Обиколката на основата на конуса. Общата повърхност на конуса е

Ето проблеми с конусите, състоянието е свързано с повърхността му. По-специално, в някои задачи има въпрос за промяна на площта при увеличаване (намаляване) на височината на конуса или радиуса на основата му. Теория за решаване на задачи в . Нека разгледаме следните задачи:

27135. Обиколката на основата на конуса е 3, образуващата е 2. Намерете площта на страничната повърхност на конуса.

Площта на страничната повърхност на конуса е равна на:

Заместване на данните:

75697. Колко пъти ще се увеличи площта на страничната повърхност на конуса, ако неговият генератор се увеличи 36 пъти, а радиусът на основата остане същият?

Площ на страничната повърхност на конуса:

Образуващата се увеличава 36 пъти. Радиусът остава същият, което означава, че обиколката на основата не се е променила.

Това означава, че страничната повърхност на модифицирания конус ще има формата:

Така тя ще се увеличи с 36 пъти.

*Връзката е ясна, така че този проблем може лесно да бъде разрешен устно.

27137. Колко пъти ще намалее площта на страничната повърхност на конуса, ако радиусът на основата му се намали 1,5 пъти?

Площта на страничната повърхност на конуса е равна на:

Радиусът намалява 1,5 пъти, т.е.

Установено е, че страничната повърхност намалява 1,5 пъти.

27159. Височината на конуса е 6, генераторът е 10. Намерете площта на общата му повърхност, разделена на Pi.

Пълна повърхност на конуса:

Трябва да намерите радиуса:

Височината и генератрисата са известни, като използваме питагоровата теорема, изчисляваме радиуса:

Така:

Разделете резултата на Пи и запишете отговора.

76299. Общата повърхност на конуса е 108. Начертава се сечение, успоредно на основата на конуса, разделящо височината наполовина. Намерете общата повърхност на отрязания конус.

Разрезът минава през средата на височината успоредно на основата. Това означава, че радиусът на основата и образуващата на отрязания конус ще бъде 2 пъти по-малък от радиуса и образуващата на оригиналния конус. Нека запишем повърхността на отрязания конус:

Открихме, че ще бъде 4 пъти по-малко от повърхността на оригинала, тоест 108:4 = 27.

*Тъй като оригиналният и отрязаният конус са подобни тела, също беше възможно да се използва свойството за подобие:

27167. Радиусът на основата на конуса е 3, а височината е 4. Намерете общата повърхност на конуса, разделена на Pi.

Формула за общата повърхност на конус:

Радиусът е известен, необходимо е да се намери генератора.

Според теоремата на Питагор:

Така:

Разделете резултата на Пи и запишете отговора.

Задача. Площта на страничната повърхност на конуса е четири пъти по-голяма от площта на основата. Намерете колко е косинусът на ъгъла между образуващата на конуса и равнината на основата.

Площта на основата на конуса е:

Назад Напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Тип урок:урок за изучаване на нов материал с използване на елементи от проблемно-базиран развиващ метод на обучение.

Цели на урока:

• образователен:
  • запознаване с нова математическа концепция;
  • формиране на нови центрове за обучение;
  • формиране на практически умения за решаване на проблеми.
• развитие:
  • развитие на самостоятелното мислене на учениците;
  • развитие на правилни речеви умения на учениците.
• образователен:
  • развиване на умения за работа в екип.

Оборудване на урока:магнитна дъска, компютър, екран, мултимедиен проектор, модел на конус, презентация на урока, раздавателни материали.

Цели на урока (за студенти):

• запознават се с ново геометрично понятие – конус;
• изведете формула за изчисляване на повърхността на конус;
• научете се да прилагате придобитите знания при решаване на практически задачи.

Напредък на урока

Етап I. Организационни.

Връчване на тетрадки с домашна работа по разгледаната тема.

Учениците са поканени да открият темата на предстоящия урок, като решат пъзела (слайд 1):

Фигура 1.

Обявяване на темата и целите на урока пред учениците (слайд 2).

Етап II. Обяснение на нов материал.

1) Лекция на учителя.

