Прости числа в Питагоровите тройки. Питагорови тройки
Изследването на свойствата на естествените числа отвежда питагорейците до друг „вечен“ проблем на теоретичната аритметика (теория на числата) – проблем, чиито зародиши са си проправили път много преди Питагор в Древен Египет и Древен Вавилон и общо решение не е намерено до този ден. Нека започнем със задачата, която на съвременен език може да се формулира по следния начин: решаване на неопределено уравнение в естествени числа
Днес тази задача се нарича проблем на Питагор, а неговите решения - тройки от естествени числа, удовлетворяващи уравнение (1.2.1) - се наричат Питагорови тройки. Поради очевидната връзка на Питагоровата теорема с Питагоровата задача, на последната може да се даде геометрична формулировка: намерете всички правоъгълни триъгълници с цели катети х, ги цяло число хипотенуза z.
Конкретни решения на проблема на Питагор са били известни в древността. В папирус от времето на фараона Аменемхет I (около 2000 г. пр. н. е.), съхраняван в Египетския музей в Берлин, намираме правоъгълен триъгълник със съотношение на страните (). Според най-големия немски историк на математиката М. Кантор (1829 - 1920), в древен Египет е имало специална професия харпедонаптс- "обтегачи на въжета", които по време на тържествената церемония по полагане на храмове и пирамиди отбелязваха прави ъгли с въже с 12 (= 3 + 4 + 5) еднакво разположени възела. Методът за конструиране на прав ъгъл с harpedonapts е очевиден от фигура 36.
Трябва да се каже, че друг познавач на древната математика, ван дер Ваерден, категорично не е съгласен с Кантор, въпреки че самите пропорции на древноегипетската архитектура свидетелстват в полза на Кантор. Както и да е, днес се нарича правоъгълен триъгълник със съотношение на страните египетски.
Както е отбелязано на стр. 76, е запазена глинена плочка, датираща от древната вавилонска епоха и съдържаща 15 реда питагорейски триплети. В допълнение към тривиалната тройка, получена от египетската (3, 4, 5) чрез умножение по 15 (45, 60, 75), има и много сложни питагорейски тройки, като (3367, 3456, 4825) и дори (12709) , 13500, 18541)! Няма съмнение, че тези числа са намерени не чрез просто изброяване, а по някакви единни правила.
Въпреки това въпросът за общото решение на уравнение (1.2.1) в естествени числа е повдигнат и решен само от питагорейците. Общата формулировка на всеки математически проблем е била чужда както на древните египтяни, така и на древните вавилонци. Едва с Питагор започва формирането на математиката като дедуктивна наука и една от първите стъпки по този път е решаването на проблема за питагоровите тройки. Древната традиция свързва първите решения на уравнение (1.2.1) с имената на Питагор и Платон. Нека се опитаме да реконструираме тези решения.
Ясно е, че Питагор мисли за уравнение (1.2.1) не в аналитична форма, а под формата на квадратно число , вътре в което е необходимо да се намерят квадратните числа и . Естествено беше числото да се представи под формата на квадрат със страна гедна страна по-малко zоригинален квадрат, т.е. Тогава, както е лесно да се види от Фигура 37 (просто вижте!), за оставащото квадратно число равенството трябва да е изпълнено. Така стигаме до система от линейни уравнения
Събирайки и изваждайки тези уравнения, намираме решението на уравнение (1.2.1):
Лесно се вижда, че полученото решение дава естествени числа само за нечетни. Така най-накрая имаме
И т. н. Традицията свързва това решение с името на Питагор.
Отбележете, че системата (1.2.2) може също да бъде получена формално от уравнение (1.2.1). Наистина,
откъдето, приемайки , стигаме до (1.2.2).
Ясно е, че решението на Питагор е намерено при доста твърдо ограничение () и съдържа далеч не всички питагорейски тройки. Следващата стъпка е да поставите , Тогава , тъй като само в този случай ще бъде квадратно число. Така възниква системата също ще бъде Питагорова тройка. Сега основното
Теорема.Ако стри рвзаимно прости числа с различна четност, тогава всички примитивни питагорови тройки се намират по формулите
Beskrovny I.M. един
1 ОАО Ангстрем-М
Целта на работата е да се разработят методи и алгоритми за изчисляване на питагорови тройки от вида a2+b2=c2. Процесът на анализ беше извършен в съответствие с принципите на системния подход. Наред с математическите модели се използват графични модели, които показват всеки член на Питагоровата тройка под формата на съставни квадрати, всеки от които се състои от набор от единични квадрати. Установено е, че безкраен набор от питагорови тройки съдържа безкраен брой подмножества, които се различават по разликата между стойностите b–c. Предложен е алгоритъм за образуване на питагорови тройки с всяка предварително зададена стойност на тази разлика. Показано е, че Питагоровите тройки съществуват за всяка стойност 3≤a
Питагорови тройки
системен анализ
математически модел
графичен модел
1. Аносов Д.Н. Поглед към математиката и нещо от нея. - М.: МЦНМО, 2003. - 24 с.: ил.
