Коя физична величина е скалар те са вектор. Векторно количество във физиката: определение, означение, примери

В курсовете по физика често срещаме количества, за които е достатъчно да знаем само числови стойности, за да ги опишем. Например маса, време, дължина.

Наричат ​​се величини, които се характеризират само с числова стойност скаларенили скалари.

В допълнение към скаларните величини се използват величини, които имат както числена стойност, така и посока. Например скорост, ускорение, сила.

Нар. величини, които се характеризират с числена стойност и посока векторили вектори.

Векторните количества са обозначени със съответните букви със стрелка в горната част или с удебелен шрифт. Например, векторът на силата се обозначава с \(\vec F\) или Е . Числената стойност на векторна величина се нарича модул или дължина на вектора. Стойността на вектора на силата се означава с Еили \(\left|\vec F \right|\).

Векторно изображение

Векторите са представени чрез насочени сегменти. Началото на вектора е точката, от която започва насочената отсечка (точка Ана фиг. 1), краят на вектора е точката, в която завършва стрелката (точка бна фиг. 1).

ориз. 1.

Двата вектора се наричат равен, ако имат еднаква дължина и са насочени в една и съща посока. Такива вектори са представени от насочени сегменти с еднакви дължини и посоки. Например на фиг. 2 показва векторите \(\vec F_1 =\vec F_2\).

ориз. 2.

Когато на един чертеж са изобразени два или повече вектора, сегментите се конструират в предварително избран мащаб. Например на фиг. Фигура 3 показва вектори, чиито дължини са \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.

ориз. 3.

Метод за уточняване на вектор

В равнина векторът може да бъде определен по няколко начина:

1. Посочете координатите на началото и края на вектора. Например векторът \(\Delta\vec r\) на фиг. 4 се дава от координатите на началото на вектора – (2, 4) (m), края – (6, 8) (m).

ориз. 4.

2. Посочете големината на вектора (неговата стойност) и ъгъла между посоката на вектора и някоя предварително избрана посока върху равнината. Често за тази посока в положителната посока на оста 0 X. Ъглите, измерени от тази посока обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни. На фиг. 5 вектор \(\Delta\vec r\) е даден от две числа bи \(\alpha\) , указващи дължината и посоката на вектора.

ориз. 5.

Физиката и математиката не могат без понятието „векторно количество“. Трябва да го познавате и разпознавате, както и да можете да работите с него. Определено трябва да научите това, за да не се объркате и да правите глупави грешки.

Как да различим скаларна величина от векторна величина?

Първият винаги има само една характеристика. Това е числената му стойност. Повечето скаларни величини могат да приемат както положителни, така и отрицателни стойности. Примери за това са електрически заряд, работа или температура. Но има скалари, които не могат да бъдат отрицателни, например дължина и маса.

Векторната величина, в допълнение към числовата величина, която винаги се взема по модул, също се характеризира с посока. Следователно, тя може да бъде изобразена графично, тоест под формата на стрелка, чиято дължина е равна на абсолютната стойност, насочена в определена посока.

При писане всяка векторна величина се обозначава със знак със стрелка върху буквата. Ако говорим за числова стойност, тогава стрелката не е написана или е взета по модул.

Какви действия се извършват най-често с вектори?

Първо, сравнение. Те могат или не могат да бъдат равни. В първия случай модулите им са еднакви. Но това не е единственото условие. Те също трябва да имат еднакви или противоположни посоки. В първия случай те трябва да се наричат ​​равни вектори. Във втория се оказват противоположни. Ако поне едно от посочените условия не е изпълнено, тогава векторите не са равни.

След това идва добавянето. Може да се направи по две правила: триъгълник или успоредник. Първият предписва първо да се остави един вектор, а след това от края му вторият. Резултатът от добавянето ще бъде този, който трябва да бъде начертан от началото на първия до края на втория.

Правилото на паралелограма може да се използва при добавяне на векторни величини във физиката. За разлика от първото правило, тук те трябва да бъдат отложени от една точка. След това ги изградете до успоредник. Резултатът от действието трябва да се счита за диагонал на паралелограма, изтеглен от същата точка.

Ако една векторна величина се извади от друга, тогава те отново се начертават от една точка. Само резултатът ще бъде вектор, който съвпада с това, което е начертано от края на втория до края на първия.

Какви вектори се изучават във физиката?

