Плътността е скаларна величина. Коя величина е векторна и коя скаларна? Просто нещо сложно

Величините се наричат ​​скаларни (скаларни), ако след избор на единица за измерване те се характеризират напълно с едно число. Примери за скаларни величини са ъгъл, повърхност, обем, маса, плътност, електрически заряд, съпротивление, температура.

Необходимо е да се прави разлика между два вида скаларни величини: чисти скалари и псевдоскалари.

3.1.1. Чисти скалари.

Чистите скалари са напълно дефинирани от едно число, независимо от избора на референтни оси. Примери за чисти скалари са температура и маса.

3.1.2. Псевдоскалари.

Подобно на чистите скалари, псевдоскаларите се дефинират с помощта на едно число, чиято абсолютна стойност не зависи от избора на референтни оси. Но знакът на това число зависи от избора на положителни посоки на координатните оси.

Да разгледаме например правоъгълен паралелепипед, чиито проекции на ръбовете на правоъгълните координатни оси са съответно равни. Обемът на този паралелепипед се определя с помощта на детерминантата

чиято абсолютна стойност не зависи от избора на правоъгълни координатни оси. Въпреки това, ако промените положителната посока на една от координатните оси, детерминантата ще промени знака. Обемът е псевдоскалар. Ъгъл, площ и повърхност също са псевдоскалари. По-долу (раздел 5.1.8) ще видим, че псевдоскаларът всъщност е тензор от специален вид.

Векторни величини

3.1.3. ос.

Оста е безкрайна права линия, на която е избрана положителната посока. Нека такава права линия и посоката от

се счита за положителен. Нека разгледаме отсечка на тази линия и приемем, че числото, измерващо дължината, е равно на a (фиг. 3.1). Тогава алгебричната дължина на отсечката е равна на a, алгебричната дължина на отсечката е равна на - a.

Ако вземем няколко успоредни линии, след като определим положителната посока на една от тях, по този начин я определяме на останалите. Ситуацията е различна, ако правите не са успоредни; тогава трябва конкретно да се споразумеете за избора на положителна посока за всяка права линия.

3.1.4. Посока на въртене.

Нека оста. Въртенето около ос ще наречем положително или директно, ако се извършва от наблюдател, стоящ по положителната посока на оста, надясно и наляво (фиг. 3.2). IN иначенарича се отрицателна или обратна.

3.1.5. Прави и обратни тристени.

Нека да е някакъв триедър (правоъгълен или неправоъгълен). Положителните посоки се избират по осите съответно от O към x, от O към y и от O към z.

(тензори от ранг 0), от друга страна, тензорни величини (стриктно погледнато, тензори от ранг 2 или повече). Може също така да се противопостави на определени обекти от съвсем различно математическо естество.

В повечето случаи терминът вектор се използва във физиката за обозначаване на вектор в така нареченото „физическо пространство“, тоест в обичайното триизмерно пространство на класическата физика или в четириизмерното пространство-време в съвременната физика ( в последния случай концепцията за вектор и векторна величина съвпада с концепцията за 4-вектор и 4-векторна величина).

Използването на израза „векторно количество” на практика се изчерпва с това. Що се отнася до използването на термина „вектор“, въпреки неговата склонност по подразбиране към същата област на приложение, в голям брой случаи той все още отива много далеч отвъд тези граници. Вижте по-долу за подробности.

Използване на термини вектори векторно количествопо физика

Като цяло във физиката понятието вектор почти напълно съвпада с това в математиката. Съществува обаче терминологична специфика, свързана с факта, че в съвременната математика това понятие е някак прекалено абстрактно (по отношение на нуждите на физиката).

В математиката, когато се произнася „вектор“, се разбира по-скоро вектор като цяло, тоест всеки вектор от всяко абстрактно линейно пространство от всякакво измерение и природа, което, освен ако не се положат специални усилия, може дори да доведе до объркване (не толкова, разбира се, по същество, като за лекота на използване). Ако трябва да бъдем по-конкретни, в математическия стил трябва или да се говори доста надълго и нашироко („вектор на такова и такова пространство“), или да се има предвид какво се подразбира от изрично описания контекст.

