Всеки знае защо е необходима математиката. Много хора обаче се нуждаят от помощ при решаването на математически задачи и уравнения. Преди да ви кажем как да решавате логаритмични уравнения, трябва да разберете какво представляват те. Уравнения, които съдържат неизвестно в основата на логаритъма или под неговия знак, се наричат ​​логаритмични уравнения. Уравненията, които имат формата: logaX = b, или тези, които могат да бъдат приведени до тази форма, се считат за най-простите логаритмични уравнения.

Правилното решение

За да решите правилно такива уравнения, трябва да запомните свойствата на всяка логаритмична функция:

• набор от реални числа (диапазон)
• набор от положителни числа (домейн)
• в случай, че "а" е по-голямо от 1, логаритмичната функция строго нараства; ако е по-малко, логаритмичната функция намалява
• с дадените параметри: log "a" е равно на 1, а също log 1 е равно на нула, трябва да имате предвид, че "a" няма да бъде равно на 1, а ще бъде по-голямо от 0.

Правилното решение на логаритмични уравнения зависи пряко от разбирането на самия логаритъм. Да вземем пример: 5x=11. X е числото, до което трябва да се увеличи 5, за да стане 11. Това число се нарича логаритъм от 11 при основа 5 и се записва, както следва: x = log511. Така успяхме да решим експоненциалното уравнение: 5x=11, получавайки отговора: x=log511.

Логаритмични уравнения

Уравнение, което има логаритми, се нарича логаритмично уравнение. В това уравнение неизвестните променливи, както и изразите с тях, се намират вътре в самите логаритми. И никъде другаде! Примери за логаритмични уравнения: log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5) и т.н. Не забравяйте, че различни изрази с x могат да бъдат само в рамките на даден логаритъм.

Отървете се от логаритмите

Методите за решаване на логаритмични уравнения се прилагат в съответствие с поставената задача, а самият процес на решаване като цяло е много трудна задача. Да започнем с елементарни уравнения. Най-простите логаритмични уравнения имат следната форма:

• logx-21=11
• log5 (70x-1)=2
• log5x=25

Решаването на логаритмично уравнение включва преминаване от уравнение с логаритми към уравнение, в което няма такива. И в най-простите уравнения това може да се направи в една стъпка. Поради тази причина те се наричат ​​протозои. Например трябва да решим следното уравнение: log5x = log52. За това не се нуждаем от специални знания. В този пример трябва да се отървем от логаритмите, които ни развалят цялата картина. Премахваме логаритмите и получаваме: x=2. Следователно в бъдеще е необходимо да се премахнат ненужните логаритми, ако е възможно. В края на краищата, точно тази последователност ви позволява да решавате логаритмични неравенства и уравнения. В математиката такива действия обикновено се наричат ​​потенциране. Но премахването на логаритмите по този начин има свои собствени правила. Ако логаритмите нямат коефициенти (т.е. те се задават сами), а също и ако имат една и съща числена основа, логаритмите могат да бъдат премахнати.

Не забравяйте, че след като елиминираме логаритмите, оставаме с опростено уравнение. Нека решим друг пример:

log9 (5x-4)-log9x. Потенцираме и получаваме:

• 5x-4=x
• 5x=x+4

Както можете да видите, като премахнем логаритмите, получаваме обичайното уравнение, което вече не е трудно за решаване. Сега можем да преминем към по-сложни примери: log9 (60x-1)=2. Трябва да се обърнем към логаритъма (числото, към което е повдигната основата, в нашия случай 9), за да получим сублогаритмичния израз (60x-1). Нашият логаритъм е равен на 2. Следователно: 92 = 60x-1. Няма повече логаритъм. Решаваме полученото уравнение: 60x-1=59, x = 1.

Решихме този пример според значението на логаритъма. Трябва да се отбележи, че от всяко дадено число можете да направите логаритъм от необходимата форма. Този метод е много полезен при решаване на неравенства и логаритмични уравнения. Ако трябва да намерите корена в уравнението, нека да видим как може да стане това: log5(18 – x) = log55

Ако в нашето уравнение и двете страни на уравнението имат логаритми, които имат една и съща основа, тогава можем да приравним изразите, които стоят под знаците на нашите логаритми. Премахваме общата основа: log5. Получаваме просто уравнение: 18 – x = 5, x = 13.

Всъщност решаването на логаритмични уравнения не е толкова трудно. Дори като се вземе предвид факта, че свойствата на логаритмичните уравнения могат да се различават значително, все пак няма неразрешими задачи. Необходимо е да познавате свойствата на самия логаритъм, както и да можете да ги прилагате правилно. Няма нужда да бързаме: помним горните инструкции и започваме да решаваме задачите. Няма нужда да се плашите от сложно уравнение; имате всички необходими знания и ресурси, за да се справите лесно с всяко от тях.