Те са толкова, колкото са скаларите. Можете просто да си спомните какви векторни величини съществуват във физиката. Или да знаете знаците, по които могат да бъдат изчислени. За тези, които предпочитат първия вариант, тази таблица ще бъде полезна. Той съдържа главния вектор

Сега малко повече за някои от тези количества.

Първото количество е скоростта

Струва си да започнем с примери за векторни величини. Това се дължи на факта, че е сред първите, които се изучават.

Скоростта се определя като характеристика на движението на тялото в пространството. Той задава цифровата стойност и посоката. Следователно скоростта е векторна величина. Освен това е обичайно да се разделя на видове. Първата е линейната скорост. Въвежда се при разглеждане на праволинейно равномерно движение. В този случай той се оказва равен на съотношението на пътя, изминат от тялото, към времето на движение.

Същата формула може да се използва за неравномерно движение. Само тогава ще бъде средно. Освен това времевият интервал, който трябва да бъде избран, трябва да бъде възможно най-кратък. Когато времевият интервал клони към нула, стойността на скоростта вече е мигновена.

Ако се вземе предвид произволно движение, тогава скоростта винаги е векторна величина. В края на краищата, той трябва да бъде разложен на компоненти, насочени по протежение на всеки вектор, насочващ координатните линии. В допълнение, той се определя като производна на радиус вектора, взет по отношение на времето.

Второто количество е силата

Той определя мярката за интензивността на въздействието, което се упражнява върху тялото от други тела или полета. Тъй като силата е векторна величина, тя задължително има своя собствена величина и посока. Тъй като тя действа върху тялото, точката, към която се прилага силата, също е важна. За да получите визуално представяне на векторите на сила, можете да се обърнете към следната таблица.

Също така друга векторна величина е резултантната сила. Определя се като сбор от всички механични сили, действащи върху тялото. За да го определите, е необходимо да извършите събиране по принципа на правилото на триъгълника. Просто трябва да отделите векторите един по един от края на предишния. Резултатът ще бъде този, който свързва началото на първия с края на последния.

Третото количество е изместването

По време на движение тялото описва определена линия. Нарича се траектория. Тази линия може да бъде напълно различна. По-важен е не външният му вид, а началната и крайната точка на движението. Те са свързани чрез сегмент, наречен транслация. Това също е векторна величина. Освен това, тя винаги е насочена от началото на движението до точката, където движението е спряно. Обикновено се обозначава с латинската буква r.

Тук може да възникне следният въпрос: „Пътят векторна величина ли е?“ Като цяло това твърдение не е вярно. Пътят е равен на дължината на траекторията и няма определена посока. Изключение прави ситуацията, когато се разглежда в една посока. Тогава големината на вектора на изместване съвпада по стойност с пътя и посоката им се оказва еднаква. Следователно, когато се разглежда движението по права линия без промяна на посоката на движение, пътят може да бъде включен в примери за векторни величини.

Четвъртото количество е ускорението

Това е характеристика на скоростта на промяна на скоростта. Освен това ускорението може да има както положителни, така и отрицателни стойности. При праволинейно движение се насочва към по-висока скорост. Ако движението се извършва по крива траектория, тогава неговият вектор на ускорение се разлага на два компонента, единият от които е насочен към центъра на кривината по радиуса.

Разграничават се средните и моментните стойности на ускорението. Първият трябва да се изчисли като съотношението на промяната на скоростта за определен период от време към това време. Когато разглежданият интервал от време клони към нула, говорим за мигновено ускорение.

Пета стойност - импулс

По друг начин се нарича още количество на движение. Импулсът е векторна величина, защото е пряко свързан със скоростта и силата, приложени към тялото. И двете имат посока и я дават на импулса.

По дефиниция последната е равна на произведението от масата на тялото и скоростта. Използвайки концепцията за импулса на тялото, можем да напишем добре известния закон на Нютон по различен начин. Оказва се, че промяната в импулса е равна на произведението на сила и период от време.

Във физиката важна роля играе законът за запазване на импулса, който гласи, че в затворена система от тела неговият общ импулс е постоянен.

Съвсем накратко изброихме кои величини (вектор) се изучават в курса по физика.

Проблем с нееластичен удар

Състояние.На релсите има стационарна платформа. Към него се приближава карета със скорост 4 m/s. и вагон - съответно 10 и 40 тона. Колата се удря в платформата и се получава автоматично прикачване. Необходимо е да се изчисли скоростта на системата "автомобил-платформа" след удара.

