Ph е ъглополовящата на отсечката. Свойства на ъглополовящата на отсечка

Входно ниво

Описана окръжност. Визуално ръководство (2019)

Първият въпрос, който може да възникне е: какво е описано - около какво?

Е, всъщност понякога се случва около всичко, но ние ще говорим за окръжност, описана около (понякога също казват „около“) триъгълник. какво е това

И само си представете, случва се невероятен факт:

Защо този факт е изненадващ?

Но триъгълниците са различни!

И за всеки има кръг, който ще премине и през трите върха, тоест описаната окръжност.

Доказателството за този удивителен факт може да се намери в следващите нива на теорията, но тук само отбелязваме, че ако вземем например четириъгълник, тогава не за всеки ще има окръжност, минаваща през четирите върха. Например, успоредникът е отличен четириъгълник, но няма окръжност, която да минава през всичките му четири върха!

И има само за правоъгълник:

ето, и всеки триъгълник винаги има своя описана окръжност!И дори винаги е доста лесно да се намери центърът на този кръг.

Знаете ли какво е перпендикулярна ъглополовяща?

Сега нека видим какво се случва, ако разгледаме до три перпендикулярни ъглополовящи на страните на триъгълника.

Оказва се (и точно това трябва да се докаже, но ние няма да го направим), че и трите перпендикуляра се пресичат в една точка.Погледнете снимката - и трите перпендикулярни ъглополовящи се пресичат в една точка.

Мислите ли, че центърът на описаната окръжност винаги лежи вътре в триъгълника? Представете си - не винаги!

Но ако остроъгълен, след това - вътре:

Какво да правим с правоъгълен триъгълник?

И с допълнителен бонус:

Тъй като говорим за радиуса на описаната окръжност: на какво е равен той за произволен триъгълник? И на този въпрос има отговор: т.нар.

а именно:

И, разбира се,

1. Съществуване и център на окръжността

Тук възниква въпросът: съществува ли такава окръжност за всеки триъгълник? Оказва се, че да, за всички. Освен това сега ще формулираме теорема, която отговаря и на въпроса къде се намира центърът на описаната окръжност.

Вижте, така:

Нека бъдем смели и докажем тази теорема. Ако вече сте прочели темата "" и сте разбрали защо три ъглополовящи се пресичат в една точка, тогава ще ви бъде по-лесно, но ако не сте я чели, не се притеснявайте: сега ще го разберем.

Ще проведем доказателството, използвайки концепцията за геометрично място на точките (GMT).

Е, например, наборът от топки "геометрично място" на кръгли обекти ли е? Не, разбира се, защото има кръгли... дини. Дали това е набор от хора, „геометрично място“, които могат да говорят? И не, защото има бебета, които не могат да говорят. В живота обикновено е трудно да се намери пример за истинско „геометрично местоположение на точките“. В геометрията е по-лесно. Ето, например, точно това, от което се нуждаем:

Тук множеството е перпендикулярна ъглополовяща, а свойството „ “ е „да бъде на еднакво разстояние (точка) от краищата на сегмента.“

да проверим ли Така че трябва да се уверите в две неща:

1. Всяка точка, която е на еднакво разстояние от краищата на отсечка, се намира на перпендикулярната към него ъглополовяща.

Нека свържем c и c. Тогава правата е медианата и височината b. Това означава - равнобедрен - ние се уверихме, че всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е еднакво отдалечена от точките и.

Да вземем средата и да свържем и. Резултатът е медианата. Но според условието не само медианата е равнобедрена, но и височината, тоест ъглополовящата. Това означава, че точката лежи точно върху ъглополовящата.

всички! Ние напълно проверихме факта, че Перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.

Всичко това е хубаво, но забравихме ли за описаната окръжност? Съвсем не, просто сме си подготвили „трамплин за атака“.

Помислете за триъгълник. Нека начертаем два ъглополовящи перпендикуляра и, да кажем, на отсечките и. Те ще се пресекат в някаква точка, която ще назовем.

Сега, обърнете внимание!

Точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща;
точката лежи върху перпендикулярната ъглополовяща.
А това означава и.

От това следват няколко неща:

Първо, точката трябва да лежи върху третата ъглополовяща, перпендикулярна на сегмента.

Тоест, перпендикулярната ъглополовяща също трябва да минава през точката и всичките три перпендикулярни ъглополовящи се пресичат в една точка.

