Sin е сумата от два ъгъла. Универсално тригонометрично заместване, извеждане на формули, примери

Референтни данни за тангенс (tg x) и котангенс (ctg x). Геометрична дефиниция, свойства, графики, формули. Таблица на тангенси и котангенси, производни, интеграли, разширения на редове. Изрази чрез комплексни променливи. Връзка с хиперболични функции.

Геометрична дефиниция

|BD|
- дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.

α е ъгълът, изразен в радиани. Тангенса () тен α

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .) Котангенс (

ctg α

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

Къде
.
;
;
.

п

- цяло.

е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
Графика на функцията тангенс, y = tan x
;
;
.

Котангенс

В западната литература котангенсът се означава по следния начин:

Приемат се и следните нотации:

Графика на функцията котангенс, y = ctg x Свойства на тангенса и котангенсаПериодичност Функции y = tg x

и y =

ctg x

са периодични с период π.

Паритет до дължината на срещуположния катет |BC| .Функциите тангенс и котангенс са нечетни.

	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи Свойства на тангенса и котангенса	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи Функции y =
Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата (
- цяло).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y=		-
Обхват и приемственост	-
Диапазон от стойности	-	-
Увеличава се 0
Спускане 0	Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи 0	-

Крайности

Нули, y =

; ;
; ;
;

Пресечете точки с ординатната ос, x =

Формули

Изрази, използващи синус и косинус

Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика

Останалите формули са лесни за получаване, например

Произведение на допирателните

Формула за сбор и разлика на тангенси

;
;

Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента.

; .

.
Изрази, използващи комплексни числа
.
Изразяване чрез хиперболични функции

Деривати

Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:

Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>> ИнтегралиРазширения на сериите За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциитегрях х

и

cos x
и разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Къде .
Или според формулата на Лаплас:

Обратни функции

Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.

Арктангенс, arctg

, Къде до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

Аркотангенс, arcctg

, Къде до дължината на срещуположния катет |BC| .Допирателна

Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.

Най-често задавани въпроси

Възможно ли е да се направи печат върху документ по предоставен образец? отговор Да, възможно е. Изпратете сканирано копие или снимка с добро качество на нашия имейл адрес и ние ще направим необходимия дубликат.

Какви видове плащане приемате? отговор Можете да платите за документа при получаване от куриера, след проверка на правилността на попълване и качеството на изпълнение на дипломата. Това може да стане и в офис на пощенски компании, предлагащи услуги с наложен платеж.
Всички условия за доставка и плащане на документи са описани в раздел „Плащане и доставка“. Също така сме готови да изслушаме вашите предложения относно условията за доставка и плащане на документа.

Мога ли да съм сигурен, че след като направя поръчка, няма да изчезнете с парите ми? отговор Имаме доста дългогодишен опит в областта на дипломното производство. Имаме няколко уебсайта, които се актуализират постоянно. Нашите специалисти работят в различни точки на страната, изработвайки над 10 документа на ден. През годините нашите документи са помогнали на много хора да разрешат проблеми с трудовата заетост или да се преместят на по-високо платена работа. Спечелили сме доверие и признание сред клиентите, така че няма абсолютно никаква причина да го правим. Освен това това е просто невъзможно да се направи физически: плащате за поръчката си в момента, в който я получите в ръцете си, няма предплащане.

Мога ли да поръчам диплома от всеки университет? отговор Като цяло, да. Ние работим в тази област от почти 12 години. През това време се формира почти пълна база данни с документи, издадени от почти всички университети в страната и за различни години на издаване. Всичко, от което се нуждаете, е да изберете университет, специалност, документ и да попълните формата за поръчка.

