Свойства на функциите - Хипермаркет на знанието. Понятие за функция

Ще наречем функцията y=f(x) ГРАНИЧНА ОТГОРНА (ДОЛНА) на множеството A от областта на дефиниция D(f), ако съществува такова число М , че за всяко x от това множество условието е изпълнено

Използвайки логически символи, определението може да бъде написано като:

f(x) – ограничени отгоре на множеството

(f(x) – ограничена отдолу на комплекта

Въвеждат се под внимание и функции, ограничени по модул или просто ограничени.

Ще извикаме функция ОГРАНИЧЕНА в множеството A от областта на дефиницията, ако има положително число M, такова че

На езика на логическите символи

f(x) – ограничен на снимачната площадка

Функция, която не е ограничена, се нарича неограничена. Знаем, че определенията, дадени чрез отрицание, имат малко съдържание. За да формулираме това твърдение като дефиниция, използваме свойствата на кванторните операции (3.6) и (3.7). Тогава отричането на ограничеността на функция на езика на логическите символи ще даде:

f(x) – ограничен на снимачната площадка

Полученият резултат ни позволява да формулираме следното определение.

Една функция се нарича НЕОГРАНИЧЕНА на множество А, принадлежащо към домейна на дефиниция на функцията, ако в това множество за всяко положително число M има такава стойност на аргумента x , че стойността пак ще надвишава стойността на М, т.е.

Като пример, разгледайте функцията

Дефинира се по цялата реална ос. Ако вземем отсечката [–2;1] (множество A), то върху нея тя ще бъде ограничена и отгоре, и отдолу.

Наистина, за да покажем, че е ограничен отгоре, трябва да разгледаме предиката

и покажете, че има (съществува) такова M, че за всички x, взети на интервала [–2;1], ще бъде вярно

Намирането на такова М не е трудно. Можем да приемем, че M = 7, кванторът на съществуване включва намирането на поне една стойност на M. Наличието на такова M потвърждава факта, че функцията на интервала [–2;1] е ограничена отгоре.

За да докажем, че е ограничен отдолу, трябва да разгледаме предиката

Стойността на M, която гарантира истинността на даден предикат, е например M = –100.

Може да се докаже, че функцията също ще бъде ограничена по модул: за всички x от сегмента [–2;1], стойностите на функцията съвпадат със стойностите на , така че като M можем да приемем, за например предишната стойност M = 7.

Нека покажем, че същата функция, но на интервала, ще бъде неограничена, т.е

За да покажем, че такова x съществува, разгледайте твърдението

Търсейки необходимите стойности на x сред положителните стойности на аргумента, получаваме

Това означава, че независимо какво положително M приемаме, стойностите на x, които осигуряват изпълнението на неравенството

се получават от релацията .

Като се разглежда функцията върху цялата реална ос, може да се покаже, че тя е неограничена по абсолютна стойност.

Наистина от неравенството

Тоест, без значение колко голямо е положителното M, или ще осигури изпълнението на неравенството.

ИЗКЛЮЧИТЕЛНА ФУНКЦИОНАЛНОСТ.

Функцията има в точката с локален максимум (минимум), ако има такава околност на тази точка, че за х¹ с от тази съседство неравенството е в сила

особено, че екстремалната точка може да бъде само вътрешна точка на интервала и f(x) в нея трябва задължително да бъде дефинирана. Възможните случаи на липса на екстремум са показани на фиг. 8.8.

Ако една функция расте (намалява) на определен интервал и намалява (увеличава) на определен интервал, тогава точката с е локална максимална (минимална) точка.

Липса на максимум на функцията f(x) в точката с може да се формулира така:

_______________________

f(x) има максимум в точка c

Това означава, че ако точката c не е локална максимална точка, тогава какъвто и да е кварталът, който включва точката c като вътрешна, ще има поне една стойност x, която не е равна на c, за която . Така, ако няма максимум в точка c, тогава в тази точка може изобщо да няма екстремум или може да е минимална точка (фиг. 8.9).