Във физиката почти винаги говорим не за математически обекти (притежаващи определени формални свойства) като цяло, а за тяхната специфична („физическа“) връзка. Като се вземат предвид тези съображения за специфичност със съображения за краткост и удобство, може да се разбере, че терминологичната практика във физиката се различава значително от тази в математиката. То обаче не е в явно противоречие с последното. Това може да се постигне с няколко прости „трика“. На първо място, това включва споразумението за използване на термина по подразбиране (когато контекстът не е конкретно посочен). Така във физиката, за разлика от математиката, думата вектор без допълнително пояснение обикновено означава не „някакъв вектор на всяко линейно пространство като цяло“, а преди всичко вектор, свързан с „обикновеното физическо пространство“ (триизмерното пространство на класическата физика или четириизмерно пространство-време на релативистката физика). За вектори на пространства, които не са пряко и пряко свързани с „физическото пространство“ или „пространството-време“, се използват специални имена (понякога включващи думата „вектор“, но с пояснение). Ако вектор на някакво пространство, което не е пряко и пряко свързано с „физическото пространство“ или „пространството-време“ (и което е трудно да се характеризира веднага по някакъв специфичен начин), се въведе в теорията, той често се описва конкретно като „ абстрактен вектор”.

Всичко казано важи дори повече за понятието „векторно количество“, отколкото за понятието „вектор“. Мълчанието в този случай още по-стриктно предполага обвързване с „обикновено пространство“ или пространство-време, а използването на абстрактни векторни пространства във връзка с елементи почти никога не се среща, поне такова използване изглежда най-рядкото изключение (ако изобщо не е резервация).

Във физиката най-често векторите и векторните величини - почти винаги - се наричат ​​вектори от два класа, които са подобни един на друг:

Примери за векторни физични величини: скорост, сила, топлинен поток.

Генезис на векторни величини

Как физическите „векторни величини“ са свързани с пространството? На първо място, това, което прави впечатление, е, че размерността на векторните величини (в обичайния смисъл на използването на този термин, който е обяснен по-горе) съвпада с размерността на същото „физическо“ (и „геометрично“) пространство, за например пространството е триизмерно и векторът на електрическите полета е триизмерен. Интуитивно може да се забележи също, че всяка векторна физическа величина, независимо каква неясна връзка има с обикновеното пространствено разширение, въпреки това има много определена посока в това обикновено пространство.

Оказва се обаче, че много повече може да се постигне чрез директно „намаляване“ на целия набор от векторни величини на физиката до най-простите „геометрични“ вектори или по-скоро дори до един вектор - векторът на елементарното изместване, и това би било повече правилно да се каже - като ги извлече всички от него.

Тази процедура има две различни (въпреки че по същество се повтарят в детайли) изпълнения за триизмерния случай на класическата физика и за четириизмерната пространствено-времева формулировка, обща за съвременната физика.

Класически 3D калъф

Ще започнем от обичайното триизмерно „геометрично“ пространство, в което живеем и можем да се движим.

Нека вземем вектора на безкрайно малкото изместване като начален и референтен вектор. Съвсем очевидно е, че това е правилен "геометричен" вектор (точно като краен вектор на изместване).

Нека веднага да отбележим, че умножаването на вектор по скалар винаги дава нов вектор. Същото може да се каже за сумата и разликата на векторите. В тази глава няма да правим разлика между полярни и аксиални вектори, така че отбелязваме, че векторното произведение на два вектора дава нов вектор.

Също така, новият вектор дава диференциацията на вектора по отношение на скалара (тъй като такава производна е границата на отношението на разликата на векторите към скалара). Това може да се каже и за производните от всички по-високи разряди. Същото важи и за интегрирането върху скалари (време, обем).

Сега забележете, че въз основа на радиус вектора rили от елементарно изместване d r, лесно разбираме, че векторите са (тъй като времето е скалар) такива кинематични величини като

От скоростта и ускорението, умножени по скалар (маса), получаваме

Тъй като сега се интересуваме от псевдовектори, отбелязваме това

• Използвайки формулата за сила на Лоренц, напрегнатостта на електрическото поле и векторът на магнитната индукция са свързани с векторите на силата и скоростта.

Продължавайки тази процедура, откриваме, че всички познати ни векторни величини сега са не само интуитивно, но и формално, свързани с оригиналното пространство. А именно, всички те в известен смисъл са негови елементи, тъй като са изразени по същество като линейни комбинации от други вектори (със скаларни фактори, може би размерни, но скаларни и следователно формално съвсем законни).

Векторите са мощен инструмент за математика и физика. Основните закони на механиката и електродинамиката са формулирани на езика на векторите. За да разберете физиката, трябва да научите как да работите с вектори.