Какво да направите, ако откриете печатни грешки и грешки в документ? отговор Когато получавате документ от нашата куриерска или пощенска фирма, ви препоръчваме внимателно да проверите всички подробности. При установена печатна грешка, грешка или неточност имате право да не вземете дипломата, но трябва да посочите откритите дефекти лично на куриера или писмено чрез изпращане на имейл.
Ние ще коригираме документа възможно най-скоро и ще го изпратим отново на посочения адрес. Разбира се, доставката ще бъде платена от нашата компания.
За да избегнем подобни недоразумения, преди да попълним оригиналния формуляр, изпращаме на клиента по имейл макет на бъдещия документ за проверка и одобрение на окончателния вариант. Преди да изпратим документа по куриер или по пощата, правим и допълнителни снимки и видеозаписи (включително в ултравиолетова светлина), за да имате ясна представа какво ще получите накрая.

Какво трябва да направя, за да поръчам диплома от вашата компания? отговор За да поръчате документ (сертификат, диплома, академична справка и др.), трябва да попълните формата за онлайн поръчка на нашия уебсайт или да посочите имейла си, за да можем да ви изпратим формуляр за кандидатстване, който трябва да попълните и изпратите обратно към нас.
Ако не знаете какво да посочите в някое от полетата на формата за поръчка/въпросника, оставете ги празни. Затова ще уточним цялата липсваща информация по телефона.

Последни отзиви

Алексей:

Трябваше да придобия диплома, за да започна работа като мениджър. И най-важното е, че имам и опит, и умения, но без документ не мога да си намеря работа. След като попаднах на вашия сайт, най-накрая реших да си купя диплома. Дипломата беше готова за 2 дни!! Сега имам работа, за която никога не съм мечтал преди!! благодаря ви

В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и позволяват да се намери всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.

Нека веднага изброим основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Нека ги запишем в таблица, а по-долу ще дадем резултата от тези формули и ще предоставим необходимите обяснения.

Навигация в страницата.

Връзка между синус и косинус на един ъгъл

Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичноствид . Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата Разширения на сериите следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще говорим за това по-подробно в следващите параграфи.

Тоест равенството е от особен интерес, което получи името на основната тригонометрична идентичност.

Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.

Основното тригонометрично тъждество се използва много често, когато преобразуване на тригонометрични изрази. Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-рядко основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.

Тангенс и котангенс през синус и косинус

Тъждества, свързващи тангенс и котангенс със синус и косинус на един зрителен ъгъл и следват непосредствено от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Наистина, по дефиниция синусът е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. , а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. .

Благодарение на такава очевидност на тъждествата и Тангенсът и котангенсът често се определят не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синус и косинус. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.

В заключение на този параграф трябва да се отбележи, че идентичностите и се извършват за всички ъгли, при които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко , различно от (в противен случай знаменателят ще има нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.

Връзка между тангенс и котангенс

Още по-очевидна тригонометрична идентичност от предишните две е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се отнася за всякакви ъгли, различни от , В противен случай или тангенсът, или котангенсът не са определени.

Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде . Доказателството можеше да се проведе малко по-различно. Тъй като , Това .

Тангенсът и котангенсът на един и същи ъгъл, при който имат смисъл, са .

– със сигурност ще има задачи по тригонометрия. Тригонометрията често не се харесва поради необходимостта да се натъпчат огромен брой трудни формули, гъмжащи от синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Сайтът вече веднъж даде съвет как да запомните забравена формула, използвайки примера на формулите на Ойлер и Пийл.

И в тази статия ще се опитаме да покажем, че е достатъчно да знаете твърдо само пет прости тригонометрични формули и да имате обща представа за останалите и да ги извлечете, докато вървите. Това е като с ДНК: молекулата не съхранява пълните чертежи на завършено живо същество. По-скоро съдържа инструкции за сглобяването му от наличните аминокиселини. Така че в тригонометрията, знаейки някои общи принципи, ще получим всички необходими формули от малък набор от тези, които трябва да имаме предвид.

