Тази статия обсъжда как да намерите стойностите на математически изрази. Нека започнем с прости числови изрази и след това да разгледаме случаите, докато тяхната сложност нараства. В края представяме израз, съдържащ буквени символи, скоби, корени, специални математически символи, степени, функции и др. По традиция ще предоставим цялата теория с изобилие и подробни примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как да намеря стойността на числов израз?

Числените изрази, наред с други неща, помагат да се опише състоянието на даден проблем на математически език. Като цяло математическите изрази могат да бъдат или много прости, състоящи се от двойка числа и аритметични символи, или много сложни, съдържащи функции, степени, корени, скоби и т.н. Като част от задача често е необходимо да се намери значението на определен израз. Как да направите това ще бъде обсъдено по-долу.

Най-простите случаи

Това са случаи, когато изразът не съдържа нищо освен числа и аритметични операции. За да намерите успешно стойностите на такива изрази, ще ви трябват познания за реда на извършване на аритметични операции без скоби, както и способността да извършвате операции с различни числа.

Ако изразът съдържа само числа и аритметични знаци " + " , " · " , " - " , " ÷ " , тогава действията се извършват отляво надясно в следния ред: първо умножение и деление, след това събиране и изваждане. Да дадем примери.

Пример 1: Стойността на числов израз

Нека трябва да намерите стойностите на израза 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Нека първо направим умножението и делението. Получаваме:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Сега извършваме изваждането и получаваме крайния резултат:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Пример 2: Стойността на числов израз

Нека изчислим: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Първо извършваме преобразуване на дроби, деление и умножение:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Сега нека направим малко събиране и изваждане. Нека групираме дробите и ги доведем до общ знаменател:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Търсената стойност е намерена.

Изрази със скоби

Ако даден израз съдържа скоби, те определят реда на операциите в този израз. Първо се изпълняват действията в скоби, а след това всички останали. Нека покажем това с пример.

Пример 3: Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза 0,5 · (0,76 - 0,06).

Изразът съдържа скоби, така че първо извършваме операцията изваждане в скоби и едва след това умножението.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Значението на изрази, съдържащи скоби в скоби, се намира по същия принцип.

Пример 4: Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Ще извършим действия, започвайки от най-вътрешните скоби, преминавайки към външните.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Когато намирате значенията на изрази със скоби, основното е да следвате последователността на действията.

Изрази с корени

Математически изрази, чиито стойности трябва да намерим, могат да съдържат коренни знаци. Освен това самият израз може да е под знака на корена. Какво да направите в този случай? Първо трябва да намерите стойността на израза под корена и след това да извлечете корена от числото, получено в резултат. Ако е възможно, по-добре е да се отървете от корените в числови изрази, като ги замените с числови стойности.

Пример 5: Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на израза с корени - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Първо, изчисляваме радикалните изрази.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Сега можете да изчислите стойността на целия израз.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Често намирането на значението на израз с корени често изисква първо трансформиране на оригиналния израз. Нека обясним това с още един пример.

Пример 6: Стойността на числов израз

Колко е 3 + 1 3 - 1 - 1

Както можете да видите, нямаме възможност да заменим корена с точна стойност, което усложнява процеса на броене. В този случай обаче можете да приложите формулата за съкратено умножение.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Така:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Изрази със степени

Ако изразът съдържа степени, техните стойности трябва да бъдат изчислени, преди да продължите с всички други действия. Случва се експонентът или основата на самата степен да са изрази. В този случай първо се изчислява стойността на тези изрази, а след това стойността на степента.

Пример 7: Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Нека започнем да изчисляваме по ред.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Остава само да извършите операцията за добавяне и да разберете значението на израза:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Също така често е препоръчително да се опрости израз, като се използват свойствата на степен.

Пример 8: Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на следния израз: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Показателите отново са такива, че точните им числени стойности не могат да бъдат получени. Нека опростим оригиналния израз, за да намерим неговата стойност.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Изрази с дроби

Ако изразът съдържа дроби, тогава при изчисляването на такъв израз всички дроби в него трябва да бъдат представени като обикновени дроби и техните стойности да бъдат изчислени.

