Решение.Решаваме правоъгълен ∆ ASC: sin A=, BH=12, следователно AB=13,AK=5 (питагорова тройка 5,12,13). Решете правоъгълен ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Питагор тройка 3,4,5).Радиусът се намира по формулата r === 4. Отг.4.

2.4. Питагорови тройки в тригонометрията

Основното тригонометрично тъждество е частен случай на Питагоровата теорема: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Следователно някои тригонометрични задачи лесно се решават устно с помощта на питагорови тройки.

Задачи, при които се изисква да се намерят стойностите на други тригонометрични функции от дадена стойност на функция, могат да бъдат решени без повдигане на квадрат и извличане на квадратен корен. Всички задачи от този тип в училищния учебник по алгебра (10-11) Мордкович (№ 000-№ 000) могат да се решават устно, като се знаят само няколко питагорови тройки: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Нека разгледаме решенията на две задачи.

№ 000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Решение. Питагорова тройка: 3, 4, 5. Следователно cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№ 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Решение. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 = 12/5. Питагорова тройка 5,12,13. Като се имат предвид знаците, получаваме sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контролно-измервателни материали на изпита

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) грях (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

д) проверете валидността на равенството:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Решение. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Заключение

В геометричните задачи често трябва да се решават правоъгълни триъгълници, понякога няколко пъти. След като анализирахме задачите на училищните учебници и USE материалите, можем да заключим, че се използват главно тройки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; които лесно се запомнят. При решаването на някои тригонометрични задачи класическото решение с помощта на тригонометрични формули и голям брой изчисления отнема време, а познаването на питагоровите тройки ще премахне грешките в изчисленията и ще спести време за решаване на по-трудни задачи на изпита.

Библиографски списък

1. Алгебра и началото на анализа. 10-11 клас. На 2 ч. Част 2. Тетрадка за учебни заведения / [и др.]; изд. . - 8-мо изд., Sr. - М. : Мнемозина, 2007. - 315 с. : аз ще.

2. Алгебра на Перелман. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановски: Proc. За 7-9 клетки. с дълбока общообразователното обучение по математика. училище от руски език обучение, - 3-то изд. - Мн.; Нар. Асвета, 2000. - 574 с.: ил.

4. Математика: Христоматия по история, методика, дидактика. / Comp. . - М.: Издателство на УРАО, 2001. - 384 с.

5. сп. "Математиката в училище" бр.1, 1965г.

6. Контролно-измервателни материали на изпита.

7. Геометрия, 7-9: Proc. за образователни институции / и др - 13-то изд. - М .: Образование, 2003. – 384 стр. : аз ще.

8. Геометрия: Proc. за 10-11 клетки. ср. училище/ и др.- 2-ро изд. - М .: Образование, 1993, - 207 с.: ил.

Алгебра на Перелман. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

сп. "Математиката в училище" бр.1, 1965г.

Геометрия, 7-9: Proc. за образователни институции / и др - 13-то изд. - М .: Образование, 2003. – 384 стр. : аз ще.

Рогановски: Proc. За 7-9 клетки. с дълбока общообразователното обучение по математика. училище от руски език обучение, - 3-то изд. - Мн.; Нар. Асвета, 2000. - 574 с.: ил.

Алгебра и началото на анализа. 10-11 клас. На 2 ч. Част 2. Тетрадка за учебни заведения / [и др.]; изд. . - 8-мо изд., Sr. - М. : Мнемозина, 2007. - 315 с. : ил., с.18.

Важен пример за диофантово уравнение е даден от Питагоровата теорема, която свързва дължините x и y на катетите на правоъгълен триъгълник с дължината z на неговата хипотенуза:

Разбира се, вие сте попаднали на едно от прекрасните решения на това уравнение в естествени числа, а именно Питагоровата тройка от числа x=3, y=4, z=5.Има ли други тризнаци?

Оказва се, че има безкрайно много Питагорови тройки и всички те са открити отдавна. Те могат да бъдат получени по добре познати формули, за които ще научите от този параграф.

Ако диофантовите уравнения от първа и втора степен вече са решени, то въпросът за решаването на уравнения от по-високи степени все още остава открит, въпреки усилията на водещи математици. В момента, например, известната хипотеза на Ферма, че за всяко цяло число n2уравнението

няма решения в цели числа.

За решаване на някои видове диофантови уравнения, т.нар комплексни числа.Какво е? Нека буквата i обозначава някакъв обект, който отговаря на условието i 2 \u003d -1(ясно е, че нито едно реално число не отговаря на това условие). Помислете за изрази на формата α+iβ,където α и β са реални числа. Такива изрази ще се наричат ​​комплексни числа, като са дефинирани операциите събиране и умножение над тях, както и над биноми, но с единствената разлика, че изразът аз 2навсякъде ще заменим числото -1:

7.1. Много от трите

Докажете, че ако x0, y0, z0- Питагорова тройка, после тройки y 0, x 0, z 0и x 0 k, y 0 k, z 0 kза всяка стойност на естествения параметър k също са питагорейски.

7.2. Частни формули

Проверете това за всякакви естествени стойности m>nтриединство на формата

е питагорейска. Някаква питагорова тройка ли е x, y, zмогат да бъдат представени в тази форма, ако позволите да пренаредите числата x и y в тройката?

7.3. Нередуцируеми тройки

Питагорова тройка от числа, които нямат общ делител, по-голям от 1, ще се нарича несъкратима. Докажете, че една питагорова тройка е нередуцируема само ако всяко две от числата в тройката са взаимно прости.

7.4. Свойство на несъкратимите тройки

Докажете, че във всяка несъкратима питагорова тройка x, y, z числото z и точно едно от числата x или y са нечетни.

7.5. Всички несъкратими тройки

Докажете, че тройка от числа x, y, z е нередуцируема питагорова тройка тогава и само ако съвпада с тройката до реда на първите две числа 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2,където m>n- взаимнопрости естествени числа с различна четност.

7.6. Общи формули

Докажете, че всички решения на уравнението

в естествени числа са дадени до реда на неизвестните x и y от формулите

където m>n и k са естествени параметри (за да се избегне дублиране на всякакви тройки, достатъчно е да се изберат числа от тип взаимно прости и освен това с различна четност).

7.7. Първите 10 тройки

Намерете всички питагорови тройки x, y, zудовлетворяващ условието х

7.8. Свойства на Питагоровите тройки

Докажете това за всяка питагорова тройка x, y, zтвърденията са верни:

а) поне едно от числата x или y е кратно на 3;

б) поне едно от числата x или y е кратно на 4;

в) поне едно от числата x, y или z е кратно на 5.