Концепцията за екстремум дава сравнителна оценка на стойността на функция във всяка точка по отношение на близките. Подобно сравнение на стойностите на функциите може да се извърши за всички точки от определен интервал.

МАКСИМАЛНАТА (НАЙ-МАЛКАТА) стойност на функция в набор е нейната стойност в точка от този набор, така че – при . Най-голямата стойност на функцията се постига във вътрешната точка на сегмента, а най-малката – в левия му край.

За да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция, посочена на интервал, е необходимо да се избере най-голямото (най-малкото) число сред всички стойности на неговите максимуми (минимуми), както и приетите стойности в краищата на интервала. Това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията. Това правило ще бъде изяснено по-късно.

Проблемът с намирането на най-големите и най-малките стойности на функция на отворен интервал не винаги е лесен за решаване. Например функцията

в интервала (фиг. 8.11) ги няма.

Нека се уверим например, че тази функция няма най-голямо значение. Всъщност, като се вземе предвид монотонността на функцията, може да се твърди, че без значение колко близо сме задали стойностите на x вляво от единица, ще има други x, в които стойностите на функцията ще да бъде по-голяма от стойностите си в взетите фиксирани точки, но все пак по-малка от единица.

Урок и презентация на тема: "Свойства на функция. Нарастващи и намаляващи функции"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 9 клас
Интерактивен учебник за 9 клас "Правила и упражнения по геометрия"
Електронен учебник "Разбираема геометрия" за 7-9 клас

Момчета, продължаваме да изучаваме числови функции. Днес ще се съсредоточим върху тема като свойствата на функцията. Функциите имат много свойства. Спомнете си какви свойства изучавахме наскоро. Точно така, домейнът на дефиницията и домейнът на стойностите, те са едни от ключовите свойства. Никога не забравяйте за тях и помнете, че една функция винаги има тези свойства.

В този раздел ще дефинираме някои свойства на функциите. Препоръчвам да спазваме реда, в който ще ги определяме при решаване на задачи.

Нарастваща и намаляваща функция

Първото свойство, което ще дефинираме, е нарастващата и намаляващата функция.

Казва се, че една функция нараства в множеството X⊂D(f), ако за всяко x1 и x2, такова че x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
За функция се казва, че е намаляваща в множеството X⊂D(f), ако за всякакви x1 и x2 такива, че x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Тоест по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Понятията „увеличаване“ и „намаляване“ на функция са много лесни за разбиране, ако внимателно разгледате графиките на функцията. За нарастваща функция: изглежда, че се изкачваме по хълм, за намаляваща функция, ние съответно слизаме. Общият изглед на нарастващите и намаляващите функции е представен на графиките по-долу.

Нарастващите и намаляващите функции обикновено се наричат ​​монотонност.Тоест нашата задача е да намерим интервалите на намаляване и нарастване на функцията. В общия случай това се формулира по следния начин: намерете интервали на монотонност или изследвайте функция за монотонност.

Изследвайте монотонността на функцията $y=3x+2$.
Решение: Нека проверим функцията за всякакви x1 и x2 и нека x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Тъй като, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Ограничена функция

Казва се, че функция $y=f(x)$ е ограничена отдолу в множеството X⊂D(f), ако съществува число a такова, че за всяко хϵХ неравенството f(x) е в сила< a.

Казва се, че функция $y=f(x)$ е ограничена отгоре в множеството X⊂D(f), ако съществува число a такова, че за всеки хϵХ е изпълнено неравенството f(x)< a.

Ако интервалът X не е посочен, тогава функцията се счита за ограничена върху цялата област на дефиниция. Функция, която е ограничена отгоре и отдолу, се нарича ограничена.

Ограничението на функцията се чете лесно от графиката. Възможно е да се начертае някаква права линия
$у=а$, а ако функцията е по-висока от тази линия, то тя е ограничена отдолу. Ако по-долу, тогава съответно по-горе. По-долу има графика на функция, ограничена отдолу. Момчета, опитайте сами да начертаете графика на ограничена функция.

