Решаване на експоненциални степенни уравнения, алгоритми и примери. Решаване на експоненциални уравнения в математиката
Лекция: “Методи за решаване на експоненциални уравнения.”
1 . Експоненциални уравнения.
Уравнения, съдържащи неизвестни в показатели, се наричат експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a > 0, a ≠ 1.
1) При b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) За b > 0, използвайки монотонността на функцията и теоремата за корена, уравнението има единствен корен. За да го намерим, b трябва да се представи във формата b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.
Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават с помощта на следните методи:
1) метод на намаляване до една база;
2) метод на оценка;
3) графичен метод;
4) метод за въвеждане на нови променливи;
5) метод на факторизация;
6) експоненциално – степенни уравнения;
7) демонстративен с параметър.
2 . Начин на намаляване на една база.
Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и основите им са равни, тогава техните показатели са равни, т.е. трябва да се опитате да редуцирате уравнението до формата
Примери. Решете уравнението:
1 . 3x = 81;
Нека представим дясната страна на уравнението във формата 81 = 34 и напишем уравнението, еквивалентно на оригинала 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и нека преминем към уравнението за степени 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; х = 0,5.
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 представляват степени на 5. Нека се възползваме от това и да трансформираме оригиналното уравнение, както следва:
,
откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.
5. 3x = 5. По дефиниция на логаритъм, x = log35. Отговор: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Нека пренапишем уравнението във формата 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т.е..png" width="181" height="49 src="> Следователно x – 4 =0, x = 4. Отговор: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във формата 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, след което 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, т.е. т.е. x+1 = 2, x =1. Отговор: 1.
Проблемна банка №1.
Решете уравнението:
Тест №1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) няма корени |
1) 7;1 2) няма корени 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Тест No2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) няма корени 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Метод на оценка.
Коренна теорема: ако функцията f(x) нараства (намалява) в интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f в този интервал, тогава уравнението f(x) = a има един корен в интервала I.
При решаване на уравнения с помощта на метода на оценка се използват тази теорема и свойствата на монотонността на функцията.
Примери. Решете уравнения: 1. 4x = 5 – x.
Решение. Нека пренапишем уравнението като 4x +x = 5.
1. ако x = 1, тогава 41+1 = 5, 5 = 5 е вярно, което означава, че 1 е коренът на уравнението.
Функция f(x) = 4x – нараства върху R, и g(x) = x – нараства върху R => h(x)= f(x)+g(x) нараства върху R, като сумата от нарастващите функции, тогава x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 – x. Отговор: 1.
2.
Решение. Нека пренапишем уравнението във формата 
.
1. ако x = -1, тогава 
, 3 = 3 е вярно, което означава, че x = -1 е коренът на уравнението.
2. докаже, че е единственият.
3. Функция f(x) = - намалява върху R, а g(x) = - x – намалява върху R=> h(x) = f(x)+g(x) – намалява върху R, като сумата от намаляващи функции. Това означава, че според теоремата за корена x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.
Проблемна банка №2. Решете уравнението
а) 4x + 1 =6 – x;
б) 
в) 2x – 2 =1 – x;
4. Метод за въвеждане на нови променливи.
Методът е описан в параграф 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Нека да разгледаме примерите.
Примери.
РРешете уравнението: 1.
.
Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т.е..png" width="210" height = "45">
Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин: 
Да обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не е подходящо.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ирационално уравнение. Отбелязваме, че 
Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, което означава, че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.
Решение. Нека пренапишем уравнението във формата и разделим двете му страни на 56x+6 ≠ 0. Получаваме уравнението
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">
Корените на квадратното уравнение са t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Решение . Нека пренапишем уравнението във формата
и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.
Разделяме уравнението на 42x, получаваме 
Нека заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Отговор: 0; 0,5.
Проблемна банка №3. Решете уравнението
б) 
G) 
Тест No3 с избор на отговори. Минимално ниво.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) няма корени 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) няма корени 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Тест No4 с избор на отговори. Общо ниво.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) няма корени |
5. Метод на факторизиране.
1. Решете уравнението: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Решение..png" width="169" height="69"> , от където
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Решение. Нека поставим 6x извън скобите от лявата страна на уравнението и 2x от дясната страна. Получаваме уравнението 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Тъй като 2x >0 за всички x, можем да разделим двете страни на това уравнение на 2x, без да се страхуваме от загуба на решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.
3. 
Решение. Нека решим уравнението, като използваме метода на факторизиране.
Нека изберем квадрата на бинома 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 е коренът на уравнението.
Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15. x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Тест No6 Общо ниво.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Експоненциално – степенни уравнения.
В съседство с експоненциалните уравнения са така наречените уравнения с експоненциална степен, т.е. уравнения с формата (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Ако е известно, че f(x)>0 и f(x) ≠ 1, тогава уравнението, подобно на експоненциалното, се решава чрез приравняване на показателите g(x) = f(x).
Ако условието не изключва възможността f(x)=0 и f(x)=1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи, когато решаваме експоненциално уравнение.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Решение. x2 +2x-8 – има смисъл за всяко x, тъй като е полином, което означава, че уравнението е еквивалентно на съвкупността
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
б) 
7. Експоненциални уравнения с параметри.