Ще разчитаме на следните формули:

От формулите за синусови и косинусови суми, знаейки за паритета на косинусовата функция и нечетността на синусовата функция, замествайки -b вместо b, получаваме формули за разликите:

1. Синус от разликата: грях(a-b) = гряхаcos(-б)+cosагрях(-б) = гряхаcosb-cosагряхb
2. Косинус на разликата: cos(a-b) = cosаcos(-б)-гряхагрях(-б) = cosаcosb+гряхагряхb

Като поставим a = b в същите формули, получаваме формулите за синус и косинус на двойни ъгли:

1. Синус на двоен ъгъл: грях2а = грях(а+а) = гряхаcosа+cosагряха = 2гряхаcosа
2. Косинус на двоен ъгъл: cos2а = cos(а+а) = cosаcosа-гряхагряха = cos2 а-грях2 а

Формулите за други множество ъгли се получават по подобен начин:

1. Синус на троен ъгъл: грях3а = грях(2a+a) = грях2аcosа+cos2агряха = (2гряхаcosа)cosа+(cos2 а-грях2 а)гряха = 2гряхаcos2 а+гряхаcos2 а-грях 3 а = 3 гряхаcos2 а-грях 3 а = 3 гряха(1-грях2 а)-грях 3 а = 3 гряха-4грях 3а
2. Косинус на троен ъгъл: cos3а = cos(2a+a) = cos2аcosа-грях2агряха = (cos2 а-грях2 а)cosа-(2гряхаcosа)гряха = cos 3 а- грях2 аcosа-2грях2 аcosа = cos 3 а-3 грях2 аcosа = cos 3 a-3 (1- cos2 а)cosа = 4cos 3 а-3 cosа

Преди да продължим, нека разгледаме един проблем.
Дадено: ъгълът е остър.
Намерете неговия косинус, ако
Решение, дадено от един ученик:
защото , Това гряха= 3,а cosа = 4.
(От математическия хумор)

И така, определението за тангенс свързва тази функция както със синус, така и с косинус. Но можете да получите формула, която свързва тангенса само с косинуса. За да го извлечем, вземаме основната тригонометрична идентичност: грях 2 а+cos 2 а= 1 и го разделете на cos 2 а. Получаваме:

Така че решението на този проблем би било:

(Тъй като ъгълът е остър, при изваждането на корена се взема знакът +)

Формулата за тангенс на сума е друга, която е трудна за запомняне. Нека го изведем така:

Веднага се показва и

От формулата за косинус за двоен ъгъл можете да получите формулите за синус и косинус за половин ъгъл. За да направите това, от лявата страна на формулата за двоен ъглов косинус:
cos2 а = cos 2 а-грях 2 а
добавяме единица, а вдясно - тригонометрична единица, т.е. сумата от квадратите на синус и косинус.
cos2а+1 = cos2 а-грях2 а+cos2 а+грях2 а
2cos 2 а = cos2 а+1
Изразяване cosачрез cos2 аи извършвайки промяна на променливи, получаваме:

Знакът се взема в зависимост от квадранта.

По същия начин, като извадим единица от лявата страна на равенството и сумата от квадратите на синуса и косинуса от дясната, получаваме:
cos2а-1 = cos2 а-грях2 а-cos2 а-грях2 а
2грях 2 а = 1-cos2 а

И накрая, за да преобразуваме сумата от тригонометричните функции в продукт, използваме следната техника. Да кажем, че трябва да представим сумата от синуси като продукт гряха+гряхb. Нека въведем променливи x и y, така че a = x+y, b+x-y. Тогава
гряха+гряхb = грях(x+y)+ грях(x-y) = гряхх cos y+ cosх грях y+ гряхх cosд- cosх грях y=2 гряхх cosг. Нека сега изразим x и y чрез a и b.

Тъй като a = x+y, b = x-y, тогава . Ето защо

Можете да оттеглите веднага

1. Формула за разделяне произведения на синус и косинус V сума: гряхаcosb = 0.5(грях(a+b)+грях(а-б))

Препоръчваме ви да практикувате и да извеждате сами формули за превръщане на разликата на синусите и сумата и разликата на косинусите в произведение, както и за разделяне на произведенията на синусите и косинусите в сбора. След като завършите тези упражнения, вие ще овладеете напълно умението за извеждане на тригонометрични формули и няма да се изгубите дори в най-трудния тест, олимпиада или тестване.