2. Айерланд К., Росен М. Класическо въведение в съвременната теория на числата. – М.: Мир, 1987.
3. Beskrovny I.M. Системен анализ и информационни технологии в организациите: Учебник. - М .: RUDN, 2012. - 392 с.
4. Саймън Сингх. Последната теорема на Ферма.
5. Ферма П. Изследвания по теория на числата и диофантов анализ. – М.: Наука, 1992.
6. Яптро. Ucoz, достъпен на: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
Питагоровите тройки са кохорта от три цели числа, които отговарят на Питагоровата връзка x2 + y2 = z2. Най-общо казано, това е специален случай на диофантови уравнения, а именно системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията. Те са известни отдавна, още от времето на Вавилон, тоест много преди Питагор. И те придобиха името, след като Питагор доказа известната си теорема на тяхна основа. Въпреки това, както следва от анализа на множество източници, в които по един или друг начин е засегнат въпросът за питагоровите тройки, въпросът за съществуващите класове на тези тройки и възможните начини за тяхното формиране все още не е напълно разкрит.
Така че в книгата на Саймън Сингх се казва: - "Учениците и последователите на Питагор ... казаха на света тайната на намирането на така нареченото Питагорейско три k." След това обаче четем: - „Питагорейците мечтаеха да намерят други питагорови тройки, други квадрати, от които да е възможно да се добави трети голям квадрат. …С увеличаването на числата, Питагоровите тройки стават все по-редки и все по-трудни и по-трудни за намиране. Питагорейците изобретиха метод за намиране на такива тройки и, използвайки го, доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки.
Думите, които предизвикват объркване, са подчертани в цитата. Защо "питагорейците са мечтали да намерят ...", ако са "изобретили метод за намиране на такива тройки ...", и защо за големи числа "става все по-трудно да ги намерим ...".
В работата на известния математик D.V. Аносов, търсеният отговор изглежда е даден. - „Има такива тройки от естествени (т.е. положителни цели) числа x, y, z, които
x2 + y2 = z2. (един)
… възможно ли е да се намерят всички решения на уравнението x2+y2=z2 в естествени числа? …Да. Отговорът е, че всяко такова решение може да бъде представено като
x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),
където l, m, n са естествени числа и m>n, или в подобна форма, в която x и y са разменени. Можем да кажем малко по-накратко, че x, y, z от (2) с всички възможни естествени числа l и m > n са всички възможни решения на (1) до пермутация на x и y. Например тройката (3, 4, 5) се получава при l=1, m=2, n=1. ... Очевидно вавилонците са знаели този отговор, но не е известно как са стигнали до него.”
Обикновено математиците са известни със своята взискателност в строгостта на своите формулировки. Но в този цитат такава строгост не се наблюдава. И така, какво точно: да намерите или да си представите? Очевидно това са съвсем различни неща. Ето ред от "прясно изпечени" тройки (получени по описания по-долу метод):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Няма съмнение, че всяка от тези тройки може да бъде представена под формата на връзка (2) и след това да се изчислят стойностите на l, m, n. Но това е след като всички стойности на тройките са намерени. Но какво да кажем преди това?
Не е изключено отговорите на тези въпроси да са отдавна известни. Но по някаква причина те все още не са открити. По този начин целта на тази работа е систематичен анализ на съвкупността от известни примери за питагорови тройки, търсене на системообразуващи връзки в различни групи тройки и идентифициране на системни характеристики, характерни за тези групи, и след това разработването на прости ефективни алгоритми за изчисляване на тройки с предварително зададена конфигурация. Под конфигурация имаме предвид връзката между количествата, съставляващи тройката.
Като инструментариум ще се използва математически апарат на ниво, което не надхвърля рамката на математиката, преподавана в гимназията, и системен анализ, базиран на методите, описани в.