7.9. Приложение на комплексни числа

Модул на комплексно число α + iβнаречено неотрицателно число

Проверете това за всички комплексни числа α + iβи γ + iδимотът е изпълнен

Използвайки свойствата на комплексните числа и техните модули, докажете, че всеки две цели числа m и n отговарят на равенството

т.е. те дават решение на уравнението

цели числа (сравнете със задача 7.5).

7.10. Непитагорови тройки

Използвайки свойствата на комплексните числа и техните модули (вижте задача 7.9), намерете формули за произволни цели числа на уравнението:

а) x 2 + y 2 \u003d z 3; б) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Решения

7.1. Ако x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,тогава y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 ,и за всяка естествена стойност на k, която имаме

Q.E.D.

7.2. От равенствата

заключаваме, че тройката, посочена в задачата, удовлетворява уравнението x 2 + y 2 = z 2в естествени числа. Въпреки това, не всяка питагорова тройка x, y, zмогат да бъдат представени в тази форма; например тройката 9, 12, 15 е питагорова, но числото 15 не може да бъде представено като сбор от квадратите на които и да е две естествени числа m и n.

7.3. Ако произволни две числа от Питагоровата тройка x, y, zимат общ делител d, тогава той ще бъде и делител на третото число (така че в случая x = x 1 d, y = y 1 dние имаме z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2,откъдето z 2 се дели на d 2 и z се дели на d). Следователно, за да бъде една питагорова тройка нередуцируема, е необходимо всеки две от числата в тройката да са взаимно прости,

7.4. Обърнете внимание, че едно от числата x или y, да речем x, на нередуцируема питагорова тройка x, y, zе странно, защото в противен случай числата x и y не биха били взаимно прости (вижте задача 7.3). Ако другото число y също е нечетно, тогава и двете числа

дават остатък 1 при деление на 4 и числото z 2 \u003d x 2 + y 2дава остатък 2 при деление на 4, тоест се дели на 2, но не се дели на 4, което не може да бъде. Следователно числото y трябва да е четно и следователно числото z трябва да е нечетно.

7.5. Нека Питагорът се утрои x, y, zе неприводимо и за определеност числото x е четно, докато числата y, z са нечетни (виж задача 7.4). Тогава

къде са числата са цели. Нека докажем, че числата a и b са взаимно прости. Наистина, ако имаха общ делител, по-голям от 1, тогава числата щяха да имат един и същ делител z = a + b, y = a - b,т.е. тройката не би била нередуцируема (вижте задача 7.3). Сега, разширявайки числата a и b в произведения на прости множители, забелязваме, че всеки прост множител трябва да бъде включен в произведението 4ab = x2само на четна степен и ако се включва в разгръщането на числото a, то не се включва в разгръщането на числото b и обратно. Следователно всеки прост множител се включва в разгръщането на числото a или b поотделно само до четна степен, което означава, че самите тези числа са квадрати на цели числа. Да сложим тогава получаваме равенствата

освен това естествените параметри m>n са взаимнопрости (поради взаимнопростостта на числата a и b) и имат различна четност (поради нечетното число z \u003d m 2 + n 2).

Нека сега естествените числа m>n с различна четност са взаимно прости. След това тройката x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, според задача 7.2, е Питагорова. Нека докажем, че е нередуцируем. За целта е достатъчно да проверим дали числата y и z нямат общи делители (виж задача 7.3). Всъщност и двете числа са нечетни, тъй като числата на типа имат различни паритети. Ако числата y и z имат някакъв прост общ делител (тогава той трябва да е нечетен), то всяко от числата и заедно с тях всяко от числата m и n има един и същ делител, което противоречи на тяхната взаимна простота.

7.6. По силата на твърденията, формулирани в задачи 7.1 и 7.2, тези формули дефинират само питагорови тройки. От друга страна, всяка питагорова тройка x, y, zслед редуцирането й с най-големия общ делител k, двойката числа x и y става нередуцируема (виж задача 7.3) и следователно може да бъде представена до реда на числата x и y във формата, описана в задача 7.5. Следователно всяка питагорова тройка се дава от посочените формули за някои стойности на параметрите.

7.7. От неравенството z и формулите на задача 7.6, получаваме оценката m 2 т.е. m≤5. Ако приемем m = 2, n = 1и k = 1, 2, 3, 4, 5,получаваме тризнаци 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Ако приемем m=3, n=2и k = 1, 2,получаваме тризнаци 5, 12, 13; 10, 24, 26. Ако приемем m = 4, n = 1, 3и k = 1,получаваме тризнаци 8, 15, 17; 7, 24, 25. И накрая, ако приемем m=5, n=2и k = 1,получаваме три 20, 21, 29.

Удобен и много точен метод, използван от геодезистите за начертаване на перпендикулярни линии върху земята, е следният. Нека се изисква да се направи перпендикуляр на правата MN през точка A (фиг. 13). Отклонете се от A в посока AM три пъти на известно разстояние a. След това върху шнура се завързват три възела, разстоянията между които са 4а и 5а. Прикрепвайки крайните възли към точките А и Б, издърпайте кабела върху средния възел. Шнурът ще бъде разположен в триъгълник, в който ъгълът А е прав.

Този древен метод, очевидно използван преди хиляди години от строителите на египетските пирамиди, се основава на факта, че всеки триъгълник, чиито страни са свързани като 3:4:5, според добре известната Питагорова теорема, е под прав ъгъл, тъй като

3 2 + 4 2 = 5 2 .

В допълнение към числата 3, 4, 5, както е известно, има безброй набор от цели положителни числа a, b, c, удовлетворяващи отношението

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Те се наричат ​​числа на Питагор. Според теоремата на Питагор такива числа могат да служат като дължини на страните на някакъв правоъгълен триъгълник; следователно a и b се наричат ​​"крака", а c се нарича "хипотенуза".

Ясно е, че ако a, b, c е тройка от числа на Питагор, тогава pa, pb, pc, където p е цяло число, са числа на Питагор. Обратно, ако питагоровите числа имат общ множител, тогава с този общ множител можете да ги намалите всичките и отново получавате тройка питагорови числа. Затова първо ще изучаваме само тройки взаимнопрости числа на Питагор (останалите се получават от тях чрез умножаване с цяло число p).

