Съотношението на средната линия на трапеца към основата. Н.Никитин Геометрия

ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ.

§ 49. ТРАПЕЦ.

Четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две не са успоредни, се нарича трапец.

На чертеж 252 четириъгълникът ABDC AB || CD, AC || Б.Д. ABDC - трапец.

Успоредните страни на трапеца се наричат ​​негови основания; AB и CD са основите на трапеца. Другите две страни се наричат странитрапец; AC и BD са страните на трапеца.

Ако страните са равни, тогава се нарича трапец равнобедрен.

Трапецът ABOM е равнобедрен, тъй като AM=BO (фиг. 253).

Трапец, в който една от страните е перпендикулярна на основата, се нарича правоъгълен(dev. 254).

Средната линия на трапец е отсечка, която свързва средните точки на страните на трапеца.

Теорема. Средната линия на трапец е успоредна на всяка от неговите основи и е равна на тяхната полусума.

Дадено: OS - средната линия на трапеца ABDK, т.е. OK \u003d OA и BC \u003d CD (фиг. 255).

Трябва да докажем:

1) OS || KD и OS || AB;
2)

Доказателство.Начертайте права през точки A и C, която пресича продължението на основата KD в някаква точка E.

В триъгълници ABC и DCE:
BC \u003d CD - по условие;
/ 1 = / 2 като вертикално,
/ 4 = / 3, като вътрешна напречно лежаща с успоредни AB и KE и секуща BD. следователно /\ ABC = /\ DSE.

Следователно AC = CE, т.е. OS е средната линия на триъгълника KAE. Следователно (§ 48):

1) OS || KE и следователно OS || KD и OS || AB;
2) , но DE \u003d AB (от равенството на триъгълници ABC и DCE), така че сегментът DE може да бъде заменен с равен на него сегмент AB. Тогава получаваме:

Теоремата е доказана.

Упражнения.

1. Докажете, че сумата от вътрешните ъгли на трапец, прилежащи към всяка страна, е 2 д.

2. Докажете, че ъглите при основата на равнобедрен трапец са равни.

3. Докажете, че ако ъглите при основата на трапец са равни, то този трапец е равнобедрен.

4. Докажете, че диагоналите на равнобедрен трапец са равни помежду си.

5. Докажете, че ако диагоналите на трапец са равни, то този трапец е равнобедрен.

6. Докажете, че периметърът на фигурата, образувана от отсечките, свързващи средината на страните на четириъгълника, е равен на сбора от диагоналите на този четириъгълник.

7. Докажете, че права, минаваща през средата на една от страните на трапеца, успоредна на основите му, разделя другата страна на трапеца наполовина.

Концепцията за средната линия на трапеца

Първо, нека си спомним каква фигура се нарича трапец.

Определение 1

Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са успоредни.

В този случай успоредни страни се наричат ​​основи на трапеца, а не успоредни - страни на трапеца.

Определение 2

Средната линия на трапец е отсечка, която свързва средните точки на страните на трапеца.

Теорема за средната линия на трапец

Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме чрез векторния метод.

Теорема 1

Средната права на трапеца е успоредна на основите и е равна на половината от техния сбор.

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCD$ с основи $AD\ и\ BC$. И нека $MN$ е средната линия на този трапец (фиг. 1).

Фигура 1. Средната линия на трапеца

Нека докажем, че $MN||AD\ и\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Помислете за вектора $\overrightarrow(MN)$. След това използваме правилото на полигона за добавяне на вектори. От една страна разбираме това

От друга страна

Събирайки последните две равенства, получаваме

Тъй като $M$ и $N$ са средните точки на страните на трапеца, имаме

Получаваме:

Следователно

От същото равенство (тъй като $\overrightarrow(BC)$ и $\overrightarrow(AD)$ са еднопосочни и следователно колинеарни), получаваме, че $MN||AD$.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи върху понятието средна линия на трапец

Пример 1

Страните на трапеца са съответно $15\cm$ и $17\cm$. Периметърът на трапеца е $52\cm$. Намерете дължината на средната линия на трапеца.

Решение.

Означете средната линия на трапеца с $n$.

Сборът на страните е

Следователно, тъй като периметърът е $52\ cm$, сумата от основите е

Следователно, съгласно теорема 1, получаваме

Отговор:$10\cm$.

Пример 2

Краищата на диаметъра на окръжността са съответно $9$ см и $5$ см от допирателната й. Намерете диаметъра на тази окръжност.

Решение.