Ако числителят и знаменателят на дроб съдържат изрази, тогава първо се изчисляват стойностите на тези изрази и се записва крайната стойност на самата дроб. Аритметичните операции се извършват в стандартния ред. Нека да разгледаме примерното решение.

Пример 9: Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза, съдържащ дроби: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Както можете да видите, има три дроби в оригиналния израз. Нека първо изчислим техните стойности.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Нека пренапишем нашия израз и изчислим стойността му:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Често, когато намирате значението на изразите, е удобно да намалите дробите. Има негласно правило: преди да намерите стойността му, най-добре е да опростите всеки израз до максимум, като намалите всички изчисления до най-простите случаи.

Пример 10: Стойността на числов израз

Нека изчислим израза 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Не можем напълно да извлечем корен от пет, но можем да опростим оригиналния израз чрез трансформации.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Оригиналният израз приема формата:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Нека изчислим стойността на този израз:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Изрази с логаритми

Когато в израз присъстват логаритми, стойността им се изчислява от началото, ако е възможно. Например в израза log 2 4 + 2 · 4 можете веднага да запишете стойността на този логаритъм вместо log 2 4 и след това да извършите всички действия. Получаваме: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Числовите изрази могат да бъдат намерени и под самия знак за логаритъм и в основата му. В този случай първото нещо, което трябва да направите, е да намерите техните значения. Нека вземем израза log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Ние имаме:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Ако е невъзможно да се изчисли точната стойност на логаритъма, опростяването на израза помага да се намери неговата стойност.

Пример 11: Стойността на числов израз

Нека намерим стойността на израза log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойството на логаритмите:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Използвайки отново свойствата на логаритмите, за последната дроб в израза получаваме:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Сега можете да продължите към изчисляване на стойността на оригиналния израз.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Изрази с тригонометрични функции

Случва се изразът да съдържа тригонометричните функции на синус, косинус, тангенс и котангенс, както и техните обратни функции. Стойността се изчислява от преди извършването на всички други аритметични операции. В противен случай изразът е опростен.

Пример 12: Стойността на числов израз

Намерете стойността на израза: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Първо, изчисляваме стойностите на тригонометричните функции, включени в израза.

грях - 5 π 2 = - 1

Заменяме стойностите в израза и изчисляваме стойността му:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Стойността на израза е намерена.

Често, за да се намери стойността на израз с тригонометрични функции, той трябва първо да бъде преобразуван. Нека обясним с пример.

Пример 13: Стойността на числов израз

Трябва да намерим стойността на израза cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

За преобразуването ще използваме тригонометричните формули за косинуса на двойния ъгъл и косинуса на сумата.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Общ случай на числов израз

Като цяло един тригонометричен израз може да съдържа всички елементи, описани по-горе: скоби, степени, корени, логаритми, функции. Нека формулираме общо правило за намиране на значенията на такива изрази.

Как да намерим стойността на израз

Корени, степени, логаритми и др. се заменят с техните ценности.
Действията в скоби се изпълняват.
Останалите действия се извършват в ред отляво надясно. Първо - умножение и деление, след това - събиране и изваждане.

Нека разгледаме един пример.

Пример 14: Стойността на числов израз

Нека изчислим стойността на израза - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Изразът е доста сложен и тромав. Неслучайно избрахме точно такъв пример, като се опитахме да вместим в него всички описани по-горе случаи. Как да намерим значението на такъв израз?

Известно е, че при изчисляване на стойността на сложна дробна форма първо се намират съответно отделно стойностите на числителя и знаменателя на дробта. Ние последователно ще трансформираме и опростим този израз.

Първо, нека изчислим стойността на радикалния израз 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. За да направите това, трябва да намерите стойността на синуса и израза, който е аргумент на тригонометричната функция.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Сега можете да разберете стойността на синуса:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Изчисляваме стойността на радикалния израз:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Със знаменателя на дробта всичко е по-просто:

Сега можем да напишем стойността на цялата дроб:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Като вземем това предвид, записваме целия израз:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Краен резултат:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

В този случай успяхме да изчислим точните стойности на корени, логаритми, синуси и т.н. Ако това не е възможно, можете да се опитате да се отървете от тях чрез математически трансформации.

