Обем на различни фигури. Формули за намиране на обема на паралелепипед

Общ преглед. Стереометрични формули!

Здравейте, мили приятели! В тази статия реших да направя общ преглед на проблемите в стереометрията, които ще бъдат включени Единен държавен изпит по математикад. Трябва да се каже, че задачите от тази група са доста разнообразни, но не са трудни. Това са задачи за намиране на геометрични величини: дължини, ъгли, повърхнини, обеми.

Разглеждат се: куб, паралелепипед, призма, пирамида, сложен многостен, цилиндър, конус, топка. Тъжният факт е, че някои зрелостници дори не се заемат с такива задачи по време на самия изпит, въпреки че повече от 50% от тях се решават просто, почти устно.

Останалите изискват малко усилия, знания и специални техники. В бъдещи статии ще разгледаме тези задачи, не го пропускайте, абонирайте се за актуализации на блога.

За да решите, трябва да знаете формули за площи и обемипаралелепипед, пирамида, призма, цилиндър, конус и сфера. Няма трудни задачи, всички се решават в 2-3 стъпки, важно е да се „види” каква формула трябва да се приложи.

Всички необходими формули са представени по-долу:

Топка или сфера. Сферична или сферична повърхност (понякога просто сфера) е геометричното място на точки в пространството, еднакво отдалечени от една точка - центъра на топката.

Обем на топкатаравен на обема на пирамида, чиято основа има същата площ като повърхността на топката, а височината е радиусът на топката

Обемът на сферата е един път и половина по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея.

Кръгов конус може да се получи чрез въртене на правоъгълен триъгълник около един от краката му, поради което кръговият конус се нарича още конус на въртене. Вижте също Повърхностна площ на кръгъл конус

Обем на кръгъл конусравна на една трета от произведението на основната площ S и височината H:

(H е височината на ръба на куба)

Паралелепипедът е призма, чиято основа е успоредник. Паралелепипедът има шест лица и всички те са успоредници. Паралелепипед, чиито четири странични стени са правоъгълници, се нарича прав паралелепипед. Прав паралелепипед, чиито шест лица са правоъгълници, се нарича правоъгълен.

Обем на правоъгълен паралелепипедравно на произведението на площта на основата и височината:

(S е площта на основата на пирамидата, h е височината на пирамидата)

Пирамидата е многостен, който има едно лице - основата на пирамидата - произволен многоъгълник, а останалите - странични лица - триъгълници с общ връх, наречен връх на пирамидата.

Разрез, успореден на основата на пирамидата, разделя пирамидата на две части. Частта от пирамидата между нейната основа и този участък е пресечена пирамида.

Обем на пресечена пирамидаравна на една трета от произведението на височината h(OS)от сумата на площите на горната основа S1 (abcde), долна основа на пресечена пирамида S2 (ABCDE)и средното пропорционално между тях.

1.

V=

n - броят на страните на правилен многоъгълник - основа на правилна пирамида
a - страна на правилен многоъгълник - основа на правилна пирамида
h - височина на правилна пирамида

Правилна триъгълна пирамида е многостен, който има едно лице - основата на пирамидата - правилен триъгълник, а останалите - страничните лица - равни триъгълници с общ връх. Височината се спуска до центъра на основата от върха.

Обем на правилна триъгълна пирамидаравна на една трета от произведението на площта на правилен триъгълник, който е основата S (ABC)до височината h(OS)

a - страна на правилен триъгълник - основа на правилна триъгълна пирамида
h - височина на правилна триъгълна пирамида

Извеждане на формулата за обем на тетраедър

Обемът на тетраедър се изчислява по класическата формула за обем на пирамида. Необходимо е да се замени височината на тетраедъра и площта на правилен (равностранен) триъгълник.