1. За какви стойности на параметъра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) има единствено решение?
Решение. Нека въведем замяната 2x = t, t > 0, тогава уравнение (1) ще приеме формата t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант на уравнение (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.
1. Ако D = 0, т.е. p = 1, тогава уравнение (2) ще приеме формата t2 – 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно уравнение (1) има уникално решение x = 0.
2. Ако p1, тогава 9(p – 1)2 > 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p – 3. Условията на задачата са изпълнени от набор от системи
Замествайки t1 и t2 в системите, имаме
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Решение. Нека 
тогава уравнение (3) ще приеме формата t2 – 6t – a = 0. (4)
Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) отговаря на условието t> 0.
Нека въведем функцията f(t) = t2 – 6t – a. Възможни са следните случаи.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Случай 2. Уравнение (4) има единствено положително решение, ако
D = 0, ако a = – 9, тогава уравнение (4) ще приеме формата (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не удовлетворява неравенството t > 0. Това е възможно, ако
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Така, за a 0, уравнение (4) има един положителен корен 
. Тогава уравнение (3) има единствено решение 
Когато а< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
ако а< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = – 9, тогава x = – 1;
ако a 0, тогава
Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Обърнете внимание, че при решаването на уравнение (1) се сведе до квадратно уравнение, чийто дискриминант е перфектен квадрат; По този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение и след това бяха направени заключения относно тези корени. Уравнение (3) е намалено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно, когато се решава уравнение (3), е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен трином и графичен модел. Обърнете внимание, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.
Нека решим по-сложни уравнения.
Задача 3: Решете уравнението 
Решение. ODZ: x1, x2.
Да въведем заместител. Нека 2x = t, t > 0, тогава в резултат на трансформации уравнението ще приеме формата t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Нека намерим стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Отговор: ако a > – 13, a 11, a 5, тогава ако a – 13,
a = 11, a = 5, тогава няма корени.
Списък на използваната литература.
1. Гузеев основите на образователната технология.
2. Технология на Гузеев: от рецепция до философия.
М. „Училищен директор” № 4, 1996 г
3. Гузеев и организационни форми на обучение.
4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.
М. „Народно образование“, 2001 г
5. Гузеев от формите на урок - семинар.
Математика в училище № 2, 1987 г. с. 9 – 11.
6. Seleuko образователни технологии.
М. „Народно образование“, 1998 г
7. Episheva ученици да учат математика.
М. "Просвещение", 1990 г
8. Иванова изготвя уроци – работилници.
Математика в училище № 6, 1990 стр. 37 – 40.
9. Модел на обучение по математика на Смирнов.
Математика в училище № 1, 1997 г., стр. 32 – 36.
10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.
Математика в училище № 1, 1993 p. 27 – 28.
11. За един от видовете самостоятелна работа.
Математика в училище No2, 1994, с. 63 – 64.
12. Хазанкин творчески способности на учениците.
Математика в училище № 2, 1989 стр. 10.
13. Сканави. Издателство, 1997г
14. и др. Алгебра и наченки на анализа. Дидактически материали за
15. Задачи на Кривоногов по математика.
М. “Първи септември”, 2002 г
16. Черкасов. Помагало за гимназисти и
влизане в университети. “A S T - пресшкола”, 2002г
17. Жевняк за постъпващите във ВУЗ.
Минск и Руската федерация „Ревю“, 1996 г
18. Писмена Г. Готвим се за изпита по математика. М. Ролф, 1999
19. и т. Научаване за решаване на уравнения и неравенства.
М. "Интелект - център", 2003 г
20. и др. Образователни и обучителни материали за подготовка за EGE.
М. "Разузнаване - център", 2003 и 2004 г.
21 и други опции. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г.
22. Уравнения на Голдберг. "Квант" № 3, 1971 г
23. Волович М. Как успешно да преподаваме математика.
Математика, 1997 №3.
24 Окунев за урока, деца! М. Образование, 1988
25. Yakimanskaya - ориентирано обучение в училище.
26. Liimets работят в клас. М. Знание, 1975
1º. Експоненциални уравнениясе наричат уравнения, съдържащи променлива в експонента.
Решаването на експоненциални уравнения се основава на свойството на степените: две степени с една и съща основа са равни тогава и само ако техните показатели са равни.
2º. Основни методи за решаване на експоненциални уравнения:
1) най-простото уравнение има решение;
2) уравнение с форма, логаритмична спрямо основата а свеждам до форма;
3) уравнение от вида е еквивалентно на уравнението ;
4) уравнение на формата 
е еквивалентно на уравнението.
5) уравнение от формата се редуцира чрез заместване до уравнение и след това се решава набор от прости експоненциални уравнения;
6) уравнение с реципрочни величини 
чрез заместване те се свеждат до уравнение и след това решават набор от уравнения;
7) уравнения, еднородни по отношение на a g(x)И b g(x)предвид това 
вид 
чрез заместване те се свеждат до уравнение и след това решават набор от уравнения.