Изчисляване на стойностите на израза с помощта на рационални методи

Числените стойности трябва да се изчисляват последователно и точно. Този процес може да се рационализира и ускори, като се използват различни свойства на операциите с числа. Например, известно е, че продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Като вземем предвид това свойство, можем веднага да кажем, че изразът 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 е равен на нула. В същото време изобщо не е необходимо да извършвате действията в реда, описан в статията по-горе.

Също така е удобно да се използва свойството за изваждане на равни числа. Без да извършвате никакви действия, можете да наредите стойността на израза 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 също да е нула.

Друга техника за ускоряване на процеса е използването на трансформации на идентичност като групиране на термини и фактори и поставяне на общия фактор извън скоби. Рационален подход за изчисляване на изрази с дроби е да се намалят същите изрази в числителя и знаменателя.

Например вземете израза 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Без да изпълняваме операциите в скобите, но като намалим дробта, можем да кажем, че стойността на израза е 1 3 .

Намиране на стойностите на изрази с променливи

Стойността на буквален израз и израз с променливи се намира за конкретни зададени стойности на букви и променливи.

Намиране на стойностите на изрази с променливи

За да намерите стойността на буквален израз и израз с променливи, трябва да замените дадените стойности на букви и променливи в оригиналния израз и след това да изчислите стойността на получения числов израз.

Пример 15: Стойност на израз с променливи

Изчислете стойността на израза 0, 5 x - y при дадени x = 2, 4 и y = 5.

Заместваме стойностите на променливите в израза и изчисляваме:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Понякога можете да трансформирате израз по такъв начин, че да получите стойността му независимо от стойностите на буквите и променливите, включени в него. За да направите това, трябва да се отървете от букви и променливи в израза, ако е възможно, като използвате идентични трансформации, свойства на аритметични операции и всички възможни други методи.

Например, изразът x + 3 - x очевидно има стойност 3 и за да се изчисли тази стойност, не е необходимо да се знае стойността на променливата x. Стойността на този израз е равна на три за всички стойности на променливата x от неговия диапазон от допустими стойности.

Още един пример. Стойността на израза x x е равна на единица за всички положителни x.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Записването на условията на задачите с помощта на приетата в математиката нотация води до появата на така наречените математически изрази, които просто се наричат изрази. В тази статия ще говорим подробно за числови, буквени и променливи изрази: ще дадем определения и ще дадем примери за изрази от всеки тип.

Навигация в страницата.

Числени изрази - какво представляват?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика. Но те официално придобиват името си - числови изрази - малко по-късно. Например, ако следвате курса на M.I. Moro, това се случва на страниците на учебник по математика за 2 класа. Там идеята за числови изрази е дадена по следния начин: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 и т.н. - това е всичко числови изрази, и ако извършим посочените действия в израза, ще намерим стойност на израза.

Можем да заключим, че на този етап от изучаването на математиката числовите изрази са записи с математическо значение, съставени от числа, скоби и знаци за събиране и изваждане.

Малко по-късно, след запознаване с умножението и деленето, записите на числови изрази започват да съдържат знаците „·“ и „:“. Нека дадем няколко примера: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 и т.н.

А в гимназията разнообразието от записи на числови изрази расте като снежна топка, която се търкаля от планината. Те съдържат обикновени и десетични дроби, смесени числа и отрицателни числа, степени, корени, логаритми, синуси, косинуси и т.н.

Нека обобщим цялата информация в дефиницията на числов израз:

Определение.

Числен изразе комбинация от числа, знаци на аритметични операции, дробни линии, знаци на корени (радикали), логаритми, означения за тригонометрични, обратни тригонометрични и други функции, както и скоби и други специални математически символи, съставени в съответствие с приетите правила по математика.

Нека обясним всички компоненти на дадената дефиниция.