Проверете ограничеността на функцията $y=\sqrt(16-x^2)$.
Решение: Корен квадратен от определено число е по-голям или равен на нула. Очевидно е, че нашата функция също е по-голяма или равна на нула, тоест ограничена отдолу.
Можем само да извлечем корен квадратен от неотрицателно число, след което $16-x^2≥0$.
Решението на нашето неравенство ще бъде интервалът [-4;4]. На този сегмент $16-x^2≤16$ или $\sqrt(16-x^2)≤4$, но това означава ограничен отгоре.
Отговор: нашата функция е ограничена до две прави $y=0$ и $y=4$.

Най-висока и най-ниска стойност

Най-малката стойност на функцията y= f(x) в множеството X⊂D(f) е някакво число m, така че:

б) За всеки хϵХ е валидно $f(x)≥f(x0)$.

Най-голямата стойност на функцията y=f(x) в множеството X⊂D(f) е някакво число m, така че:
а) Има някакъв x0 такъв, че $f(x0)=m$.
б) За всяко хϵХ е валидно $f(x)≤f(x0)$.

Най-големите и най-малките стойности обикновено се означават с y max. и y име .

Концепциите за ограниченост и най-голямата с най-малка стойност на функция са тясно свързани. Следните твърдения са верни:
а) Ако има минимална стойност за функция, тогава тя е ограничена отдолу.
б) Ако една функция има най-голяма стойност, тогава тя е ограничена отгоре.
в) Ако функцията не е ограничена отгоре, тогава най-голямата стойност не съществува.
г) Ако функцията не е ограничена отдолу, тогава най-малката стойност не съществува.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
За $х=4$ $f(4)=5$, за всички останали стойности функцията приема по-малки стойности или не съществува, тоест това е най-голямата стойност на функцията.
По дефиниция: $9-4x^2+16x≥0$. Нека намерим корените на квадратния трином $(2x+1)(2x-9)≥0$. При $x=-0,5$ и $x=4,5$ функцията се равнява на нула; във всички други точки е по-голяма от нула. Тогава по дефиниция най-малката стойност на функцията е равна на нула.
Отговор: y макс. =5 и y име. =0.

Момчета, ние също изучавахме понятието изпъкналост на функция. Когато решаваме някои проблеми, може да се нуждаем от това свойство. Това свойство също се определя лесно с помощта на графики.

Една функция е изпъкнала надолу, ако произволни две точки от графиката на оригиналната функция са свързани и графиката на функцията е под линията на свързване на точките.

Една функция е изпъкнала нагоре, ако произволни две точки от графиката на оригиналната функция са свързани и графиката на функцията е над линията на свързване на точките.

Една функция е непрекъсната, ако графиката на нашата функция няма прекъсвания, например като графиката на функцията по-горе.

Ако трябва да намерите свойствата на функция, тогава последователността на търсене на свойствата е следната:
а) Област на дефиниция.
б) Монотонност.
в) Ограничение.
г) Най-голямата и най-малката стойност.
г) Приемственост.
д) Диапазон от стойности.

Намерете свойствата на функцията $y=-2x+5$.
Решение.
а) Област на дефиниция D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонност. Нека проверим за всякакви стойности x1 и x2 и нека x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
От x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограничение. Очевидно функцията не е ограничена.
г) Най-голямата и най-малката стойност. Тъй като функцията е неограничена, няма максимална или минимална стойност.
г) Приемственост. Графиката на нашата функция няма прекъсвания, тогава функцията е непрекъсната.
д) Диапазон от стойности. E(y)=(-∞;+∞).

Задачи върху свойствата на функция за самостоятелно решаване

Намерете свойствата на функцията:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=\frac(4)(x)$.

Моля, обърнете внимание: всички дефиниции включват числено множество X, което е част от домейна на функцията: X с D(f). В практиката най-често има случаи, когато X е числов интервал (отсечка, интервал, лъч и др.).