Второ: ако начертаем окръжност с център в точка и радиус, то тази окръжност също ще минава и през точката, и през точката, тоест ще бъде описана окръжност. Това означава, че вече съществува, че пресечната точка на три перпендикулярни ъглополовящи е центърът на описаната окръжност за всеки триъгълник.

И последното нещо: за уникалността. Ясно (почти), че точката може да се получи по уникален начин, следователно кръгът е уникален. Е, ще оставим „почти“ за вашето размисъл. Така доказахме теоремата. Можете да извикате "Ура!"

Ами ако проблемът пита „намерете радиуса на описаната окръжност“? Или обратното, радиусът е даден, но трябва да намерите нещо друго? Има ли формула, която свързва радиуса на описаната окръжност с другите елементи на триъгълника?

Моля, обърнете внимание: синусовата теорема гласи това за да намерите радиуса на описаната окръжност, имате нужда от една страна (която и да е!) и ъгъл срещу нея. Това е всичко!

3. Център на кръга - отвътре или отвън

Сега въпросът е: може ли центърът на описаната окръжност да лежи извън триъгълника?
Отговор: колкото е възможно повече. Освен това това винаги се случва в тъп триъгълник.

И като цяло:

КРЪГ КРЪГ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

1. Окръжност, описана около триъгълник

Това е окръжността, която минава през трите върха на този триъгълник.

2. Съществуване и център на окръжността

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Инструкции

Начертайте права линия през пресечните точки на кръговете. Получихте ъглополовящата на дадена отсечка.

Нека сега ни бъдат дадени точка и права. Необходимо е да начертаете перпендикуляр от тази точка до. Начертайте окръжност с радиус (радиусът трябва да е от точка до линия, така че окръжността да пресича линията в две точки). Сега имате две точки на права. Тези точки създават линеен сегмент. Построете перпендикулярна ъглополовяща на сегмента, краищата са получените точки, съгласно алгоритъма, разгледан по-горе. Перпендикулярът трябва да минава през началната точка.

Построяването на прави линии е в основата на техническото чертане. Днес това все повече се прави с помощта на графични редактори, които предоставят на дизайнера големи възможности. Някои принципи на конструиране обаче остават същите като при класическото рисуване - с помощта на молив и линийка.

Ще ви трябва

• - лист хартия;
• - молив;
• - владетел;
• - компютър с програма AutoCAD.

Инструкции

Започнете с класическата конструкция. Определете равнината, в която ще изградите линията. Нека това е равнината на лист хартия. В зависимост от условията на проблема, подредете . Те могат да бъдат произволни, но е възможно да е зададена координатна система. Поставете произволни точки, където ви харесва най-добре. Обозначете ги с A и B. Използвайте линийка, за да ги свържете. Според аксиомата винаги е възможно да се начертае права линия през две точки и само една.

Начертайте координатна система. Нека ви бъдат дадени точки A (x1; y1). За да ги направите, трябва да нанесете необходимото число по оста х и да начертаете права линия, успоредна на оста у, през маркираната точка. След това нанесете стойността, равна на y1, по съответната ос. От маркираната точка начертайте перпендикуляр, докато се пресече с. Мястото, където те се пресичат, ще бъде точка A. По същия начин намерете точка B, чиито координати могат да бъдат обозначени като (x2; y2). Свържете двете точки.

В програмата AutoCAD права линия може да бъде конструирана с помощта на няколко . Функцията "by" обикновено е инсталирана по подразбиране. Намерете раздела „Начало“ в горното меню. Ще видите панела Draw пред вас. Намерете бутона с изображение на права линия и щракнете върху него.

AutoCAD също ви позволява да посочите координатите и на двете. Въведете (_xline) в командния ред по-долу. Натиснете Enter. Въведете координатите на първата точка и също натиснете enter. Определете втората точка по същия начин. Може да се посочи и чрез щракване на мишката, поставяне на курсора в желаната точка на екрана.

В AutoCAD можете да изградите права линия не само по две точки, но и по ъгъл на наклон. От контекстното меню Draw изберете Line и след това опцията Angle. Началната точка може да бъде зададена чрез щракване с мишката или чрез , както в предишния метод. След това задайте размера на ъгъла и натиснете enter. По подразбиране правата линия ще бъде разположена под желания ъгъл спрямо хоризонталата.