Тази глава съдържа подробно представяне на материала, необходим за започване на изучаване на механика:

! Векторно добавяне

! Умножение на скалар по вектор

! Ъгъл между векторите

! Проекция на вектор върху ос

! Вектори и координати в равнината

! Вектори и координати в пространството

! Точково произведение на вектори

Ще бъде полезно да се върнете към текста на това приложение през първата година, когато изучавате аналитична геометрия и линейна алгебра, за да разберете например откъде идват аксиомите на линейното и евклидовото пространство.

7.1 Скаларни и векторни величини

В процеса на изучаване на физиката се сблъскваме с два вида величини: скаларни и векторни.

Определение. Скаларна величина или скалар е физическа величина, за която (в подходящи мерни единици) е достатъчно едно число.

Във физиката има много скалари. Телесното тегло е 3 kg, температурата на въздуха е 10 C, напрежението в мрежата е 220 V. . . Във всички тези случаи количеството, което ни интересува, е дадено с едно число. Следователно масата, температурата и електрическото напрежение са скалари.

Но скаларът във физиката не е просто число. Скаларът е число, оборудвано с размерност 1. Така че, когато задаваме масата, не можем да напишем m = 3; Трябва да посочите мерната единица, например m = 3 kg. И ако в математиката можем да съберем числата 3 и 220, то във физиката не можем да съберем 3 килограма и 220 волта: имаме право да съберем само тези скалари, които имат същата размерност (маса с маса, напрежение с напрежение и т.н.). ) .

Определение. Векторна величина или вектор е физическа величина, характеризираща се с: 1) неотрицателен скалар; 2) посока в пространството. В този случай скаларът се нарича модул на вектора или неговата абсолютна стойност.

Да приемем, че колата се движи със скорост 60 km/h. Но това е непълна информация за движението, нали? Може да е важно и накъде се движи колата, в каква посока. Ето защо е важно да знаете не само модула (абсолютната стойност) на скоростта на автомобила, в случая той е 60 км/ч, но и посоката му в пространството. Това означава, че скоростта е вектор.

Още един пример. Да кажем, че на пода има тухла с тегло 1 кг. Върху тухлата действа сила от 100 N (това е модулът на силата или нейната абсолютна стойност). Как ще се движи тухлата? Въпросът е безсмислен, докато не се уточни посоката на силата. Ако силата действа нагоре, тогава тухлата ще се движи нагоре. Ако силата действа хоризонтално, тогава тухлата ще се движи хоризонтално. И ако силата действа вертикално надолу, тогава тухлата изобщо няма да се движи; тя само ще бъде притисната в пода. Следователно виждаме, че силата също е вектор.

Векторното количество във физиката също има размерност. Размерността на вектора е размерността на неговия модул.

Ще обозначим векторите с букви със стрелка. Така може да се обозначи векторът на скоростта

през ~v и вектора на силата през F. Всъщност векторът е стрелка или, както се казва, насочен сегмент (фиг. 7.1).

ориз. 7.1. Вектор ~v

Началната точка на стрелката се нарича начало на вектора, а крайната точка (върхът) на стрелката

край на вектора. В математиката се означава вектор, който започва в точка А и завършва в точка В

също AB; Понякога също ще имаме нужда от такава нотация.

Вектор, чието начало и край съвпадат, се нарича нулев вектор (или нула) и

означен с ~. Нулевият вектор е просто точка; няма определена посока.

Дължината на нулевия вектор е, разбира се, нула.

1 Има и безразмерни скалари: коефициент на триене, ефективност, индекс на пречупване на средата. . . По този начин индексът на пречупване на водата е 1,33; това число няма измерение.

Рисуването на стрелки напълно решава проблема с графичното представяне на векторни величини. Посоката на стрелката показва посоката на даден вектор, а дължината на стрелката в подходящ мащаб е модулът на този вектор.

Да предположим например, че две коли се движат една срещу друга със скорости u = 30 km/h и v = 60 km/h. Тогава векторите ~u и ~v на скоростите на автомобила ще имат противоположни посоки, а дължината на вектора ~v е два пъти по-голяма (фиг. 7.2).

ориз. 7.2. Вектор ~v е два пъти по-дълъг

Както вече разбрахте, буква без стрелка (например u или v в предишния параграф) показва големината на съответния вектор. В математиката модулът на вектор ~v обикновено се обозначава с j~vj, но физиците, ако ситуацията позволява, ще предпочетат буквата v без стрелка.

