Площ на трапец, ако трите страни са известни по формула. Как да намерите площта на трапец

Има много начини да намерите площта на трапец. Обикновено учителят по математика знае няколко метода за изчисляването му, нека ги разгледаме по-подробно:
1) , където AD и BC са основите, а BH е височината на трапеца. Доказателство: начертайте диагонала BD и изразете площите на триъгълниците ABD и CDB чрез полупроизведението на техните основи и височини:

, където DP е външната височина в

Нека съберем тези равенства член по член и като вземем предвид, че височините BH и DP са равни, получаваме:

Нека го извадим от скоби

Q.E.D.

Следствие от формулата за площта на трапец:
Тъй като полусумата на основите е равна на MN - средната линия на трапеца, тогава

2) Приложение на общата формула за площта на четириъгълник.
Площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на диагоналите, умножено по синуса на ъгъла между тях
За да го докажете, достатъчно е да разделите трапеца на 4 триъгълника, да изразите площта на всеки по отношение на „половината от продукта на диагоналите и синуса на ъгъла между тях“ (взет като ъгъл, добавете получения изрази, извадете ги от скобата и факторизирайте тази скоба, като използвате метода на групиране, за да получите равенството му с израза

3) Метод на диагонално изместване
това е името ми Учителят по математика няма да срещне такова заглавие в училищните учебници. Описание на техниката може да се намери само в допълнителни учебници като пример за решаване на проблем. Бих искал да отбележа, че повечето интересни и полезни факти за планиметрията се разкриват на учениците от преподаватели по математика в процеса на практическа работа. Това е изключително неоптимално, защото ученикът трябва да ги изолира в отделни теореми и да ги нарече „големи имена“. Едно от тях е „диагонално изместване“. за какво говорим Нека начертаем права, успоредна на AC през върха B, докато се пресече с долната основа в точка E. В този случай четириъгълникът EBCA ще бъде успоредник (по дефиниция) и следователно BC=EA и EB=AC. Първото равенство е важно за нас сега. Ние имаме:

Имайте предвид, че триъгълникът BED, чиято площ е равна на площта на трапеца, има още няколко забележителни свойства:
1) Площта му е равна на площта на трапеца
2) Неговият равнобедрен се появява едновременно с равнобедрения на самия трапец
3) Горният му ъгъл при върха B е равен на ъгъла между диагоналите на трапеца (което много често се използва в задачи)
4) Неговата медиана BK е равна на разстоянието QS между средите на основите на трапеца. Наскоро се сблъсках с използването на това свойство, когато подготвях студент за механика и математика в Московския държавен университет, използвайки учебника на Ткачук, версия от 1973 г. (проблемът е даден в долната част на страницата).

Специални техники за учител по математика.

Понякога предлагам задачи, използвайки много труден начин за намиране на площта на трапец. Класифицирам го като специална техника, защото на практика преподавателят ги използва изключително рядко. Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика само в част Б, не е нужно да четете за тях. За други ще ви кажа по-нататък. Оказва се, че площта на трапец е два пъти по-голяма от площта на триъгълник с върхове в краищата на едната страна и средата на другата, т.е. ABS триъгълника на фигурата:
Доказателство: начертайте височините SM и SN в триъгълници BCS и ADS и изразете сумата от площите на тези триъгълници:

Тъй като точката S е средата на CD, тогава (докажете го сами).

Тъй като тази сума се оказа равна на половината от площта на трапеца, тогава втората му половина. и т.н.

В колекцията от специални техники на учителя бих включил формата за изчисляване на площта на равнобедрен трапец по неговите страни: където p е полупериметърът на трапеца. Няма да давам доказателства. Иначе твоят учител по математика ще остане без работа :). Ела в час!

Задачи върху областта на трапец:

Бележка на учителя по математика: Списъкът по-долу не е методическо съпътстване на темата, това е само малка селекция от интересни задачи, базирани на техниките, разгледани по-горе.