Въведение

Логаритмите са измислени, за да ускорят и опростят изчисленията. Идеята за логаритъм, тоест идеята за изразяване на числата като степени на една и съща основа, принадлежи на Михаил Щифел. Но по времето на Щифел математиката не беше толкова развита и идеята за логаритъма не беше развита. По-късно логаритмите са изобретени едновременно и независимо един от друг от шотландския учен Джон Напиер (1550-1617) и швейцареца Йобст Бурги (1552-1632) е първият, който публикува работата си през 1614 г. под заглавието „Описание на невероятна таблица с логаритми“ теорията на Напиер за логаритмите е дадена в доста пълен обем, методът за изчисляване на логаритми е даден като най-прост, следователно заслугите на Напиер в изобретяването на логаритми са по-големи от тези на Бюрги . Бурги работи върху таблиците едновременно с Напиер, но ги пази в тайна дълго време и ги публикува едва през 1620 г. Нейпиер усвоява идеята за логаритъма около 1594 г. въпреки че таблиците са публикувани 20 години по-късно. Отначало той нарече своите логаритми „изкуствени числа“ и едва след това предложи тези „изкуствени числа“ да се наричат ​​с една дума „логаритъм“, което в превод от гръцки означава „корелирани числа“, взети едно от аритметична прогресия, а другото от геометрична прогресия, специално подбрана за него. Първите таблици на руски език са публикувани през 1703 г. с участието на прекрасен учител от 18 век. Л. Ф. Магнитски. Трудовете на петербургския академик Леонхард Ойлер са от голямо значение за развитието на теорията на логаритмите. Той е първият, който разглежда логаритмите като обратна на повишаването на степен; той въвежда термините „логаритмична основа“ и „мантиса“, съставена от логаритми с основа 10. Десетичните таблици са по-удобни за практическа употреба, тяхната теория е. по-проста от тази на логаритмите на Напиер. Следователно десетичните логаритми понякога се наричат ​​логаритми на Бригс. Терминът "охарактеризиране" е въведен от Бригс.

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно не е имало монети или портфейли. Но имаше купища, както и саксии и кошници, които бяха идеални за ролята на тайници за съхранение, които можеха да поберат неизвестен брой предмети. В древните математически задачи на Месопотамия, Индия, Китай, Гърция неизвестните величини изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото и съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на имуществото. Писари, чиновници и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за сметките, се справяли доста успешно с подобни задачи.

Достигналите до нас източници показват, че древните учени са имали някои общи техники за решаване на проблеми с неизвестни величини. Въпреки това нито един папирус или глинена плочка не съдържа описание на тези техники. Авторите само от време на време предоставят своите числени изчисления с оскъдни коментари като: „Вижте!“, „Направете това!“, „Намерихте правилния“. В този смисъл изключение прави „Аритметиката” на гръцкия математик Диофант от Александрия (III в.) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Но първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно, беше дело на багдадския учен от 9 век. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "ал-джабр" от арабското име на този трактат - "Китаб ал-джабер уол-мукабала" ("Книга на възстановяването и противопоставянето") - с течение на времето се превърна в добре познатата дума "алгебра", а ал- Самата работа на Хорезми послужи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

Логаритмични уравнения и неравенства

1. Логаритмични уравнения

Уравнение, което съдържа неизвестно под знака на логаритъма или в основата си, се нарича логаритмично уравнение.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнение от формата

дневник а х = b . (1)

Твърдение 1. Ако а > 0, а≠ 1, уравнение (1) за всяко реално bима уникално решение х = а б .

Пример 1. Решете уравненията:

а) дневник 2 х= 3, b) log 3 х= -1, в)

Решение. Използвайки твърдение 1, получаваме а) х= 2 3 или х= 8; б) х= 3 -1 или х= 1/3; в)

Нека представим основните свойства на логаритъма.

P1. Основна логаритмична идентичност:

Къде а > 0, а≠ 1 и b > 0.

P2. Логаритъмът на произведението на положителните фактори е равен на сумата от логаритмите на тези фактори:

дневник а Н 1 · Н 2 = дневник а Н 1 + дневник а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Коментирайте. Ако Н 1 · Н 2 > 0, тогава свойството P2 приема формата

дневник а Н 1 · Н 2 = дневник а |Н 1 | + дневник а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Н 1 · Н 2 > 0).

P3. Логаритъмът от частното на две положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя

Коментирайте. Ако

P4. Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число:

дневник а Н к = кдневник а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).

Коментирайте. Ако к- четно число ( к = 2s), това

дневник а Н 2s = 2sдневник а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).

P5. Формула за преместване в друга база:

особено ако Н = b, получаваме

Използвайки свойства P4 и P5, е лесно да се получат следните свойства

и ако в (5) c- четно число ( c = 2п), се провежда

Нека изброим основните свойства на логаритмичната функция f (х) = дневник а х :

1. Областта на дефиниране на логаритмична функция е множеството от положителни числа.

2. Диапазонът от стойности на логаритмичната функция е набор от реални числа.

3. Кога а> 1 логаритмична функция е строго нарастваща (0< х 1 < х 2log а х 1 < logа х 2) и на 0< а < 1, - строго убывает (0 < х 1 < х 2log а х 1 > дневник а х 2).

4.дневник а 1 = 0 и log а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е отрицателна, когато х(0;1) и положителен при х(1;+∞), и ако 0< а < 1, то логарифмическая функция положительна при х (0;1) и отрицателен при х (1;+∞).

6. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е изпъкнала нагоре и ако а(0;1) - изпъкнал надолу.

Следните твърдения (вижте например) се използват при решаване на логаритмични уравнения.

Въведение

Увеличаването на умственото натоварване в часовете по математика ни кара да мислим как да поддържаме интереса на учениците към изучавания материал и тяхната активност през целия урок. В тази връзка тече търсене на нови ефективни методи на обучение и методически похвати, които да активизират мислите на учениците и да ги стимулират да придобиват самостоятелно знания.

Възникването на интерес към математиката сред значителен брой ученици зависи до голяма степен от методологията на нейното преподаване, от това колко умело ще бъде структурирана учебната работа. Навременното привличане на вниманието на учениците към факта, че математиката изучава общите свойства на обектите и явленията от околния свят и не се занимава с обекти, а с абстрактни абстрактни понятия, може да се постигне разбиране, че математиката не прекъсва връзката с реалността , а напротив, дава възможност да се изучава по-задълбочено, да се правят обобщени теоретични заключения, които се използват широко в практиката.

Участвайки във фестивала на педагогическите идеи "Открит урок" през учебната 2004-2005 г., представих урок-лекция на тема "Логаритмична функция" (диплома № 204044). Считам този метод за най-успешния в конкретния случай. В резултат на обучението учениците имат подробен конспект и кратко изложение на темата, което ще им улесни подготовката за следващите уроци. По-специално по темата „Решаване на логаритмични уравнения“, която се основава изцяло на изучаването на логаритмичната функция и нейните свойства.

При формирането на основни математически понятия е важно да се създаде у учениците представа за целесъобразността на въвеждането на всяка от тях и възможността за тяхното приложение. За да направите това, е необходимо при формулиране на дефиницията на определена концепция, работа върху нейната логическа структура, да се разгледат въпроси за историята на възникването на тази концепция. Този подход ще помогне на учениците да осъзнаят, че новата концепция служи като обобщение на фактите от реалността.

Историята на появата на логаритмите е представена подробно в миналогодишната работа.

Отчитайки значението на приемствеността в обучението по математика в средно специализирано учебно заведение и в университет и необходимостта от спазване на единни изисквания към студентите, считам за целесъобразно да използвам следния метод за запознаване на учениците с решаването на логаритмични уравнения.

Уравнения, съдържащи променлива под знака на логаритъма (по-специално в основата на логаритъма), се наричат логаритмичен. Разгледайте логаритмични уравнения от формата:

Решението на тези уравнения се основава на следната теорема.

Теорема 1.Уравнението е еквивалентно на системата

(2)

За да решите уравнение (1), е достатъчно да решите уравнението

и замества неговите решения в системата от неравенства

дефиниране на областта на дефиниране на уравнение (1).

Корените на уравнение (1) ще бъдат само онези решения на уравнение (3), които удовлетворяват система (4), т.е. принадлежат към областта на дефиниране на уравнение (1).

При решаване на логаритмични уравнения може да възникне разширяване на областта на дефиниция (получаване на външни корени) или стесняване (загуба на корени). Следователно, замествайки корените на уравнение (3) в система (4), т.е. изисква се проверка на решението.

Пример 1:Решете уравнението

Решение:

И двете значения Xотговарят на условията на системата.

отговор:

Разгледайте уравнения от формата:

Тяхното решение се основава на следната теорема

Теорема 2:Уравнение (5) е еквивалентно на системата

(6)

Корените на уравнение (5) ще бъдат само онези корени на уравнението, които

принадлежат към областта на дефиницията, определена от условията.

Логаритмично уравнение от вида (5) може да бъде решено по различни начини. Нека да разгледаме основните.

1. ПОТЕНТИЗИРАНЕ (прилагане на свойствата на логаритъма).

Пример 2:Решете уравнението

Решение:По силата на теорема 2 това уравнение е еквивалентно на системата:

Нека решим уравнението:

Само един корен отговаря на всички условия на системата. отговор:

2. ИЗПОЛЗВАНЕ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕТО ЗА ЛОГАРИТЪМ .

Пример 3:Намерете X, Ако

Решение:

Значение X= 3 принадлежи към областта на дефиниране на уравнението. отговор X = 3

3. СВЕДЕНИЕ ДО КВАДРАТНО УРАВНЕНИЕ.

Пример 4:Решете уравнението

И двете значения Xса корените на уравнението.

отговор:

4. ЛОГАРИФТИРАНЕ.

Пример 5:Решете уравнението

Решение:Нека вземем логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10 и приложим свойството "логаритъм на степента".

И двата корена принадлежат към обхвата на допустимите стойности на логаритмичната функция.

отговор: X = 0,1; X = 100

5. СВЕДЕНИЕ ДО ЕДНА ОСНОВА.

Пример 6:Решете уравнението

Нека използваме формулата и нека преминем към логаритъм с основа 2 във всички термини:

Тогава това уравнение ще приеме формата:

Тъй като , тогава това е коренът на уравнението.

отговор: X = 16