Изграждане на модел
От гледна точка на системния анализ всяка питагорова тройка е система, образувана от обекти, които са три числа и техните свойства. Тяхната съвкупност, при която обектите са поставени в определени отношения и образуват система с нови свойства, които не са присъщи нито на отделни обекти, нито на някоя друга от тяхната съвкупност, където обектите са поставени в други отношения.
В уравнение (1) обектите на системата са естествени числа, свързани с прости алгебрични отношения: вляво от знака за равенство е сборът от две числа, повдигнати на степен 2, вдясно е третото число, също повдигнато на степен 2. Индивидуалните числа отляво на равенството, повдигнати на степен 2, не налагат никакви ограничения върху операцията по тяхното сумиране - получената сума може да бъде всякаква. Но знакът за равенство, поставен след операцията за сумиране, налага системно ограничение върху стойността на тази сума: сумата трябва да бъде такова число, че резултатът от операцията за извличане на квадратния корен да е естествено число. И това условие не е изпълнено за никакви числа, заместени в лявата страна на равенството. Така знакът за равенство, поставен между два члена на уравнението и третия, превръща тройката от членове в система. Нова функция на тази система е въвеждането на ограничения върху стойностите на оригиналните числа.
Въз основа на формата на писане, Питагоровата тройка може да се разглежда като математически модел на геометрична система, състояща се от три квадрата, свързани помежду си чрез сумиране и отношения на равенство, както е показано на фиг. 1. Фиг. 1 е графичен модел на разглежданата система, а вербалният му модел е твърдението:
Площта на квадрат с дължина на страната c може да бъде разделена без остатък на два квадрата със страни с дължина a и b, така че сумата от техните площи да е равна на площта на оригиналния квадрат, тоест и трите количествата a, b и c са свързани с отношението
Графичен модел на разлагане на квадрат
В рамките на каноните на системния анализ е известно, че ако един математически модел адекватно отразява свойствата на определена геометрична система, тогава анализът на свойствата на самата тази система ни позволява да изясним свойствата на нейния математически модел, да опознайте ги по-задълбочено, изяснете и, ако е необходимо, подобрете. Това е пътят, който ще следваме.
Нека изясним, че според принципите на системния анализ операциите за събиране и изваждане могат да се извършват само върху съставни обекти, т.е. обекти, съставени от набор от елементарни обекти. Следователно ще възприемаме всеки квадрат като фигура, съставена от набор от елементарни или единични квадрати. Тогава условието за получаване на решение в естествени числа е еквивалентно на приемане на условието, че единичният квадрат е неделим.
Единичен квадрат е квадрат, чиято дължина на всяка страна е равна на единица. Това е, когато площта на единичен квадрат определя следния израз.
Количественият параметър на квадрата е неговата площ, която се определя от броя на единичните квадрати, които могат да бъдат поставени върху дадена площ. За квадрат с произволна стойност x, изразът x2 определя площта на квадрата, образуван от сегменти с дължина x единични сегменти. x2 единични квадрата могат да бъдат поставени върху площта на този квадрат.
Горните определения могат да се възприемат като тривиални и очевидни, но не са. Д.Н. Аносов дефинира понятието площ по различен начин: - „... площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части. Защо сме сигурни, че това е така? ... Представяме си фигура, направена от някакъв вид хомогенен материал, тогава нейната площ е пропорционална на количеството материя, съдържаща се в нея - нейната маса. Освен това се разбира, че когато разделим едно тяло на няколко части, сумата от техните маси е равна на масата на първоначалното тяло. Това е разбираемо, защото всичко се състои от атоми и молекули и тъй като техният брой не се е променил, общата им маса също не се е променила ... В крайна сметка всъщност масата на парче хомогенен материал е пропорционална на неговия обем; следователно трябва да знаете, че обемът на "листа", който има формата на дадена фигура, е пропорционален на неговата площ. С една дума, ... че площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части, в геометрията е необходимо да се докаже това. ... В учебника на Киселев съществуването на област, която има самото свойство, което обсъждаме сега, беше честно постулирано като някакво предположение и беше казано, че това всъщност е вярно, но ние няма да доказваме това. Така че Питагоровата теорема, ако се докаже с площи, в чисто логически смисъл, ще остане недоказана напълно.