Видео по темата

На сложен чертеж (диаграма) перпендикулярностправ и самолетопределя се от основните положения: ако едната страна на прав ъгъл е успоредна самолетпроекции, тогава върху тази равнина се проектира прав ъгъл без изкривяване; ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави самолет, то е перпендикулярно на това самолет.

Ще ви трябва

• Молив, линийка, транспортир, триъгълник.

Инструкции

Пример: начертайте перпендикуляр през точка М до самолетЗа да начертаете перпендикуляр на самолет, в това лежат две пресичащи се прави самолет, и построете права, перпендикулярна на тях. Фронталната и хоризонталната са избрани като тези две пресичащи се линии. самолет.

Челната f(f₁f₂) е права линия, разположена в самолети успоредна на фронталната самолетпроекции P₂. Това означава, че f₂ е неговата естествена стойност и f₁ винаги е успореден на x₁₂. От точка A₂ начертайте h₂ успоредно на x₁₂ и вземете точка 1₂ върху B₂C₂.

С помощта на проекционна комуникационна линия насочете 1₁ към B1C1. Свържете с A₁ - това е h₁ - естествената стойност на хоризонтала. От точка B₁ нарисувайте f₁‖x₁₂, при A₁C₁ получавате точка 2₁. Използвайки проекционната свързваща линия, намерете точка 2₂ на A₂C₂. Свържете се с точка B₂ - това ще бъде f₂ - естественият размер на предната част.

Построени естествени хоризонтали h₁ и фронтали f₂ на проекции, перпендикулярни на самолет. От точка M₂ начертайте нейната фронтална проекция a₂ под ъгъл 90

Речник на планиметричните термини- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipedia

Колинеарни точки

Конкурентно директно- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Кръг Аполония- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Равнинна трансформация- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Ceviana- Тук са събрани дефиниции на термини от планиметрията. Препратките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedia

Речник по планиметрия- Тази страница е речник. Вижте също основната статия: Планиметрия Тук са събрани определения на термини от планиметрията. Връзките към термините в този речник (на тази страница) са в курсив... Уикипедия

Проблемът на Аполоний- Задачата на Аполоний е да построи окръжност, допирателна към три дадени окръжности с помощта на пергел и линийка. Според легендата проблемът е формулиран от Аполоний от Перга около 220 г. пр.н.е. д. в книгата „Докосване“, която беше изгубена ... Wikipedia

Проблемът на Аполоний- Задачата на Аполоний е да построи окръжност, допирателна към три дадени окръжности с помощта на пергел и линийка. Според легендата проблемът е формулиран от Аполоний от Перга около 220 г. пр.н.е. д. в книгата „Докосване“, която беше изгубена, но беше... ... Уикипедия

Диаграма на Вороной- случаен набор от точки на равнината. Диаграмата на Вороной на краен набор от точки S на равнината представлява дял на равнината, така че ... Wikipedia.

В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворен в триъгълник, така и свободен. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на ъглополовящата.

Теорема:

Симетралите AA 1, BB 1, СС 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).

ориз. 1. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Нека първо разгледаме две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, пресечната точка O съществува. За да докажем това, нека приемем обратното: нека дадените ъглополовящи не се пресичат, в който случай те са успоредни. Тогава правата BC е секанс и сумата от ъглите е , това противоречи на факта, че в целия триъгълник сумата от ъглите е .

И така, точка O от пресечната точка на две ъглополовящи съществува. Нека разгледаме свойствата му:

Точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярна на BC, OL е перпендикулярна на BA, то дължините на тези перпендикуляри са равни - . Освен това точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла и е на еднакво разстояние от неговите страни CB и CA, перпендикулярите OM и OK са равни.

Получихме следните равенства:

, тоест и трите перпендикуляра, пуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.

Интересува ни равенството на перпендикулярите OL и OM. Това равенство казва, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че тя лежи на неговата ъглополовяща AA 1.

Така доказахме, че и трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Освен това триъгълникът се състои от три сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на отделен сегмент.

Дадена е отсечката AB. Всеки сегмент има среда и през него може да се прекара перпендикуляр - нека го обозначим като p. Така p е перпендикулярната ъглополовяща.

ориз. 2. Илюстрация към теоремата

Всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е на еднакво разстояние от краищата на сегмента.

Докажете това (фиг. 2).