Числените изрази могат да включват абсолютно всякакви числа: от естествени до реални и дори сложни. Тоест в числови изрази може да се намери

Всичко е ясно със знаците на аритметичните операции - това са знаците за събиране, изваждане, умножение и деление, имащи формата съответно „+“, „−“, „·“ и „:“. Числовите изрази могат да съдържат един от тези знаци, някои от тях или всички наведнъж и освен това няколко пъти. Ето примери за числови изрази с тях: 3+6, 2,2+3,3+4,4+5,5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Що се отнася до скобите, има както числови изрази, които съдържат скоби, така и изрази без тях. Ако има скоби в числов израз, тогава те са основно

И понякога скобите в числови изрази имат някаква специфична, отделно посочена специална цел. Например можете да намерите квадратни скоби, обозначаващи цялата част от числото, така че числовият израз +2 означава, че числото 2 се добавя към цялата част на числото 1,75.

От дефиницията на числов израз също става ясно, че изразът може да съдържа , , log , ln , lg , нотации или др. Ето примери за числови изрази с тях: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 и .

Делението в числови изрази може да бъде обозначено с . В този случай се използват числени изрази с дроби. Ето примери за такива изрази: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 и .

Като специални математически символи и обозначения, които могат да бъдат намерени в числови изрази, представяме . Например, нека покажем числов израз с модула .

Какво представляват буквалните изрази?

Концепцията за буквени изрази се дава почти веднага след запознаване с числови изрази. Въвежда се приблизително така. В определен числов израз едно от числата не се записва, а на негово място се поставя кръг (или квадрат, или нещо подобно) и се казва, че определено число може да бъде заменено с кръга. Например, нека да разгледаме записа. Ако поставите например числото 2 вместо квадрат, ще получите числовия израз 3+2. Така че вместо кръгове, квадрати и т.н. се съгласиха да записват букви и такива изрази с букви бяха наречени буквални изрази. Нека се върнем към нашия пример, ако в този запис поставим буквата a вместо квадрат, ще получим буквален израз от формата 3+a.

Така че, ако допуснем в числов израз наличието на букви, които означават определени числа, тогава получаваме така наречения буквален израз. Нека дадем съответното определение.

Определение.

Извиква се израз, съдържащ букви, които представляват определени числа буквален израз.

От тази дефиниция става ясно, че буквалният израз се различава фундаментално от числовия израз по това, че може да съдържа букви. Обикновено малките букви от латинската азбука (a, b, c, ...) се използват в буквени изрази, а малките букви от гръцката азбука (α, β, γ, ...) се използват при означаване на ъгли.

И така, буквалните изрази могат да бъдат съставени от числа, букви и да съдържат всички математически символи, които могат да се появят в числови изрази, като скоби, знаци за корен, логаритми, тригонометрични и други функции и т.н. Отделно подчертаваме, че буквалният израз съдържа поне една буква. Но може да съдържа и няколко еднакви или различни букви.

Сега нека дадем няколко примера за буквални изрази. Например a+b е буквален израз с буквите a и b. Ето друг пример за буквалния израз 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. И ето пример за сложен буквален израз: .

Изрази с променливи

Ако в буквален израз буква означава количество, което не приема една конкретна стойност, а може да приема различни стойности, тогава тази буква се нарича променливаи изразът се нарича израз с променлива.

Определение.

Израз с променливие буквален израз, в който буквите (всички или някои) означават количества, които приемат различни стойности.

Например, нека буквата x в израза x 2 −1 приема всякакви естествени стойности от интервала от 0 до 10, тогава x е променлива, а изразът x 2 −1 е израз с променливата x.

Струва си да се отбележи, че в един израз може да има няколко променливи. Например, ако считаме x и y за променливи, тогава изразът е израз с две променливи x и y.

Като цяло преходът от концепцията за буквен израз към израз с променливи се случва в 7-ми клас, когато започват да изучават алгебра. До този момент буквените изрази моделираха някои специфични задачи. В алгебрата те започват да разглеждат израза по-общо, без позоваване на конкретен проблем, с разбирането, че този израз отговаря на огромен брой проблеми.

В заключение на тази точка, нека обърнем внимание на още една точка: по появата на буквален израз е невъзможно да се разбере дали буквите, включени в него, са променливи или не. Следователно нищо не ни пречи да разглеждаме тези букви като променливи. В този случай разликата между термините „буквален израз“ и „израз с променливи“ изчезва.

Референции.

