Центърът на описаната около триъгълник. Коя окръжност е вписана и коя описана?

Темата „Вписани и описани окръжности в триъгълници” е една от най-трудните в курса по геометрия. Тя прекарва много малко време в клас.

Геометричните задачи по тази тема са включени във втората част на Единния държавен изпит за гимназиалния курс. Успешното изпълнение на тези задачи изисква солидни познания по основни геометрични факти и известен опит в решаването на геометрични задачи.
За всеки триъгълник има само една описана окръжност. Това е окръжност, върху която лежат и трите върха на триъгълник с дадени параметри. Намирането на неговия радиус може да е необходимо не само в урок по геометрия. Дизайнери, резачи, механици и представители на много други професии трябва постоянно да се справят с това. За да намерите неговия радиус, трябва да знаете параметрите на триъгълника и неговите свойства. Центърът на описаната окръжност е в точката на пресичане на ъглополовящите на триъгълника.
Предлагам на вашето внимание всички формули за намиране на радиуса на описана окръжност, а не само на триъгълник. Могат да се видят формули за вписана окръжност.

а, б. с -страни на триъгълника

α - противоположен ъгъла,
S-площ на триъгълник,

п-полупериметър

След това да намерите радиуса ( Р) на описаната окръжност по формулите:

От своя страна площта на триъгълника може да се изчисли с помощта на една от следните формули:

Ето още няколко формули.

1. Радиусът на описаната окръжност около равностранен триъгълник. Ако атогава страната на триъгълника

2. Радиусът на описаната окръжност около равнобедрен триъгълник. Нека а, б- страни на триъгълника, тогава

Радиусът е линеен сегмент, който свързва всяка точка от окръжност с нейния център. Това е една от най-важните характеристики на тази фигура, тъй като въз основа на нея могат да се изчислят всички останали параметри. Ако знаете как да намерите радиуса на кръг, можете да изчислите неговия диаметър, дължина и площ. В случай, че дадена фигура е вписана или описана около друга, могат да бъдат решени редица други проблеми. Днес ще разгледаме основните формули и характеристиките на тяхното приложение.

Известни количества

Ако знаете как да намерите радиуса на кръг, който обикновено се обозначава с буквата R, тогава той може да бъде изчислен с помощта на една характеристика. Тези стойности включват:

• обиколка (C);
• диаметър (D) - сегмент (или по-скоро акорд), който минава през централната точка;
• площ (S) - пространството, което е ограничено от дадена фигура.

Обиколка

Ако стойността на C е известна в проблема, тогава R = C / (2 * P). Тази формула е производна. Ако знаем каква е обиколката, тогава вече няма нужда да я помним. Да приемем, че в задачата C = 20 m. Как да намерим радиуса на окръжността в този случай? Ние просто заместваме известната стойност в горната формула. Имайте предвид, че в такива задачи винаги се подразбира познаване на числото P. За удобство на изчисленията приемаме неговата стойност като 3,14. Решението в този случай изглежда така: записваме какви стойности са дадени, извеждаме формулата и извършваме изчисленията. В отговора пишем, че радиусът е 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Важно е да не забравяме какво сме изчислили и да споменем името на мерните единици.

По диаметър

Нека веднага подчертаем, че това е най-простият вид задача, която пита как да се намери радиусът на окръжност. Ако попаднете на такъв пример на тест, можете да сте спокойни. Тук дори нямате нужда от калкулатор! Както вече казахме, диаметърът е сегмент или, по-правилно, хорда, която минава през центъра. В този случай всички точки на окръжността са еднакво отдалечени. Следователно този акорд се състои от две половини. Всеки от тях е радиус, което следва от определението му като отсечка, която свързва точка от окръжност и нейния център. Ако диаметърът е известен в проблема, тогава за да намерите радиуса, просто трябва да разделите тази стойност на две. Формулата е следната: R = D / 2. Например, ако диаметърът в проблема е 10 m, тогава радиусът е 5 метра.

По площ на кръг

Този тип проблеми обикновено се наричат ​​най-трудните. Това се дължи преди всичко на непознаване на формулата. Ако знаете как да намерите радиуса на окръжност в този случай, тогава останалото е въпрос на техника. В калкулатора просто трябва предварително да намерите иконата за изчисление на квадратен корен. Площта на кръга е произведението на числото P и радиуса, умножен по себе си. Формулата е следната: S = P * R 2. Като изолирате радиуса от едната страна на уравнението, можете лесно да решите проблема. То ще бъде равно на корен квадратен от частното на площта, разделено на числото P. Ако S = 10 m, тогава R = 1,78 метра. Както и в предишните задачи, важно е да запомните използваните мерни единици.