Определение 1.

За функция y = f(x) се казва, че нараства върху множество X с D(f), ако за всеки две точки x 1 и x 2 от множеството X, така че x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Определение 2.

За функция y = f(x) се казва, че намалява върху множество X с D(f), ако за всеки две точки x 1 и x 2 от множеството X, така че x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

На практика е по-удобно да се използват следните формулировки: функция нараства, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията; функция намалява, ако по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

В 7. и 8. клас използвахме следната геометрична интерпретация на понятията за нарастване или намаляване на функция: движейки се по графиката на нарастваща функция отляво надясно, ние сякаш се изкачваме по хълм (фиг. 55); движейки се по графиката на намаляваща функция отляво надясно, все едно се спускаме по хълм (фиг. 56).
Обикновено термините „нарастваща функция“, „намаляваща функция“ се обединяват под общото наименование монотонна функция, а изследването на функция за нарастване или намаляване се нарича изследване на функция за монотонност.

Нека отбележим още едно обстоятелство: ако една функция нараства (или намалява) в естествената си област на дефиниция, тогава обикновено казваме, че функцията нараства (или намалява) - без да посочваме числения набор X.

Пример 1.

Разгледайте монотонността на функцията:

а) y = x 3 + 2; б) у = 5 - 2х.

Решение:

а) Вземете произволни стойности на аргумента x 1 и x 2 и нека x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Последното неравенство означава, че f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Така че от x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), което означава, че дадената функция е намаляваща (на цялата числова ос).

Определение 3.

Казва се, че функция y - f(x) е ограничена отдолу в множество X с D(f), ако всички стойности на функцията в множеството X са по-големи от определено число (с други думи, ако има число m такова, че за всяка стойност x є X неравенството f( x) >m).

Определение 4.

Казва се, че функция y = f(x) е ограничена отгоре върху множество X с D(f), ако всички стойности на функцията са по-малки от определено число (с други думи, ако има число M като че за всяка стойност x є X е в сила неравенството f(x).< М).

Ако множеството X не е посочено, тогава се разбира, че говорим за функцията, която е ограничена отдолу или отгоре в цялата област на дефиниция.

Ако една функция е ограничена както отдолу, така и отгоре, тогава тя се нарича ограничена.

Ограничеността на функцията се чете лесно от нейната графика: ако функцията е ограничена отдолу, тогава нейната графика е изцяло разположена над определена хоризонтална линия y = m (фиг. 57); ако функцията е ограничена отгоре, тогава нейната графика е изцяло разположена под някаква хоризонтална линия y = M (фиг. 58).

Пример 2.Проверете за ограниченост на функция
Решение.От една страна, неравенството е съвсем очевидно (по дефиницията на квадратен корен това означава, че функцията е ограничена отдолу. От друга страна, имаме и следователно
Това означава, че функцията е ограничена отгоре. Сега погледнете графиката на дадената функция (фиг. 52 от предходния параграф). Ограничението на функцията отгоре и отдолу може да се прочете доста лесно от графиката.

Определение 5.

Числото m се нарича най-малката стойност на функцията y = f(x) в множеството X C D(f), ако:

1) в X има точка x 0 такава, че f(x 0) = m;

2) за всички x от X е в сила неравенството m>f(x 0).

Определение 6.

Числото M се нарича най-голямата стойност на функцията y = f(x) в множеството X C D(f), ако:
1) в X има точка x 0 такава, че f(x 0) = M;
2) за всички x от X неравенството
Най-малката стойност на функция и в 7., и в 8. клас обозначавахме със символа y, а най-голямата със символа y.

Ако множеството X не е посочено, тогава се приема, че говорим за намиране на най-малката или най-голямата стойност на функцията в цялата област на дефиниция.