Струва ни се, че дефинициите на единичния квадрат, въведени по-горе, премахват посочения D.N. Аносова несигурност. В крайна сметка, ако площта на квадрат и правоъгълник се определя от сумата на единичните квадрати, които ги запълват, тогава, когато правоъгълникът е разделен на произволни съседни части, площта на правоъгълника естествено е равна на сбор от всички негови части.
Освен това въведените определения премахват несигурността от използването на понятията "разделяне" и "събиране" по отношение на абстрактни геометрични фигури. Всъщност какво означава да разделим правоъгълник или друга плоска фигура на части? Ако е лист хартия, тогава може да се реже с ножица. Ако земята - сложи ограда. Стая - сложи преграда. Ами ако е начертан квадрат? Начертайте разделителна линия и обявете, че квадратът е разделен? Но в края на краищата D.I. Менделеев: "... Можете да декларирате всичко, но вие - давайте, демонстрирайте!"
И използвайки предложените дефиниции, „Раздели фигура“ означава да разделиш броя на единичните квадрати, запълващи тази фигура, на две (или повече) части. Броят на единичните квадрати във всяка от тези части определя нейната площ. Конфигурацията на тези части може да бъде дадена произволно, но сумата от техните площи винаги ще бъде равна на площта на оригиналната фигура. Може би математиците ще сметнат тези аргументи за неправилни, тогава ще ги приемем като предположение. Ако такива предположения са приемливи в учебника на Кисельов, тогава би било грях за нас да не използваме такава техника.
Първата стъпка в системния анализ е да се идентифицира проблемната ситуация. В началото на този етап бяха прегледани няколкостотин питагорови тройки, открити в различни източници. В същото време беше обърнато внимание на факта, че целият набор от питагорови тройки, споменат в публикациите, може да бъде разделен на няколко групи, които се различават по конфигурация. Ще разгледаме разликата в дължините на страните на оригиналния и извадения квадрат, тоест стойността c-b, като знак за специфична конфигурация. Например в публикациите често се показват като пример тройки, които отговарят на условието c-b=1. Предполагаме, че цялото множество от такива Питагорови тройки образува множество, което ще наречем "Клас c-1", и ще анализираме свойствата на този клас.
Помислете за трите квадрата, показани на фигурата, където c е дължината на страната на квадрата, която трябва да се намали, b е дължината на страната на квадрата, която трябва да се извади, и a е дължината на страната на образувания квадрат от тяхната разлика. На фиг. 1 се вижда, че при изваждане на площта на извадения квадрат от площта на намаления квадрат остават две ленти от единични квадрати в остатъка:
За да се образува квадрат от този остатък, условието трябва да е изпълнено
Тези отношения ни позволяват да определим стойностите на всички членове на тройката с едно дадено число c. Най-малкото число c, което удовлетворява съотношението (6), е c = 5. По този начин са определени дължините на трите страни на квадратите, удовлетворяващи съотношението (1). Спомнете си, че стойността b на страната на средния квадрат
беше избран, когато решихме да образуваме среден квадрат чрез намаляване на страната на оригиналния квадрат с единица. Тогава от отношения (5), (6). (7) получаваме следната връзка:
от което следва, че избраната стойност c = 5 еднозначно определя стойностите b = 4, a = 3.
В резултат на това се получават отношения, които позволяват представянето на всяка питагорова тройка от клас "c - 1" в такава форма, където стойностите на трите члена се определят от един определен параметър - стойността c:
Добавяме, че числото 5 в горния пример се появи като минимум от всички възможни стойности на c, за които уравнение (6) има решение в естествени числа. Следващото число, което има същото свойство, е 13, след това 25, след това 41, 61, 85 и т.н. Както можете да видите, в тази поредица от числа интервалите между съседни числа се увеличават бързо. Така например след валидна стойност следващата валидна стойност е , а след следващата валидна стойност е , тоест валидната стойност е повече от петдесет милиона от предишната!
Сега е ясно откъде идва тази фраза в книгата: - „С увеличаването на числата питагоровите тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да ги намерите ...“. Това твърдение обаче не е вярно. Човек трябва само да погледне питагоровите тройки, съответстващи на горните двойки съседни стойности на c, тъй като една особеност веднага хваща окото - и в двете двойки, в които стойностите на c са разделени с толкова големи интервали, стойностите на едно се оказват съседни нечетни числа. Наистина, за първата двойка имаме
и за втория чифт
Така че не самите тройки са „все по-рядко срещани“, но интервалите между съседните стойности на c се увеличават. Самите питагорови тройки, както ще бъде показано по-долу, съществуват за всяко естествено число.