Понятията синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () са неразривно свързани с понятието ъгъл. За да разберем добре тези, на пръв поглед, сложни понятия (които предизвикват състояние на ужас у много ученици) и за да се уверим, че „дяволът не е толкова страшен, колкото го рисуват“, нека започнем от самото начало и разберете концепцията за ъгъл.

Концепция за ъгъл: радиан, градус

Нека погледнем снимката. Векторът се е „завъртял“ спрямо точката с определена стойност. Така че мярката на това завъртане спрямо началната позиция ще бъде ъгъл.

Какво още трябва да знаете за понятието ъгъл? Е, ъглови единици, разбира се!

Ъгълът, както в геометрията, така и в тригонометрията, може да бъде измерен в градуси и радиани.

Ъгъл (един градус) е централният ъгъл в окръжност, сложен от кръгова дъга, равна на част от окръжността. Така цялата окръжност се състои от „парчета“ от кръгови дъги или ъгълът, описан от окръжността, е равен.

Тоест фигурата по-горе показва ъгъл, равен на, тоест този ъгъл лежи върху дъга от окръжност с размера на обиколката.

Ъгъл в радиани е централният ъгъл в окръжност, сключен от окръжна дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. Е, разбрахте ли? Ако не, тогава нека го разберем от чертежа.

И така, фигурата показва ъгъл, равен на радиан, тоест този ъгъл се опира на кръгла дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността (дължината е равна на дължината или радиусът е равен на дължина на дъгата). Така дължината на дъгата се изчислява по формулата:

Къде е централният ъгъл в радиани.

Е, като знаете това, можете ли да отговорите колко радиана се съдържат в ъгъла, описан от окръжността? Да, за това трябва да запомните формулата за обиколка. Ето го:

Е, сега нека съпоставим тези две формули и да открием, че ъгълът, описан от окръжността, е равен. Тоест, като съпоставим стойността в градуси и радиани, получаваме това. Съответно,. Както можете да видите, за разлика от "градуси", думата "радиан" е пропусната, тъй като мерната единица обикновено е ясна от контекста.

Колко радиана има? точно така!

Разбра ли? След това продължете напред и го поправете:

Имате затруднения? Тогава погледнете отговори:

Правоъгълен триъгълник: синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл

И така, разбрахме концепцията за ъгъл. Но какво е синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл? Нека да го разберем. За да направим това, ще ни помогне правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната); катетите са двете останали страни и (тези, съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла, тогава катетът е съседният катет, а катетът е противоположният. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус от ъгъл- това е съотношението на противоположния (отдалечен) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Косинус на ъгъл- това е отношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

В нашия триъгълник.

Тангенс на ъгъла- това е съотношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка).

В нашия триъгълник.

Котангенс на ъгъл- това е съотношението на съседния (близкия) крак към противоположния (далечния).

В нашия триъгълник.

Тези определения са необходими запомни! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаРазширения на сериите котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеРазширения на сериите косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). не ми вярваш Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете например за косинуса на ъгъл. По дефиниция от триъгълник: , но можем да изчислим косинуса на ъгъл от триъгълник: . Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!

За триъгълника, показан на фигурата по-долу, намираме.

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла.

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на. Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста (в нашия пример това е радиусът).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата на оста и координатата на оста. Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Помислете за триъгълник. Тя е правоъгълна, защото е перпендикулярна на оста.

На какво е равен триъгълникът? точно така Освен това знаем, че това е радиусът на единичната окръжност, което означава . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

На какво е равен триъгълникът? Ами разбира се! Заменете стойността на радиуса в тази формула и получете:

И така, можете ли да кажете какви координати има точка, принадлежаща на окръжност? Е, няма начин? Ами ако осъзнаете това и сте само числа? На коя координата отговаря? Е, разбира се, координатите! И на коя координата отговаря? Точно така, координати! Така точка.

На какво тогава са равни и ? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това, a.

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Помислете за правоъгълен триъгълник: ъгъл (като съседен на ъгъл). Какви са стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

Е, както виждате, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата; стойността на косинуса на ъгъла - координатата; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста. Досега въртяхме този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но той ще бъде само отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка - отрицателен.