Следните полезни твърдения са съвсем очевидни:

1) Ако една функция има Y, тогава тя е ограничена отдолу.
2) Ако една функция има Y, тогава тя е ограничена отгоре.
3) Ако функцията не е ограничена отдолу, тогава Y не съществува.
4) Ако функцията не е ограничена отгоре, тогава Y не съществува.

Пример 3.

Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция
Решение.

Съвсем очевидно е, особено ако използвате графиката на функцията (фиг. 52), че = 0 (функцията достига тази стойност в точки x = -3 и x = 3), a = 3 (функцията достига тази стойност при x = 0.
В 7 и 8 клас споменахме още две свойства на функциите. Първото беше наречено свойство на изпъкналост на функция. Счита се, че дадена функция е изпъкнала надолу на интервал X, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика (с абсцисите от X) с права линия установим, че съответната част от графиката лежи под начертаната отсечка (фиг. 59). непрекъснатост Една функция е изпъкнала нагоре на интервал X, ако чрез свързване на произволни две точки от нейната графика (с абсцисите от X) на функцията с права линия, установим, че съответната част от графиката лежи над начертания сегмент ( Фиг. 60).

Второто свойство - непрекъснатост на функция върху интервала X - означава, че графиката на функцията върху интервала X е непрекъсната, т.е. няма пробиви или скокове.

Коментирайте.

Всъщност в математиката всичко е, както се казва, „точно обратното“: графиката на функцията се изобразява като плътна линия (без пробиви или скокове) само когато е доказана непрекъснатостта на функцията. Но формалната дефиниция на непрекъснатостта на една функция, която е доста сложна и фина, все още не е в нашите възможности. Същото може да се каже и за изпъкналостта на функция. Когато обсъждаме тези две свойства на функциите, ще продължим да разчитаме на визуални и интуитивни концепции.

Сега нека прегледаме знанията си. Спомняйки си функциите, които изучавахме в 7 и 8 клас, нека да изясним как изглеждат техните графики и да изброим свойствата на функцията, като се придържаме към определен ред, например това: област на дефиниция; монотонен; ограничение; , ; непрекъснатост; диапазон; изпъкнал.

Впоследствие ще се появят нови свойства на функциите и списъкът със свойства ще се промени съответно.

1. Константна функция y = C

Графиката на функцията y = C е показана на фиг. 61 - права линия, успоредна на оста x. Това е толкова безинтересна функция, че няма смисъл да изброявам нейните свойства.

Графиката на функцията y = kx + m е права линия (фиг. 62, 63).

Свойства на функцията y = kx + m:

1)
2) нараства, ако k > 0 (фиг. 62), намалява, ако k< 0 (рис. 63);

4) няма нито най-голямата, нито най-малката стойност;
5) функцията е непрекъсната;
6)
7) няма смисъл да говорим за изпъкналост.

Графиката на функцията y = kx 2 е парабола с връх в началото и с клони, насочени нагоре, ако k > O (фиг. 64), и надолу, ако k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Свойства на функцията y - kx 2:

За случай k> 0 (фиг. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = не съществува;
5) непрекъснато;
6) E(f) = функцията намалява, а на интервала намалява на лъча;
7) изпъкнал нагоре.

Графиката на функцията y = f(x) се изчертава точка по точка; Колкото повече точки от формата (x; f(x)) вземем, толкова по-точна представа за графиката ще получим. Ако вземете много от тези точки, тогава ще получите по-пълна картина на графиката. Именно в този случай интуицията ни казва, че графиката трябва да бъде изобразена като плътна линия (в този случай под формата на парабола). И тогава, четейки графиката, правим изводи за непрекъснатостта на функцията, за нейната изпъкналост надолу или нагоре, за обхвата на стойностите на функцията. Трябва да разберете, че от изброените седем свойства само свойства 1), 2), 3), 4) са „легитимни“ - „легитимни“ в смисъл, че можем да ги оправдаем, като се позоваваме на точни дефиниции. Имаме само визуални и интуитивни идеи за останалите имоти. Между другото, в това няма нищо лошо. От историята на развитието на математиката е известно, че човечеството често и дълго време използва различни свойства на определени обекти, без да знае точните определения. След това, когато можеха да се формулират такива определения, всичко си дойде на мястото.