Математика. 2 класа Учебник за общо образование институции с прил. на електрон носител. В 14 ч. Част 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Белтюкова и др.] - 3-то изд. - М.: Образование, 2012. - 96 с.: ил. - (Училище на Русия). - ISBN 978-5-09-028297-0.
Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Какво представляват числовите изрази? Числените и буквени изрази като предмет на изучаване в началното училище

Едно от понятията в алгебрата за 7. клас са числовите изрази. Те се използват за решаване на проблеми. Какво представляват числовите изрази и как да ги използваме?

Дефиниция на понятието

Кой израз е числов израз в алгебрата? Така обозначават запис, съставен от числа, скоби и знаци за изваждане, умножение, деление и събиране.

Концепцията за числов израз е допустима само ако записът носи семантично натоварване. Например записът 4-) не е числов израз, защото е безсмислен.

Примери за числови изрази:

25x13;
32-4+8;
12x (25-5).

Характеристики на понятието

Числовият израз има няколко свойства, които се използват при решаването на примери и задачи. Нека разгледаме тези свойства по-подробно. За да направим това, нека вземем следния пример – 45+21-(6x2).

Значение

Тъй като числовият израз съдържа признаци на различни аритметични операции, те могат да бъдат извършени и резултатът ще бъде число. Това се нарича стойност на числов израз. Как се изчисляват стойностите на числов израз? Съответства на правилата за извършване на аритметични операции:

в изрази без скоби изпълнявайте действия, започвайки от най-високите нива – умножение, деление, събиране, изваждане;
ако има няколко еднакви действия, те се извършват отляво надясно;
ако има скоби, първо извършете действия в тях;
Когато пресмятате дроби, първо извършете операциите с числителя и знаменателя и след това разделете числителя на знаменателя.

Нека приложим тези правила към нашия пример.

Първо, нека намерим стойността в скоби: 6x2=12.
След това правим събирането: 45+21=66.
Последната стъпка е да намерите разликата: 66-12=54.

И така, числото 54 ще бъде стойността на израза 45+21-(6x2).

За да прочетете правилно цифров израз, трябва да определите кое действие ще бъде последното в изчисленията. В израза 45+21-(6x2), последното действие беше изваждане. Съответно този израз трябва да се нарича „разлика“. Ако вместо знака „-“ имаше знак „+“, изразът щеше да се нарича сума.

Ако един израз не може да бъде преброен, се казва, че няма смисъл. Например следният израз няма смисъл: 12:(4-4). В скоби разликата е нула. Но според правилата на математиката не можете да делите на нула. Това означава, че е невъзможно да се намери значението на израза.

Равенство

Това е името, дадено на запис, в който два числови израза са разделени със знака „=“. Например 45+21-(6x2)=66-12. И двете части на записа са равни на числото 54, което означава, че са равни една на друга. Такова равенство се нарича вярно.

Ако напишете 45+21-(6x2)=35+12, това равенство ще бъде неправилно. От лявата страна на равенството стойността на израза е 54, а отдясно - 57. Тези числа не са равни едно на друго, което означава, че равенството е неправилно.

Примерна задача

За да разберем по-добре темата, нека разгледаме пример за решаване на задача. Как да решим задача с помощта на числен израз?

Дадено: две коли тръгват от една точка до друга. Те ще поемат по различни пътища. Едната кола трябва да измине 35 км, а другата – 42 км. Първата кола се движи със скорост 70 км/ч, а втората с 84 км/ч Ще пристигнат ли на местоназначението си по едно и също време?

Решение: Трябва да създадете два числови израза, за да намерите времето за пътуване за всяка кола. Ако се окажат еднакви, това означава, че колите ще пристигнат на крайната дестинация по едно и също време. За да намерите времето, трябва да разделите разстоянието на скоростта. 35 км: 70 км/ч=0,5 ч. 42 км: 84 км/ч=0,5 ч.

Така и двете коли пристигнаха на крайната си дестинация за половин час.

Какво научихме?

От темата по алгебра, изучавана в 7. клас, научихме, че числовият израз е запис, съставен от числа и знаци на аритметични действия. Можете да решавате задачи с помощта на числови изрази. Ако последното действие в числов израз е било изваждане, тогава то се нарича „разлика“. Ако вместо знака „-“ има знак „+“, изразът се нарича сбор.