1) Долната основа на равнобедрен трапец е 13, а горната е 5. Намерете площта на трапеца, ако диагоналът му е перпендикулярен на страната.
2) Намерете лицето на трапец, ако основите му са 2 cm и 5 cm, а страните му са 2 cm и 3 cm.
3) В равнобедрен трапец по-голямата основа е 11, страната е 5, а диагоналът е Намерете площта на трапеца.
4) Диагоналът на равнобедрен трапец е 5, а средната линия е 4. Намерете лицето.
5) В равнобедрен трапец основите са 12 и 20, а диагоналите са взаимно перпендикулярни. Изчислете площта на трапец
6) Диагоналът на равнобедрен трапец сключва ъгъл с долната му основа. Намерете лицето на трапеца, ако височината му е 6 cm.
7) Площта на трапеца е 20, а едната му страна е 4 см. Намерете разстоянието до него от средата на срещуположната страна.
8) Диагоналът на равнобедрен трапец го разделя на триъгълници с повърхнини 6 и 14. Намерете височината, ако страничната страна е 4.
9) В трапец диагоналите са равни на 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е равен на 2. Намерете площта на трапеца (Mekhmat MSU, 1970).

Избрах не най-трудните задачи (не се страхувайте от машиностроенето!) с очакването, че ще мога да ги реша самостоятелно. Решете за вашето здраве! Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика, тогава без участието на формулата за площта на трапец в този процес могат да възникнат сериозни проблеми дори при проблем B6 и още повече при C4. Не започвайте темата и при затруднения помолете за помощ. Учител по математика винаги се радва да ви помогне.

Колпаков А.Н.
Учител по математика в Москва, подготовка за Единния държавен изпит в Строгино.

Какво е равнобедрен трапец? Това е геометрична фигура, чиито противоположни, неуспоредни страни са равни. Има няколко различни формули за намиране на площта на трапец с различни условия, които са дадени в задачите. Тоест площта може да се намери, ако са дадени височината, страните, ъглите, диагоналите и т.н. Също така е невъзможно да не споменем, че за равнобедрени трапеци има някои „изключения“, благодарение на които търсенето на площ и самата формула са значително опростени. По-долу са дадени подробни решения за всеки случай с примери.

Необходими свойства за намиране на площта на равнобедрен трапец

Вече разбрахме, че геометрична фигура, която има срещуположни, не успоредни, но равни страни, е трапец и равнобедрен. Има специални случаи, когато трапецът се счита за равнобедрен.

• Това са условията за равенство на ъглите. И така, задължителна точка: ъглите в основата (направете снимката по-долу) трябва да са равни. В нашия случай ъгъл BAD = ъгъл CDA и ъгъл ABC = ъгъл BCD
• Второто важно правило е, че в такъв трапец диагоналите трябва да са равни. Следователно AC = BD.
• Трети аспект: сборът на противоположните ъгли на трапеца трябва да е 180 градуса. Това означава, че ъгъл ABC + ъгъл CDA = 180 градуса. Същото важи и за ъглите BCD и BAD.
• Четвърто, ако трапецът позволява да се опише окръжност около него, тогава той е равнобедрен.

Как да намерите площта на равнобедрен трапец - формули и техните описания

• S = (a+b)h/2 е най-често срещаната формула за намиране на площта, където А – долна основа, b е горната основа, а h е височината.

• Ако височината е неизвестна, тогава можете да я търсите, като използвате подобна формула: h = c*sin(x), където c е AB или CD. sin(x) е синусът на ъгъла при всяка основа, тоест ъгъл DAB = ъгъл CDA = x. В крайна сметка формулата приема следната форма: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Височината може да се намери и с помощта на тази формула:

• Крайната формула изглежда така:

• Площта на равнобедрен трапец може да се намери през средната линия и височина. Формулата е: S = mh.

Нека разгледаме условието, когато окръжност е вписана в трапец.

В случая, показан на снимката,

QN = D = H – диаметърът на окръжността и същевременно височината на трапеца;

LO, ON, OQ = R – радиуси на окръжността;

DC = a – горна основа;

AB = b – долна основа;

DAB, ABC, BCD, CDA – алфа, бета – ъгли на основите на трапеца.

Подобен случай позволява площта да бъде намерена с помощта на следните формули:

• Сега нека се опитаме да намерим площта през диагоналите и ъглите между тях.

На фигурата означаваме AC, DB – диагонали – d. Ъгли COB, DOB – алфа; DOC, AOB – бета. Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки диагоналите и ъгъла между тях, ( С ) е:

Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m*h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще е полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на трапец, която вече ви е позната, в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.

Примери за проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ОРМЕ и ОКСЕ са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK през точка M, и означете точката на нейното пресичане с OE като T. A е точката на пресичане на правата, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели в социалните мрежи за тази статия. Нека има повече добри оценки за Единния държавен изпит и държавните изпити!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Многостранният трапец... Той може да бъде произволен, равнобедрен или правоъгълен. И във всеки случай трябва да знаете как да намерите площта на трапец. Разбира се, най-лесният начин е да запомните основните формули. Но понякога е по-лесно да се използва такъв, който е получен, като се вземат предвид всички характеристики на определена геометрична фигура.