Векторите се наричат ​​колинеарни, ако са разположени на една права или на успоредни прави.

Нека има два колинеарни вектора. Ако посоките им съвпадат, тогава векторите се наричат ​​съпосочни; ако посоките им са различни, тогава векторите се наричат ​​противоположно насочени. И така, по-горе на фиг. 7.2 векторите ~u и ~v са противоположно насочени.

Два вектора се наричат ​​равни, ако са съпосочни и имат еднакви модули (фиг. 7.3).

ориз. 7.3. Векторите ~a и b са равни: ~a = b

Следователно равенството на векторите не означава непременно, че техните начала и краища съвпадат: можем да преместим вектор, успореден на себе си, и това ще доведе до вектор, равен на оригиналния. Този трансфер се използва постоянно в случаите, когато е желателно началото на векторите да се намали до една точка, например при намиране на сумата или разликата на векторите. Сега преминаваме към разглеждане на операции върху вектори.

Заобиколени сме от много различни материални обекти. Материални, защото могат да се пипнат, помиришат, видят, чуят и много повече могат да се направят. Какви са тези предмети, какво се случва с тях или ще се случи, ако направите нещо: хвърлите ги, огънете ги, сложете ги във фурната. Защо нещо им се случва и как точно се случва? Изучавайки всичко това физика. Играйте на игра: пожелайте си нещо за предмет в стаята, опишете го с няколко думи и вашият приятел трябва да познае какво е то. Посочвам характеристиките на планирания обект. Прилагателни: бял, голям, тежък, студен. Познахте ли? Това е хладилник. Изброените спецификации не са научни измервания на вашия хладилник. Можете да измервате различни неща в хладилника. Ако е дълго, значи е голямо. Ако е цвят, значи е бял. Ако температурата, тогава студено. И ако има маса, тогава се оказва, че е тежък. Представете си, че един хладилник може да бъде разгледан от различни ъгли. Маса, дължина, температура - това е физическо количество.

Но това е само една малка характеристика на хладилника, която веднага идва на ум. Преди да закупите нов хладилник, можете да се запознаете с редица физически величини, които ви позволяват да прецените дали е по-добър или по-лош и защо струва повече. Представете си колко разнообразно е всичко около нас. И колко разнообразни са характеристиките.

Обозначаване на физическа величина

Всички физически величини обикновено се означават с букви, обикновено гръцката азбука. НО! Едно и също физическо количество може да има няколко буквени обозначения (в различна литература).

И обратно, една и съща буква може да означава различни физически величини.

Въпреки факта, че може да не сте срещали такава буква, значението на физическата величина и нейното участие във формулите остава същото.

Векторни и скаларни величини

Във физиката има два вида физични величини: векторни и скаларни. Основната им разлика е, че векторните физични величини имат посока. Какво означава, че физическото количество има посока? Например, ще наречем броя на картофите в торба обикновени числа или скалари. Друг пример за такова количество е температурата. Други много важни величини във физиката имат посока, например скоростта; трябва да посочим не само скоростта на движение на тялото, но и пътя, по който се движи. Импулсът и силата също имат посока, също като изместването: когато някой направи крачка, можете да разберете не само колко е стъпил, но и къде ходи, тоест да определите посоката на движението му. По-добре е да запомните векторните величини.

Защо рисуват стрелка над буквите?

Начертайте стрелка само над буквите на векторните физични величини. Според това как се обозначават в математиката вектор! Операциите събиране и изваждане върху тези физични величини се извършват съгласно математическите правила за операции с вектори. Изразът „модул на скоростта“ или „абсолютна стойност“ означава точно „модул на вектора на скоростта“, тоест числената стойност на скоростта, без да се взема предвид посоката - знакът плюс или минус.

Обозначаване на векторни величини

Основното нещо, което трябва да запомните

1) Какво е векторна величина;
2) Как скаларната величина се различава от векторната величина;
3) Векторни физични величини;
4) Векторно обозначение на количеството

При изучаването на различни клонове на физиката, механиката и техническите науки има величини, които са напълно определени чрез уточняване на техните числени стойности, по-точно, които са напълно определени с помощта на число, получено в резултат на тяхното измерване с хомогенна величина, взета за единица . Такива количества се наричат скаларенили накратко скалари. Скаларните величини например са дължина, площ, обем, време, маса, телесна температура, плътност, работа, електрически капацитет и т.н. Тъй като една скаларна величина се определя от число (положително или отрицателно), то може да бъде начертано върху съответната координатна ос. Например, често се конструират оста на времето, температурата, дължината (изминатото разстояние) и други.