Когато изучавате темата за числови, буквени изрази и изрази с променливи, трябва да обърнете внимание на концепцията стойност на израза. В тази статия ще отговорим на въпроса каква е стойността на числов израз и какво се нарича стойност на буквален израз и израз с променливи за избрани стойности на променлива. За да изясним тези определения, даваме примери.

Навигация в страницата.

Каква е стойността на числов израз?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика в училище. Почти веднага се въвежда понятието „стойност на числов израз“. Отнася се за изрази, съставени от числа, свързани със знаци за аритметични операции (+, −, ·, :). Нека дадем съответното определение.

Определение.

Стойност на числов израз– това е числото, което се получава след извършване на всички действия в оригиналния числов израз.

Например, разгледайте числовия израз 1+2. След завършване получаваме числото 3, което е стойността на числовия израз 1+2.

Често във фразата „значението на числов израз“ се пропуска думата „числово“ и се казва просто „значение на израза“, тъй като все още е ясно какво е значението на израза.

Горното определение за значението на израза важи и за числови изрази от по-сложен тип, които се изучават в гимназията. Тук трябва да се отбележи, че може да срещнете числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат посочени. Това е така, защото в някои изрази не е възможно да се изпълнят записаните действия. Ето защо например не можем да посочим стойността на израза 3:(2−2) . Такива числови изрази се наричат изрази, които нямат смисъл.

Често в практиката интерес представлява не толкова числовият израз, колкото неговият смисъл. Тоест възниква задачата да се определи значението на даден израз. В този случай те обикновено казват, че трябва да намерите стойността на израза. Тази статия разглежда подробно процеса на намиране на стойността на числови изрази от различни типове и разглежда много примери с подробни описания на решенията.

Значение на буквални и променливи изрази

В допълнение към числовите изрази се изучават буквални изрази, тоест изрази, в които заедно с числа присъстват една или повече букви. Буквите в буквален израз могат да представляват различни числа и ако буквите се заменят с тези числа, буквалният израз се превръща в числов израз.

Определение.

Числата, които заместват буквите в буквален израз, се наричат значенията на тези букви, а стойността на получения числов израз се извиква стойността на буквален израз за дадени буквени стойности.

И така, за буквалните изрази говорим не само за значението на буквалния израз, а за значението на буквалния израз, дадени (дадени, посочени и т.н.) стойности на буквите.

Да дадем пример. Нека вземем буквалния израз 2·a+b. Нека стойностите на буквите a и b са дадени, например a=1 и b=6. Заменяйки буквите в оригиналния израз с техните стойности, получаваме числов израз под формата 2·1+6, чиято стойност е 8. Така числото 8 е стойността на буквалния израз 2·a+b за дадените стойности на буквите a=1 и b=6. Ако бяха дадени други буквени стойности, тогава ще получим стойността на буквения израз за тези буквени стойности. Например при a=5 и b=1 имаме стойност 2·5+1=11.

В алгебрата в гимназията буквите в буквените изрази могат да приемат различни значения, такива букви се наричат променливи, а буквените изрази се наричат изрази с променливи. За тези изрази се въвежда концепцията за стойността на израз с променливи за избрани стойности на променливите. Нека да разберем какво е то.

Определение.

Стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливае стойността на числов израз, който се получава след заместване на избраните стойности на променлива в оригиналния израз.

Нека обясним дадената дефиниция с пример. Да разгледаме израз с променливи x и y във формата 3·x·y+y. Нека вземем x=2 и y=4, заместваме тези стойности на променливата в оригиналния израз и получаваме числения израз 3·2·4+4. Нека изчислим стойността на този израз: 3·2·4+4=24+4=28. Намерената стойност 28 е стойността на оригиналния израз с променливите 3·x·y+y за избраните стойности на променливите x=2 и y=4.

Ако изберете други стойности на променлива, например x=5 и y=0, тогава тези избрани стойности на променлива ще съответстват на стойността на израза на променливата, равна на 3·5·0+0=0.