Нека покажем, че във всяка от тези тройки a, b, c единият "крак" трябва да е четен, а другият нечетен. Нека да спорим "напротив". Ако и двата "крака" a и b са четни, тогава числото a 2 + b 2 ще бъде четно, а оттам и "хипотенузата". Това обаче противоречи на факта, че числата a, b, c нямат общи множители, тъй като три четни числа имат общ множител 2. Така поне един от "крачетата" a, b е нечетен.

Остава още една възможност: и двата "крака" са нечетни, а "хипотенузата" е четна. Лесно е да се докаже, че това не може да бъде. Наистина, ако "краката" имат формата

2x + 1 и 2y + 1,

тогава сумата от техните квадрати е

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

т.е. това е число, което, когато се раздели на 4, дава остатък от 2. Междувременно квадратът на всяко четно число трябва да се дели на 4 без остатък. Така че сумата от квадратите на две нечетни числа не може да бъде квадрат на четно число; с други думи, нашите три числа не са на Питагор.

И така, от "краката" a, b, единият е четен, а другият е нечетен. Следователно числото a 2 + b 2 е нечетно, което означава, че "хипотенузата" c също е нечетна.

Да предположим, за определеност, че коефициентът е "крак" a и четен b. От равенството

a 2 + b 2 = c 2

лесно получаваме:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Факторите c + b и c - b от дясната страна са взаимно прости. Наистина, ако тези числа имат общ прост множител, различен от единица, тогава сборът също ще се дели на този множител.

(c + b) + (c - b) = 2c,

и разлика

(c + b) - (c - b) = 2b,

и работа

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

т.е. числата 2c, 2b и a биха имали общ множител. Тъй като a е нечетно, този множител е различен от две и следователно числата a, b, c имат еднакъв общ множител, който обаче не може да бъде. Полученото противоречие показва, че числата c + b и c - b са взаимно прости.

Но ако произведението на взаимно прости числа е точен квадрат, то всяко от тях е квадрат, т.е.

Решавайки тази система, намираме:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b = (m 2 - n 2) / 2 и 2 = (c + b) (c - b) = m 2 n 2, a = мн.

И така, разглежданите числа на Питагор имат формата

A \u003d mn, b = (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

където m и n са някои взаимно прости нечетни числа. Читателят може лесно да провери обратното: за всеки нечетен тип написаните формули дават три питагорови числа a, b, c.

Ето някои триплети от числа на Питагор, получени с различни типове:

За m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 за m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 за m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 за m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 при m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 при m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 при m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 за m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 за m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 за m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 при m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 при m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 при m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 при m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 при m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 при m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Всички останали тройки от числа на Питагор или имат общи множители, или съдържат числа, по-големи от сто.)

Белотелов В.А. Питагоровите тройки и техният брой // Енциклопедия на Нестерови

Тази статия е отговор на един професор - пинчер. Вижте, професоре, как го правят в нашето село.

Област Нижни Новгород, Заволжие.

Изисква се познаване на алгоритъма за решаване на диофантови уравнения (ADDE) и познаване на полиномните прогресии.

IF е просто число.

MF е съставно число.

Нека има нечетно число N. За всяко нечетно число, различно от едно, можете да напишете уравнение.

p 2 + N \u003d q 2,

където р + q = N, q – р = 1.

Например за числата 21 и 23 уравненията ще бъдат, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Ако N е просто, това уравнение е уникално. Ако числото N е съставно, тогава е възможно да се съставят подобни уравнения за броя на двойките фактори, представящи това число, включително 1 x N.

Нека вземем числото N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Сънувах, но възможно ли е, вкопчвайки се в тази разлика между IF и MF, да се намери метод за тяхната идентификация.

Нека въведем нотацията;

Нека променим долното уравнение, -

N \u003d в 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Нека групираме стойностите на N по критерия в - а, т.е. нека направим маса.

Числата N бяха обобщени в матрица, -

За тази задача трябваше да се справя с прогресиите на полиномите и техните матрици. Всичко се оказа напразно - защитите на PCh се държат мощно. Нека въведем колона в таблица 1, където в - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Още веднъж. Таблица 2 е получена в резултат на опит за решаване на проблема за идентифициране на IF и MF. От таблицата следва, че за всяко число N има толкова уравнения под формата a 2 + N \u003d в 2, на колко двойки фактори числото N може да бъде разделено, включително фактора 1 x N. Освен това към числата N \u003d ℓ 2, където

ℓ - FC. За N = l 2 , където l е IF, има уникално уравнение p 2 + N = q 2 . За какво допълнително доказателство можем да говорим, ако в таблицата са изброени по-малки множители от двойки множители, образуващи N, от единица до ∞. Ще поставим Таблица 2 в сандък и ще скрием сандъка в килера.

Да се ​​върнем към темата, посочена в заглавието на статията.

Тази статия е отговор на един професор - пинчер.

Помолих за помощ - имах нужда от поредица от номера, които не можах да намеря в интернет. Попаднах на въпроси от рода на - "за какво?", "Но покажете ми метода." По-специално, имаше въпрос дали поредицата от питагорови тройки е безкрайна, "как да го докажа?". Той не ми помогна. Вижте, професоре, как го правят в нашето село.

Нека вземем формулата на Питагоровите тройки, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (един)

Да минем през ARDU.

Възможни са три ситуации:

I. x е нечетно число,

y е четно число

z е четно число.

И има условие x > y > z.

II. x е нечетно число

y е четно число

z е нечетно число.

x > z > y.

III.x - четно число,

y е нечетно число

z е нечетно число.

x > y > z.

Да започнем с аз.

Нека въведем нови променливи

Заместете в уравнение (1).

Нека съкратим с по-малката променлива 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Нека намалим променливата 2β – 2γ с по-малка с едновременното въвеждане на нов параметър ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

След това, 2α - 2β = x - y - 1.

Уравнение (2) ще приеме формата, –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Нека го повдигнем на квадрат -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU дава чрез параметрите връзката между старшите членове на уравнението, така че получихме уравнение (3).

Не е солидно да се занимавате с избора на решения. Но, първо, няма къде да отидем, и второ, необходими са няколко от тези решения и можем да възстановим безкраен брой решения.

За ƒ = 1, k = 1, имаме x – y = 1.

При ƒ = 12, k = 16, имаме x - y = 9.

При ƒ = 4, k = 32, имаме x - y = 25.

