Как да решим свойствата на функциите. Основни елементарни функции и техните свойства

Предоставя справочни данни за експоненциалната функция – основни свойства, графики и формули. Разглеждат се следните теми: област на дефиниране, набор от стойности, монотонност, обратна функция, производна, интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.

Определение

Експоненциална функцияе обобщение на произведението от n числа, равно на a:
г (n) = a n = a·a·a···a,
към множеството от реални числа x:
г (x) = брадва.
Тук a е фиксирано реално число, което се нарича основа на експоненциалната функция.
Експоненциална функция с основа а също се нарича показател към основа а.

Обобщението се извършва по следния начин.
За естествено x = 1, 2, 3,... , експоненциалната функция е произведение на х фактори:
.
Освен това има свойства (1.5-8) (), които следват от правилата за умножаване на числа. За нулеви и отрицателни стойности на цели числа експоненциалната функция се определя с помощта на формули (1.9-10). За дробни стойности x = m/n рационални числа, , се определя по формула (1.11). За real експоненциалната функция се дефинира като границата на последователността:
,
където е произволна последователност от рационални числа, сходни към x: .
С тази дефиниция експоненциалната функция е дефинирана за всички и удовлетворява свойства (1.5-8), както за естествено x.

Строга математическа формулировка на дефиницията на експоненциална функция и доказателството на нейните свойства е дадена на страницата „Дефиниция и доказателство на свойствата на експоненциална функция“.

Свойства на експоненциалната функция

Експоненциалната функция y = a x има следните свойства в множеството от реални числа ():
(1.1) определени и непрекъснати, за , за всички ;
(1.2) за ≠ 1 има много значения;
(1.3) стриктно нараства при , стриктно намалява при ,
е постоянна при ;
(1.4) в ;
в ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Други полезни формули.
.
Формула за преобразуване в експоненциална функция с различна основа на експонента:

Когато b = e, получаваме израза на експоненциалната функция чрез експоненциала:

Частни ценности

, , , , .

Фигурата показва графики на експоненциалната функция
г (x) = брадва
за четири стойности степени основи: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и а = 1/8 . 1 Вижда се, че за a > 0 < a < 1 експоненциалната функция нараства монотонно. Колкото по-голяма е основата на степента a, толкова по-силен е растежът. При

Възходящо, низходящо

Експоненциалната функция е строго монотонна и следователно няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.

	y = a x , a > 1	y = брадва, 0 < a < 1
Област на дефиниция	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Диапазон от стойности	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонен	монотонно нараства	монотонно намалява
Нули, y = 0	не	не
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратна функция

Обратната на експоненциална функция с основа а е логаритъмът при основа а.

Ако , тогава
.
Ако , тогава
.

Диференциране на експоненциална функция

За да се диференцира експоненциална функция, нейната основа трябва да се редуцира до числото e, да се приложи таблицата с производните и правилото за диференциране на сложна функция.

За да направите това, трябва да използвате свойството на логаритмите
и формулата от таблицата с производни:
.

Нека е дадена експоненциална функция:
.
Пренасяме го в базата e:

Нека приложим правилото за диференциране на сложни функции. За да направите това, въведете променливата

Тогава

От таблицата с производни имаме (заменете променливата x с z):
.
Тъй като е константа, производната на z по отношение на x е равна на
.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.

Производна на експоненциална функция

.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>

Пример за диференциране на експоненциална функция

Намерете производната на функция
y= 3 5 х

Решение

Нека изразим основата на експоненциалната функция чрез числото e.
3 = e ln 3
Тогава
.
Въведете променлива
.
Тогава

От таблицата на производните намираме:
.
Тъй като 5ln 3е константа, тогава производната на z по отношение на x е равна на:
.
Според правилото за диференциране на сложна функция имаме:
.

отговор

Интеграл

Изрази, използващи комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
f (z) = a z
където z = x + iy; 2 = - 1 .
аз
Нека изразим комплексната константа a чрез модул r и аргумент φ:
Тогава


.
a = r e i φ
φ = φ Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Като цяло,
0 + 2 πn където n е цяло число. Следователно функцията f(z)
.

също не е ясно. Често се разглежда основното му значение

.

Разширяване на серията
Използвана литература:

И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г..