Решение.Първо, трябва да въведете следните означения: скоростта на автомобила преди удара е v 1, скоростта на автомобила с платформата след прикачването е v, масата на автомобила е m 1, масата на платформата е м 2. Според условията на задачата е необходимо да се установи стойността на скоростта v.

Правилата за решаване на такива задачи изискват схематично представяне на системата преди и след взаимодействие. Разумно е да насочите оста OX по релсите в посоката, в която се движи колата.

При тези условия автомобилната система може да се счита за затворена. Това се определя от факта, че външните сили могат да бъдат пренебрегнати. Гравитацията и са балансирани, а триенето на релсите не се взема предвид.

Съгласно закона за запазване на импулса векторната им сума преди взаимодействието на автомобила и платформата е равна на общата за съединителя след удара. Първоначално платформата не се движеше, така че инерцията й беше нула. Движеше се само автомобилът, неговият импулс беше произведението на m 1 и v 1 .

Тъй като ударът беше нееластичен, тоест колата се свърза с платформата и след това те започнаха да се търкалят заедно в една и съща посока, импулсът на системата не промени посоката. Но значението му се промени. А именно произведението на сумата от масата на автомобила с платформата и желаната скорост.

Можете да напишете следното равенство: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Това ще бъде вярно за проекцията на импулсни вектори върху избраната ос. От него е лесно да се изведе равенството, което ще е необходимо за изчисляване на желаната скорост: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

Според правилата стойностите за маса трябва да се преобразуват от тонове в килограми. Следователно, когато ги замествате във формулата, първо трябва да умножите известните количества по хиляда. Простите изчисления дават цифра от 0,75 m/s.

отговор.Скоростта на автомобила с платформата е 0,75 m/s.

Проблем с разделянето на тялото на части

Състояние. Скоростта на летяща граната е 20 m/s. Разпада се на две части. Теглото на първия е 1,8 кг. Той продължава да се движи в посоката, в която е летяла гранатата със скорост 50 m/s. Вторият фрагмент е с маса 1,2 кг. Каква е неговата скорост?

Решение.Нека масите на фрагментите се обозначават с буквите m 1 и m 2. Техните скорости ще бъдат съответно v 1 и v 2. Началната скорост на гранатата е v. Проблемът изисква изчисляване на стойността на v 2 .

За да може по-големият фрагмент да продължи да се движи в същата посока като цялата граната, вторият трябва да лети в обратната посока. Ако изберете посоката на оста да бъде тази, която е била при първоначалния импулс, тогава след счупването големият фрагмент лети по оста, а малкият лети срещу оста.

В тази задача е позволено да се използва законът за запазване на импулса поради факта, че гранатата експлодира моментално. Следователно, въпреки факта, че гравитацията действа върху гранатата и нейните части, тя няма време да действа и да промени посоката на импулсния вектор с неговата абсолютна стойност.

Сумата от векторните величини на импулса след експлозията на гранатата е равна на тази, която е била преди нея. Ако напишем закона за запазване в проекция върху оста OX, той ще изглежда така: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2 . От него е лесно да се изрази необходимата скорост. Ще се определи по формулата: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. След заместване на числени стойности и изчисления получаваме 25 m/s.

отговор.Скоростта на малкия фрагмент е 25 m/s.

Проблем при снимане под ъгъл

Състояние.Пистолетът е монтиран на платформа с маса М. Той изстрелва снаряд с маса m. Той излита под ъгъл α спрямо хоризонта със скорост v (посочена спрямо земята). Трябва да знаете скоростта на платформата след изстрела.

Решение. В тази задача можете да използвате закона за запазване на импулса в проекция върху оста OX. Но само в случай, че проекцията на външните резултантни сили е равна на нула.

За посоката на оста OX трябва да изберете страната, където ще лети снарядът и успоредно на хоризонталната линия. В този случай проекциите на гравитационните сили и реакцията на опората върху OX ще бъдат равни на нула.

Задачата ще бъде решена в общ вид, тъй като няма конкретни данни за известни количества. Отговорът е формула.

Инерцията на системата преди изстрела беше нула, тъй като платформата и снарядът бяха неподвижни. Нека желаната скорост на платформата бъде означена с латинската буква u. Тогава неговият импулс след изстрела ще се определи като произведение на масата и проекцията на скоростта. Тъй като платформата ще се върти назад (срещу посоката на оста OX), стойността на импулса ще има знак минус.