Обем на тетраедър- е равно на дробта, в числителя на която квадратният корен от две в знаменателя е дванадесет, умножена по куба на дължината на ръба на тетраедъра

(h е дължината на страната на ромба)

Обиколка стре приблизително три цели и една седма от дължината на диаметъра на кръга. Точното съотношение на обиколката на кръга към неговия диаметър се обозначава с гръцката буква π

В резултат на това периметърът на кръга или обиколката се изчислява по формулата

π r n

(r е радиусът на дъгата, n е централния ъгъл на дъгата в градуси.)

Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво ще стане, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.

Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от кръг. Намерете площта на сектор от кръг с радиус, чиято дъга е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като) и дължината на дъгата на даден сектор е равна, следователно дължината на дъгата е един път по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.

Измерете всички необходими разстояния в метри.Обемът на много триизмерни фигури може лесно да се изчисли с помощта на подходящите формули. Въпреки това, всички стойности, заместени във формули, трябва да бъдат измерени в метри. Ето защо, преди да включите стойности във формулата, уверете се, че всички те са измерени в метри или че сте преобразували други мерни единици в метри.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 км = 1000 м

За да изчислите обема на правоъгълни фигури (правоъгълник, куб), използвайте формулата: обем = Д × Ш × В(дължина по ширина по височина). Тази формула може да се разглежда като произведение на повърхността на едно от лицата на фигурата и ръба, перпендикулярен на това лице.

• Например, нека изчислим обема на стая с дължина 4 м, ширина 3 м и височина 2,5 м. За да направите това, просто умножете дължината по ширината и по височината:
  • 4 × 3 × 2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. Обемът на тази стая е 30 м 3.
• Кубът е триизмерна фигура с равни страни. Така формулата за изчисляване на обема на куб може да бъде написана като: обем = L 3 (или W 3, или H 3).

За да изчислите обема на фигурите под формата на цилиндър, използвайте формулата: пи× R 2 × H. Изчисляването на обема на цилиндъра се свежда до умножаване на площта на кръглата основа по височината (или дължината) на цилиндъра. Намерете площта на кръглата основа, като умножите pi (3.14) по квадрата на радиуса на окръжността (R) (радиусът е разстоянието от центъра на окръжността до всяка точка, разположена на тази окръжност). След това умножете резултата по височината на цилиндъра (H) и ще намерите обема на цилиндъра. Всички стойности се измерват в метри.

• Например, нека изчислим обема на кладенец с диаметър 1,5 m и дълбочина 10 m. Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса: 1,5/2 = 0,75 m.
  • (3,14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. Обемът на кладенеца е 17,66 м 3.

За да изчислите обема на топка, използвайте формулата: 4/3 х пи× R 3 . Тоест трябва да знаете само радиуса (R) на топката.

• Например, нека изчислим обема на балон с диаметър 10 m. Разделете диаметъра на 2, за да получите радиуса: 10/2 = 5 m.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3,14) × 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523.6. Обемът на балона е 523,6 м 3.

За да изчислите обема на конусовидни фигури, използвайте формулата: 1/3 х пи× R 2 × H. Обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър, който има същата височина и радиус.

• Например, нека изчислим обема на фунийка за сладолед с радиус 3 см и височина 15 см. Преобразувайки в метри, получаваме съответно: 0,03 м и 0,15 м.
  • 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
  • = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
  • = 1/3 × 0,0004239
  • = 0,000141. Обемът на фунийка сладолед е 0,000141 m 3.

За да изчислите обема на неправилни форми, използвайте няколко формули.За да направите това, опитайте се да разделите фигурата на няколко фигури с правилна форма. След това намерете обема на всяка такава фигура и сумирайте резултатите.

• Например, нека изчислим обема на малък хамбар. Складът е с цилиндрично тяло с височина 12 м и с радиус 1,5 м. Като се изчисли обемът на покрива отделно, ние можете да намерите общия обем на житницата:
  • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
  • (3.14) × 1.5 2 × 12 + 1/3 x (3.14) × 1.5 2 × 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87.178. Обемът на хамбара е равен на 87,178 м 3.