1) Функционална област и функционален диапазон Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументих Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи(променлива ), за която функцията y = f(x) определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойностиг

, които функцията приема.

В елементарната математика функциите се изучават само върху множеството от реални числа..

2) Функционални нули

3) Интервали с постоянен знак на функция.

Интервалите с постоянен знак на функция са набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.

4) Монотонност на функцията.

Нарастваща функция (в определен интервал) е функция, при която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

Намаляваща функция (в определен интервал) е функция, при която на по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства по-малка стойност на функцията.

5) Четна (нечетна) функция.

Четна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всяко Xот областта на дефиницията равенството f(-x) = f(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата. XНечетна функция е функция, чиято дефиниционна област е симетрична по отношение на произхода и за всяко от областта на дефиницията равенството е вярно f(-x) = - f(x

)..

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

6) Ограничени и неограничени функции.

Една функция се нарича ограничена, ако има положително число M такова, че |f(x)| ≤ M за всички стойности на x. Ако такъв номер не съществува, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията

Функция f(x) е периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x от областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f(x+T) = f(x). Това най-малко число се нарича период на функцията. Всички тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

19. Основни елементарни функции, техните свойства и графики. Приложение на функциите в икономиката.

Основни елементарни функции. Техните свойства и графики 1. Линейна функция.

Линейна функция се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа.Номер

А

наречен наклон на правата, той е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази линия към положителната посока на абсцисната ос. Графиката на линейна функция е права линия. Определя се от две точки.

Свойства на линейна функция

1. Област на дефиниция - множеството от всички реални числа: D(y)=R

2. Наборът от стойности е наборът от всички реални числа: E(y)=R

3. Функцията приема нулева стойност, когато или.

4. Функцията расте (намалява) по цялата област на дефиниране.

Функция от вида, където x е променлива, коефициентите a, b, c са реални числа, се нарича квадратна

Граници и приемственост

Комплекти

Под многосе разбира като съвкупност от еднородни обекти. Обектите, които образуват множество, се наричат елементиили точкиот това множество. Множествата се означават с главни букви, а техните елементи с малки букви. Ако ае елемент от множеството А, тогава записът се използва аÎ А. Ако bне е елемент от множеството А, тогава се пише така: b Ï А. Множество, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно множество и се обозначава по следния начин: Ø.

Ако наборът бсе състои от част от елементите на комплекта Аили съвпада с него, тогава множеството бнаречен подмножествомножества и означават бÌ А.

Двата комплекта се наричат равен, ако се състоят от едни и същи елементи.

Асоциациядва комплекта АИ бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи, принадлежащи към поне едно от множествата: В=АÈ б.

Чрез пресичанедва комплекта АИ бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи, принадлежащи на всяко от тези множества: В=АÇ б.

По разликакомплекти АИ бнаречен набор д А, които не принадлежат към множеството б: .

добавкакомплекти АÌ бнаречен набор В, състоящ се от всички елементи на комплекта б, непринадлежност А.

Множества, чиито елементи са реални числа, се наричат числови:

В същото време НÌ ЗÌ QÌ Р, азÌ РИ Р=азÈ Q.

много X, чиито елементи удовлетворяват неравенството се нарича сегмент(сегмент) и се обозначава [ а; b]; неравенство а<Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи<b – интервали се означава с (); неравенства и - полуинтервалии се означават съответно с и. Също така често трябва да се справяте с безкрайни интервали и полуинтервали: , , и . Удобно е да ги извикате всички на интервали .

Интервал, т.е. набор от точки, удовлетворяващи неравенството (където ), се нарича -околност на точката а.

Понятието функция. Основни свойства на функция

Ако всеки елемент Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументикомплекти Xединичен елемент е съпоставен определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойностикомплекти Y, тогава казват, че на снимачната площадка Xдадено функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи). В същото време Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументинаречен независима променливаили аргумент, А определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности – зависима променливаили функция, А fобозначава закона за съответствието. много Xнаречен област на дефиницияфункции и набор Y – диапазон от стойностифункции.

Има няколко начина за указване на функции.

1) Аналитичен метод – функцията се задава с формула на вида определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи).

2) Табличен метод - функцията се определя от таблица, съдържаща стойностите на аргумента и съответните стойности на функцията определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи).