Графиката на функцията е хипербола, координатните оси служат като асимптоти на хиперболата (фиг. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ако k > 0, тогава функцията намалява върху отворения лъч (-oo, 0) и върху отворения лъч (0, +oo) (фиг. 66); ако да< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не е ограничен нито отдолу, нито отгоре;
4) няма нито най-малката, нито най-голямата стойност;
5) функцията е непрекъсната върху отворения лъч (-oo, 0) и върху отворения лъч (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) ако k > 0, тогава функцията е изпъкнала нагоре при x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, т.е. на отворения лъч (0, +oo) (фиг. 66). Ако да< 0, то функция выпукла вверх при х >O и изпъкнал надолу при x< О (рис. 67).
Графиката на функцията е клон на парабола (фиг. 68). Свойства на функцията:
1) D(f) = , нараства на лъча и е диференцируем в интервала ( а;b), тогава има такава точка, че

Теорема на Коши.

Ако функциите f(x) и g(x) са непрекъснати на интервала и диференцируеми на интервала (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервала (a, b), тогава има поне една точка д, а< e < b, такая, что

Тези. съотношението на нарастванията на функциите върху даден сегмент е равно на съотношението на производните в точка e. Примери за решаване на задачи курс на лекции Изчисляване на обема на тяло от известни площи на неговите успоредни сечения Интегрално смятане

Примери за курсова работаЕлектротехника

За доказване на тази теорема на пръв поглед е много удобно да се използва теоремата на Лагранж. Запишете формула за крайна разлика за всяка функция и след това ги разделете една на друга. Тази идея обаче е погрешна, т.к точка e за всяка функция обикновено е различна. Разбира се, в някои специални случаи тази интервална точка може да се окаже еднаква и за двете функции, но това е много рядко съвпадение, а не правило, и следователно не може да се използва за доказване на теоремата.

Доказателство. Помислете за помощната функция

Когато x→x 0, стойността на c също клони към x 0; Нека отидем до границата в предишното равенство:

защото , това .

Ето защо

(границата на съотношението на две безкрайно малки е равна на границата на съотношението на техните производни, ако последното съществува)

Правилото на L'Hopital, при ∞/∞.

Теорема за границата на монотонна функция. Доказателството на теоремата е дадено с помощта на два метода. Дадени са и дефиниции на строго нарастващи, ненамаляващи, строго намаляващи и ненарастващи функции. Дефиниция на монотонна функция.

Дефиниции

Дефиниции на нарастващи и намаляващи функции
Нека функцията f (х)е дефинирано върху някакъв набор от реални числа X.
Функцията се извиква строго нарастващ (строго намаляващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) ( е (x′) > f(x′′) ) .
Функцията се извиква ненамаляващ (ненарастващ), ако за всички x′, x′′ ∈ Xтака че x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)( е (x′) ≥ f(x′′) ) .

От това следва, че една строго нарастваща функция е и ненамаляваща. Строго намаляваща функция също е ненарастваща.

Дефиниция на монотонна функция
Функцията се извиква монотонен, ако не намалява или не нараства.

За да изследвате монотонността на функция на определен набор X, трябва да намерите разликата на нейните стойности в две произволни точки, принадлежащи на този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Ако на определен набор функцията е положителна: , тогава за да определите монотонността, можете да изследвате коефициента на разделяне на нейните стойности в две произволни точки от този набор. Ако , тогава функцията е строго нарастваща; ако , тогава функцията не намалява; ако , тогава строго намалява; ако , тогава не се увеличава.

Теорема
Нека функцията f (х)не намалява на интервала (а, б), Къде .
Ако тя е ограничена отгоре с числото M:, тогава има крайна лява граница в точка b:. (х)Ако f
не е ограничено отгоре, тогава . (х)Ако f (х)е ограничено отдолу от числото m : , тогава има крайна дясна граница в точката a : .

