanunauyğunluqları müəyyən etmək üçün kifayət etdi. Qalan yeddi daha əvvəl əldə edilmiş əlaqələrdən tapıldı (11). Hesablamanın rahatlığı üçün bu əmsallar çevrildi ki, bütün parametrlər a ilə ifadə olunsun. (11)-dən aydın olur ki, "c - 2" sinfi üçün bütün üçlüklər aşağıdakı əlaqələri təmin edir:

cədvəl 2

"C-2" sinfinin Pifaqor üçlüyü

Cədvəldən göründüyü kimi. 2, "c - 2" sinifinin bütün sonsuz üçlü dəsti iki alt sinifə bölünə bilər. a-nın dəyərinin 4-ə qalıqsız bölündüyü üçlüklər üçün b və c-nin qiymətləri təkdir. GCD = 1 olan belə üçlüklər primitiv adlanır. Tam ədədlərdə a dəyərləri 4-ə bölünməyən üçlüklər üçün a, b, c üçlüyünün hər üç üzvü cütdür.

İndi seçilmiş siniflərin üçüncü - "c - 8" sinfinin təhlilinin nəticələrini nəzərdən keçirməyə keçək. (13)-dən alınan bu sinif üçün hesablanmış əlaqələr aşağıdakı formaya malikdir:

Əlaqələr (20), (21) mahiyyətcə eynidir. Fərq yalnız hərəkətlərin ardıcıllığının seçimindədir. Və ya (20) uyğun olaraq a-nın istənilən dəyəri seçilir (bu halda bu dəyərin 4-ə bölünməsi tələb olunur), sonra b və c dəyərləri müəyyən edilir. Yaxud ixtiyari bir ədəd seçilir və sonra (21) münasibətlərindən Pifaqor üçlüyünün hər üç üzvü müəyyən edilir. Cədvəldə. 3-də bu şəkildə hesablanmış bir sıra Pifaqor üçlüyü göstərilir. Bununla birlikdə, Pifaqor üçlüyünün dəyərlərini hesablamaq daha asandır. Ən azı bir dəyər məlumdursa, bütün sonrakı dəyərlər aşağıdakı əlaqələrlə çox sadə şəkildə müəyyən edilir:

Cədvəl 3

Münasibətin (22) hamı üçün etibarlılığı həm Cədvəldən üç dəfə yoxlanıla bilər. 2, eləcə də digər mənbələrdən. Nümunə olaraq, Cədvəldə. Pifaqor üçlüyünün geniş cədvəlindən (10000 üçlük) kompüter proqramı əsasında (2) əlaqə ilə hesablanmış 4 kursivlə üçlük və qalın şriftlə - (20) əlaqə ilə hesablanmış üçlük. Bu dəyərlər göstərilən cədvəldə deyildi.

Cədvəl 4

"S-8" sinifinin Pifaqor üçlüyü

Müvafiq olaraq, formanın üçlüyü üçün aşağıdakı əlaqələr istifadə edilə bilər:

Və formanın üçlüləri üçün<>, nisbətimiz var:

Vurğulamaq lazımdır ki, yuxarıda göstərilən "c - 1", "c - 2", "c - 8" üçlü sinifləri verilmiş cədvəldən ilk min üçlüyün 90% -dən çoxunu təşkil edir. Bu, həmin sinifləri baza hesab etməyə əsas verir. Əlavə edək ki, (22), (23), (24) münasibətləri çıxarılarkən ədədlər nəzəriyyəsində tədqiq olunan ədədlərin heç bir xüsusi xassələrindən (adə, ikiqat və s.) istifadə edilməmişdir. Pifaqor üçlüklərinin əmələ gəlməsində aşkar edilmiş qanunauyğunluqlar yalnız bu üçlüklərin təsvir etdiyi həndəsi fiqurların - vahid kvadratlar toplusundan ibarət kvadratların sistem xassələri ilə bağlıdır.

Nəticə

İndi, 1993-cü ildə Andrew Wiles dediyi kimi, "Məncə, orada dayanmalıyam". Qarşıya qoyulan məqsədə tam nail olunub. Göstərilir ki, strukturu həndəsi fiqurlarla bağlı olan riyazi modellərin xassələrinin təhlili, əgər analiz prosesində sırf riyazi hesablamalarla yanaşı, tədqiq olunan modellərin həndəsi xassələri də nəzərə alınarsa, xeyli sadələşir. nəzərə alınır. Sadələşdirmə, xüsusən də tədqiqatçının riyazi çevrilmələr etmədən istədiyi nəticələri “görməsi” sayəsində əldə edilir.