3) Графичен метод – изобразяване на графика на функция, т.е. набор от точки ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи; определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности) координатна равнина, чиито абсцисите представляват стойностите на аргумента, а ординатите представляват съответните стойности на функцията определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи).

4) Словесен способ – функцията се описва с правилото за нейния състав. Например функцията на Дирихле приема стойност 1 ако Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументие рационално число и 0 ако Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи– ирационално число.

Разграничават се следните основни свойства на функциите.

1 Четно и нечетнофункция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) се нарича даже, ако за някакви стойности Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиот неговата област на дефиниране е удовлетворено f(–Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи)=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи), И странно, Ако f(–Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи)=–f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи). Ако нито едно от изброените равенства не е изпълнено, тогава определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) се нарича обща функция. Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста Ой, а графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото.

2 Монотонностфункция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) се нарича нарастваща (намаляващи) на интервала X, ако по-голяма стойност на аргумент от този интервал съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функция. Нека Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 ,Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 Î X, Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 >Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1. След това функцията нараства на интервала X, Ако f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2)>f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1) и намалява, ако f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2)<f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1).

Наред с нарастващи и намаляващи функции се разглеждат ненамаляващи и ненарастващи функции. Функцията се извиква ненамаляващ (ненарастващ), ако при Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 ,Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 Î X, Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 >Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 неравенство е в сила f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2)≥f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1) (f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2)≤f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1)).

Нарастващи и намаляващи функции, както и ненарастващи и ненамаляващи функции се наричат ​​монотонни.

3 Ограниченфункция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) се нарича ограничен на интервала X, ако има такова положително число М>0, какво | f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи)|≤Мза всеки Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиÎ X. В противен случай се казва, че функцията е неограничена X.

4 Честотафункция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) се нарича периодичен с период Т≠0, ако има такива Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиот областта на функцията f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи+Т)=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи). По-нататък под период имаме предвид най-малкия положителен период на функция.

Функцията се извиква изрично, ако е дадено с формула от вида определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи). Ако функцията е дадена от уравнението Е(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи, определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности)=0, не е позволено спрямо зависимата променлива определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности, тогава се нарича имплицитно.

Нека определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи) е функция на независимата променлива, дефинирана в множеството Xс обхват Y. Нека съпоставим всеки един определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойностиÎ Yедно значение Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиÎ X, при което f(Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи)=определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности.Тогава получената функция Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи=φ (определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности), определени на множеството Yс обхват X, наречена обратени е обозначен определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f –1 (Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи). Графиките на взаимно обратните функции са симетрични спрямо ъглополовящата на първата и третата координатна четвърт.

Нека функцията определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(u) е функция на променлива u, определени на множеството Uс обхват Yи променливата uна свой ред е функция u=φ (Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи), определени на множеството Xс обхват U. След това дадено на снимачната площадка Xфункция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=f(φ (Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи)) се нарича сложна функция(състав на функции, суперпозиция на функции, функция на функция).

Елементарни функции

Основните елементарни функции включват:

• степенна функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=x n; определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=x–nИ определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1/ п;
• експоненциална функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=a x;
• логаритмична функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=дневник a x;
• тригонометрични функции определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности= грях Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи, определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=cos Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи, определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=tg Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиИ определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=ctg Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи;
• обратни тригонометрични функции определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности= arcsin Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи, определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=arccos Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи, определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=arctg Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументиИ определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности=arcctg Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи.

От основните елементарни функции могат да се получат нови функции с алгебрични операции и суперпозиция на функции.

Функциите, конструирани от основни елементарни функции с помощта на краен брой алгебрични операции и краен брой операции на суперпозиция, се наричат елементарен.

Алгебричние функция, в която върху аргумента се извършват краен брой алгебрични операции. Алгебричните функции включват:

· цяла рационална функция (полином или полином)

· дробно-рационална функция (отношение на два полинома)

· ирационална функция (ако операциите върху аргумента включват извличане на корена).

Извиква се всяка неалгебрична функция трансцендентален. Трансценденталните функции включват експоненциални, логаритмични, тригонометрични и обратни тригонометрични функции.

Функции и техните свойства

Функцията е едно от най-важните математически понятия.функция Те наричат ​​такава зависимост на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на променливата x съответства на една единствена стойност на променливата y.

