Начертайте y x 2. Квадратни и кубични функции

"Натурален логаритъм" - 0,1. естествени логаритми. 4. "Логаритмичен дартс". 0,04. 7.121.

"Степенна функция 9 клас" - U. Кубична парабола. Y = x3. Учител от 9 клас Ладошкина И.А. Y = x2. Хипербола. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n, където n е дадено естествено число. X. Показателят е четно естествено число (2n).

"Квадратна функция" - 1 Дефиниция на квадратна функция 2 Свойства на функцията 3 Графики на функции 4 Квадратни неравенства 5 Заключение. Свойства: Неравенства: Изготвил Андрей Герлиц, ученик от 8А клас. План: Графика: -Интервали на монотонност при a > 0 при a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Квадратична функция и нейната графика" - Решение. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-принадлежи. Когато a=1, формулата y=ax приема формата.

"Квадратична функция от клас 8" - 1) Конструирайте върха на параболата. График на квадратна функция. х. -7. Начертайте функцията. Алгебра 8 клас Учител 496 училище Bovina TV -1. План за застрояване. 2) Да се ​​построи оста на симетрия x=-1. г.

Функционалната графика е визуално представяне на поведението на някаква функция в координатната равнина. Графиките помагат да се разберат различни аспекти на функция, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и всяка от тях ще бъде дадена с определена формула. Графиката на всяка функция се изгражда според определен алгоритъм (ако сте забравили точния процес на начертаване на графика на определена функция).

стъпки

График на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейна функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен и други подобни. Като се има предвид функция с подобна форма, начертаването на такава функция е доста просто. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста y.Константата (b) е координатата "y" на пресечната точка на графиката с оста Y. Тоест, това е точка, чиято координата "x" е 0. Така, ако x = 0 се замества във формулата , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклона на линията.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата "x" е коефициент 2; по този начин наклонът е 2. Наклонът определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е наклонът, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Наклонът е равен на тангенса на ъгъла на наклона, т.е. отношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да кажем, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

1. От точката, където линията се пресича с оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикалното и хоризонталното разстояние. Линейна функция може да бъде начертана с помощта на две точки. В нашия пример точката на пресичане с оста Y има координати (0,5); от тази точка се преместете с 2 интервала нагоре и след това с 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.

   Използвайте линийка, за да начертаете права линия през две точки.За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да бъде изградена с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

   Начертаване на точки върху координатната равнина

   1. Дефинирайте функция.Функцията се означава като f(x). Всички възможни стойности на променливата "y" се наричат ​​диапазон на функцията, а всички възможни стойности на променливата "x" се наричат ​​домейн на функцията. Например, разгледайте функцията y = x+2, а именно f(x) = x+2.

      Начертайте две пресичащи се перпендикулярни линии.Хоризонталната линия е оста X. Вертикалната линия е оста Y.

      Маркирайте координатните оси.Разделете всяка ос на равни сегменти и ги номерирайте. Пресечната точка на осите е 0. За оста X: положителните числа се нанасят отдясно (от 0), а отрицателните числа отляво. За оста Y: положителните числа се нанасят отгоре (от 0), а отрицателните числа отдолу.

      Намерете стойностите на "y" от стойностите на "x".В нашия пример f(x) = x+2. Заменете определени стойности на "x" в тази формула, за да изчислите съответните стойности на "y". Ако е дадена сложна функция, опростете я, като изолирате "y" от едната страна на уравнението.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Начертайте точки върху координатната равнина.За всяка двойка координати направете следното: намерете съответната стойност по оста x и начертайте вертикална линия (пунктирана линия); намерете съответната стойност на оста y и начертайте хоризонтална линия (пунктирана линия). Маркирайте точката на пресичане на двете пунктирани линии; по този начин сте начертали точка на графиката.

      Изтрийте пунктираните линии.Направете това, след като начертаете всички точки на графиката върху координатната равнина. Забележка: графиката на функцията f(x) = x е права линия, минаваща през центъра на координатите [точка с координати (0,0)]; графиката f(x) = x + 2 е права, успоредна на правата f(x) = x, но изместена нагоре с две единици и следователно минаваща през точката с координати (0,2) (тъй като константата е 2) .

   График на сложна функция

   Намерете нулите на функцията.Нулите на функцията са стойностите на променливата "x", при която y = 0, тоест това са точките на пресичане на графиката с оста x. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но това е първата стъпка в процеса на начертаване на графика на всяка функция. За да намерите нулите на функция, задайте я равна на нула. Например:

   Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти.Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. функцията не е дефинирана в тази област, например, когато е разделена на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), задайте знаменателя на нула и намерете "x". В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържа дробен израз. Затова се препоръчва да използвате здрав разум:

Построете крива, дадена от параметрични уравнения \

Нека първо проучим графиките на функциите \(x\left(t \right)\) и \(x\left(t \right)\). И двете функции са кубични полиноми, които са дефинирани за всички \(x \in \mathbb(R).\) Намерете производната \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ дясно) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Решаване на уравнението \ ( x"\left(t \right) = 0,\) дефинират стационарните точки на функцията \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\ ; (\Дясна стрелка 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) функцията \(x\left(t \right)\) достига максимум равен на \ и в точка \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) има минимум равно на \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Разгледайте производната \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ ляво(t \дясно) = (\ляво(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \дясно)^\просто ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Намерете стационарните точки на функцията \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Дясна стрелка (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Тук по подобен начин функцията \(y\left(t \right)\) достига своя максимум в точката \(t = -2:\) \ и своя минимум в точката \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \прав t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Графики на функции \(x\left(t \ right)\), \(y\left(t \right)\) са схематично показани на фигурата \(15a.\)

Фиг.15а		Фиг.15b

Фиг.15в

Обърнете внимание, че тъй като \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] тогава кривата \(y\left(x \right)\) няма нито една вертикала, няма хоризонтални асимптоти. Освен това, тъй като \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ цвят (синьо)(t^3)) + \color(red)(2(t^2)) - \color(green)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ цвят (червено)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] тогава кривата \(y\left(x \right)\) също няма наклонени асимптоти.

Нека определим пресечните точки на графиката \(y\left(x \right)\) с координатните оси. Пресечната точка с оста x се случва в следните точки: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Дясна стрелка t\наляво(((t^2) + 2t - 4) \надясно) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Дясна стрелка D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Стрелка надясно (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\ \[ (x\left(((t_2)) \right) = x\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ^3) + (\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right)^2) - \left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 + 3\sqrt) 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \приблизително 20,18;) \] \[ (x\left(((t_3)) \right) = x\left(( - 1 + \ sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^3) + (\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^2) - \ left( ( - 1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \приблизително 2,18. ) \] В по същия начин намираме точките на пресичане на графиката с оста y: \[ (x\left(t \right) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\; \; (\Rightarrow t\left(((t^2) + t - 1) \right) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Дясна стрелка D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Стрелка надясно (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)

\ \[ (y\left(((t_2)) \right) = y\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left((\ frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^2) - 4\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \приблизително 7,47 ;) \] \[ (y\left(((t_3)) \right) = y\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left (( \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ^2 ) - 4\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 - \sqrt 5 ) \right ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \приблизително - 1,47 .) \] Разделете оста \(t\) на \(5\) интервали: \[ (\left(( - \infty , - 2) \right),)\;\; (\наляво(( - 2, - 1) \вдясно),)\;\; (\left(( - 1,\frac(1)(3)) \right),)\;\; (\left((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \right),)\;\; (\left((\frac(2)(3), + \infty ) \right).) \] На първия интервал \(\left(( - \infty , - 2) \right)\) стойностите ​​\(x \) и \(y\) се увеличават от \(-\infty\) до \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) и \(y\left(( - 2) ) \right) = 8.\) Това е показано схематично на фигурата \(15b.\)

На втория интервал \(\left(( - 2, - 1) \right)\) променливата \(x\) нараства от \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) до \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) и променливата \(y\) намалява от \(y\left(( - 2) \right) = 8\) до \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Тук имаме участък от намаляващата крива \(y\left(x \right).\) Тя пресича оста y в точката \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \вдясно).\)

На третия интервал \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) и двете променливи намаляват. \(x\) се променя от \(x\left(( - 1) \right) = 1\) на \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Съответно \(y\) намалява от \(y\left(( - 1) \right) = 5\) до \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Кривата \(y\left(x \right)\ ) пресича произхода на координатите.

На четвъртия интервал \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) променливата \(x\) нараства от \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) до \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) и променливата \(y\) намалява от \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) до \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) В този раздел кривата \(y\left(x \right)\) пресича у-оста в точката \(\left( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)

И накрая, на последния интервал \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) и двете функции \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) увеличение. Кривата \(y\left(x \right)\) пресича оста x в точката \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \приблизително 2,18.\)

За да прецизираме формата на кривата \(y\left(x \right)\), изчисляваме максималните и минималните точки. Производната \(y"\left(x \right)\) се изразява като \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ ляво((t + 2) \дясно)\ляво((t - \frac(2)(3)) \дясно)))((\ляво((t + 1) \дясно)\ляво((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Промяната в знака на производната \(y"\left(x \right)\) е показана на фигурата \(15c.\) Вижда се, че в точката \(t = - 2,\) т.е. на границата на \(I\)-ия и \(II\)-ия интервали кривата има максимум, а за \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (на границата \(IV\)-ти и \(V\)-ти интервали) има минимум. При преминаване през точката \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) производната също променя знака от плюс на минус, но в тази област кривата \(y\left(x \right)\ ) не е еднозначна функция. Следователно посочената точка не е екстремум.

Ние също така изследваме изпъкналостта на тази крива. Втора производна\(y""\left(x \right)\) има формата: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ дясно ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) ) + \color(green)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \право))^3))). \] Следователно втората производна променя знака си на противоположния, когато преминава през следните точки (фиг.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \приблизително 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \приблизително 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \приблизително 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \приблизително 40,8.) \] Следователно тези точки са инфлексни точки на кривата \(y\left (x \вдясно).\)

Схематичен график на кривата \(y\left(x \right)\) е показан по-горе на фигурата \(15b.\)

Как да изградим парабола? Има няколко начина за начертаване на графика на квадратична функция. Всеки от тях има своите плюсове и минуси. Нека разгледаме два начина.