Можете да го вземете дълго време, но в крайна сметка серията ще приеме формата -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Обмислете вариант II.

Нека въведем нови променливи в уравнение (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Намаляваме с по-малка променлива 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Нека намалим с по-малката променлива 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (четири)

2α - 2γ = x - z и заместваме в уравнение (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

При ƒ = 3, k = 4, имаме x - z = 2.

При ƒ = 8, k = 14, имаме x - z = 8.

При ƒ = 3, k = 24, имаме x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Нека начертаем трапец -

Нека напишем формула.

където n=1, 2,...∞.

Случай III няма да бъде описан - там няма решения.

За условие II наборът от тройки ще бъде както следва:

Уравнение (1) е представено като x 2 = z 2 + y 2 за яснота.

За условие I наборът от тройки ще бъде както следва:

Общо са изрисувани 9 колони от тройки, по пет тройки във всяка. И всяка от представените колони може да бъде записана до ∞.

Като пример, разгледайте тройките от последната колона, където x - y = 81.

За стойностите на x пишем трапец, -

Нека напишем формулата

За стойностите на пишем трапец, -

Нека напишем формулата

За стойностите на z пишем трапец, -

Нека напишем формулата

Където n = 1 ÷ ∞.

Както беше обещано, серия от тройки с x - y = 81 лети до ∞.

Имаше опит за случаи I и II да се конструират матрици за x, y, z.

Напишете последните пет колони на x от горните редове и изградете трапец.

Не се получи и моделът трябва да е квадратен. За да направите всичко ажурно, се оказа, че е необходимо да комбинирате колони I и II.

В случай II величините y, z отново се разменят.

Успяхме да се обединим по една причина - картите пасват добре на тази задача - имахме късмет.

Сега можете да пишете матрици за x, y, z.

Нека вземем от последните пет колони на стойността x от горните редове и изградим трапец.

Всичко е наред, можете да изграждате матрици и нека започнем с матрица за z.

Тичам до килера за ракла.

Общо: В допълнение към единица, всяко нечетно число на числовата ос участва във формирането на Питагоровите тройки чрез равен брой двойки множители, образуващи това число N, включително фактора 1 x N.

Числото N \u003d ℓ 2, където ℓ - IF, образува една питагорова тройка, ако ℓ е MF, тогава няма тройка на факторите ℓхℓ.

Нека изградим матрици за x, y.

Нека започнем с матрицата за х. За да направим това, ще изтеглим върху него координатната мрежа от проблема за идентифициране на IF и MF.

Номерирането на вертикалните редове се нормализира от израза

Нека премахнем първата колона, защото

Матрицата ще приеме формата -

Нека опишем вертикалните редове, -

Нека опишем коефициентите при "а", -

Нека опишем безплатните членове, -

Нека направим обща формула за "x", -

Ако направим подобна работа за "y", получаваме -

Можете да подходите към този резултат от другата страна.

Нека вземем уравнението,

и 2 + N = в 2 .

Нека го променим малко -

N \u003d в 2 - a 2.

Нека го повдигнем на квадрат -

N 2 \u003d в 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Към лявата и дясната страна на уравнението добавете величина 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d в 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

И накрая -

(в 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Питагоровите тройки са съставени, както следва:

Помислете за пример с числото N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Вертикалните колони на таблица 2 са номерирани със стойности в - a, докато вертикалните колони на таблица 3 са номерирани със стойности x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Нека съставим три уравнения.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Коефициентите 3 и 39 не са сравнително прости числа, така че се получава една тройка с коефициент 9.

Нека изобразим написаното по-горе с общи символи, -

В тази работа всичко, включително пример за изчисляване на питагорови тройки с числото

N = 117, обвързано с по-малкия фактор в - a. Изрична дискриминация по отношение на фактора в + a. Нека поправим тази несправедливост - ще съставим три уравнения с множител в + а.

Да се ​​върнем на въпроса за идентифицирането на IF и MF.

Много неща са правени в тази насока и днес мина следната мисъл - няма идентификационно уравнение и няма такова нещо, което да определя факторите.

Да предположим, че сме намерили връзката F = a, b (N).

Има формула

Можете да се отървете от във формулата F от in и ще получите хомогенно уравнение от n-та степен по отношение на a, т.е. F = a(N).

За всяка степен n на това уравнение има число N с m двойки множители, за m > n.

И като следствие едно хомогенно уравнение от степен n трябва да има m корена.

Да, това не може да бъде.

В тази статия числата N бяха разгледани за уравнението x 2 = y 2 + z 2, когато са в уравнението на мястото z. Когато N е на мястото на x, това е друга задача.

С уважение, Белотелов В.А.

Beskrovny I.M. един

1 ОАО Ангстрем-М

Целта на работата е да се разработят методи и алгоритми за изчисляване на питагорови тройки от вида a2+b2=c2. Процесът на анализ беше извършен в съответствие с принципите на системния подход. Наред с математическите модели се използват графични модели, които показват всеки член на Питагоровата тройка под формата на съставни квадрати, всеки от които се състои от набор от единични квадрати. Установено е, че безкраен набор от питагорови тройки съдържа безкраен брой подмножества, които се различават по разликата между стойностите b–c. Предложен е алгоритъм за образуване на питагорови тройки с всяка предварително зададена стойност на тази разлика. Показано е, че Питагоровите тройки съществуват за всяка стойност 3≤a

Питагорови тройки

системен анализ

математически модел

графичен модел

1. Аносов Д.Н. Поглед към математиката и нещо от нея. - М.: МЦНМО, 2003. - 24 с.: ил.

2. Айерланд К., Росен М. Класическо въведение в съвременната теория на числата. – М.: Мир, 1987.

3. Beskrovny I.M. Системен анализ и информационни технологии в организациите: Учебник. - М .: RUDN, 2012. - 392 с.

4. Саймън Сингх. Последната теорема на Ферма.

5. Ферма П. Изследвания по теория на числата и диофантов анализ. – М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, достъпен на: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Питагоровите тройки са кохорта от три цели числа, които отговарят на Питагоровата връзка x2 + y2 = z2. Най-общо казано, това е специален случай на диофантови уравнения, а именно системи от уравнения, в които броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията. Те са известни отдавна, още от времето на Вавилон, тоест много преди Питагор. И те придобиха името, след като Питагор доказа известната си теорема на тяхна основа. Въпреки това, както следва от анализа на множество източници, в които по един или друг начин е засегнат въпросът за питагоровите тройки, въпросът за съществуващите класове на тези тройки и възможните начини за тяхното формиране все още не е напълно разкрит.