Променлива Xнаречен независима променлива или аргумент.Променлива принаречен зависима променлива. Те също така казватпроменливата y е функция на променливата x. Стойностите на зависимата променлива се наричатстойности на функцията.

Ако зависимостта на променливатапри от променливаX е функция, тогава може да се напише накратко, както следва:г= f( х ). (Прочетете:при равниf отX .) Символf( х) обозначават стойността на функцията, съответстваща на стойността на аргумента, равен наX .

Всички стойности на независимата променлива формаобласт на функция . Всички стойности, които зависимата променлива приемафункционален диапазон .

Ако дадена функция е посочена с формула и нейната област на дефиниране не е посочена, тогава се счита, че областта на дефиниция на функцията се състои от всички стойности на аргумента, за които формулата има смисъл.

Методи за определяне на функция:

1. аналитичен метод (функцията се определя с помощта на математическа формула;

2. табличен метод (функцията се определя с помощта на таблица)

3.описателен метод (функцията се определя чрез словесно описание)

4. графичен метод (функцията се определя с помощта на графика).

Функционална графика наименувайте множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абсциси са равни на стойностите на аргумента и ординатите - съответните функционални стойности.

ОСНОВНИ СВОЙСТВА НА ФУНКЦИИТЕ

1. Функционални нули

Нула на функция е стойността на аргумента, при която стойността на функцията е равна на нула.

2. Интервали на постоянен знак на функция

Интервалите с постоянен знак на функция са набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.

3. Нарастваща (намаляваща) функция.

Увеличава се в определен интервал, функция е функция, за която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

функция y = f ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) наречен нарастваща на интервала (A; b ), ако има Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 И Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 от този интервал, така чеДомейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 < Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 , неравенството е вярноf ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 )< f ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 ).

Спускане в определен интервал, функция е функция, за която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малка стойност на функцията.

функция при = f ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) наречен намаляващина интервала (A; b ) , ако има такива Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 И Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 от този интервал, така че Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 < Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 , неравенството е вярноf ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 1 )> f ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 ).

4. Четна (нечетна) функция

Равномерна функция - функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всекиX от областта на дефиницията равенствотоf (- Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) = f ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) . Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Например y = x 2 - равномерна функция.

Странна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки Xот областта на дефиницията равенството е вярно f (- Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) = - f (Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Например: y = x 3 - странна функция .

Функция от общ вид не е четна или нечетна (y = x 2 +x ).

Свойства на някои функции и техните графики

1. Линейна функция наречена функция на формата , Къде к И b – числа.

Домейнът на линейна функция е множествоР реални числа.

Графика на линейна функцияпри = kx + b ( к ≠ 0) е права, минаваща през точката (0;b ) и успоредна на праватапри = kx .

Прав, не успореден на остао е графиката на линейна функция.

Свойства на линейна функция.

1. Кога к > 0 функция при = kx + b

2. Кога к < 0 функция y = kx + b намаляващи в областта на дефиницията.

определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = kx + b ( к ≠ 0 ) е цялата числова ос, т.е. многоР реални числа.

При к = 0 набор от функционални стойностиy = kx + b се състои от едно числоb .

3. Кога b = 0 и к = 0 функцията не е нито четна, нито нечетна.

При к = 0 линейната функция има форматаy = b и при b ≠ 0 равно е.

При к = 0 и b = 0 линейната функция има форматаy = 0 и е едновременно четно и нечетно.

Графика на линейна функцияy = b е права линия, минаваща през точката (0; b ) и успоредна на остаоИмайте предвид, че когато b = 0 графика на функциятаy = b съвпадат с оста о .

5. Кога к > 0 имаме това при> 0, ако и при< 0 ако . При к < 0 имаме, че y > 0 акои при< 0, если .

2. Функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2

Рреални числа.

Даване на променливаX няколко стойности от домейна на функцията и изчисляване на съответните стойностиприспоред формулата определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 , изобразяваме графиката на функцията.

Графика на функция определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 наречен парабола.

Свойства на функцията y = x 2 .

1. Ако X= 0, тогава y = 0, т.е. Параболата има обща точка с координатните оси (0; 0) - началото на координатите.

2. Ако x ≠ 0 , това при > 0, т.е. всички точки на параболата, с изключение на началото, лежат над оста x.