Сега разгледайте тройките от следващия клас - "Клас c-2". Както се вижда от фиг. 1, при изваждане от квадрат със страна c на квадрат със страна (c - 2), остатъкът е сумата от две единични ленти. Стойността на тази сума се определя от уравнението:
От уравнение (10) получаваме връзка, която дефинира всеки от безкрайния набор от тройки клас "c-2":
Условието за съществуването на решение на уравнение (11) в естествени числа е всяка такава стойност c, за която a е естествено число. Минималната стойност на c, за която съществува решение, е c = 5. Тогава „началната“ тройка за този клас тройки се определя от множеството a = 4, b = 3, c = 5. Това е, отново, класическата образува се тройка 3, 4, 5, само сега площта на квадрата, който трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка.
И накрая, нека анализираме тройките от клас "s-8". За този клас тройки, изваждайки площта на квадрата от площта c2 на оригиналния квадрат, получаваме:
Тогава от уравнение (12) следва:
Минималната стойност на c, за която съществува решението, е c = 13. Питагоровата тройка при тази стойност ще приеме формата 12, 5, 13. В този случай отново площта на квадрата, която трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка. И пренареждайки обозначенията на места, получаваме тройката 5, 12, 13, която по своята конфигурация принадлежи към класа "c - 1". Изглежда, че по-нататъшният анализ на други възможни конфигурации няма да разкрие нищо фундаментално ново.
Извеждане на изчислените коефициенти
В предишния раздел логиката на анализа беше разработена в съответствие с изискванията на системния анализ в четири от петте му основни етапа: анализ на проблемната ситуация, формиране на цели, формиране на функции и формиране на структура. Сега е време да преминем към последния, пети етап - тестът за осъществимост, тоест тестът за степента на постигане на целите. .
Таблица 1 е показана по-долу. 1, който показва стойностите на питагоровите тройки, принадлежащи към класа "c - 1". Повечето тройки се намират в различни публикации, но тройки за стойности, равни на 999, 1001, не са намерени в известни публикации.
маса 1
Питагорови тройки от клас "c-1"
Може да се провери дали всички тройки отговарят на отношение (3). Така една от поставените цели е постигната. Съотношения (9), (11), (13), получени в предишния раздел, позволяват да се формира безкраен набор от тройки чрез задаване на единствения параметър c, страната на намаления квадрат. Това, разбира се, е по-конструктивен вариант от съотношението (2), за използването на което трябва да зададете произволно три числа l, m, n, имащи произволна стойност, след което да търсите решение, знаейки само, че в крайна сметка, със сигурност ще се получи питагорова тройка, а коя не се знае. В нашия случай конфигурацията на формираната тройка е предварително известна и трябва да се зададе само един параметър. Но, уви, не всяка стойност на този параметър има решение. И трябва предварително да знаете неговите допустими стойности. Така че резултатът е добър, но далеч от идеалния. Желателно е да се получи такова решение, че да могат да се изчислят питагорови тройки за всяко произволно дадено естествено число. За тази цел нека се върнем към четвъртия етап - формирането на структурата на получените математически отношения.
Тъй като изборът на стойността c като основен параметър за определяне на останалите членове на тройката се оказа неудобен, трябва да се опита друг вариант. Както се вижда от табл. 1, изборът на параметър a като основен изглежда за предпочитане, тъй като стойностите на този параметър са в ред в поредица от нечетни естествени числа. След прости трансформации привеждаме отношенията (9) в по-конструктивна форма:
Релациите (14) ни позволяват да намерим питагорова тройка за всяка предварително зададена нечетна стойност a. В същото време простотата на израза за b ви позволява да извършвате изчисления дори без калкулатор. Наистина, избирайки например числото 13, получаваме:
И съответно за числото 99 получаваме:
Релациите (15) позволяват да се получат стойностите на всичките три члена на низа на Питагор за всяко дадено n, като се започне от n=1.
Сега разгледайте Питагоровите тройки от клас "c - 2". В табл. 2 показва десет такива тройки като пример. Освен това в известни публикации са открити само три двойки тройки - 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Това се оказа достатъчно, за да се определят моделите, по които са образувани. Останалите седем са открити от предишни извлечени отношения (11). За удобство на изчислението тези съотношения бяха трансформирани, така че всички параметри да бъдат изразени чрез a. От (11) очевидно следва, че всички тройки за клас "c - 2" удовлетворяват следните отношения:
таблица 2
Питагорови тройки от клас "c-2"
Както се вижда от табл. 2, цялото безкрайно множество от тройки от клас "c - 2" може да бъде разделено на два подкласа. За тройки, където стойността на a се дели на 4 без остатък, стойностите на b и c са нечетни. Такива тройки, за които НОД = 1, се наричат примитивни. За тройки, чиито стойности a не се делят на 4 в цели числа, и трите члена на тройката a, b, c са четни.