Няколко думи за трапеца и неговите елементи

Всеки четириъгълник, чиито две страни са успоредни, може да се нарече трапец. По принцип те не са равни и се наричат ​​бази. По-голямата е долната, а другата е горната.

Другите две страни се оказват странични. В произволен трапец те имат различна дължина. Ако те са равни, тогава фигурата става равнобедрена.

Ако внезапно ъгълът между която и да е страна и основата се окаже равен на 90 градуса, тогава трапецът е правоъгълен.

Всички тези функции могат да помогнат при решаването на проблема как да се намери площта на трапец.

Сред елементите на фигурата, които могат да бъдат незаменими при решаването на проблеми, можем да подчертаем следното:

• височина, тоест сегмент, перпендикулярен на двете основи;
• средната линия, която има в краищата си средните точки на страничните страни.

Каква формула може да се използва за изчисляване на площта, ако са известни основата и височината?

Този израз е даден като основен, тъй като най-често човек може да разпознае тези величини дори когато не са дадени изрично. Така че, за да разберете как да намерите площта на трапец, ще трябва да добавите двете основи и да ги разделите на две. След това умножете получената стойност по стойността на височината.

Ако означим основите с буквите a 1 и a 2, височината с n, тогава формулата за площта ще изглежда така:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Формулата, която изчислява площта, ако са дадени нейната височина и централна линия

Ако погледнете внимателно предишната формула, е лесно да забележите, че тя ясно съдържа стойността на средната линия. А именно сумата от основите, разделена на две. Нека средната линия е обозначена с буквата l, тогава формулата за площта става:

S = l * n.

Възможност за намиране на площ с помощта на диагонали

Този метод ще помогне, ако ъгълът, образуван от тях, е известен. Да предположим, че диагоналите са обозначени с буквите d 1 и d 2, а ъглите между тях са α и β. Тогава формулата за намиране на площта на трапец ще бъде написана, както следва:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Можете лесно да замените α с β в този израз. Резултатът няма да се промени.

Как да разберете площта, ако всички страни на фигурата са известни?

Има и ситуации, когато точно страните на тази фигура са известни. Тази формула е тромава и трудна за запомняне. Но е възможно. Нека страните имат обозначението: a 1 и a 2, основата a 1 е по-голяма от a 2. Тогава формулата за площ ще приеме следната форма:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Методи за изчисляване на площта на равнобедрен трапец

Първият се дължи на факта, че в него може да се впише кръг. И като знаете неговия радиус (обозначава се с буквата r), както и ъгъла при основата - γ, можете да използвате следната формула:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Последната обща формула, която се основава на познаването на всички страни на фигурата, ще бъде значително опростена поради факта, че страните имат едно и също значение:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Методи за изчисляване на площта на правоъгълен трапец

Ясно е, че всяко от горните е подходящо за всяка фигура. Но понякога е полезно да знаете за една характеристика на такъв трапец. Той се крие във факта, че разликата между квадратите на дължините на диагоналите е равна на разликата, съставена от квадратите на основите.

Често формулите за трапец се забравят, а изразите за площите на правоъгълник и триъгълник се помнят. След това можете да използвате прост метод. Разделете трапеца на две форми, ако е правоъгълен, или на три. Единият определено ще бъде правоъгълник, а вторият или останалите два ще бъдат триъгълници. След като изчислим площите на тези фигури, остава само да ги съберем.

Това е доста прост начин да намерите площта на правоъгълен трапец.

Ами ако координатите на върховете на трапеца са известни?

В този случай ще трябва да използвате израз, който ви позволява да определите разстоянието между точките. Може да се приложи три пъти: за да се открият двете основи и една височина. И след това просто приложете първата формула, която е описана малко по-горе.

За да илюстрираме този метод, може да се даде следният пример. Дадени са върхове с координати A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Трябва да разберете площта на фигурата.

Преди да намерите площта на трапеца, трябва да изчислите дължините на основите от координатите. Ще ви трябва следната формула:

дължина на отсечката = √((разлика на първите координати на точките) 2 + (разлика на вторите координати на точките) 2 ).

Горната основа е обозначена като AB, което означава, че нейната дължина ще бъде равна на √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Долната е CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Сега трябва да начертаете височината от върха до основата. Нека началото му е в точка A. Краят на отсечката ще бъде на долната основа в точката с координати (5; 1), нека това е точка H. Дължината на отсечката AN ще бъде равна на √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Всичко, което остава, е да замените получените стойности във формулата за площта на трапец:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Проблемът беше решен без мерни единици, тъй като не беше посочен мащабът на координатната мрежа. Може да бъде милиметър или метър.