Как да намерите радиуса на описаната окръжност

Да приемем, че a, b, c са страните на триъгълника. Ако знаете техните стойности, можете да намерите радиуса на описаната около него окръжност. За да направите това, първо трябва да намерите полупериметъра на триъгълника. За по-лесно разбиране нека го обозначим с малката буква p. Тя ще бъде равна на половината от сбора на страните. Неговата формула: p = (a + b + c) / 2.

Изчисляваме и произведението на дължините на страните. За удобство нека го обозначим с буквата S. Формулата за радиуса на описаната окръжност ще изглежда така: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - в)).

Нека да разгледаме примерна задача. Имаме окръжност, описана около триъгълник. Дължините на страните му са 5, 6 и 7 см. Първо изчисляваме полупериметъра. В нашия проблем ще бъде равно на 9 сантиметра. Сега нека изчислим произведението на дължините на страните - 210. Заместваме резултатите от междинните изчисления във формулата и намираме резултата. Радиусът на описаната окръжност е 3,57 сантиметра. Записваме отговора, без да забравяме за мерните единици.

Как да намерим радиуса на вписана окръжност

Да приемем, че a, b, c са дължините на страните на триъгълника. Ако знаете техните стойности, можете да намерите радиуса на вписаната в него окръжност. Първо трябва да намерите неговия полупериметър. За по-лесно разбиране нека го обозначим с малка буква p. Формулата за изчисляването му е следната: p = (a + b + c) / 2. Този тип задача е малко по-проста от предишната, така че не са необходими повече междинни изчисления.

Радиусът на вписаната окръжност се изчислява по следната формула: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Нека да разгледаме това с конкретен пример. Да предположим, че задачата описва триъгълник със страни 5, 7 и 10 cm, в който е вписана окръжност, чийто радиус трябва да се намери. Първо намираме полупериметъра. В нашия проблем ще бъде равно на 11 см. Сега го заместваме в основната формула. Радиусът ще бъде равен на 1,65 сантиметра. Записваме отговора и не забравяйте за правилните мерни единици.

Окръжност и нейните свойства

Всяка геометрична фигура има свои собствени характеристики. Правилността на решаването на проблема зависи от тяхното разбиране. Кръгът също ги има. Те често се използват при решаване на примери с описани или вписани фигури, тъй като дават ясна картина на такава ситуация. Сред тях:

• Правата линия може да има нула, една или две точки на пресичане с окръжност. В първия случай не се пресича с него, във втория е допирателна, в третия е секанс.
• Ако вземем три точки, които не лежат на една права, тогава през тях може да се начертае само една окръжност.
• Една права линия може да бъде допирателна към две фигури едновременно. В този случай тя ще премине през точка, която лежи на сегмента, свързващ центровете на кръговете. Дължината му е равна на сбора от радиусите на тези фигури.
• През една или две точки могат да бъдат начертани безкраен брой кръгове.

Как да намерим радиуса на окръжност? Този въпрос винаги е от значение за учениците, изучаващи планиметрия. По-долу ще разгледаме няколко примера за това как можете да се справите с тази задача.

В зависимост от условията на задачата можете да намерите радиуса на окръжността по този начин.

Формула 1: R = L / 2π, където L е и π е константа, равна на 3,141...

Формула 2: R = √(S / π), където S е площта на кръга.

Формула 1: R = B/2, където B е хипотенузата.

Формула 2: R = M*B, където B е хипотенузата, а M е медианата, прекарана към нея.

Как да намерим радиуса на окръжност, ако тя е описана около правилен многоъгълник

Формула: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), където A е дължината на една от страните на фигурата, а n е броят на страните в тази геометрична фигура.

Как да намерим радиуса на вписана окръжност

Вписан кръг се нарича, когато докосва всички страни на многоъгълника. Нека да разгледаме няколко примера.

Формула 1: R = S / (P/2), където - S и P са съответно площта и периметърът на фигурата.

Формула 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), където P е периметърът, A е дължината на една от страните и е ъгълът срещу тази страна.

Как да намерите радиуса на окръжност, ако тя е вписана в правоъгълен триъгълник

Формула 1:

Радиусът на окръжност, вписана в ромб

Кръг може да бъде вписан във всеки ромб, както равностранен, така и неравен.

Формула 1: R = 2 * H, където H е височината на геометричната фигура.

Формула 2: R = S / (A*2), където S е и A е дължината на неговата страна.

Формула 3: R = √((S * sin A)/4), където S е площта на ромба, а sin A е синусът на острия ъгъл на тази геометрична фигура.

Формула 4: R = B*G/(√(B² + G²), където B и G са дължините на диагоналите на геометричната фигура.

Формула 5: R = B*sin (A/2), където B е диагоналът на ромба, а A е ъгълът при върховете, свързващи диагонала.