Сега да преминем към преглед на резултатите от анализа на третия от избраните класове - клас "в - 8". Изчислените отношения за този клас, получени от (13), имат формата:
Релациите (20), (21) са по същество идентични. Разликата е само в избора на последователност от действия. Или в съответствие с (20) се избира желаната стойност на a (в този случай тази стойност трябва да бъде разделена на 4), след което се определят стойностите на b и c. Или се избира произволно число и след това от съотношения (21) се определят и трите члена на Питагоровата тройка. В табл. 3 показва брой питагорови тройки, изчислени по този начин. Изчисляването на стойностите на питагоровите тройки обаче е още по-лесно. Ако е известна поне една стойност, тогава всички следващи стойности се определят много просто от следните отношения:
Таблица 3
Валидността на връзката (22) за всички може да се провери както чрез тройки от табл. 2, както и от други източници. Като пример, в табл. 4 наклонени тройки от обширна таблица на питагоровите тройки (10 000 тройки), изчислени на базата на компютърна програма по релация (2) и с удебелен шрифт - тройки, изчислени по релация (20). Тези стойности не бяха в посочената таблица.
Таблица 4
Питагорови тройки от клас "s-8"
Съответно за тройки от формата могат да се използват следните отношения:
И за тройки от формата<
Трябва да се подчертае, че горните класове тройки "c - 1", "c - 2", "c - 8" съставляват повече от 90% от първите хиляда тройки от дадената таблица. Това дава основание тези класове да се разглеждат като базови. Нека добавим, че при извеждането на съотношения (22), (23), (24) не са използвани специални свойства на числата, изучавани в теорията на числата (прости, взаимнопрости и т.н.). Разкритите закономерности в образуването на питагоровите тройки се дължат само на системните свойства на описаните от тези тройки геометрични фигури - квадрати, състоящи се от множество единични квадрати.
Заключение
Сега, както каза Андрю Уайлс през 1993 г., „Мисля, че трябва да спра до тук“. Поставената цел е постигната напълно. Показано е, че анализът на свойствата на математическите модели, чиято структура е свързана с геометрични фигури, е значително опростен, ако в процеса на анализ, наред с чисто математическите изчисления, се вземат предвид и геометричните свойства на изследваните модели взети предвид. Опростяването се постига по-специално поради факта, че изследователят "вижда" желаните резултати, без да извършва математически трансформации.
Например равенството
става очевидно без трансформации от лявата му страна, трябва само да погледнете фиг. 1 за графичен модел на това равенство.
В резултат на това на базата на извършения анализ се показва, че за всеки квадрат със страна могат да се намерят квадрати със страни b и c, така че за тях да е валидно равенство и да се получат отношения, които дават резултати с минимално количество изчисления:
за нечетни стойности a,
и - за четни стойности.
Библиографска връзка
Beskrovny I.M. СИСТЕМЕН АНАЛИЗ НА СВОЙСТВАТА НА ПИТАГОРОВИТЕ ТРОЙКИ // Съвременни наукоемки технологии. - 2013. - № 11. - С. 135-142;URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (дата на достъп: 20.03.2020 г.). Предлагаме на Вашето внимание списанията, издавани от издателство "Естествонаучна академия"
След това разглеждаме добре познатите методи за генериране на ефективни питагорови тройки. Учениците на Питагор бяха първите, които измислиха прост начин за генериране на питагорови тройки, използвайки формула, чиито части представляват питагорова тройка:
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,
Където м- несдвоени, м>2. Наистина ли,
4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4
Подобна формула е предложена от древногръцкия философ Платон:
(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,
Където м- всякакъв брой. За м= 2,3,4,5 се генерират следните триплети:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Както можете да видите, тези формули не могат да дадат всички възможни примитивни тройки.
Разгледайте следния полином, който се разлага на сбор от полиноми:
(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .
Следователно следните формули за получаване на примитивни тройки:
а = 2м +1 , b = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , ° С = 2м 2 + 2м + 1.