Примери за проблеми

№ 1. Състояние.Ъгълът между диагоналите на произволен трапец е известен; той е равен на 30 градуса. По-малкият диагонал е със стойност 3 dm, а вторият е 2 пъти по-голям. Необходимо е да се изчисли площта на трапеца.

Решение.Първо трябва да разберете дължината на втория диагонал, защото без това няма да е възможно да се изчисли отговорът. Не е трудно да се изчисли, 3 * 2 = 6 (dm).

Сега трябва да използвате подходящата формула за площ:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Проблемът е решен.

отговор:Площта на трапеца е 4,5 dm2.

№ 2. Състояние.В трапеца ABCD основите са отсечките AD и BC. Точка Е е средата на страната на SD. От него се изтегля перпендикуляр на права линия AB, краят на този сегмент е обозначен с буквата H. Известно е, че дължините AB и EH са равни съответно на 5 и 4 cm. Необходимо е да се изчисли площта на трапецът.

Решение.Първо трябва да направите чертеж. Тъй като стойността на перпендикуляра е по-малка от страната, към която е изтеглен, трапецът ще бъде леко удължен нагоре. Така че EH ще бъде вътре във фигурата.

За да видите ясно напредъка в решаването на проблема, ще трябва да извършите допълнителна конструкция. А именно, начертайте права линия, която ще бъде успоредна на страната AB. Пресечните точки на тази права с AD са P, а с продължението на BC са X. Получената фигура VHRA е успоредник. Освен това неговата площ е равна на необходимата. Това се дължи на факта, че триъгълниците, получени по време на допълнителната конструкция, са равни. Това следва от равенството на страната и два ъгъла, съседни на нея, единият вертикален, а другият лежащ на кръст.

Можете да намерите площта на успоредник, като използвате формула, която съдържа произведението на страната и височината, спусната върху нея.

Така площта на трапеца е 5 * 4 = 20 cm 2.

отговор: S = 20 cm 2.

№ 3. Състояние.Елементите на равнобедрен трапец имат следните стойности: долна основа - 14 cm, горна основа - 4 cm, остър ъгъл - 45º. Трябва да изчислите площта му.

Решение.Нека по-малката основа е обозначена с BC. Височината, изтеглена от точка B, ще се нарича VH. Тъй като ъгълът е 45º, триъгълникът ABH ще бъде правоъгълен и равнобедрен. Така че AN=VN. Освен това AN се намира много лесно. Тя е равна на половината от разликата в основите. Това е (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Основите са известни, височините са изчислени. Можете да използвате първата формула, която беше обсъдена тук за произволен трапец.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

отговор:Необходимата площ е 45 cm 2.

№ 4. Състояние.Има произволен трапец ABCD. От страничните му страни са взети точки O и E, така че OE да е успоредна на основата на AD. Площта на трапеца AOED е пет пъти по-голяма от тази на OVSE. Изчислете стойността на OE, ако дължините на основите са известни.

Решение.Ще трябва да начертаете две успоредни линии AB: първата през точка C, нейната пресечна точка с OE - точка T; вторият през E и точката на пресичане с AD ще бъде M.

Нека неизвестното OE=x. Височината на по-малкия трапец OVSE е n 1, по-големият AOED е n 2.

Тъй като площите на тези два трапеца се отнасят като 1 към 5, можем да запишем следното равенство:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Височините и страните на триъгълниците са пропорционални по конструкция. Следователно можем да напишем още едно равенство:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

В последните два записа от лявата страна има равни стойности, което означава, че можем да запишем, че (x + a 1) / (5(x + a 2)) е равно на (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Тук са необходими редица трансформации. Първо умножете на кръст. Ще се появят скоби, за да покажат разликата на квадратите, след като приложите тази формула, ще получите кратко уравнение.

В него трябва да отворите скобите и да преместите всички членове с неизвестното „x“ наляво и след това да извлечете квадратния корен.

отговор: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m*h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще е полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на трапец, която вече ви е позната, в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.

Примери за проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ОРМЕ и ОКСЕ са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK през точка M, и означете точката на нейното пресичане с OE като T. A е точката на пресичане на правата, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели в социалните мрежи за тази статия. Нека има повече добри оценки за Единния държавен изпит и държавните изпити!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.