Класификация на експоненциалните уравнения.
1. Уравнения, решени чрез преминаване към една база.
Пример 18. Решете уравнението 
.
Решение: Нека се възползваме от факта, че всички основи на степените са степени на числото 5: .
2. Уравнения, решени чрез преминаване към един показател.
Тези уравнения се решават чрез трансформиране на оригиналното уравнение във формата , което се редуцира до най-простия си вид с помощта на свойството пропорция.
Пример 19. Решете уравнението:
3. Уравнения, решени чрез изваждане на общия множител от скоби.
Ако всеки степенен показател в дадено уравнение се различава от другия с определено число, тогава уравненията се решават, като степенният показател с най-малкия показател се поставя извън скоби.
Пример 20. Решете уравнението.
Решение: Нека извадим степента с най-малкия показател извън скобите от лявата страна на уравнението:
Пример 21. Решете уравнението 
Решение: Нека групираме отделно от лявата страна на уравнението членовете, съдържащи степени с основа 4, от дясната страна - с основа 3, след което изведем степените с най-малък показател извън скоби:
4. Уравнения, които се свеждат до квадратни (или кубични) уравнения.
Следните уравнения се свеждат до квадратно уравнение за новата променлива y:
а) вида на заместването, в този случай;
б) вида на заместването и .
Пример 22. Решете уравнението 
.
Решение: Нека направим промяна на променлива и решим квадратното уравнение:
.
Отговор: 0; 1.
5. Уравнения, които са еднородни по отношение на експоненциални функции.
Уравнение от вида е хомогенно уравнение от втора степен по отношение на неизвестните a xИ b x. Такива уравнения се редуцират, като първо двете страни се разделят на и след това се заместват в квадратни уравнения.
Пример 23. Решете уравнението.
Решение: Разделете двете страни на уравнението на:
Слагайки, получаваме квадратно уравнение с корени.
Сега проблемът се свежда до решаването на набор от уравнения 
. От първото уравнение намираме, че . Второто уравнение няма корени, тъй като за всяка стойност х.
Отговор: -1/2.
6. Рационални уравнения по отношение на експоненциални функции.
Пример 24. Решете уравнението.
Решение: Разделете числителя и знаменателя на дробта на 3 хи вместо две получаваме една експоненциална функция:
7. Уравнения на формата 
.
Такива уравнения с набор от допустими стойности (APV), определени от условието, чрез вземане на логаритъм от двете страни на уравнението се свеждат до еквивалентно уравнение, което от своя страна е еквивалентно на набор от две уравнения или.
Пример 25. Решете уравнението: .
.
Дидактически материал.
Решете уравненията:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Намерете произведението на корените на уравнението 
.
27. Намерете сумата от корените на уравнението 
.
Намерете значението на израза:
28. , където х 0– корен на уравнението;
29. , където х 0– цял корен на уравнението 
.
Решете уравнението:
31. 
; 32. .
Отговори: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5,0; 6,0; 7. -2; 8.2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14.2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18.1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема No8.
Експоненциални неравенства.
1º. Извиква се неравенство, съдържащо променлива в степента експоненциално неравенство.
2º. Решението на експоненциалните неравенства на формата се основава на следните твърдения:
ако , тогава неравенството е еквивалентно на ;
ако , тогава неравенството е еквивалентно на .
Когато решавате експоненциални неравенства, използвайте същите техники, както при решаване на експоненциални уравнения.
Пример 26. Решете неравенство 
(метод за преминаване към една база).
Решение: Тъй като 
, тогава даденото неравенство може да се запише като: 
. Тъй като , тогава това неравенство е еквивалентно на неравенството 
.
Решавайки последното неравенство, получаваме .
Пример 27. Решете неравенството: ( като извадите общия множител извън скоби).
Решение: Нека извадим скоби от лявата страна на неравенството, от дясната страна на неравенството и разделим двете страни на неравенството на (-2), променяйки знака на неравенството на противоположния:
Тъй като , тогава при преминаване към неравенство на показателите знакът на неравенството отново се променя на противоположния. получаваме. По този начин множеството от всички решения на това неравенство е интервалът.
Пример 28. Решете неравенство ( чрез въвеждане на нова променлива).
Решение: Нека . Тогава това неравенство ще приеме формата: 
или 
, чието решение е интервалът .
Оттук. Тъй като функцията нараства, тогава .
Дидактически материал.
Посочете набора от решения на неравенството:
1. ; 2. ; 3. ;
6. На какви стойности хТочките на графиката на функцията лежат ли под правата линия?
7. На какви стойности хТочките на графиката на функцията лежат ли поне до правата?
Решете неравенството:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Посочете най-голямото цяло число решение на неравенството 
.
14. Намерете произведението на най-голямото цяло число и най-малкото цяло число решения на неравенството 
.
Решете неравенството:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Намерете домейна на функцията:
27. 
; 28. 
.
29. Намерете набор от стойности на аргументи, за които стойностите на всяка от функциите са по-големи от 3:
И 
.
Отговори: 11.3; 12.3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. )