Радиус на окръжност, вписана в триъгълник

Ако в формулировката на проблема са ви дадени дължините на всички страни на фигурата, първо изчислете (P), а след това полупериметъра (p):

P = A+B+C, където A, B, C са дължините на страните на геометричната фигура.

Формула 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

И ако, знаейки всички същите три страни, ви е дадена и една, тогава можете да изчислите необходимия радиус, както следва.

Формула 2: R = S * 2(A + B + C)

Формула 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), където - n е полупериметърът на геометричната фигура.

Формула 4: R = (n - A) * tan (A/2), където n е полупериметърът на триъгълника, A е една от страните му, а tan (A/2) е тангенсът на половината от ъгъла срещу тази страна.

А формулата по-долу ще ви помогне да намерите радиуса на окръжността, която е вписана

Формула 5: R = A * √3/6.

Радиусът на окръжност, вписана в правоъгълен триъгълник

Ако задачата дава дължините на катетите, както и хипотенузата, тогава радиусът на вписаната окръжност се намира така.

Формула 1: R = (A+B-C)/2, където A, B са катети, C е хипотенуза.

В случай, че са ви дадени само два крака, е време да си припомните Питагоровата теорема, за да намерите хипотенузата и да използвате горната формула.

C = √(A²+B²).

Радиусът на окръжност, вписана в квадрат

Кръг, който е вписан в квадрат, разделя всичките му 4 страни точно наполовина в точките на допир.

Формула 1: R = A/2, където A е дължината на страната на квадрата.

Формула 2: R = S / (P/2), където S и P са съответно площта и периметърът на квадрата.

Много често, когато решавате геометрични задачи, трябва да извършвате действия с помощни фигури. Например намиране на радиуса на вписана или описана окръжност и др. Тази статия ще ви покаже как да намерите радиуса на окръжност, описана от триъгълник. Или, с други думи, радиусът на окръжността, в която е вписан триъгълникът.

Как да намерим радиуса на окръжност, описана около триъгълник - обща формула

Общата формула е следната: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), където R е радиусът на описаната окръжност, p е периметърът на триъгълника, разделен на 2 (полупериметър). a, b, c – страни на триъгълника.

Намерете радиуса на описаната около него триъгълник, ако a = 3, b = 6, c = 7.

Така, въз основа на горната формула, изчисляваме полупериметъра:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Заместваме стойностите във формулата и получаваме:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Отговор: R = 126/16√5

Как да намерите радиуса на окръжност, описана около равностранен триъгълник

За да намерите радиуса на окръжност, описана около равностранен триъгълник, има доста проста формула: R = a/√3, където a е размерът на неговата страна.

Пример: Страната на равностранен триъгълник е 5. Намерете радиуса на описаната окръжност.

Тъй като всички страни на равностранен триъгълник са равни, за да решите проблема, просто трябва да въведете стойността му във формулата. Получаваме: R = 5/√3.

Отговор: R = 5/√3.

Как да намерите радиуса на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник

Формулата е следната: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, където a и b са катетите, а c е хипотенузата. Ако добавите квадратите на катетите в правоъгълен триъгълник, ще получите квадрата на хипотенузата. Както се вижда от формулата, този израз е под корена. Като пресмятаме корена от квадрата на хипотенузата, получаваме самата дължина. Умножаването на получения израз по 1/2 в крайна сметка ни води до израза 1/2 × c = c/2.

Пример: Изчислете радиуса на описаната окръжност, ако краката на триъгълника са 3 и 4. Заменете стойностите във формулата. Получаваме: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

В този израз 5 е дължината на хипотенузата.

Отговор: R = 2,5.

Как да намерите радиуса на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник

Формулата е следната: R = a²/√(4a² – b²), където a е дължината на бедрото на триъгълника, а b е дължината на основата.

Пример: Изчислете радиуса на окръжност, ако бедрото й е = 7 и основата е = 8.

Решение: Заменете тези стойности във формулата и получете: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Отговорът може да се напише директно така.

Отговор: R = 49/√132

Онлайн ресурси за изчисляване на радиуса на окръжност

Може да бъде много лесно да се объркате във всички тези формули. Ето защо, ако е необходимо, можете да използвате онлайн калкулатори, които ще ви помогнат при решаването на задачи за намиране на радиуса. Принципът на работа на такива мини-програми е много прост. Заменете страничната стойност в съответното поле и получете готов отговор. Можете да изберете няколко опции за закръгляване на вашия отговор: до десетични, стотни, хилядни и т.н.

Вижда се, че всяка страна триъгълник, перпендикуляр, прекаран от средата му и отсечките, свързващи пресечната точка на перпендикулярите с върховете, образуват два равни правоъгълника триъгълник. Отсечките MA, MB, MC са равни.