Тези формули генерират тройки, в които средното число се различава от най-голямото точно с единица, тоест не се генерират и всички възможни тройки. Тук първите тройки са: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
За да се определи как да се генерират всички примитивни тройки, трябва да се изследват техните свойства. Първо, ако ( a,b,c) тогава е примитивна тройка аи b, bи ° С, аи ° С— трябва да е взаимнопрост. Позволявам аи bсе разделят на д. Тогава а 2 + b 2 също се дели на д. съответно ° С 2 и ° Стрябва да се разделят на д. Тоест не е примитивна тройка.
На второ място, сред числата а, bединият трябва да е сдвоен, а другият - несдвоен. Наистина, ако аи b- тогава сдвоени сще бъдат сдвоени и числата могат да бъдат разделени на поне 2. Ако и двете не са сдвоени, тогава могат да бъдат представени като 2 к+1 и 2 л+1, където к,л- някои числа. Тогава а 2 + b 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, т.е. с 2 , както и а 2 + b 2 има остатък 2, когато се дели на 4.
Позволявам с- произволно число, т.е с = 4к+аз (аз=0,…,3). Тогава с 2 = (4к+аз) 2 има остатък 0 или 1 и не може да има остатък 2. Така, аи bне може да бъде раздвоен, т.е а 2 + b 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 и остатък с 2 по 4 трябва да е 1, което означава, че стрябва да бъде несдвоен.
Такива изисквания към елементите на Питагоровата тройка се удовлетворяват от следните числа:
а = 2мн, b = м 2 − н 2 , ° С = м 2 + н 2 , м > н, (2)
Където ми нса взаимно прости с различни сдвоявания. За първи път тези зависимости стават известни от произведенията на Евклид, който е живял 2300 r. обратно.
Нека докажем валидността на зависимостите (2). Позволявам а- двойно тогава bи ° С- несдвоени. Тогава ° С + bаз ° С − b- двойки. Те могат да бъдат представени като ° С + b = 2uи ° С − b = 2v, където u,vса някои цели числа. Ето защо
а 2 = с 2 − b 2 = (° С + b)(° С − b) = 2u 2 v = 4UV
И следователно ( а/2) 2 = UV.
От противното може да се докаже, че uи vса взаимнопрости. Позволявам uи v- се делят на д. Тогава ( ° С + b) и ( ° С − b) се разделят на д. И следователно ° Си bтрябва да се разделят на д, а това противоречи на условието за Питагоровата тройка.
защото UV = (а/2) 2 и uи v coprime, това е лесно да се докаже uи vтрябва да са квадрати на някои числа.
Така че има положителни цели числа ми н, така че u = м 2 и v = н 2. Тогава
а 2 = 4UV = 4м 2 н 2 така
а = 2мн; b = u − v = м 2 − н 2 ; ° С = u + v = м 2 + н 2 .
защото b> 0, тогава м > н.
Остава да се покаже това ми нимат различни чифтове. Ако ми н- тогава сдвоени uи vтрябва да бъдат сдвоени, но това е невъзможно, тъй като те са взаимно прости. Ако ми н- несдвоени, тогава b = м 2 − н 2 и ° С = м 2 + н 2 биха били сдвоени, което е невъзможно, защото ° Си bса взаимнопрости.
Следователно всяка примитивна питагорова тройка трябва да отговаря на условия (2). В същото време числата ми нНаречен генериране на числапримитивни тройки. Например, нека имаме примитивна питагорова тройка (120,119,169). В такъв случай
а= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25 и ° С = 144+25=169,
Където м = 12, н= 5 - генериране на числа, 12 > 5; 12 и 5 са взаимно прости и от различни чифтове.
Може да се докаже, че числата м, нформули (2) дават примитивна питагорова тройка (a,b,c). Наистина ли,
а 2 + b 2 = (2мн) 2 + (м 2 − н 2) 2 = 4м 2 н 2 + (м 4 − 2м 2 н 2 + н 4) =
= (м 4 + 2м 2 н 2 + н 4) = (м 2 + н 2) 2 = ° С 2 ,
Това е ( а,b,° С) е Питагорова тройка. Нека докажем това докато а,b,° Сса взаимно прости числа от противно. Нека тези числа бъдат разделени на стр> 1. Тъй като ми нтогава има различни двойки bи ° С- несдвоени, т.е стр≠ 2. Защото Рразделя bи ° С, тогава Ртрябва да разделя 2 м 2 и 2 н 2 , което е невъзможно, т.к стр≠ 2. Следователно м, нса взаимно прости и а,b,° Ссъщо са взаимнопрости.