Така че в книгата на Саймън Сингх се казва: - "Учениците и последователите на Питагор ... казаха на света тайната на намирането на така нареченото Питагорейско три k." След това обаче четем: - „Питагорейците мечтаеха да намерят други питагорови тройки, други квадрати, от които да е възможно да се добави трети голям квадрат. …С увеличаването на числата, Питагоровите тройки стават все по-редки и все по-трудни и по-трудни за намиране. Питагорейците изобретиха метод за намиране на такива тройки и, използвайки го, доказаха, че има безкрайно много питагорейски тройки.

Думите, които предизвикват объркване, са подчертани в цитата. Защо "питагорейците са мечтали да намерят ...", ако са "изобретили метод за намиране на такива тройки ...", и защо за големи числа "става все по-трудно да ги намерим ...".

В работата на известния математик D.V. Аносов, търсеният отговор изглежда е даден. - „Има такива тройки от естествени (т.е. положителни цели) числа x, y, z, които

x2 + y2 = z2. (един)

… възможно ли е да се намерят всички решения на уравнението x2+y2=z2 в естествени числа? …Да. Отговорът е, че всяко такова решение може да бъде представено като

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

където l, m, n са естествени числа и m>n, или в подобна форма, в която x и y са разменени. Можем да кажем малко по-накратко, че x, y, z от (2) с всички възможни естествени числа l и m > n са всички възможни решения на (1) до пермутация на x и y. Например тройката (3, 4, 5) се получава при l=1, m=2, n=1. ... Очевидно вавилонците са знаели този отговор, но не е известно как са стигнали до него.”

Обикновено математиците са известни със своята взискателност в строгостта на своите формулировки. Но в този цитат такава строгост не се наблюдава. И така, какво точно: да намерите или да си представите? Очевидно това са съвсем различни неща. Ето ред от "прясно изпечени" тройки (получени по описания по-долу метод):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Няма съмнение, че всяка от тези тройки може да бъде представена под формата на връзка (2) и след това да се изчислят стойностите на l, m, n. Но това е след като всички стойности на тройките са намерени. Но какво да кажем преди това?

Не е изключено отговорите на тези въпроси да са отдавна известни. Но по някаква причина те все още не са открити. По този начин целта на тази работа е систематичен анализ на съвкупността от известни примери за питагорови тройки, търсене на системообразуващи връзки в различни групи тройки и идентифициране на системни характеристики, характерни за тези групи, и след това разработването на прости ефективни алгоритми за изчисляване на тройки с предварително зададена конфигурация. Под конфигурация имаме предвид връзката между количествата, съставляващи тройката.

Като инструментариум ще се използва математически апарат на ниво, което не надхвърля рамката на математиката, преподавана в гимназията, и системен анализ, базиран на методите, описани в.

Изграждане на модел

От гледна точка на системния анализ всяка питагорова тройка е система, образувана от обекти, които са три числа и техните свойства. Тяхната съвкупност, при която обектите са поставени в определени отношения и образуват система с нови свойства, които не са присъщи нито на отделни обекти, нито на някоя друга от тяхната съвкупност, където обектите са поставени в други отношения.

В уравнение (1) обектите на системата са естествени числа, свързани с прости алгебрични отношения: вляво от знака за равенство е сборът от две числа, повдигнати на степен 2, вдясно е третото число, също повдигнато на степен 2. Индивидуалните числа отляво на равенството, повдигнати на степен 2, не налагат никакви ограничения върху операцията по тяхното сумиране - получената сума може да бъде всякаква. Но знакът за равенство, поставен след операцията за сумиране, налага системно ограничение върху стойността на тази сума: сумата трябва да бъде такова число, че резултатът от операцията за извличане на квадратния корен да е естествено число. И това условие не е изпълнено за никакви числа, заместени в лявата страна на равенството. Така знакът за равенство, поставен между два члена на уравнението и третия, превръща тройката от членове в система. Нова функция на тази система е въвеждането на ограничения върху стойностите на оригиналните числа.

Въз основа на формата на писане, Питагоровата тройка може да се разглежда като математически модел на геометрична система, състояща се от три квадрата, свързани помежду си чрез сумиране и отношения на равенство, както е показано на фиг. 1. Фиг. 1 е графичен модел на разглежданата система, а вербалният му модел е твърдението:

Площта на квадрат с дължина на страната c може да бъде разделена без остатък на два квадрата със страни с дължина a и b, така че сумата от техните площи да е равна на площта на оригиналния квадрат, тоест и трите количествата a, b и c са свързани с отношението

Графичен модел на разлагане на квадрат

В рамките на каноните на системния анализ е известно, че ако един математически модел адекватно отразява свойствата на определена геометрична система, тогава анализът на свойствата на самата тази система ни позволява да изясним свойствата на нейния математически модел, да опознайте ги по-задълбочено, изяснете и, ако е необходимо, подобрете. Това е пътят, който ще следваме.

Нека изясним, че според принципите на системния анализ операциите за събиране и изваждане могат да се извършват само върху съставни обекти, т.е. обекти, съставени от набор от елементарни обекти. Следователно ще възприемаме всеки квадрат като фигура, съставена от набор от елементарни или единични квадрати. Тогава условието за получаване на решение в естествени числа е еквивалентно на приемане на условието, че единичният квадрат е неделим.

Единичен квадрат е квадрат, чиято дължина на всяка страна е равна на единица. Това е, когато площта на единичен квадрат определя следния израз.

Количественият параметър на квадрата е неговата площ, която се определя от броя на единичните квадрати, които могат да бъдат поставени върху дадена площ. За квадрат с произволна стойност x, изразът x2 определя площта на квадрата, образуван от сегменти с дължина x единични сегменти. x2 единични квадрата могат да бъдат поставени върху площта на този квадрат.