Импулсът на снаряд е произведението на неговата маса и проекцията на скоростта върху оста OX. Поради факта, че скоростта е насочена под ъгъл спрямо хоризонта, нейната проекция е равна на скоростта, умножена по косинуса на ъгъла. В буквалното равенство ще изглежда така: 0 = - Mu + mv * cos α. От него чрез прости трансформации се получава формулата за отговор: u = (mv * cos α) / M.

отговор.Скоростта на платформата се определя по формулата u = (mv * cos α) / M.

Проблем с пресичането на реката

Състояние.Ширината на реката по цялата й дължина е еднаква и равна на l, бреговете й са успоредни. Скоростта на водния поток в реката v 1 и собствената скорост на лодката v 2 са известни. 1). При преминаване носът на лодката е насочен стриктно към отсрещния бряг. Колко далеч ще се пренесе надолу по течението? 2). Под какъв ъгъл α трябва да бъде насочен носът на лодката, така че да достигне противоположния бряг строго перпендикулярно на точката на тръгване? Колко време ще отнеме t за такова пресичане?

Решение. 1). Общата скорост на лодката е векторната сума на две величини. Първият от тях е течението на реката, което е насочено по бреговете. Втората е собствената скорост на лодката, перпендикулярна на бреговете. Чертежът създава два подобни триъгълника. Първият се формира от ширината на реката и разстоянието, на което се носи лодката. Второто е чрез вектори на скоростта.

От тях следва следният запис: s / l = v 1 / v 2. След трансформацията се получава формулата за желаната стойност: s = l * (v 1 / v 2).

2). В тази версия на задачата векторът на общата скорост е перпендикулярен на бреговете. Тя е равна на векторната сума на v 1 и v 2. Синусът на ъгъла, с който векторът на естествената скорост трябва да се отклони, е равен на отношението на модулите v 1 и v 2. За да изчислите времето за пътуване, ще трябва да разделите ширината на реката на изчислената пълна скорост. Стойността на последния се изчислява с помощта на Питагоровата теорема.

v = √(v 2 2 - v 1 2), тогава t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

отговор. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2, t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Величините се наричат ​​скаларни (скаларни), ако след избор на единица за измерване те се характеризират напълно с едно число. Примери за скаларни величини са ъгъл, повърхност, обем, маса, плътност, електрически заряд, съпротивление, температура.

Необходимо е да се прави разлика между два вида скаларни величини: чисти скалари и псевдоскалари.

3.1.1. Чисти скалари.

Чистите скалари са напълно дефинирани от едно число, независимо от избора на референтни оси. Примери за чисти скалари са температура и маса.

3.1.2. Псевдоскалари.

Подобно на чистите скалари, псевдоскаларите се дефинират с помощта на едно число, чиято абсолютна стойност не зависи от избора на референтни оси. Но знакът на това число зависи от избора на положителни посоки на координатните оси.

Да разгледаме например правоъгълен паралелепипед, чиито проекции на ръбовете на правоъгълните координатни оси са съответно равни. Обемът на този паралелепипед се определя с помощта на детерминантата

чиято абсолютна стойност не зависи от избора на правоъгълни координатни оси. Въпреки това, ако промените положителната посока на една от координатните оси, детерминантата ще промени знака. Обемът е псевдоскалар. Ъгъл, площ и повърхност също са псевдоскалари. По-долу (раздел 5.1.8) ще видим, че псевдоскаларът всъщност е тензор от специален вид.

Векторни величини

3.1.3. ос.

Оста е безкрайна права линия, на която е избрана положителната посока. Нека такава права линия и посоката от

се счита за положителен. Нека разгледаме отсечка на тази линия и приемем, че числото, измерващо дължината, е равно на a (фиг. 3.1). Тогава алгебричната дължина на отсечката е равна на a, алгебричната дължина на отсечката е равна на - a.

Ако вземем няколко успоредни линии, след като определим положителната посока на една от тях, по този начин я определяме на останалите. Ситуацията е различна, ако правите не са успоредни; тогава трябва конкретно да се споразумеете за избора на положителна посока за всяка права линия.

3.1.4. Посока на въртене.

Нека оста. Въртенето около ос ще наречем положително или директно, ако се извършва от наблюдател, стоящ по положителната посока на оста, надясно и наляво (фиг. 3.2). IN иначенарича се отрицателна или обратна.