Məsələn, bərabərlik

sol tərəfində çevrilmələr olmadan aydın olur, yalnız əncirə baxmaq lazımdır. Bu bərabərliyin qrafik modeli üçün 1.

Nəticə olaraq, aparılmış təhlil əsasında göstərilir ki, tərəfi olan istənilən kvadrat üçün b və c tərəfi olan kvadratlar tapıla bilər ki, onlar üçün bərabərlik olsun və minimum miqdarda nəticə verən əlaqələr əldə edilir. hesablamalar:

tək dəyərlər üçün a,

və - bərabər dəyərlər üçün.

Biblioqrafik keçid

Bütün ibtidai Pifaqor 200-ə qədər üçqat artır. Professor Stüartın inanılmaz rəqəmləri "Rayon Təhsil Mərkəzi" Metodik inkişaf Həlldə Pifaqor üçlüyündən istifadə həndəsi məsələlər və triqonometrik tapşırıqlar İSTİFADƏ edin Kaluqa, 2016 I Giriş Pifaqor teoremi həndəsənin əsas və hətta demək olar ki, ən mühüm teoremlərindən biridir. Onun əhəmiyyəti ondadır ki, həndəsə teoremlərinin əksəriyyəti ondan və ya onun köməyi ilə çıxarıla bilər. Pifaqor teoremi həm də diqqətəlayiqdir ki, özlüyündə heç də aydın deyil. Məsələn, ikitərəfli üçbucağın xassələri birbaşa rəsmdə görünə bilər. Düzgün üçbucağa necə baxsanız da, onun tərəfləri arasında belə sadə bir nisbət olduğunu heç vaxt görə bilməzsiniz: a2+b2=c2. Lakin onun adını daşıyan teoremi kəşf edən Pifaqor deyildi. Daha əvvəl də məlum idi, amma bəlkə də yalnız ölçmələrdən əldə edilən bir fakt kimi. Ehtimal ki, Pifaqor bunu bilirdi, lakin sübut tapdı. Sonsuz sayda natural ədədlər var a, b, c, əlaqəni təmin edir a2+b2=c2.. Onlara Pifaqor ədədləri deyilir. Pifaqor teoreminə görə, belə ədədlər bəzi düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin uzunluqları kimi xidmət edə bilər - biz onları Pifaqor üçbucaqları adlandıracağıq. İşin məqsədi: məktəb riyaziyyat kursunun problemlərinin həlli üçün Pifaqor üçlüyünün istifadəsinin mümkünlüyünü və effektivliyini öyrənmək, İSTİFADƏ tapşırıqları. İşin məqsədinə əsasən, aşağıdakılar tapşırıqlar: Pifaqor üçlüyünün tarixini və təsnifatını öyrənmək. Məktəb dərsliklərində mövcud olan və imtahanın nəzarət-ölçü materiallarında olan Pifaqor üçlüyü ilə tapşırıqları təhlil edin. Problemlərin həlli üçün Pifaqor üçlüyü və onların xassələrindən istifadənin effektivliyini qiymətləndirin. Tədqiqat obyekti: Pifaqor üçlükləri. Tədqiqat mövzusu: Pifaqor üçlüyünün istifadə olunduğu triqonometriya və həndəsə məktəb kursunun tapşırıqları. Tədqiqatın aktuallığı. Pifaqor üçlüyü həndəsə və triqonometriyada tez-tez istifadə olunur, onları bilmək hesablamalardakı səhvləri aradan qaldıracaq və vaxta qənaət edəcəkdir. II. Əsas hissə. Pifaqor üçlüyü ilə problemlərin həlli. 2.1.Pifaqor ədədlərinin üçlük cədvəli (Perelmana görə) Pifaqor nömrələri formaya malikdir a= m n, , burada m və n bəzi ümumi tək ədədlərdir. Pifaqor nömrələri bir sıra maraqlı xüsusiyyətlərə malikdir: "Ayaqlardan" biri üçə çox olmalıdır. "Ayaqlardan" biri dördün qatı olmalıdır. Pifaqor rəqəmlərindən biri beşə çox olmalıdır. "Əyləncəli cəbr" kitabında ümumi faktorları olmayan yüzə qədər rəqəmlərdən ibarət Pifaqor üçlüyü cədvəli var. 