Нека ни е дадена окръжност с център $O$ и диаметър $AB$. Начертайте допирателната $l$ и построете разстоянията $AD=9\ cm$ и $BC=5\ cm$. Нека начертаем радиуса $OH$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като $AD$ и $BC$ са разстоянията до допирателната, тогава $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и тъй като $OH$ е радиусът, тогава $OH\bot l$, следователно $OH | \left|AD\right||BC$. От всичко това получаваме, че $ABCD$ е трапец, а $OH$ е неговата средна линия. По теорема 1 получаваме

1. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите
2. Триъгълниците, образувани от основите на трапеца и отсечките на диагоналите до точката на тяхното пресичане, са подобни
3. Триъгълници, образувани от сегменти на диагоналите на трапец, чиито страни лежат върху страните на трапеца - еднаква площ (имат еднаква площ)
4. Ако разширим страните на трапеца към по-малката основа, тогава те ще се пресичат в една точка с правата линия, свързваща средните точки на основите
5. Сегментът, свързващ основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя от тази точка в пропорция, равна на съотношението на дължините на основите на трапеца
6. Сегмент, успореден на основите на трапеца и начертан през пресечната точка на диагоналите, се разполовява от тази точка и дължината му е равна на 2ab / (a ​​​​+ b), където a и b са основите на трапеца

Свойства на отсечка, свързваща средината на диагоналите на трапец

Свържете средите на диагоналите на трапеца ABCD, в резултат на което ще имаме сегмент LM.
Отсечка, която свързва средните точки на диагоналите на трапец лежи на средната линия на трапеца.

Този сегмент успоредни на основите на трапеца.

Дължината на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на полуразликата на неговите основи.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства на триъгълниците, образувани от диагоналите на трапец

Триъгълниците, образувани от основите на трапеца и пресечната точка на диагоналите на трапеца - са подобни.
Триъгълниците BOC и AOD са подобни. Тъй като ъглите BOC и AOD са вертикални, те са равни.
Ъглите OCB и OAD са вътрешни напречно разположени на успоредни прави AD и BC (основите на трапеца са успоредни една на друга) и секущата AC, следователно са равни.
Ъглите OBC и ODA са равни по същата причина (вътрешно напречно лежане).

Тъй като и трите ъгъла на един триъгълник са равни на съответните ъгли на друг триъгълник, тези триъгълници са подобни.

Какво следва от това?

За решаване на проблеми в геометрията сходството на триъгълниците се използва, както следва. Ако знаем дължините на двата съответстващи елемента на подобни триъгълници, тогава намираме коефициента на подобие (делим единия на другия). Откъдето дължините на всички други елементи са свързани помежду си с точно същата стойност.

Свойства на триъгълници, лежащи на странична страна и диагонали на трапец

Да разгледаме два триъгълника, лежащи отстрани на трапеца AB и CD. Това са триъгълници AOB и COD. Въпреки факта, че размерите на отделните страни на тези триъгълници могат да бъдат напълно различни, но площите на триъгълниците, образувани от страните и пресечната точка на диагоналите на трапеца, са, тоест триъгълниците са равни.

Ако страните на трапеца се удължат към по-малката основа, тогава точката на пресичане на страните ще бъде съвпадат с права линия, която минава през средните точки на основите.

Така всеки трапец може да се разшири до триъгълник. при което:

• Триъгълниците, образувани от основите на трапец с общ връх в точката на пресичане на разширените страни, са подобни
• Правата линия, свързваща средните точки на основите на трапеца, в същото време е медианата на построения триъгълник

Свойства на отсечка, свързваща основите на трапец

Ако начертаете сегмент, чиито краища лежат върху основите на трапеца, който лежи в пресечната точка на диагоналите на трапеца (KN), тогава съотношението на неговите съставни сегменти от страната на основата до пресечната точка на диагонали (KO / ON) ще бъде равно на отношението на основите на трапеца(пр. н. е./сл. н. е.).

KO/ON=BC/AD

Това свойство следва от сходството на съответните триъгълници (виж по-горе).

Свойства на отсечка, успоредна на основите на трапец

Ако начертаете сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през пресечната точка на диагоналите на трапеца, тогава той ще има следните свойства:

• Предварително зададено разстояние (KM) разполовява точката на пресичане на диагоналите на трапеца
• Дължина на рязане, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца и успоредна на основите, е равно на KM = 2ab/(a + b)

Формули за намиране на диагонали на трапец

а, б- основи на трапец

c, d- страни на трапеца

d1 d2- диагонали на трапец

α β - ъгли с по-голяма основа на трапеца

Формули за намиране на диагоналите на трапец през основите, страните и ъглите в основата

Първата група формули (1-3) отразява едно от основните свойства на диагоналите на трапеца:

1. Сборът от квадратите на диагоналите на трапец е равен на сбора от квадратите на страните плюс два пъти произведението на неговите основи. Това свойство на диагоналите на трапец може да се докаже като отделна теорема

2 . Тази формула се получава чрез трансформиране на предишната формула. Квадратът на втория диагонал се хвърля върху знака за равенство, след което квадратният корен се извлича от лявата и дясната страна на израза.