Таблица 1 показва всички примитивни питагорови тройки, генерирани от формули (2) за м≤10.
Таблица 1. Примитивни питагорови тройки за м≤10
| м | н | а | b | ° С | м | н | а | b | ° С |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Анализът на тази таблица показва наличието на следните серии от модели:
- или а, или bсе делят на 3;
- едно от числата а,b,° Ссе дели на 5;
- номер асе дели на 4;
- работа а· bсе дели на 12.
През 1971 г. американските математици Тейган и Хедуин предложиха такива малко известни параметри на правоъгълен триъгълник като неговата височина (височина), за да генерират тризнаци ч = ° С− b и излишък (успех) д = а + b − ° С. На фиг.1. тези количества са показани на определен правоъгълен триъгълник.
Фигура 1. Правоъгълен триъгълник и неговия растеж и излишък
Името "излишък" произлиза от факта, че това е допълнителното разстояние, което трябва да се измине по катетите на триъгълника от единия връх до противоположния, ако не се минава по неговия диагонал.
Чрез излишък и растеж, страните на Питагоровия триъгълник могат да бъдат изразени като:
д 2 д 2
а = ч + д, b = д + ——, ° С = ч + д + ——, (3)
2ч 2ч
Не всички комбинации чи дможе да съответства на Питагоровите триъгълници. За даденост чвъзможни стойности де произведение на някакво число д. Този номер дсе нарича растеж и се отнася за чпо следния начин: де най-малкото положително цяло число, чийто квадрат се дели на 2 ч. защото дмногократни д, тогава се пише като д = kd, където ке положително цяло число.
С помощта на двойки ( к,ч) можете да генерирате всички питагорови триъгълници, включително непримитивни и обобщени, както следва:
(dk) 2 (dk) 2
а = ч + dk, b = dk + ——, ° С = ч + dk + ——, (4)
2ч 2ч
Освен това тройката е примитивна ако ки чса взаимно прости и ако ч =± р 2 при р- несдвоени.
Освен това, това ще бъде точно питагорова тройка if к> √2 ч/ди ч > 0.
Да намеря ки чот ( а,b,° С) направете следното:
- ч = ° С − b;
- записвам чкак ч = pq 2, където стр> 0 и такова, което не е квадрат;
- д = 2pqако стр- несдвоени и д = pq, ако p е сдвоено;
- к = (а − ч)/д.
Например за тройката (8,15,17) имаме ч= 17−15 = 2 1, така че стр= 2 и р = 1, д= 2 и к= (8 − 2)/2 = 3. Така че тази тройка е дадена като ( к,ч) = (3,2).
За тройката (459,1260,1341) имаме ч= 1341 − 1260 = 81, така че стр = 1, р= 9 и д= 18, следователно к= (459 − 81)/18 = 21, така че кодът на тази тройка е ( к,ч) = (21, 81).
Уточняване на тройки с чи кима редица интересни свойства. Параметър ксе равнява
к = 4С/(dP), (5)
Където С = аб/2 е площта на триъгълника и П = а + b + ° Се неговият периметър. Това следва от равенството eP = 4С, което идва от Питагоровата теорема.
За правоъгълен триъгълник де равен на диаметъра на окръжността, вписана в триъгълника. Това идва от факта, че хипотенузата с = (а − r)+(b − r) = а + b − 2r, където rе радиусът на окръжността. Оттук ч = ° С − b = а − 2rи д = а − ч = 2r.
За ч> 0 и к > 0, ке поредният номер на тройките а-b-° Св последователност от питагорови триъгълници с нарастване ч. От таблица 2, която показва няколко опции за триплети, генерирани от двойки ч, к, се вижда, че с увеличаване кстраните на триъгълника се увеличават. По този начин, за разлика от класическото номериране, номерирането по двойки ч, кима по-висок ред в последователности от триплети.
Таблица 2. Питагорови тройки, генерирани от двойки h, k.
| ч | к | а | b | ° С | ч | к | а | b | ° С |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
За ч > 0, дудовлетворява неравенството 2√ ч ≤ д ≤ 2ч, в който долната граница е достигната при стр= 1, а горната, при р= 1. Следователно стойността дпо отношение на 2√ че мярка за това колко чдалеч от квадрата на някакво число.