На дъската има таблица с изображение на конус. Новият материал е обяснен придружен от програмния материал „Стереометрия“. На екрана се появява триизмерно изображение на конус. Учителят дава дефиницията на конус и говори за неговите елементи. (слайд 3). Казват, че конусът е тяло, образувано от въртенето на правоъгълен триъгълник спрямо катет. (слайдове 4, 5).Появява се изображение на сканиране на страничната повърхност на конуса. (слайд 6)

2) Практическа работа.

Актуализиране на основни знания: повторете формулите за изчисляване на площ на окръжност, площ на сектор, дължина на окръжност, дължина на дъга от окръжност. (слайдове 7–10)

Класът е разделен на групи. Всяка група получава сканиране на страничната повърхност на изрязания от хартия конус (сектор от кръг с присвоен номер). Учениците правят необходимите измервания и изчисляват площта на получения сектор. На екрана се появяват инструкции за изпълнение на работата, въпроси - формулировки на проблеми (слайдове 11–14). Представител на всяка група записва резултатите от изчисленията в таблица, изготвена на дъската. Участниците във всяка група залепват заедно модел на конус от модела, който имат. (слайд 15)

3) Постановка и решение на проблема.

Как да изчислим страничната повърхност на конуса, ако са известни само радиусът на основата и дължината на генератора на конуса? (слайд 16)

Всяка група прави необходимите измервания и се опитва да изведе формула за изчисляване на необходимата площ, използвайки наличните данни. Когато извършват тази работа, учениците трябва да забележат, че обиколката на основата на конуса е равна на дължината на дъгата на сектора - развитието на страничната повърхност на този конус. (слайдове 17–21)С помощта на необходимите формули се извежда желаната формула. Аргументите на учениците трябва да изглеждат по следния начин:

Радиусът на секторно почистване е равен на л,градусна мярка на дъгата – φ. Площта на сектора се изчислява по формулата: дължината на дъгата, ограничаваща този сектор, е равна на радиуса на основата на конуса R. Дължината на окръжността, лежаща в основата на конуса, е C = 2πR . Имайте предвид, че тъй като площта на страничната повърхност на конуса е равна на площта на развитие на неговата странична повърхност, тогава

И така, площта на страничната повърхност на конуса се изчислява по формулата S BOD = πRl.

След изчисляване на площта на страничната повърхност на модела на конуса по формула, получена независимо, представител на всяка група записва резултата от изчисленията в таблица на дъската в съответствие с номерата на модела. Резултатите от изчисленията във всеки ред трябва да са еднакви. Въз основа на това учителят определя правилността на заключенията на всяка група. Таблицата с резултатите трябва да изглежда така:

Модел №	I задача	II задача
	(125/3)π ~ 41,67 π
	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Параметри на модела:

1. l=12 см, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 см, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 см, φ =110°

Приближаването на изчисленията е свързано с грешки в измерването.

След проверка на резултатите на екрана се появяват изходните формули за площите на страничните и общите повърхности на конуса (слайдове 22–26), учениците си водят записки в тетрадки.

Етап III. Затвърдяване на изучения материал.

1) Предлагат се студенти задачи за устно решаване по готови чертежи.

Намерете повърхнините на пълните повърхности на конусите, показани на фигурите (слайдове 27–32).

2) Въпрос:Равни ли са площите на повърхностите на конуси, образувани от въртене на един правоъгълен триъгълник около различни крака? Учениците измислят хипотеза и я тестват. Хипотезата се проверява чрез решаване на задачи и се записва от ученика на дъската.

дадени:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – тела на въртене.

намирам: S PPK 1, S PPK 2.

Фигура 5. (слайд 33)

Решение:

1) R=BC = а; S PPK 1 = S BOD 1 + S основен 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = б; S PPK 2 = S BOD 2 + S база 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Ако S PPK 1 = S PPK 2, тогава a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.защото а, б, в –положителни числа (дължините на страните на триъгълника), равенството е вярно само ако а =b.

Заключение:Повърхнините на два конуса са равни само ако страните на триъгълника са равни. (слайд 34)

3) Решаване на задачата от учебника: No565.

Етап IV. Обобщаване на урока.

домашна работа:параграфи 55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)

Обявяване на поставените оценки.