3. Набор от стойности на функциятапри = X 2 е функцията за обхватпри = X 2 намалява.

X

3.Функция

Домейнът на тази функция е функцията spanопределен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = | Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи | намалява.

7. Функцията приема най-малката си стойност в точкатаX,то е равно на 0. Няма най-голяма стойност.

6. функция

Обхват на функцията: .

Функционален диапазон: .

Графиката е хипербола.

1. Функционални нули.

y ≠ 0, без нули.

2. Интервали на постоянство на знаците,

Ако к > 0, тогава при> 0 при X > 0; при < 0 при X < О.

Ако к < 0, то при < 0 при X > 0; при> 0 при X < 0.

3. Интервали на нарастване и намаляване.

Ако к > 0, тогава функцията намалява като .

Ако к < 0, то функция возрастает при .

4.Четна (нечетна) функция.

Функцията е странна.

Квадрат тричлен

Уравнение на формата брадва 2 + bx + c = 0, където а , bИ с - някои числа иа≠ 0, наречено квадрат.

В квадратно уравнениебрадва 2 + bx + c = 0 коефициент се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа.наречен първият коефициент b - втори коефициенти, с - безплатен член.

Формулата за корените на квадратно уравнение е:

.

Изразът се нарича дискриминант квадратно уравнение и се означава сг .

Ако г = 0, тогава има само едно число, което удовлетворява уравнението брадва 2 + bx + c = 0. Въпреки това се съгласихме да кажем, че в този случай квадратното уравнение има два равни реални корена и самото число наречен двоен корен.

Ако г < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ако г > 0, тогава квадратното уравнение има два различни реални корена.

Нека е дадено квадратно уравнениебрадва 2 + bx + c = 0. Тъй като а≠ 0, след което разделяме двете страни на това уравнение наа, получаваме уравнението . Вярвайки И , стигаме до уравнението , в което първият коефициент е равен на 1. Това уравнение се наричададено.

Формулата за корените на горното квадратно уравнение е:

.

Уравнения на формата

се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 + bx = 0, брадва 2 + s = 0, се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи 2 = 0

се наричат непълни квадратни уравнения. Непълните квадратни уравнения се решават чрез разлагане на лявата страна на уравнението.

Теорема на Виета .

Сумата от корените на квадратно уравнение е равна на съотношението на втория коефициент към първия, взето с обратен знак, а произведението на корените е отношението на свободния член към първия коефициент, т.е.

Обратна теорема.

Ако сумата от произволни две числаX 1 И X 2 равно на , а произведението им е равно, тогава тези числа са корените на квадратното уравнениео 2 + b x + c = 0.

Функция на формата о 2 + b x + cнаречен квадратен тричлен. Корените на тази функция са корените на съответното квадратно уравнениео 2 + b x + c = 0.

Ако дискриминантът на квадратичен трином е по-голям от нула, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Къде X 1 И X 2 - корени на тричлена

Ако дискриминантът на квадратичен трином е нула, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Къде X 1 - корен на тричлена.

например, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Уравнение на формата о 4 + b X 2 + s= 0 се извиква биквадратен. Използване на замяна на променлива с помощта на формулатаX 2 = определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности тя се свежда до квадратно уравнениесе нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. определен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности 2 + от + c = 0.

Квадратична функция

Квадратична функция е функция, която може да бъде записана с формула от форматаопределен. Диапазонът на функция е множеството от всички реални стойности = брадва 2 + bx + c , Къде Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи – независима променлива,а , b И c – някои числа иа ≠ 0.

Свойствата на функцията и вида на нейната графика се определят главно от стойностите на коефициентаа и дискриминант.

Свойства на квадратична функция

Обхват:Р;

Диапазон от стойности:

при се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. > 0 [- г/(4 а); ∞)

при се нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. < 0 (-∞; - г/(4 а)];

Четно, нечетно:

при b = 0 четна функция

при b ≠ Функцията 0 не е нито четна, нито нечетна

при г> 0 две нули: ,

при г= 0 една нула:

при г < 0 нулей нет

Интервали на постоянство на знака:

ако a > 0, г> 0, тогава

ако a > 0, г= 0, тогава

дако a > 0, г < 0, то

ако а< 0, г> 0, тогава

ако а< 0, г= 0, тогава

ако а< 0, г < 0, то

- Интервали на монотонност

за a > 0

при а< 0

Графиката на квадратична функция епарабола – крива, симетрична спрямо права линия минаваща през върха на параболата (върхът на параболата е пресечната точка на параболата с оста на симетрия).