Доказателство:

Помислете за триъгълници и . Те са правоъгълни и равни, защото имат общ катет OM, а катетите AO и OB са равни по условие, така че имаме два правоъгълни триъгълника, равни по два катета. От това следва, че хипотенузите на триъгълниците също са равни, т.е. това, което трябваше да се докаже.

Обратната теорема е вярна.

Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на тази отсечка.

Дадени са отсечка AB, нейната перпендикулярна ъглополовяща p и точка M, равноотдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи върху ъглополовящата на отсечката (фиг. 3).

ориз. 3. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Помислете за триъгълник. Равнобедрен е, според състоянието. Помислете за медианата на триъгълник: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата му, е едновременно височина и ъглополовяща. От това следва, че. Но правата p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че в точка O е възможно да се начертае единствен перпендикуляр на отсечката AB, което означава, че правите OM и p съвпадат, от което следва, че точката M принадлежи на правата p, което трябваше да докажем.

Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени.

Дадена точка лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на отсечка тогава и само тогава, когато е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка.

И така, нека повторим, че има три сегмента в триъгълник и свойството на перпендикулярна ъглополовяща се прилага за всеки от тях.

Теорема:

Перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Даден е триъгълник. Перпендикуляри към неговите страни: P 1 към страната BC, P 2 към страната AC, P 3 към страната AB.

Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).

ориз. 4. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Нека разгледаме две перпендикулярни ъглополовящи P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт от противното - нека перпендикулярите P 2 и P 3 са успоредни. След това ъгълът е обърнат, което противоречи на факта, че сборът от трите ъгъла на триъгълник е . И така, има точка O от пресечната точка на две от трите перпендикулярни ъглополовящи. Свойства на точка O: тя лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB: . Той също така лежи върху перпендикулярната ъглополовяща към страната AC, което означава . Получихме следните равенства.

Перпендикулярна ъглополовяща (среден перпендикулярили посредница) - права, перпендикулярна на дадена отсечка и минаваща през средата му.

Свойства

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$където долният индекс означава страната, към която е начертан перпендикулярът, $С$е площта на триъгълника и също така се приема, че страните са свързани с неравенствата $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$И $p\_c\backslash geq\; p\_b.$С други думи, най-малката перпендикулярна ъглополовяща на триъгълник принадлежи към средния сегмент.

Напишете рецензия за статията "Перпендикулярна ъглополовяща"

Бележки

Откъс, характеризиращ перпендикулярната ъглополовяща

Кутузов, спрял да дъвче, се втренчи изненадано във Волцоген, сякаш не разбираше какво му се говори. Волцоген, забелязвайки вълнението на des alten Herrn, [старият господин (немски)] каза с усмивка:
- Не се смятах за право да скрия от ваша светлост това, което видях... Войските са в пълен безпорядък...
-Виждали ли сте го? Виждал ли си?.. – извика намръщен Кутузов, бързо се надигна и настъпи към Волцоген. „Как... как смееш!..“, крещеше той, правейки заплашителни жестове с ръкостискане и давене. - Как смеете, скъпи господине, да ми казвате това? Ти нищо не знаеш. Кажете на генерал Баркли от мен, че информацията му е невярна и че истинският ход на битката е известен на мен, главнокомандващия, по-добре, отколкото на него.
Волцоген искаше да възрази, но Кутузов го прекъсна.
- Противникът е отблъснат отляво и победен от десния фланг. Ако не сте видели добре, драги господине, тогава не си позволявайте да говорите това, което не знаете. Моля, отидете при генерал Баркли и му предайте на следващия ден категоричното ми намерение да атакувам врага — каза Кутузов строго. Всички мълчаха и се чуваше само тежкото дишане на задъхания стар генерал. „Бяха отблъснати навсякъде, за което благодаря на Бог и нашата смела армия. Врагът е победен и утре ще го изгоним от свещената руска земя — каза Кутузов и се прекръсти; и внезапно изхлипа от сълзите, които бликнаха. Волцоген, свивайки рамене и свивайки устни, мълчаливо се отдалечи встрани, чудейки се uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [при тази тирания на стария джентълмен. (немски) ]
„Да, ето го, моят герой“, каза Кутузов на пълния, красив и чернокос генерал, който в това време влизаше в могилата. Това беше Раевски, който прекара целия ден на централната точка на полето Бородино.
Раевски докладва, че войските са твърдо на местата си и че французите не смеят да атакуват повече. След като го изслуша, Кутузов каза на френски:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Значи не мислите, като другите, че трябва да се оттеглим?]