Заключения по време на урока, повторение на основната информация, получена по време на урока.

Литература (слайд 36)

1. Геометрия 10–11 клас – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., „Просвещение”, 2008 г.
2. „Математически пъзели и шаради“ - Н.В. Удалцова, библиотека „Първи септември”, серия „МАТЕМАТИКА”, брой 35, М., Чистые пруды, 2010 г.

Телата на въртене, изучавани в училище, са цилиндър, конус и топка.

Ако в задача на Единния държавен изпит по математика трябва да изчислите обема на конус или площта на сфера, считайте се за късметлия.

Приложете формули за обем и повърхност на цилиндър, конус и сфера. Всички те са в нашата маса. Научете наизуст. Тук започват знанията за стереометрията.

Понякога е добре да нарисувате гледката отгоре. Или, както в този проблем, отдолу.

2. Колко пъти обемът на конус, описан около правилна четириъгълна пирамида, е по-голям от обема на конус, вписан в тази пирамида?

Просто е - нарисувайте изгледа отдолу. Виждаме, че радиусът на по-голямата окръжност е пъти по-голям от радиуса на по-малката. Височините на двата конуса са еднакви. Следователно обемът на по-големия конус ще бъде два пъти по-голям.

Друг важен момент. Спомняме си, че в задачите от част Б на Единния държавен изпит по математика отговорът се записва като цяло число или последна десетична дроб. Следователно във вашия отговор в част Б не трябва да има или. Няма нужда да замествате и приблизителната стойност на числото! Определено трябва да се свие! Именно за тази цел в някои задачи задачата се формулира, например, както следва: „Намерете площта на страничната повърхност на цилиндъра, разделена на.“

Къде другаде се използват формулите за обем и повърхност на телата на революция? Разбира се, в задача C2 (16). Ние също ще ви разкажем за това.

Днес ще ви кажем как да намерите генератора на конус, което често се изисква при училищни задачи по геометрия.

Концепцията за образуваща конус

Правият конус е фигура, която се получава чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около един от краката му. Основата на конуса образува кръг. Вертикалното сечение на конуса е триъгълник, хоризонталното сечение е кръг. Височината на конуса е сегментът, свързващ върха на конуса с центъра на основата. Образуващата на конус е отсечка, която свързва върха на конуса с всяка точка от линията на основната окръжност.

Тъй като конусът се образува чрез въртене на правоъгълен триъгълник, се оказва, че първият крак на такъв триъгълник е надморската височина, вторият е радиусът на окръжността в основата, а хипотенузата е генераторът на конуса. Не е трудно да се досетите, че Питагоровата теорема е полезна за изчисляване на дължината на генератора. А сега повече за това как да намерим дължината на образуващата на конуса.

Намиране на генератора

Най-лесният начин да разберете как да намерите генератор е с конкретен пример. Да предположим, че са дадени следните условия на проблема: височината е 9 см, диаметърът на основния кръг е 18 см. Необходимо е да се намери образуваща.

И така, височината на конуса (9 см) е един от краката на правоъгълния триъгълник, с помощта на който е образуван този конус. Вторият крак ще бъде радиусът на основния кръг. Радиусът е половината от диаметъра. Така разделяме дадения ни диаметър наполовина и получаваме дължината на радиуса: 18:2 = 9. Радиусът е 9.

Сега е много лесно да се намери образуващата на конуса. Тъй като е хипотенуза, квадратът на нейната дължина ще бъде равен на сумата от квадратите на краката, тоест сумата от квадратите на радиуса и височината. И така, квадратът на дължината на генератора = 64 (квадратът на дължината на радиуса) + 64 (квадратът на дължината на височината) = 64x2 = 128. Сега вземаме корен квадратен от 128. Като a резултат, получаваме осем корена от две. Това ще бъде образуващата на конуса.

Както можете да видите, няма нищо сложно в това. Например взехме прости условия на проблема, но в училищен курс те могат да бъдат по-сложни. Не забравяйте, че за да изчислите дължината на генератора, трябва да разберете радиуса на окръжността и височината на конуса. Познавайки тези данни, е лесно да се намери дължината на генератора.