За да начертаете графика на квадратична функция, трябва:

1) намерете координатите на върха на параболата и я маркирайте в координатната равнина;

2) конструирайте още няколко точки, принадлежащи на параболата;

3) свържете маркираните точки с гладка линия.

Координатите на върха на параболата се определят по формулите:

; .

Преобразуване на графики на функции

1. Разтягане графикиy = x 2 по остапри V|а| пъти (при|а| < 1 е компресия на 1/|а| веднъж).

Ако и< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (клоновете на параболата ще бъдат насочени надолу).

Резултат: графика на функцияy = ах 2 .

2. Паралелен трансфер функционална графикаy = ах 2 по остаX на| м | (вдясно, когато

м > 0 и наляво, когатоТ< 0).

Резултат: функционална графикаy = a(x - t) 2 .

3. Паралелен трансфер функционална графика по остапри на| п | (горе вp> 0 и надолу прип< 0).

Резултат: функционална графикаy = a(x - t) 2 + стр.

Квадратни неравенства

Неравенства на форматао 2 + b x + c > 0 ио 2 + bx + c< 0, къдетоX - променлива,а , b Ис - някои числа иа≠ 0 се наричат ​​неравенства от втора степен с една променлива.

Решаването на неравенство от втора степен в една променлива може да се разглежда като намиране на интервалите, в които съответната квадратична функция приема положителни или отрицателни стойности.

Да се ​​решават неравенства от видао 2 + bx + c > 0 ио 2 + bx + c< 0 продължете както следва:

1) намерете дискриминанта на квадратния трином и разберете дали триномът има корени;

2) ако тричленът има корени, тогава ги маркирайте на остаX и през маркираните точки схематично е начертана парабола, чиито клонове са насочени нагоре къмсе нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. > 0 или надолу, когатоА< 0; ако триномът няма корени, тогава схематично изобразете парабола, разположена в горната полуравнина насе нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. > 0 или по-ниско присе нарича функция от формата , където x е променлива, a и b са реални числа. < 0;

3) намерени на остаX интервали, за които точките на параболата са разположени над остаX (ако неравенството е решеноо 2 + bx + c > 0) или под остаX (ако неравенството е решеноо 2 + bx + c < 0).

Пример:

Нека решим неравенството .

Помислете за функцията

Неговата графика е парабола, чиито клонове са насочени надолу (тъй като ).

Нека разберем как е разположена графиката спрямо остаX. Нека решим уравнението за това . Разбираме товаx = 4. Уравнението има един корен. Това означава, че параболата докосва остаX.

След като схематично изобразихме парабола, откриваме, че функцията приема отрицателни стойности за всякаX, освен 4.

Отговорът може да бъде написан така:X - всяко число, което не е равно на 4.

Решаване на неравенства по интервалния метод

диаграма на решението

1. Намерете нули функция от лявата страна на неравенството.

2. Маркирайте позицията на нулите върху числовата ос и определете тяхната кратност (Акок аз е четен, тогава нулата е с четна кратност, акок аз нечетното си е нечетно).

3. Намерете признаците на функцията в интервалите между неговите нули, започвайки от най-десния интервал: в този интервал функцията от лявата страна на неравенството винаги е положителна за дадената форма на неравенства. Когато се движите отдясно наляво през нулата на функция от един интервал към съседен, трябва да вземете предвид:

ако нулата е нечетна кратност, знакът на функцията се променя,

ако нулата е четна кратност, знакът на функцията се запазва.

4. Запишете отговора.

Пример:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Намерени нули на функцията. Те са равни:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Нека отбележим нулите на функцията върху координатната праваf ( Домейнът на функция е набор от всички валидни валидни стойности на аргументи ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Нека намерим знаците на тази функция във всеки от интервалите (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

От фигурата става ясно, че множеството от решения на неравенството е обединението на интервалите (-∞; -6) и (-1; 4).

Отговор: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Разгледаният метод за решаване на неравенства се наричаинтервален метод.