3.1.5. Прави и обратни тристени.

Нека да е някакъв триедър (правоъгълен или неправоъгълен). Положителните посоки се избират по осите съответно от O към x, от O към y и от O към z.

Двете думи, които плашат учениците - вектор и скалар, всъщност не са страшни. Ако подходите към темата с интерес, тогава всичко може да се разбере. В тази статия ще разгледаме коя величина е векторна и коя скаларна. По-точно ще дадем примери. Вероятно всеки ученик е забелязал, че във физиката някои количества се обозначават не само със символ, но и със стрелка отгоре. Какво означават? Това ще бъде обсъдено по-долу. Нека се опитаме да разберем как се различава от скаларния.

Примери за вектори. Как се обозначават?

Какво се разбира под вектор? Това, което характеризира движението. Няма значение дали в космоса или в самолет. Каква величина е векторна величина като цяло? Например, самолет лети с определена скорост на определена височина, има определена маса и започва да се движи от летището с необходимото ускорение. Какво е движението на самолет? Какво го накара да полети? Разбира се, ускорение, скорост. Векторните величини от курса по физика са ясни примери. Казано направо, векторната величина е свързана с движението, преместването.

Водата също се движи с определена скорост от височината на планината. виждате ли Движението се извършва не чрез обем или маса, а чрез скорост. Тенисист позволява на топката да се движи с помощта на ракета. Той определя ускорението. Между другото, приложената сила в този случай също е векторно количество. Защото се получава в резултат на дадени скорости и ускорения. Властта също може да променя и да извършва конкретни действия. Вятърът, който движи листата по дърветата, също може да се счита за пример. Защото има скорост.

Положителни и отрицателни величини

Векторна величина е величина, която има посока в околното пространство и големина. Пак се появи страшната дума, този път модул. Представете си, че трябва да решите задача, при която ще бъде записана отрицателна стойност на ускорението. В природата отрицателните значения, изглежда, не съществуват. Как може скоростта да е отрицателна?

Вектор има такова понятие. Това се отнася например за сили, които са приложени към тялото, но имат различни посоки. Запомнете третото, където действието е равно на реакцията. Момчетата играят на дърпане на въже. Единият отбор носи сини тениски, другият отбор носи жълти тениски. Последните се оказват по-силни. Да приемем, че техният вектор на силата е насочен положително. В същото време първите не могат да дърпат въжето, но се опитват. Възниква противоположна сила.

Векторна или скаларна величина?

Нека поговорим за това как векторната величина се различава от скаларната величина. Кой параметър няма посока, но има собствено значение? Нека изброим някои скаларни величини по-долу:

Всички ли имат посока? не Коя величина е векторна и коя скаларна може да се покаже само с нагледни примери. Във физиката такива понятия има не само в раздела „Механика, динамика и кинематика“, но и в параграфа „Електричество и магнетизъм“. Силата на Лоренц също е векторна величина.

Вектор и скалар във формули

Учебниците по физика често съдържат формули, които имат стрелка в горната част. Спомнете си втория закон на Нютон. Силата („F“ със стрелка отгоре) е равна на произведението на масата („m“) и ускорението („a“ със стрелка отгоре). Както бе споменато по-горе, силата и ускорението са векторни величини, но масата е скаларна.

За съжаление, не всички публикации имат обозначението на тези количества. Това вероятно е направено, за да се опростят нещата, така че учениците да не бъдат подвеждани. Най-добре е да купувате онези книги и справочници, които показват вектори във формули.

Илюстрацията ще покаже коя величина е векторна. Препоръчва се да се обърне внимание на снимките и диаграмите в уроците по физика. Векторните величини имат посока. Накъде е насочено, разбира се, надолу. Това означава, че стрелката ще бъде показана в същата посока.

Физиката се изучава задълбочено в техническите университети. В много дисциплини учителите говорят за това какви количества са скаларни и векторни. Такива знания са необходими в следните области: строителство, транспорт, природни науки.

При изучаването на различни клонове на физиката, механиката и техническите науки има величини, които са напълно определени чрез уточняване на техните числени стойности, по-точно, които са напълно определени с помощта на число, получено в резултат на тяхното измерване с хомогенна величина, взета за единица . Такива количества се наричат скаларенили накратко скалари. Скаларните величини например са дължина, площ, обем, време, маса, телесна температура, плътност, работа, електрически капацитет и т.н. Тъй като една скаларна величина се определя от число (положително или отрицателно), то може да бъде начертано върху съответната координатна ос. Например, често се конструират оста на времето, температурата, дължината (изминатото разстояние) и други.