Горните определения могат да се възприемат като тривиални и очевидни, но не са. Д.Н. Аносов дефинира понятието площ по различен начин: - „... площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части. Защо сме сигурни, че това е така? ... Представяме си фигура, направена от някакъв вид хомогенен материал, тогава нейната площ е пропорционална на количеството материя, съдържаща се в нея - нейната маса. Освен това се разбира, че когато разделим едно тяло на няколко части, сумата от техните маси е равна на масата на първоначалното тяло. Това е разбираемо, защото всичко се състои от атоми и молекули и тъй като техният брой не се е променил, общата им маса също не се е променила ... В крайна сметка всъщност масата на парче хомогенен материал е пропорционална на неговия обем; следователно трябва да знаете, че обемът на "листа", който има формата на дадена фигура, е пропорционален на неговата площ. С една дума, ... че площта на фигура е равна на сумата от площите на нейните части, в геометрията е необходимо да се докаже това. ... В учебника на Киселев съществуването на област, която има самото свойство, което обсъждаме сега, беше честно постулирано като някакво предположение и беше казано, че това всъщност е вярно, но ние няма да доказваме това. Така че Питагоровата теорема, ако се докаже с площи, в чисто логически смисъл, ще остане недоказана напълно.

Струва ни се, че дефинициите на единичния квадрат, въведени по-горе, премахват посочения D.N. Аносова несигурност. В крайна сметка, ако площта на квадрат и правоъгълник се определя от сумата на единичните квадрати, които ги запълват, тогава, когато правоъгълникът е разделен на произволни съседни части, площта на правоъгълника естествено е равна на сбор от всички негови части.

Освен това въведените определения премахват несигурността от използването на понятията "разделяне" и "събиране" по отношение на абстрактни геометрични фигури. Всъщност какво означава да разделим правоъгълник или друга плоска фигура на части? Ако е лист хартия, тогава може да се реже с ножица. Ако земята - сложи ограда. Стая - сложи преграда. Ами ако е начертан квадрат? Начертайте разделителна линия и обявете, че квадратът е разделен? Но в края на краищата D.I. Менделеев: "... Можете да декларирате всичко, но вие - давайте, демонстрирайте!"

И използвайки предложените дефиниции, „Раздели фигура“ означава да разделиш броя на единичните квадрати, запълващи тази фигура, на две (или повече) части. Броят на единичните квадрати във всяка от тези части определя нейната площ. Конфигурацията на тези части може да бъде дадена произволно, но сумата от техните площи винаги ще бъде равна на площта на оригиналната фигура. Може би математиците ще сметнат тези аргументи за неправилни, тогава ще ги приемем като предположение. Ако такива предположения са приемливи в учебника на Кисельов, тогава би било грях за нас да не използваме такава техника.

Първата стъпка в системния анализ е да се идентифицира проблемната ситуация. В началото на този етап бяха прегледани няколкостотин питагорови тройки, открити в различни източници. В същото време беше обърнато внимание на факта, че целият набор от питагорови тройки, споменат в публикациите, може да бъде разделен на няколко групи, които се различават по конфигурация. Ще разгледаме разликата в дължините на страните на оригиналния и извадения квадрат, тоест стойността c-b, като знак за специфична конфигурация. Например в публикациите често се показват като пример тройки, които отговарят на условието c-b=1. Предполагаме, че цялото множество от такива Питагорови тройки образува множество, което ще наречем "Клас c-1", и ще анализираме свойствата на този клас.

Помислете за трите квадрата, показани на фигурата, където c е дължината на страната на квадрата, която трябва да се намали, b е дължината на страната на квадрата, която трябва да се извади, и a е дължината на страната на образувания квадрат от тяхната разлика. На фиг. 1 се вижда, че при изваждане на площта на извадения квадрат от площта на намаления квадрат остават две ленти от единични квадрати в остатъка:

За да се образува квадрат от този остатък, условието трябва да е изпълнено

Тези отношения ни позволяват да определим стойностите на всички членове на тройката с едно дадено число c. Най-малкото число c, което удовлетворява съотношението (6), е c = 5. По този начин са определени дължините на трите страни на квадратите, удовлетворяващи съотношението (1). Спомнете си, че стойността b на страната на средния квадрат

беше избран, когато решихме да образуваме среден квадрат чрез намаляване на страната на оригиналния квадрат с единица. Тогава от отношения (5), (6). (7) получаваме следната връзка:

от което следва, че избраната стойност c = 5 еднозначно определя стойностите b = 4, a = 3.

В резултат на това се получават отношения, които позволяват представянето на всяка питагорова тройка от клас "c - 1" в такава форма, където стойностите на трите члена се определят от един определен параметър - стойността c:

Добавяме, че числото 5 в горния пример се появи като минимум от всички възможни стойности на c, за които уравнение (6) има решение в естествени числа. Следващото число, което има същото свойство, е 13, след това 25, след това 41, 61, 85 и т.н. Както можете да видите, в тази поредица от числа интервалите между съседни числа се увеличават бързо. Така например след валидна стойност следващата валидна стойност е , а след следващата валидна стойност е , тоест валидната стойност е повече от петдесет милиона от предишната!

Сега е ясно откъде идва тази фраза в книгата: - „С увеличаването на числата питагоровите тройки са все по-рядко срещани и става все по-трудно да ги намерите ...“. Това твърдение обаче не е вярно. Човек трябва само да погледне питагоровите тройки, съответстващи на горните двойки съседни стойности на c, тъй като една особеност веднага хваща окото - и в двете двойки, в които стойностите на c са разделени с толкова големи интервали, стойностите на едно се оказват съседни нечетни числа. Наистина, за първата двойка имаме

и за втория чифт

Така че не самите тройки са „все по-рядко срещани“, но интервалите между съседните стойности на c се увеличават. Самите питагорови тройки, както ще бъде показано по-долу, съществуват за всяко естествено число.

Сега разгледайте тройките от следващия клас - "Клас c-2". Както се вижда от фиг. 1, при изваждане от квадрат със страна c на квадрат със страна (c - 2), остатъкът е сумата от две единични ленти. Стойността на тази сума се определя от уравнението:

От уравнение (10) получаваме връзка, която дефинира всеки от безкрайния набор от тройки клас "c-2":

Условието за съществуването на решение на уравнение (11) в естествени числа е всяка такава стойност c, за която a е естествено число. Минималната стойност на c, за която съществува решение, е c = 5. Тогава „началната“ тройка за този клас тройки се определя от множеството a = 4, b = 3, c = 5. Това е, отново, класическата образува се тройка 3, 4, 5, само сега площта на квадрата, който трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка.