И така, ние знаем, че цяло завъртане на радиус вектора около окръжност е или. Възможно ли е радиус векторът да се завърти на или на? Е, разбира се, че можете! Следователно в първия случай радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре в позиция или.

Във втория случай, тоест радиус векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре в позиция или.

По този начин от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с или (където е цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъл. Същото изображение съответства на ъгъла и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула или (където е цяло число)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът при съответства на точка с координати, следователно:

Не съществува;

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в съответстват съответно на точки с координати. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

не съществува

не съществува

не съществува

не съществува

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и, дадени в таблицата по-долу, трябва да се помни:

Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример доста лесно да запомните съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки на ъгъл (), както и стойността на тангенса на ъгъла. Познавайки тези стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.

Знаейки това, можете да възстановите стойностите за. Числителят „ “ ще съвпада, а знаменателят „ “ ще съвпада. Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните всички стойности от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, познаване на координатите на центъра на кръга, неговия радиус и ъгъл на въртене?

Е, разбира се, че можете! Нека го извадим обща формула за намиране на координатите на точка.

Например, ето кръг пред нас:

Дадено ни е, че точката е центърът на окръжността. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точка, получена чрез завъртане на точката на градуси.

Както се вижда от фигурата, координатата на точката съответства на дължината на сегмента. Дължината на сегмента съответства на координатата на центъра на кръга, тоест е равна. Дължината на сегмент може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

Тогава имаме това за координатата на точката.

Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката. по този начин

Така че, като цяло, координатите на точките се определят по формулите:

Координати на центъра на кръга,

радиус на кръга,

Ъгълът на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула и радиусът е равен на едно:

Добре, нека изпробваме тези формули, като се упражняваме да намираме точки в окръжност?

1. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

2. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

3. Намерете координатите на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на точката.

4. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

5. Точката е центърът на кръга. Радиусът на окръжността е равен. Необходимо е да се намерят координатите на точката, получена чрез завъртане на началния радиус-вектор с.

Имате проблеми с намирането на координатите на точка от окръжност?

Решете тези пет примера (или станете добри в решаването им) и ще се научите да ги намирате!

1.

Можете да забележите това. Но знаем какво отговаря на пълно завъртане на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

2. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Знаем какво съответства на два пълни оборота на началната точка. Така желаната точка ще бъде в същата позиция, както при завъртане. Знаейки това, намираме необходимите координати на точката:

Синус и косинус са таблични стойности. Припомняме си значенията и получаваме:

Така желаната точка има координати.

3. Единичната окръжност е центрирана в точка, което означава, че можем да използваме опростени формули:

Можете да забележите това. Нека изобразим въпросния пример на фигурата:

Радиусът образува ъгли, равни на и с оста. Знаейки, че стойностите на таблицата на косинус и синус са равни и след като определихме, че косинусът тук приема отрицателна стойност, а синусът приема положителна стойност, имаме:

Такива примери се обсъждат по-подробно при изучаване на формулите за намаляване на тригонометричните функции в темата.

Така желаната точка има координати.

4.

Ъгъл на въртене на радиуса на вектора (по условие)

За да определим съответните знаци на синус и косинус, конструираме единична окръжност и ъгъл:

Както можете да видите, стойността е положителна, а стойността е отрицателна. Познавайки табличните стойности на съответните тригонометрични функции, получаваме, че:

Нека заместим получените стойности в нашата формула и намерим координатите:

Така желаната точка има координати.

5. За да разрешим този проблем, използваме формули в общ вид, където

Координати на центъра на кръга (в нашия пример,

Радиус на окръжност (по условие)

Ъгъл на завъртане на радиуса на вектора (по условие).

Нека заместим всички стойности във формулата и да получим:

и - таблични стойности. Нека запомним и ги заместим във формулата:

Така желаната точка има координати.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния (далечен) крак към хипотенузата.

Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния (близък) крак към хипотенузата.

Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположната (далечна) страна към съседната (близка) страна.

Котангенсът на ъгъл е отношението на съседната (близка) страна към противоположната (далечна) страна.