Освен скаларни величини, в различни задачи се срещат величини, за които освен числовата им стойност е необходимо да се знае и посоката им в пространството. Такива количества се наричат вектор. Физически примери за векторни величини могат да бъдат преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея, интензитетът на електрическото или магнитното поле. Векторните величини се използват например в климатологията. Нека да разгледаме един прост пример от климатологията. Ако кажем, че вятърът духа със скорост 10 m/s, тогава ще въведем скаларна стойност на скоростта на вятъра, но ако кажем, че северният вятър духа със скорост 10 m/s, тогава в това в случай, че скоростта на вятъра вече ще бъде векторна величина.

Векторните величини се представят с помощта на вектори.

За геометричното представяне на векторни величини се използват насочени сегменти, т.е. сегменти, които имат фиксирана посока в пространството. В този случай дължината на сегмента е равна на числовата стойност на векторната величина, а посоката й съвпада с посоката на векторната величина. Насоченият сегмент, характеризиращ дадена векторна величина, се нарича геометричен вектор или просто вектор.

Концепцията за вектор играе важна роля както в математиката, така и в много области на физиката и механиката. Много физически величини могат да бъдат представени с помощта на вектори и това представяне много често допринася за обобщаването и опростяването на формулите и резултатите. Често векторните величини и векторите, които ги представляват, се идентифицират един с друг: например те казват, че силата (или скоростта) е вектор.

Елементи на векторната алгебра се използват в такива дисциплини като: 1) електрически машини; 2) автоматизирано електрическо задвижване; 3) електрическо осветление и облъчване; 4) неразклонени вериги за променлив ток; 5) приложна механика; 6) теоретична механика; 7) физика; 8) хидравлика: 9) машинни части; 10) якост на материалите; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Дефиниция на вектор.Права отсечка се определя от две равни точки - нейните краища. Но можем да разгледаме насочен сегмент, определен от подредена двойка точки. За тези точки се знае коя от тях е първа (начало) и коя е втора (край).

Насочен сегмент се разбира като подредена двойка точки, първата от които - точка А - се нарича нейното начало, а втората - B - нейният край.

След това под векторв най-простия случай се разбира самият насочен сегмент, а в други случаи различните вектори са различни класове на еквивалентност на насочени сегменти, определени от някакво специфично отношение на еквивалентност. Освен това връзката на еквивалентност може да бъде различна, определяйки вида на вектора („свободен“, „фиксиран“ и т.н.). Просто казано, в рамките на клас на еквивалентност, всички насочени сегменти, включени в него, се третират като напълно равни и всеки може еднакво да представлява целия клас.

Векторите играят важна роля в изследването на безкрайно малки трансформации на пространството.

Определение 1.Ще наричаме насочен сегмент (или, което е същото, подредена двойка точки) вектор. Посоката на сегмента обикновено е маркирана със стрелка. При писане над буквеното обозначение на вектора се поставя стрелка, например: (в този случай буквата, съответстваща на началото на вектора, трябва да бъде поставена отпред). В книгите буквите, обозначаващи вектор, често се въвеждат с удебелен шрифт, например: А.

Като вектори ще включим и така наречения нулев вектор, чието начало и край съвпадат.

Вектор, чието начало съвпада с края му, се нарича нула. Нулевият вектор се означава просто като 0.

Разстоянието между началото и края на вектора се нарича негово дължина(и също модули абсолютна стойност). Дължината на вектора се означава с | | или | |. Дължината на вектор или модулът на вектор е дължината на съответния насочен сегмент: | | = .

Векторите се наричат колинеарен, ако са разположени на една права или на успоредни прави, накратко, ако има права, на която са успоредни.

Векторите се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни, те могат да бъдат представени чрез вектори, лежащи в същата равнина. Нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор, тъй като няма специфична посока. Дължината му, разбира се, е нула. Очевидно всеки два вектора са компланарни; но разбира се не всеки три вектора в пространството са копланарни. Тъй като векторите, успоредни един на друг, са успоредни на една и съща равнина, колинеарните вектори са още по-компланарни. Разбира се, обратното не е вярно: копланарните вектори може да не са колинеарни. По силата на условието, прието по-горе, нулевият вектор е колинеарен с всеки вектор и компланарен с всяка двойка вектори, т.е. ако сред три вектора поне един е нула, тогава те са копланарни.