Нека започнем с начертаване на квадратна функция като y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Начертайте функцията y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

От върха (-1;-4) изграждаме графика на параболата y=x² (като от началото. Вместо (0;0) - върха (-1;-4). От (-1;- 4) отиваме надясно с 1 единица и нагоре с 1, след това наляво с 1 и нагоре с 1, след това: 2 - надясно, 4 - нагоре, 2 - наляво, 4 - нагоре, 3 - надясно, 9 - нагоре, 3 - наляво, 9 - нагоре. Тези 7 точки не са достатъчни, след това - 4 надясно, 16 - нагоре и т.н.).

Графиката на квадратната функция y= -x²+bx+c е парабола, чиито клонове са насочени надолу. За да изградим графика, търсим координатите на върха и от тях изграждаме парабола y= -x².

Пример.

Начертайте функцията y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

От върха изграждаме парабола y = -x² (1 - надясно, 1 - надолу; 1 - наляво, 1 - надолу; 2 - надясно, 4 - надолу; 2 - наляво, 4 - надолу и т.н.):

Този метод ви позволява бързо да изградите парабола и не създава затруднения, ако знаете как да начертаете функциите y=x² и y= -x². Недостатък: ако координатите на върха са дробни числа, чертането не е много удобно. Ако искате да знаете точните стойности на пресечните точки на графиката с оста x, ще трябва допълнително да решите уравнението x² + bx + c = 0 (или -x² + bx + c = 0), дори ако тези точки могат да бъдат директно определени от фигурата.

Друг начин за изграждане на парабола е чрез точки, т.е. можете да намерите няколко точки на графиката и да начертаете парабола през тях (като се има предвид, че правата x=xₒ е нейната ос на симетрия). Обикновено за това те вземат върха на параболата, пресечните точки на графиката с координатните оси и 1-2 допълнителни точки.

Начертайте функцията y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 е квадратна функция. Графиката е парабола с разклонения нагоре. Координати на върха на парабола

това означава, че върхът на параболата е точката (-2,5; -2,25).

Търсят . В точката на пресичане с оста Ox y=0: x²+5x+4=0. Корените на квадратното уравнение x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, т.е. те получиха две точки на графиката (-1; 0) и (-4; 0).

В пресечната точка на графиката с оста Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Получих точка (0; 4).

За да прецизирате графиката, можете да намерите допълнителна точка. Да вземем x=1, тогава y=1²+5∙1+4=10, тоест още една точка от графиката - (1; 10). Отбелязваме тези точки на координатната равнина. Като вземем предвид симетрията на параболата спрямо правата, минаваща през нейния връх, маркираме още две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и начертаваме парабола през тях:

Начертайте функцията y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x е квадратна функция. Графиката е парабола с клонове надолу. Координати на върха на парабола

Върхът (-1,5; 2,25) е първата точка на параболата.

В точките на пресичане на графиката с оста x y=0, тоест решаваме уравнението -x²-3x=0. Корените му са x=0 и x=-3, тоест (0; 0) и (-3; 0) са още две точки на графиката. Точката (o; 0) също е точката на пресичане на параболата с оста y.

При x=1 y=-1²-3∙1=-4, т.е. (1; -4) е допълнителна точка за чертане.

Изграждането на парабола от точки е по-отнемащ време метод в сравнение с първия. Ако параболата не пресича оста Ox, ще са необходими повече допълнителни точки.

Преди да продължите с изграждането на графики на квадратични функции от вида y=ax²+bx+c, разгледайте изграждането на графики на функции с помощта на геометрични трансформации. Графиките на функции от вида y=x²+c също са най-удобни за изграждане с помощта на една от тези трансформации - паралелна транслация.

Рубрика: |

План за построяване на квадратична функция.

1. Функционална област (д(г)).

2. Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре (надолу), т.к. a = __ > 0 (a = __< 0).

3. Координати на върха на параболата.

4. Уравнение на оста на симетрия.

5. Пресечна точка на графиката с остаой.

6. Функционални нули.

7. Таблица със стойностите на функцията.

8. Графика.

Пример за начертаване на функционална графика г = х 2 – 4 х + 3

1. д(г) = (- ∞; + ∞).

2. Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, тъй като a \u003d 1\u003e 0.

3. Координати на върха на парабола:

х 0 = - , г 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1.

4. Уравнение на оста на симетриях = 2.

5. Пресечна точка с остаой (0; 3).

6. Функционални нули:

х 2 – 4 х + 3 = 0 д = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

х 1 = = 1 х 2 = = 3

7. Нека направим таблица със стойностите на функцията:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Да построим графика

Свойства на функцията:

1. Наборът от функционални стойности (д (г)).

2. Интервали на постоянство на функцията (г>0, г<0).

3. Интервали на монотонност на функцията (увеличава се, намалява).

4. Точки на максимум и минимум на функцията.

Функционални свойства г = х 2 – 4 х + 3.

1. д (г) = [-1; + ∞).

2. г < 0, при х (1; 3).