Може да се отбележи, че понякога различни избрани стойности на променливи могат да доведат до равни стойности на израза. Например за x=9 и y=1 стойността на израза 3 x y+y е 28 (тъй като 3 9 1+1=27+1=28) и по-горе показахме, че същата стойност е израз с променливи има при x=2 и y=4.

Променливите стойности могат да бъдат избрани от съответните им диапазони на приемливи стойности. В противен случай, когато замествате стойностите на тези променливи в оригиналния израз, ще получите числов израз, който няма смисъл. Например, ако изберете x=0 и замените тази стойност в израза 1/x, ще получите числовия израз 1/0, което няма смисъл, тъй като делението на нула не е дефинирано.

Остава само да добавим, че има изрази с променливи, чиито стойности не зависят от стойностите на включените в тях променливи. Например, стойността на израз с променлива x от формата 2+x−x не зависи от стойността на тази променлива, тя е равна на 2 за всяка избрана стойност на променливата x от диапазона на нейните допустими стойности , което в този случай е множеството от всички реални числа.

Референции.

Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
Алгебра:учебник за 7 клас общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо се нуждаем от преобразувания на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример пред вас. Много голям и много сложен. Да кажем, че сте добри по математика и не се страхувате от нищо! Можете ли да дадете отговор веднага?

Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колкото по-успешно извършвате тези трансформации, толкова по-силен сте в математиката. Ако не знаете как да направите правилните трансформации, няма да можете да ги направите в математиката. нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще...), не пречи да разберете тази тема.)

Първо, нека разберем какво е израз в математиката. какво стана числов изрази какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Изразяване в математиката- това е много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.

3+2 е математически израз. c 2 - d 2- това също е математически израз. Както здравата дроб, така и дори едно число са математически изрази. Например уравнението е:

5x + 2 = 12

се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Едното изражение е отляво, другото отдясно.

Като цяло терминът " математически израз"се използва най-често, за да избегнете мукането. Ще ви попитат какво е обикновена дроб например? И как да отговорите?!

Първи отговор: „Това е... мммммм... такова нещо... в което... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искате?"

Вторият отговор: „Обикновена дроб е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"

Вторият вариант ще бъде някак по-впечатляващ, нали?)

Това е целта на фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическа употреба трябва да имате добро разбиране на специфични видове изрази в математиката .

Конкретният тип е друг въпрос. това съвсем друг въпрос!Всеки вид математически израз има моянабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземане на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И т.н. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези страшни думи. Ще овладеем логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща в съответните раздели.

Тук ще усвоим (или - повторете, зависи кой...) два основни вида математически изрази. Числени изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

какво стана числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Да, това е така. Математически израз, съставен от числа, скоби и аритметични символи, се нарича числов израз.

7-3 е числов израз.

(8+3,2) 5,4 също е числов израз.

И това чудовище:

също числов израз, да...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без X и други букви - всичко това са числови изрази.

Основен знак числовиизрази - в него няма букви. Няма. Само числа и математически символи (ако е необходимо). Просто е, нали?

И какво можете да направите с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, се случва да отворите скобите, да промените знаците, да съкратите, да размените термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.

Тук ще се занимаваме с такъв забавен случай, когато с числов израз не е нужно да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази приятна операция - не прави нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.

Кога един числов израз няма смисъл?

Ясно е, че ако видим някаква абракадабра пред нас, като

тогава няма да направим нищо. Защото не е ясно какво да се прави по въпроса. Глупости някакви. Може би пребройте плюсовете...

Но има външно доста прилични изрази. Например това:

(2+3) : (16 - 2 8)

Въпреки това, този израз също няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Но не можете да разделите на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: „Изразът няма смисъл!

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога има много неща в скоби... Е, нищо не можете да направите по въпроса.

В математиката няма толкова много забранени операции. В тази тема има само един. Деление на нула. Допълнителни ограничения, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.

И така, идея какво е това числов израз- получено. Концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да продължим.

Алгебрични изрази.

Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквални изрази.или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например, както буквални, така и алгебрични, и израз с променливи.

Концепция алгебричен израз -по-широко от числово. то включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без букви. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)

защо азбучен- Ясно е. Е, след като има букви... Фраза израз с променливиОсвен това не е много озадачаващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под букви могат да се крият всякакви цифри... И 5, и -18, и всичко друго. Тоест едно писмо може да бъде замениза различни номера. Затова се наричат буквите променливи.