2) Думата „компланарен“ по същество означава: „имащ обща равнина“, т.е. „разположен в една и съща равнина“. Но тъй като тук говорим за свободни вектори, които могат да бъдат прехвърляни (без промяна на дължината и посоката) по произволен начин, трябва да наречем вектори, успоредни на една и съща равнина, копланарни, защото в този случай те могат да бъдат прехвърлени така, че да са разположени в един самолет.

За да съкратим речта, нека се съгласим в един термин: ако няколко свободни вектора са успоредни на една и съща равнина, тогава ще кажем, че те са компланарни. По-специално, два вектора винаги са компланарни; за да се убедим в това, достатъчно е да ги отложим от същата точка. Освен това е ясно, че посоката на равнината, в която два дадени вектора са успоредни, е напълно определена, ако тези два вектора не са успоредни един на друг. Просто ще наречем всяка равнина, на която тези компланарни вектори са успоредни, равнината на тези вектори.

Определение 2.Двата вектора се наричат равен, ако са колинеарни, имат еднаква посока и еднакви дължини.

Винаги трябва да помните, че равенството на дължините на два вектора не означава, че тези вектори са равни.

По смисъла на дефиницията два вектора, които са равни поотделно на третия, са равни един на друг. Очевидно всички нулеви вектори са равни един на друг.

От тази дефиниция веднага следва, че като изберем всяка точка A", можем да построим (и само един) вектор A" B", равен на някакъв даден вектор, или, както се казва, да прехвърлим вектора в точка A".

Коментирайте. За векторите няма понятия „повече“ или „по-малко“, т.е. те са равни или неравни.

Нарича се вектор, чиято дължина е равна на единица единиченвектор и се означава с e Единичен вектор, чиято посока съвпада с посоката на вектор a, се нарича ортомвектор и се обозначава с a.

3. За друга дефиниция на вектор. Имайте предвид, че концепцията за равенство на вектори се различава значително от концепцията за равенство, например, на числа. Всяко число е равно само на себе си, с други думи, две равни числа при всички обстоятелства могат да се считат за едно и също число. С векторите, както виждаме, ситуацията е различна: по дефиниция има различни, но еднакви вектори. Въпреки че в повечето случаи няма да е необходимо да правим разлика между тях, може да се окаже, че в даден момент ще се интересуваме от вектора, а не от друг, равен вектор A "B".

За да се опрости концепцията за равенството на векторите (и да се премахнат някои от трудностите, свързани с нея), понякога се усложнява дефиницията на вектор. Няма да използваме тази сложна дефиниция, но ще я формулираме. За да избегнем объркване, ще напишем „Вектор“ (с главна буква), за да обозначим концепцията, дефинирана по-долу.

Определение 3. Нека е дадена насочена отсечка. Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена по смисъла на Определение 2, се нарича вектор.

Така всеки насочен сегмент дефинира вектор. Лесно е да се види, че два насочени сегмента определят един и същ вектор тогава и само ако са равни. За векторите, както и за числата, равенството означава съвпадение: два вектора са равни тогава и само ако са един и същ вектор.

При паралелно пренасяне на пространство точка и нейното изображение образуват подредена двойка точки и определят насочен сегмент и всички такива насочени сегменти са равни по смисъла на Дефиниция 2. Следователно паралелният пренос на пространство може да се идентифицира с вектор, съставен на всички тези насочени сегменти.

От началния курс по физика е добре известно, че силата може да бъде представена чрез насочен сегмент. Но не може да бъде представено чрез вектор, тъй като силите, представени от равни насочени сегменти, произвеждат, най-общо казано, различни действия. (Ако сила действа върху еластично тяло, тогава насочената отсечка, която го представлява, не може да се пренесе дори по правата, на която то лежи.)

Това е само една от причините, поради които наред с векторите, т.е. набори (или, както се казва, класове) от еднакво насочени сегменти, е необходимо да се разглеждат отделни представители на тези класове. При тези обстоятелства прилагането на Определение 3 е усложнено от голям брой квалификации. Ще се придържаме към Дефиниция 1 и в общия смисъл винаги ще е ясно дали говорим за точно дефиниран вектор, или на негово място може да бъде заместен някой равен на него.

Във връзка с определението за вектор си струва да обясним значението на някои думи, които се срещат в литературата.