И накрая, нека анализираме тройките от клас "s-8". За този клас тройки, изваждайки площта на квадрата от площта c2 на оригиналния квадрат, получаваме:

Тогава от уравнение (12) следва:

Минималната стойност на c, за която съществува решението, е c = 13. Питагоровата тройка при тази стойност ще приеме формата 12, 5, 13. В този случай отново площта на квадрата, която трябва да се извади, е по-малка от площта на остатъка. И пренареждайки обозначенията на места, получаваме тройката 5, 12, 13, която по своята конфигурация принадлежи към класа "c - 1". Изглежда, че по-нататъшният анализ на други възможни конфигурации няма да разкрие нищо фундаментално ново.

Извеждане на изчислените коефициенти

В предишния раздел логиката на анализа беше разработена в съответствие с изискванията на системния анализ в четири от петте му основни етапа: анализ на проблемната ситуация, формиране на цели, формиране на функции и формиране на структура. Сега е време да преминем към последния, пети етап - тестът за осъществимост, тоест тестът за степента на постигане на целите. .

Таблица 1 е показана по-долу. 1, който показва стойностите на питагоровите тройки, принадлежащи към класа "c - 1". Повечето тройки се намират в различни публикации, но тройки за стойности, равни на 999, 1001, не са намерени в известни публикации.

маса 1

Питагорови тройки от клас "c-1"

Може да се провери дали всички тройки отговарят на отношение (3). Така една от поставените цели е постигната. Съотношения (9), (11), (13), получени в предишния раздел, позволяват да се формира безкраен набор от тройки чрез задаване на единствения параметър c, страната на намаления квадрат. Това, разбира се, е по-конструктивен вариант от съотношението (2), за използването на което трябва да зададете произволно три числа l, m, n, имащи произволна стойност, след което да търсите решение, знаейки само, че в крайна сметка, със сигурност ще се получи питагорова тройка, а коя не се знае. В нашия случай конфигурацията на формираната тройка е предварително известна и трябва да се зададе само един параметър. Но, уви, не всяка стойност на този параметър има решение. И трябва предварително да знаете неговите допустими стойности. Така че резултатът е добър, но далеч от идеалния. Желателно е да се получи такова решение, че да могат да се изчислят питагорови тройки за всяко произволно дадено естествено число. За тази цел нека се върнем към четвъртия етап - формирането на структурата на получените математически отношения.

Тъй като изборът на стойността c като основен параметър за определяне на останалите членове на тройката се оказа неудобен, трябва да се опита друг вариант. Както се вижда от табл. 1, изборът на параметър a като основен изглежда за предпочитане, тъй като стойностите на този параметър са в ред в поредица от нечетни естествени числа. След прости трансформации привеждаме отношенията (9) в по-конструктивна форма:

Релациите (14) ни позволяват да намерим питагорова тройка за всяка предварително зададена нечетна стойност a. В същото време простотата на израза за b ви позволява да извършвате изчисления дори без калкулатор. Наистина, избирайки например числото 13, получаваме:

И съответно за числото 99 получаваме:

Релациите (15) позволяват да се получат стойностите на всичките три члена на низа на Питагор за всяко дадено n, като се започне от n=1.

Сега разгледайте Питагоровите тройки от клас "c - 2". В табл. 2 показва десет такива тройки като пример. Освен това в известни публикации са открити само три двойки тройки - 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Това се оказа достатъчно, за да се определят моделите, по които са образувани. Останалите седем са открити от предишни извлечени отношения (11). За удобство на изчислението тези съотношения бяха трансформирани, така че всички параметри да бъдат изразени чрез a. От (11) очевидно следва, че всички тройки за клас "c - 2" удовлетворяват следните отношения:

таблица 2

Питагорови тройки от клас "c-2"

Както се вижда от табл. 2, цялото безкрайно множество от тройки от клас "c - 2" може да бъде разделено на два подкласа. За тройки, където стойността на a се дели на 4 без остатък, стойностите на b и c са нечетни. Такива тройки, за които НОД = 1, се наричат ​​примитивни. За тройки, чиито стойности a не се делят на 4 в цели числа, и трите члена на тройката a, b, c са четни.

Сега да преминем към преглед на резултатите от анализа на третия от избраните класове - клас "в - 8". Изчислените отношения за този клас, получени от (13), имат формата:

Релациите (20), (21) са по същество идентични. Разликата е само в избора на последователност от действия. Или в съответствие с (20) се избира желаната стойност на a (в този случай тази стойност трябва да бъде разделена на 4), след което се определят стойностите на b и c. Или се избира произволно число и след това от съотношения (21) се определят и трите члена на Питагоровата тройка. В табл. 3 показва брой питагорови тройки, изчислени по този начин. Изчисляването на стойностите на питагоровите тройки обаче е още по-лесно. Ако е известна поне една стойност, тогава всички следващи стойности се определят много просто от следните отношения:

Таблица 3

Валидността на връзката (22) за всички може да се провери както чрез тройки от табл. 2, както и от други източници. Като пример, в табл. 4 наклонени тройки от обширна таблица на питагоровите тройки (10 000 тройки), изчислени на базата на компютърна програма по релация (2) и с удебелен шрифт - тройки, изчислени по релация (20). Тези стойности не бяха в посочената таблица.

Таблица 4

Питагорови тройки от клас "s-8"

Съответно за тройки от формата могат да се използват следните отношения:

И за тройки от формата<>, имаме съотношението:

Трябва да се подчертае, че горните класове тройки "c - 1", "c - 2", "c - 8" съставляват повече от 90% от първите хиляда тройки от дадената таблица. Това дава основание тези класове да се разглеждат като базови. Нека добавим, че при извеждането на съотношения (22), (23), (24) не са използвани специални свойства на числата, изучавани в теорията на числата (прости, взаимнопрости и т.н.). Разкритите закономерности в образуването на питагоровите тройки се дължат само на системните свойства на описаните от тези тройки геометрични фигури - квадрати, състоящи се от множество единични квадрати.

Заключение

Сега, както каза Андрю Уайлс през 1993 г., „Мисля, че трябва да спра до тук“. Поставената цел е постигната напълно. Показано е, че анализът на свойствата на математическите модели, чиято структура е свързана с геометрични фигури, е значително опростен, ако в процеса на анализ, наред с чисто математическите изчисления, се вземат предвид и геометричните свойства на изследваните модели взети предвид. Опростяването се постига по-специално поради факта, че изследователят "вижда" желаните резултати, без да извършва математически трансформации.

Например равенството

става очевидно без трансформации от лявата му страна, трябва само да погледнете фиг. 1 за графичен модел на това равенство.