В израза у+5, например при- променлива стойност. Или просто казват " променлива", без думата "магнитуд". За разлика от пет, което е постоянна стойност. Или просто - постоянен.

Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате закони и правила алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.

В аритметиката можем да напишем това

Но ако напишем такова равенство чрез алгебрични изрази:

a + b = b + a

ще решим веднага Всичкивъпроси. За всички числас един замах. За всичко безкрайно. Защото под буквите АИ bподразбира се Всичкичисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога един алгебричен израз няма смисъл?

Всичко за числовия израз е ясно. Там не можете да делите на нула. А с букви може ли да разберем на какво делим?!

Да вземем за пример този израз с променливи:

2: (А - 5)

има ли смисъл кой знае А- всяко число...

Всякакви, всякакви... Но има едно значение А, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да Това е 5! Ако променливата Азаменете (казват "заместване") с числото 5, в скоби получавате нула. Които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, Ако а = 5. Но за други стойности Аима ли смисъл Можете ли да замените други числа?

Със сигурност. В такива случаи те просто казват, че изразът

2: (А - 5)

има смисъл за всякакви ценности А, с изключение на a = 5 .

Целият набор от числа, които можезаместване в даден израз се нарича диапазон от приемливи стойноститози израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Нека да разгледаме израза с променливи и да разберем: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?

И тогава не забравяйте да погледнете въпроса на задачата. Какво питат?

няма смисъл, нашият забранен смисъл ще бъде отговорът.

Ако попитате при каква стойност на променлива изразът има смисъл(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числас изключение на забраненото.

Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Въпросът е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като областта на приемливите стойности или областта на функцията. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. като това.

Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разбрахме какво означава фразата „изразът няма смисъл“. Сега трябва да разберем какво е то преобразуване на изрази.Отговорът е прост, до безобразие.) Това е всяко действие с израз. това е всичко Вие правите тези трансформации от първи клас.

Нека вземем готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много просто! Изчислете:

Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:

Тук не броихме абсолютно нищо. Просто записах израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Можете да го напишете така:

И това също е трансформация на израз. Можете да направите толкова трансформации, колкото искате.

Всякаквидействие върху изразяването всякаквизаписването му в друга форма се нарича трансформиране на израза. И това е всичко. Много е просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. Влизаме ли в него?)

Да кажем, че трансформираме изражението си случайно, така:

Преобразуване? Със сигурност. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Въпросът е, че трансформациите "на случаен принцип"изобщо не се интересуват от математика.) Цялата математика е изградена върху трансформации, при които външният вид се променя, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.

трансформации, изрази, които не променят същносттасе наричат идентичен.

точно така трансформации на идентичносттаи ни позволяват стъпка по стъпка да трансформираме сложен пример в прост израз, като същевременно поддържаме същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, направим НЕ идентична трансформация, тогава ние ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)

Това е основното правило за решаване на всякакви задачи: запазване на идентичността на трансформациите.

Дадох пример с числовия израз 3+5 за яснота. В алгебричните изрази трансформациите на идентичността се дават чрез формули и правила. Да кажем, че в алгебрата има формула:

a(b+c) = ab + ac

Това означава, че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab + ac. И обратното. това идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.

Още един пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Повече подробности можете да видите на линка, но тук само ще ви припомня правилото: Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за трансформации на идентичност, използващи това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно това ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важните са доста разумен брой. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика – от начална до напреднала. Да започнем с него. В следващия урок.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

КАТЕГОРИИ

ПОПУЛЯРНИ СТАТИИ

	Естрагон: ползи и правила за употреба Друго име за естрагон
	Роалд Амундсен и Робърт Скот: Южен полюс
	Най-нелепите изобретения Технологиите от миналото най-глупавите изобретения
	Защо мечтаете за падане на зъби без кървене според книгите за сънища?
	Десет държави с най-големи златни резерви в света Къде има най-много злато

2024 “gcchili.ru” - За зъбите. Имплантиране. Зъбен камък. гърлото