Ако f
не е ограничен отдолу, тогава .

Ако точките a и b са в безкрайност, тогава в изразите граничните знаци означават, че . (х)не намалява на интервала (а, б)Тази теорема може да се формулира по-компактно.
;
.

Нека функцията f

, Къде . Тогава има едностранни граници в точки a и b:
;
.

Подобна теорема за ненарастваща функция.
Нека функцията не нараства на интервала, където .
След това има едностранни ограничения:

Последица

Нека функцията е монотонна на интервала.

Тогава във всяка точка от този интервал има едностранни крайни граници на функцията:

И .

Доказателство на теоремата

.
;
.

Функцията не намалява
b - крайно число
Функцията е ограничена отгоре
;
;
.
1.1.1. Нека функцията е ограничена отгоре с числото M: за .
b - крайно число

b - крайно число
Тъй като функцията не намалява, тогава когато .

Тогава

при .
Нека трансформираме последното неравенство:
Защото тогава.
Тогава

.

b - крайно число

„Дефиниции на едностранни граници на функция в крайна точка“).
b - крайно число
Функцията не е ограничена отгоре

1. Нека функцията не намалява на интервала.

И .

при .
1.1. Нека числото b е крайно: .
Тогава

1.1.2. Нека функцията не е ограничена отгоре.
.
Нека докажем, че в този случай има граница.
;
Нека обозначим .
.

Тогава за всеки има, така че
b - крайно число

И така, открихме, че за всеки има число, така че
b - крайно число
„Дефиниции на едностранни граници в безкрайност“).

Тогава

при .
1.2. Нека числото b е равно на плюс безкрайност: .
1.2.2. Нека функцията не е ограничена отгоре.
Тогава

Тъй като функцията не е ограничена отгоре, тогава за всяко число M има аргумент, за който
.

Тъй като функцията не намалява, тогава когато .

След това в .
b - крайно число
Така че за всяко има число, така че

Това означава, че границата при е равна на (вижте "Дефиниции на едностранни безкрайни граници при безкрайност").

Функцията не се увеличава

Сега разгледайте случая, когато функцията не се увеличава. Можете, както по-горе, да разгледате всяка опция поотделно. Но ние ще ги покрием веднага. За това използваме. Нека докажем, че в този случай има граница.
.
Помислете за крайния ниски максимум на набора от стойности на функцията:
;
Тук B може да бъде или крайно число, или точка в безкрайност.
.
Съгласно определението за точна долна граница са изпълнени следните условия:

за всяка околност на точка B има аргумент, за който
b - крайно число
Според условията на теоремата, .
b - крайно число
Ето защо.

Тъй като функцията не нараства, тогава когато .
b - крайно число
От тогава

или

След това отбелязваме, че неравенството определя лявата пунктирана околност на точка b.

И така, открихме, че за всяка околност на точката има пробита лява околност на точка b, така че

Това означава, че границата отляво в точка b е: -1 (виж универсалната дефиниция на лимита на функция по Коши).

Ограничение в точка а
.
Сега ще покажем, че има граница в точка а и ще намерим нейната стойност.
.

Нека разгледаме функцията.
.

Съгласно условията на теоремата функцията е монотонна за .
(1) .
Нека заменим променливата x с - x (или направим заместване и след това заменим променливата t с x). Тогава функцията е монотонна за .
.
Умножение на неравенства по
b - крайно число

Нека a е крайно число. Нека изразим лявата пунктирана околност на точката -a с помощта на неравенствата:
b - крайно число
Нека заменим x с -x и вземем предвид, че:
b - крайно число
Последните две неравенства определят пунктираната дясна околност на точка a.
b - крайно число

Тогава
Нека a е безкрайно число, .
Нека a е безкрайно число, .
Нека a е безкрайно число, .
b - крайно число

Повтаряме разсъжденията.
b - крайно число
в ;
.

И така, открихме, че за всеки има такова нещо