В резултат на това на базата на извършения анализ се показва, че за всеки квадрат със страна могат да се намерят квадрати със страни b и c, така че за тях да е валидно равенство и да се получат отношения, които дават резултати с минимално количество изчисления:

за нечетни стойности a,

и - за четни стойности.

Библиографска връзка

Всички примитивни питагорейски утрояват до 200. Невероятните числа на професор Стюарт "Регионален център на образованието" Методическа разработка Използване на Питагорови тройки при решаване геометрични задачи и тригонометрични задачи USE Калуга, 2016 г Въведение Питагоровата теорема е една от основните и, дори може да се каже, най-важната теорема на геометрията. Значението му се състои в това, че повечето от теоремите на геометрията могат да бъдат изведени от него или с негова помощ. Питагоровата теорема е забележителна и с това, че сама по себе си изобщо не е очевидна. Например, свойствата на равнобедрен триъгълник могат да се видят директно на чертежа. Но както и да гледате правоъгълен триъгълник, никога няма да видите, че има толкова просто съотношение между страните му: а2+b2=в2. Но не Питагор е този, който открива теоремата, която носи неговото име. Известно е и по-рано, но може би само като факт, извлечен от измервания. Предполага се, че Питагор е знаел това, но е намерил доказателство. Има безкраен брой естествени числа a, b, c, удовлетворяващи отношението а2+b2=в2.. Наричат ​​се числа на Питагор. Според Питагоровата теорема такива числа могат да служат като дължини на страните на някой правоъгълен триъгълник - ще ги наричаме Питагорови триъгълници. Обективен:да проучи възможността и ефективността на използването на питагорови тройки за решаване на задачи от училищен курс по математика, USE задачи. Въз основа на целта на работата, следното задачи: Да изучава историята и класификацията на Питагоровите тройки. Анализирайте задачи с помощта на Питагорови тройки, които са налични в училищните учебници и се намират в контролно-измервателните материали на изпита. Оценете ефективността на използването на питагорови тройки и техните свойства за решаване на задачи. Обект на изследване: Питагорови тройки числа. Предмет на изследване: задачи от училищния курс по тригонометрия и геометрия, в които се използват питагорови тройки. Уместността на изследването. Питагоровите тройки често се използват в геометрията и тригонометрията, познаването им ще премахне грешките в изчисленията и ще спести време. II. Главна част. Решаване на задачи с помощта на Питагорови тройки. 2.1 Таблица на тройките на числата на Питагор (според Перелман) Числата на Питагор имат формата а= m n, , където m и n са някои взаимно прости нечетни числа. Числата на Питагор имат редица интересни характеристики: Един от "краката" трябва да е кратен на три. Един от "краката" трябва да е кратен на четири. Едно от числата на Питагор трябва да е кратно на пет. Книгата "Занимателна алгебра" съдържа таблица на Питагоровите тройки, съдържаща числата до сто, които нямат общи множители. 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 152+82=172 212 +202=292 332+562=652 392+802=892 352+122=372 452+282=532 552+482=732 652+722=972 632+162=652 772+362=852 2.2. Класификацията на Шустров на питагоровите тройки. Шустров откри следния модел: ако всички триъгълници на Питагор са разделени на групи, тогава следните формули са валидни за нечетния крак x, дори y и хипотенузата z: x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, където N е номерът на семейството, а n е поредният номер на триъгълника в семейството. Замествайки във формулата вместо N и n всякакви положителни цели числа, започвайки от едно, можете да получите всички основни питагорови тройки числа, както и кратни от определен тип. Можете да направите таблица на всички питагорови тройки за всяко семейство. 2.3. Задачи по планиметрия Нека да разгледаме задачи от различни учебници по геометрия и да разберем колко често се срещат питагорови тройки в тези задачи. Тривиалните задачи за намиране на третия елемент в таблицата на питагоровите тройки няма да бъдат разглеждани, въпреки че те също се намират в учебниците. Нека покажем как да намалим решението на задача, чиито данни не са изразени с естествени числа, до питагорови тройки. Разгледайте задачи от учебник по геометрия за 7-9 клас. № 000. Намерете хипотенузата на правоъгълен триъгълник а=, b=. Решение. Умножете дължините на краката по 7, получаваме два елемента от питагоровата тройка 3 и 4. Липсващият елемент е 5, който разделяме на 7. Отговор. № 000. В правоъгълник ABCD намерете BC, ако CD=1,5, AC=2,5. https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src="> Решение. Нека решим правоъгълен триъгълник ACD. Умножаваме дължините по 2, получаваме два елемента от питагоровата тройка 3 и 5, липсващият елемент е 4, който делим на 2. Отговор: 2. Когато решавате следващото число, проверете съотношението а2+b2=в2това е напълно незадължително, достатъчно е да използвате числата на Питагор и техните свойства. № 000. Разберете дали триъгълникът е правоъгълен, ако страните му са изразени с числа: а) 6,8,10 (Питагорова тройка 3,4.5) - да; Един от катетите на правоъгълен триъгълник трябва да се дели на 4. Отговор: не. в) 9,12,15 (Питагорова тройка 3,4.5) - да; г) 10,24,26 (Питагорова тройка 5,12.13) - да; Едно от числата на Питагор трябва да е кратно на пет. Отговор: не. g) 15, 20, 25 (питагорова тройка 3,4.5) - да. От тридесет и девет задачи в този раздел (Питагорова теорема) двадесет и две се решават устно с помощта на Питагоровите числа и познаване на свойствата им. Разгледайте проблем №000 (от раздела „Допълнителни задачи“): Намерете лицето на четириъгълника ABCD, където AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm. Задачата е да се провери съотношението а2+b2=в2и докажете, че дадения четириъгълник се състои от два правоъгълни триъгълника (обратната теорема). А познаването на питагоровите тройки: 3, 4, 5 и 5, 12, 13, премахва необходимостта от изчисления. Да дадем решения на няколко задачи от учебник по геометрия за 7-9 клас. Задача 156 (h). Катетите на правоъгълен триъгълник са 9 и 40. Намерете медианата, прекарана към хипотенузата. Решение . Медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от нея. Питагоровата тройка е 9,40 и 41. Следователно медианата е 20,5. Задача 156 (i). Страните на триъгълника са: а= 13 см, b= 20 см и вис hс = 12 см. Намерете основата с. Задача (KIM USE). Намерете радиуса на окръжност, вписана в остроъгълен триъгълник ABC, ако височината BH е 12 и е известно, че грях A=,sin C \u003d ляво "\u003e