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 152+82=172 212 +202=292 332+562=652 392+802=892 352+122=372 452+282=532 552+482=732 652+722=972 632+162=652 772+362=852 2.2. Şustrovun Pifaqor üçlüyünün təsnifatı. Şustrov aşağıdakı nümunəni kəşf etdi: əgər bütün Pifaqor üçbucaqları qruplara bölünürsə, onda aşağıdakı düsturlar tək ayaq x, hətta y və hipotenuza z üçün etibarlıdır: x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, burada N ailənin sayı, n isə ailədəki üçbucağın sıra nömrəsidir. Düsturda N və n yerinə hər hansı müsbət tam ədədləri birdən başlayaraq əvəz etməklə, bütün əsas Pifaqor üçlüklərini, həmçinin müəyyən bir növün qatlarını əldə edə bilərsiniz. Hər bir ailə üçün bütün Pifaqor üçlüyünün cədvəlini hazırlaya bilərsiniz. 2.3. Planimetriya tapşırıqları Həndəsə üzrə müxtəlif dərsliklərdən olan problemləri nəzərdən keçirək və bu tapşırıqlarda Pifaqor üçlüyünün nə qədər tez-tez tapıldığını öyrənək. Pifaqor üçlüyü cədvəlində üçüncü elementi tapmaq üçün əhəmiyyətsiz problemlər nəzərdən keçirilməyəcək, baxmayaraq ki, onlar dərsliklərdə də var. Məlumatı natural ədədlərlə ifadə olunmayan bir məsələnin həllini Pifaqor üçlüyünə necə endirəcəyimizi göstərək. 7-9-cu siniflər üçün həndəsə dərsliyindən tapşırıqları nəzərdən keçirin. № 000. Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu tapın A=, b=. Həll. Ayaqların uzunluqlarını 7-yə vurun, Pifaqor üçlüsündən iki element alırıq 3 və 4. Çatışmayan element 5-dir, onu 7-yə bölürük. Cavab. № 000. ABCD düzbucağında CD=1,5, AC=2,5 olarsa BC tapın. https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" eni="240" hündürlük="139 src="> Həll. ACD düzbucağını həll edək. Uzunluqları 2-yə vururuq, Pifaqor üçlüyü 3 və 5-dən iki element alırıq, çatışmayan element 4-dür, onu 2-yə bölürük. Cavab: 2. Növbəti ədədi həll edərkən nisbəti yoxlayın a2+b2=c2 tamamilə isteğe bağlıdır, Pifaqor ədədlərindən və onların xassələrindən istifadə etmək kifayətdir. № 000. Üçbucağın düzbucaqlı olub-olmadığını öyrənin, əgər tərəfləri rəqəmlərlə ifadə edilirsə: a) 6,8,10 (Pifaqor üçlü 3,4.5) - bəli; Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarından biri 4-ə bölünməlidir. Cavab: yox. c) 9,12,15 (Pifaqor üçlüyü 3,4.5) - bəli; d) 10,24,26 (Pifaqor üçlüyü 5,12.13) - bəli; Pifaqor rəqəmlərindən biri beşə çox olmalıdır. Cavab: yox. g) 15, 20, 25 (Pifaqor üçlü 3,4.5) - bəli. Bu bölmədəki otuz doqquz tapşırıqdan (Pifaqor teoremi) iyirmi ikisi Pifaqor nömrələri və onların xassələri haqqında biliklərdən istifadə etməklə şifahi şəkildə həll edilir. 000 nömrəli problemi nəzərdən keçirin ("Əlavə tapşırıqlar" bölməsindən): AB=5 sm, BC=13 sm, CD=9 sm, DA=15 sm, AC=12 sm olduğu ABCD dördbucağının sahəsini tapın. Vəzifə nisbəti yoxlamaqdır a2+b2=c2 və verilmiş dördbucağın iki düzbucaqlı üçbucaqdan ibarət olduğunu sübut edin (tərs teorem). Pifaqor üçlüyü haqqında biliklər: 3, 4, 5 və 5, 12, 13, hesablamalara ehtiyacı aradan qaldırır. 7-9-cu siniflər üçün həndəsə dərsliyindən bir neçə məsələnin həlli yollarını verək. Məsələ 156 (h). Düzbucaqlı üçbucağın ayaqları 9 və 40-dır. Hipotenuzaya çəkilmiş medianı tapın. Həll . Hipotenuzaya çəkilmiş median onun yarısına bərabərdir. Pifaqor üçlüyü 9.40 və 41. Buna görə də median 20.5-dir. Məsələ 156 (i). Üçbucağın tərəfləri bunlardır: A= 13 sm, b= 20 sm və hündürlüyü hс = 12 sm Baza tapın ilə. Tapşırıq (KİM İSTİFADƏSİ). BH hündürlüyü 12 olarsa və məlumdursa, ABC iti üçbucağına daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın. günah A=,günah C \u003d sol "\u003e