Даден ви е триъгълник. Намерете средата на всяка страна - вземете линийка и измерете страните й. Разделете получените размери наполовина. Отделете половината му размер от върховете на всеки. Маркирайте резултатите с точки.

От всяка точка начертайте перпендикуляр на страната. Пресечната точка на тези перпендикуляри ще бъде центърът на описаната окръжност. За да намерите центъра на окръжност, са достатъчни два перпендикуляра. Третият е създаден за самотест.

Забележете, че в триъгълник, където всички ъгли са остри, пресечните точки са вътре триъгълник. В правоъгълен триъгълник той лежи на хипотенузата. B – е извън нея. Освен това перпендикулярът към страната, противоположна на тъпия ъгъл, не е към центъра триъгълник, и навън.

Моля, обърнете внимание

Има теорема за синусите, която установява връзката между страните на триъгълника, неговите ъгли и радиусите на описаната окръжност. Тази зависимост се изразява с формулата: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, където a, b, c са страните на триъгълника; sina, sinb, sinc – синуси на противоположни на тези страни ъгли; R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около триъгълника.

източници:

• как да се опише обиколката на четириъгълник

Съгласно описаното определение кръгтрябва да минава през всички върхове на ъглите на даден многоъгълник. В този случай няма никакво значение какъв многоъгълник е - триъгълник, квадрат, правоъгълник, трапец или нещо друго. Също така няма значение дали многоъгълникът е правилен или неправилен. Просто трябва да вземете предвид, че има полигони, около които кръгне може да се опише. Винаги можете да опишете кръгоколо триъгълника. Що се отнася до четириъгълниците, тогава кръгможе да се опише около квадрат или правоъгълник или равнобедрен трапец.

Ще ви трябва

• Посочен многоъгълник
• Линийка
• Квадрат
• Молив
• Компас
• Ъгломер
• Таблици на синусите и косинусите
• Математически понятия и формули
• Питагорова теорема
• Теорема за синусите
• Косинусова теорема
• Признаци за подобие на триъгълници

Инструкции

Да се ​​построи многоъгълник с дадени параметри и дали може да се опише около него кръг. Ако ви е даден четириъгълник, изчислете сумата от срещуположните му ъгли. Всеки от тях трябва да е равен на 180°.

Да опиша кръг, трябва да изчислите неговия радиус. Запомнете къде се намира центърът на кръга в различни многоъгълници. В триъгълник той е в пресечната точка на всички височини на даден триъгълник. В квадрат и правоъгълници - в точката на пресичане на диагоналите, за трапец - в точката на пресичане на оста на симетрия с правата, свързваща средите на страничните страни, а за всеки друг изпъкнал многоъгълник - в точката на пресичане на средните перпендикуляри на страните.

Изчислете диаметъра на окръжност, описана около квадрат и правоъгълник, като използвате Питагоровата теорема. Тя ще бъде равна на корен квадратен от сумата от квадратите на страните на правоъгълника. За квадрат с равни страни, диагоналът е равен на корен квадратен от удвоения квадрат на страната. Разделянето на диаметъра на 2 ви дава радиуса.

Изчислете радиуса на описаната около него триъгълник. Тъй като параметрите на триъгълника са дадени в условията, изчислете радиуса по формулата R = a/(2·sinA), където a е една от страните на триъгълника, ? - ъгълът срещу него. Вместо тази страна, можете да вземете страната и ъгъла срещу нея.

Изчислете радиуса на окръжността, описана около трапеца. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) В тази формула a и b са основите на трапеца, известни от условията, h е височината, d е диагоналът, p = 1/ 2*(a+d+c) . Изчислете липсващите стойности. Височината може да се изчисли с помощта на теоремата за синусите или косинусите; дължините на страните на трапеца и ъглите са дадени в условията. Като знаете височината и като вземете предвид приликите на триъгълниците, изчислете диагонала. След това остава да се изчисли радиусът, като се използва горната формула.

Видео по темата

Полезни съвети

За да изчислите радиуса на окръжност, описана около друг многоъгълник, изпълнете редица допълнителни конструкции. Вземете по-прости фигури, чиито параметри знаете.

Съвет 3: Как да начертаете правоъгълен триъгълник с помощта на остър ъгъл и хипотенуза

Триъгълникът се нарича правоъгълен, ако ъгълът при един от върховете му е 90°. Страната срещу този ъгъл се нарича хипотенуза, а страните срещу двата остри ъгъла на триъгълника се наричат ​​катети. Ако са известни дължината на хипотенузата и размерът на един от острите ъгли, тогава тези данни са достатъчни, за да се построи триъгълник по поне два начина.