Освен скаларни величини, в различни задачи се срещат величини, за които освен числовата им стойност е необходимо да се знае и посоката им в пространството. Такива количества се наричат вектор. Физически примери за векторни величини могат да бъдат преместването на материална точка, движеща се в пространството, скоростта и ускорението на тази точка, както и силата, действаща върху нея, интензитетът на електрическото или магнитното поле. Векторните величини се използват например в климатологията. Нека да разгледаме един прост пример от климатологията. Ако кажем, че вятърът духа със скорост 10 m/s, тогава ще въведем скаларна стойност на скоростта на вятъра, но ако кажем, че северният вятър духа със скорост 10 m/s, тогава в това в случай, че скоростта на вятъра вече ще бъде векторна величина.

Векторните величини се представят с помощта на вектори.

За геометричното представяне на векторни величини се използват насочени сегменти, т.е. сегменти, които имат фиксирана посока в пространството. В този случай дължината на сегмента е равна на числовата стойност на векторната величина, а посоката й съвпада с посоката на векторната величина. Насоченият сегмент, характеризиращ дадена векторна величина, се нарича геометричен вектор или просто вектор.

Концепцията за вектор играе важна роля както в математиката, така и в много области на физиката и механиката. Много физически величини могат да бъдат представени с помощта на вектори и това представяне много често допринася за обобщаването и опростяването на формулите и резултатите. Често векторните величини и векторите, които ги представляват, се идентифицират един с друг: например те казват, че силата (или скоростта) е вектор.

Елементи на векторната алгебра се използват в такива дисциплини като: 1) електрически машини; 2) автоматизирано електрическо задвижване; 3) електрическо осветление и облъчване; 4) неразклонени вериги за променлив ток; 5) приложна механика; 6) теоретична механика; 7) физика; 8) хидравлика: 9) машинни части; 10) якост на материалите; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Дефиниция на вектор.Права отсечка се определя от две равни точки - нейните краища. Но можем да разгледаме насочен сегмент, определен от подредена двойка точки. За тези точки се знае коя от тях е първа (начало) и коя е втора (край).

Насочен сегмент се разбира като подредена двойка точки, първата от които - точка А - се нарича нейното начало, а втората - B - нейният край.

След това под векторв най-простия случай се разбира самият насочен сегмент, а в други случаи различните вектори са различни класове на еквивалентност на насочени сегменти, определени от някакво специфично отношение на еквивалентност. Освен това връзката на еквивалентност може да бъде различна, определяйки вида на вектора („свободен“, „фиксиран“ и т.н.). Просто казано, в рамките на клас на еквивалентност, всички насочени сегменти, включени в него, се третират като напълно равни и всеки може еднакво да представлява целия клас.

Векторите играят важна роля в изследването на безкрайно малки трансформации на пространството.

Определение 1.Ще наричаме насочен сегмент (или, което е същото, подредена двойка точки) вектор. Посоката на сегмента обикновено е маркирана със стрелка. При писане над буквеното обозначение на вектора се поставя стрелка, например: (в този случай буквата, съответстваща на началото на вектора, трябва да бъде поставена отпред). В книгите буквите, обозначаващи вектор, често се въвеждат с удебелен шрифт, например: А.

Като вектори ще включим и така наречения нулев вектор, чието начало и край съвпадат.

Вектор, чието начало съвпада с края му, се нарича нула. Нулевият вектор се означава просто като 0.

Разстоянието между началото и края на вектора се нарича негово дължина(и също модули абсолютна стойност). Дължината на вектора се означава с | | или | |. Дължината на вектор или модулът на вектор е дължината на съответния насочен сегмент: | | = .

Векторите се наричат колинеарен, ако са разположени на една права или на успоредни прави, накратко, ако има права, на която са успоредни.

Векторите се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни, те могат да бъдат представени чрез вектори, лежащи в същата равнина. Нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор, тъй като няма специфична посока. Дължината му, разбира се, е нула. Очевидно всеки два вектора са компланарни; но разбира се не всеки три вектора в пространството са копланарни. Тъй като векторите, успоредни един на друг, са успоредни на една и съща равнина, колинеарните вектори са още по-компланарни. Разбира се, обратното не е вярно: копланарните вектори може да не са колинеарни. По силата на условието, прието по-горе, нулевият вектор е колинеарен с всеки вектор и компланарен с всяка двойка вектори, т.е. ако сред три вектора поне един е нула, тогава те са копланарни.