3 . Тази формула за намиране на дължината на диагонала на трапец е подобна на предишната, с тази разлика, че друг диагонал е оставен от лявата страна на израза

Следващата група формули (4-5) е сходна по смисъл и изразява подобна връзка.

Групата формули (6-7) ви позволява да намерите диагонала на трапец, ако знаете по-голямата основа на трапеца, едната страна и ъгъла при основата.

Формули за намиране на диагонали на трапец по височина

Забележка. В този урок се дава решение на задачи по геометрия за трапеци. Ако не сте намерили решение на геометричната задача от вида, който ви интересува - задайте въпрос във форума.

Задача.
Диагоналите на трапеца ABCD (AD | | BC) се пресичат в точка O. Намерете дължината на основата BC на трапеца, ако основата AD = 24 cm, дължина AO = 9 cm, дължина OS = 6 cm.

Решение.
Решението на тази задача е идеологически абсолютно идентично с предишните задачи.

Триъгълниците AOD и BOC са подобни в три ъгъла - AOD и BOC са вертикални, а останалите ъгли са равни по двойки, тъй като се образуват от пресичането на една права и две успоредни прави.

Тъй като триъгълниците са подобни, тогава всичките им геометрични размери са свързани помежду си, като геометричните размери на сегментите AO и OC, известни ни от условието на проблема. Това е

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / пр.н.е.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Отговор: 16 см

Задача .
В трапеца ABCD е известно, че AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Намерете площта на трапеца.

Решение .
За да намерим височината на трапец от върховете на по-малката основа B и C, спускаме две височини върху по-голямата основа. Тъй като трапецът е неравен, означаваме дължината AM = a, дължината KD = b ( да не се бърка със символите във формулатанамиране на площта на трапец). Тъй като основите на трапеца са успоредни и сме пропуснали две височини, перпендикулярни на по-голямата основа, тогава MBCK е правоъгълник.

Средства
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Триъгълниците DBM и ACK са правоъгълни, така че техните прави ъгли се образуват от височините на трапеца. Нека означим височината на трапеца като h. Тогава по Питагоровата теорема

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
И
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Помислете, че a \u003d 16 - b, тогава в първото уравнение
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Заместете стойността на квадрата на височината във второто уравнение, получено от Питагоровата теорема. Получаваме:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Така KD = 12
Където
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Намерете площта на трапец, като използвате неговата височина и половината от сбора на основите
, където a b - основите на трапеца, h - височината на трапеца
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Отговор: площта на трапец е 80 cm2.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Концепцията за средната линия на трапеца

Първо, нека си спомним каква фигура се нарича трапец.

Определение 1

Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две не са успоредни.

В този случай успоредни страни се наричат ​​основи на трапеца, а не успоредни - страни на трапеца.

Определение 2

Средната линия на трапец е отсечка, която свързва средните точки на страните на трапеца.

Теорема за средната линия на трапец

Сега въвеждаме теоремата за средната линия на трапец и я доказваме чрез векторния метод.

Теорема 1

Средната права на трапеца е успоредна на основите и е равна на половината от техния сбор.

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCD$ с основи $AD\ и\ BC$. И нека $MN$ е средната линия на този трапец (фиг. 1).

Фигура 1. Средната линия на трапеца

Нека докажем, че $MN||AD\ и\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Помислете за вектора $\overrightarrow(MN)$. След това използваме правилото на полигона за добавяне на вектори. От една страна разбираме това

От друга страна

Събирайки последните две равенства, получаваме

Тъй като $M$ и $N$ са средните точки на страните на трапеца, имаме

Получаваме:

Следователно

От същото равенство (тъй като $\overrightarrow(BC)$ и $\overrightarrow(AD)$ са еднопосочни и следователно колинеарни), получаваме, че $MN||AD$.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи върху понятието средна линия на трапец

Пример 1

Страните на трапеца са съответно $15\cm$ и $17\cm$. Периметърът на трапеца е $52\cm$. Намерете дължината на средната линия на трапеца.

Решение.

Означете средната линия на трапеца с $n$.

Сборът на страните е

Следователно, тъй като периметърът е $52\ cm$, сумата от основите е

Следователно, съгласно теорема 1, получаваме

Отговор:$10\cm$.

Пример 2

Краищата на диаметъра на окръжността са съответно $9$ см и $5$ см от допирателната й. Намерете диаметъра на тази окръжност.

Решение.

Нека ни е дадена окръжност с център $O$ и диаметър $AB$. Начертайте допирателната $l$ и построете разстоянията $AD=9\ cm$ и $BC=5\ cm$. Нека начертаем радиуса $OH$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Тъй като $AD$ и $BC$ са разстоянията до допирателната, тогава $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и тъй като $OH$ е радиусът, тогава $OH\bot l$, следователно $OH | \left|AD\right||BC$. От всичко това получаваме, че $ABCD$ е трапец, а $OH$ е неговата средна линия. По теорема 1 получаваме