2) Думата „компланарен“ по същество означава: „имащ обща равнина“, т.е. „разположен в една и съща равнина“. Но тъй като тук говорим за свободни вектори, които могат да бъдат прехвърляни (без промяна на дължината и посоката) по произволен начин, трябва да наречем вектори, успоредни на една и съща равнина, копланарни, защото в този случай те могат да бъдат прехвърлени така, че да са разположени в един самолет.

За да съкратим речта, нека се съгласим в един термин: ако няколко свободни вектора са успоредни на една и съща равнина, тогава ще кажем, че те са компланарни. По-специално, два вектора винаги са компланарни; за да се убедим в това, достатъчно е да ги отложим от същата точка. Освен това е ясно, че посоката на равнината, в която два дадени вектора са успоредни, е напълно определена, ако тези два вектора не са успоредни един на друг. Просто ще наречем всяка равнина, на която тези компланарни вектори са успоредни, равнината на тези вектори.

Определение 2.Двата вектора се наричат равен, ако са колинеарни, имат еднаква посока и еднакви дължини.

Винаги трябва да помните, че равенството на дължините на два вектора не означава, че тези вектори са равни.

По смисъла на дефиницията два вектора, които са равни поотделно на третия, са равни един на друг. Очевидно всички нулеви вектори са равни един на друг.

От тази дефиниция веднага следва, че като изберем всяка точка A", можем да построим (и само един) вектор A" B", равен на някакъв даден вектор, или, както се казва, да прехвърлим вектора в точка A".

Коментирайте. За векторите няма понятия „повече“ или „по-малко“, т.е. те са равни или неравни.

Нарича се вектор, чиято дължина е равна на единица единиченвектор и се означава с e Единичен вектор, чиято посока съвпада с посоката на вектор a, се нарича ортомвектор и се обозначава с a.

3. За друга дефиниция на вектор. Имайте предвид, че концепцията за равенство на вектори се различава значително от концепцията за равенство, например, на числа. Всяко число е равно само на себе си, с други думи, две равни числа при всички обстоятелства могат да се считат за едно и също число. С векторите, както виждаме, ситуацията е различна: по дефиниция има различни, но еднакви вектори. Въпреки че в повечето случаи няма да е необходимо да правим разлика между тях, може да се окаже, че в даден момент ще се интересуваме от вектора, а не от друг, равен вектор A "B".

За да се опрости концепцията за равенството на векторите (и да се премахнат някои от трудностите, свързани с нея), понякога се усложнява дефиницията на вектор. Няма да използваме тази сложна дефиниция, но ще я формулираме. За да избегнем объркване, ще напишем „Вектор“ (с главна буква), за да обозначим концепцията, дефинирана по-долу.

Определение 3. Нека е дадена насочена отсечка. Множеството от всички насочени отсечки, равни на дадена по смисъла на Определение 2, се нарича вектор.

Така всеки насочен сегмент дефинира вектор. Лесно е да се види, че два насочени сегмента определят един и същ вектор тогава и само ако са равни. За векторите, както и за числата, равенството означава съвпадение: два вектора са равни тогава и само ако са един и същ вектор.

При паралелно пренасяне на пространство точка и нейното изображение образуват подредена двойка точки и определят насочен сегмент и всички такива насочени сегменти са равни по смисъла на Дефиниция 2. Следователно паралелният пренос на пространство може да се идентифицира с вектор, съставен на всички тези насочени сегменти.

От началния курс по физика е добре известно, че силата може да бъде представена чрез насочен сегмент. Но не може да бъде представено чрез вектор, тъй като силите, представени от равни насочени сегменти, произвеждат, най-общо казано, различни действия. (Ако сила действа върху еластично тяло, тогава насочената отсечка, която го представлява, не може да се пренесе дори по правата, на която то лежи.)

Това е само една от причините, поради които наред с векторите, т.е. набори (или, както се казва, класове) от еднакво насочени сегменти, е необходимо да се разглеждат отделни представители на тези класове. При тези обстоятелства прилагането на Определение 3 е усложнено от голям брой квалификации. Ще се придържаме към Дефиниция 1 и в общия смисъл винаги ще е ясно дали говорим за точно дефиниран вектор, или на негово място може да бъде заместен някой равен на него.

Във връзка с определението за вектор си струва да обясним значението на някои думи, които се срещат в литературата.