Формула за височина от прав ъгъл на правоъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник

Триъгълник - Това е една от най-известните геометрични фигури. Използва се навсякъде - не само в чертежи, но и като интериорни предмети, части от различни проекти и сгради. Има няколко вида на тази фигура - правоъгълната е една от тях. Неговата отличителна черта е наличието на прав ъгъл, равен на 90°. За да намерите две от трите височини, достатъчно е да измерите краката. Третата е стойността между върха на правия ъгъл и средата на хипотенузата. Често в геометрията въпросът е как да се намери височината на правоъгълен триъгълник. Нека решим този прост проблем.

Необходимо е:

- владетел;
– книга по геометрия;
- правоъгълен триъгълник.

Инструкции:

• Начертайте триъгълник с прав ъгъл ABC, където е ъгълът ABCравни 90 ° , тоест тя е директна. Намалете височината зот прав ъгъл към хипотенузата - отсечка AS. Маркирайте с точка мястото, където сегментите се допират. г.
• Сега трябва да имате друг триъгълник - A.D.B.. Моля, имайте предвид, че той е подобен на съществуващия ABC, тъй като ъглите ABSи ADB = 90°, тогава те са равни един на друг и ъгълът ЛОШОе общо за двете геометрични фигури. Съпоставяйки ги, можем да заключим, че страните AD/AB = BD/BS = AB/AS. От получените отношения може да се заключи, че Агравни AB²/AS.
• Тъй като полученият триъгълник A.D.B.има прав ъгъл, когато измервате неговите страни и хипотенуза, можете да използвате Питагоровата теорема. Ето как изглежда: AB² = AD² + BD². За да го решите, използвайте полученото равенство AD. Трябва да получите следното: BD² = AB² - (AB²/AC)². Тъй като триъгълникът се измерва ABSтогава е правоъгълна BS²равни AS² — AB². Следователно отстрани BD²равни AB²BC²/AC², което с извличане на корена ще бъде равно на BD = AB*BS/AS.
• По подобен начин решението може да бъде получено с помощта на друг получен триъгълник -
  БДС. В този случай той също е подобен на оригинала ABC, благодарение на два ъгъла - ABSи БДС = 90°, и ъгълът DSBе често срещано. Освен това, както в предишния пример, пропорцията се показва в съотношението на страните, където BD/AB = DS/BS = BS/AS. Оттук и стойността Д.С.се получава чрез равенство BS²/AS. защото, AB² = AD*AS , това BS² = DS*AS. От това заключаваме, че BD² = (AB*BS/AS)²или AD*AS*DS*AS/AS², което е равно на AD*DS. За да намерите височината в този случай, достатъчно е да премахнете корена от продукта Д.С.и AD.

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстровано ръководство (2019)

ПРАВОЪГЪЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. НАЧАЛНО НИВО.

При проблеми правилният ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в това

и в това

Какво му е хубавото на правоъгълния триъгълник? Ами... първо, има специални красиви имена за страните му.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: има два катета и има само една хипотенуза(един единствен, единствен и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава е донесло много ползи на тези, които го познават. И най-хубавото е, че е просто.

така че Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме същите тези питагорови панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема или по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площи на квадрати, построен върху краката, е равен на квадратна площ, построен върху хипотенузата."

Наистина ли звучи малко по-различно? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, това е точно тази картина, която се получава.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да могат децата да запомнят по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли този виц за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема?

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да помнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълните триъгълници беше обсъдена. Ако ви интересува как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да отидем по-нататък... в тъмната гора... тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Погледнете внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами крака? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат?

Правилно, .

Какво ще кажете за по-малка площ?

Разбира се,.

Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги облегнахме една срещу друга с хипотенузите им.

какво стана Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека сега съберем всичко заедно.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Необходимо е това и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници?

Погледнете темата "и обърнете внимание, че за равенство на "обикновените" триъгълници трябва да са равни три от техните елементи: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни.

Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво се знае за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Погледнете внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна.

Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:
• през катет и остър ъгъл: .

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Няма значение коя училищна програма съдържа такъв предмет като геометрия. Всеки от нас като студент е изучавал тази дисциплина и е решавал определени задачи. Но за много хора ученическите години са зад гърба им и част от придобитите знания са изтрити от паметта.

Какво трябва да направите, ако изведнъж трябва да намерите отговора на определен въпрос от училищен учебник, например как да намерите височината в правоъгълен триъгълник? В този случай модерен напреднал компютърен потребител първо ще отвори Интернет и ще намери информацията, която го интересува.

Основна информация за триъгълниците

Тази геометрична фигура се състои от 3 сегмента, свързани помежду си в крайните точки, като допирните точки на тези точки не са на една и съща права линия. Отсечките, които образуват триъгълника, се наричат ​​негови страни. Съединенията на страните образуват върховете на фигурата, както и нейните ъгли.

Видове триъгълници в зависимост от ъглите

Тази фигура може да има 3 вида ъгли: остри, тъпи и прави. В зависимост от това сред триъгълниците се разграничават следните разновидности:

Видове триъгълници в зависимост от дължината на страните

Както споменахме по-рано, тази фигура се появява от 3 сегмента. Въз основа на техния размер се разграничават следните видове триъгълници:

Как да намерите височината на правоъгълен триъгълник

Две подобни страни на правоъгълен триъгълник, които образуват прав ъгъл в точката на контакт, се наричат ​​катети. Сегментът, който ги свързва, се нарича "хипотенуза". За да намерите височината в дадена геометрична фигура, трябва да спуснете линия от върха на правия ъгъл до хипотенузата. С всичко това тази линия трябва да разделя ъгъла на 90? точно наполовина. Такъв сегмент се нарича ъглополовяща.

Картината по-горе показва правоъгълен триъгълник, чиято височина ще трябва да изчислим. Това може да стане по няколко начина:

Ако начертаете кръг около триъгълник и начертаете радиус, стойността му ще бъде половината от размера на хипотенузата. Въз основа на това височината на правоъгълен триъгълник може да се изчисли по формулата:

Правоъгълен триъгълник- това е триъгълник, в който един от ъглите е прав, тоест равен на 90 градуса.

• Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза (на фигурата е посочена като cили AB)
• Страната, съседна на правия ъгъл, се нарича крак. Всеки правоъгълен триъгълник има два крака (на фигурата те са обозначени като аи b или AC и BC)

Формули и свойства на правоъгълен триъгълник

Обозначения на формули:

(вижте снимката по-горе)

а, б- катети на правоъгълен триъгълник

c- хипотенуза

α, β - остри ъгли на триъгълник

С- квадрат

ч- височина, спусната от върха на прав ъгъл до хипотенузата

m a аот срещуположния ъгъл ( α )

m b- медиана, изтеглена настрани bот срещуположния ъгъл ( β )

m c- медиана, изтеглена настрани cот срещуположния ъгъл ( γ )

IN правоъгълен триъгълник някой от катетите е по-малък от хипотенузата(Формула 1 и 2). Това свойство е следствие от Питагоровата теорема.

Косинус на който и да е от острите ъглипо-малко от едно (Формула 3 и 4). Това свойство следва от предишното. Тъй като всеки от катетите е по-малък от хипотенузата, съотношението на катета към хипотенузата винаги е по-малко от едно.

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите (теорема на Питагор). (Формула 5). Това свойство се използва постоянно при решаване на проблеми.

Площ на правоъгълен триъгълникравно на половината от произведението на краката (Формула 6)

Сума от медианите на квадраткъм катетите е равно на пет квадрата от медианата на хипотенузата и пет квадрата от хипотенузата, делено на четири (Формула 7). В допълнение към горното има Още 5 формули, затова се препоръчва да прочетете и урока „Медиана на правоъгълен триъгълник“, който описва свойствата на медианата по-подробно.

Височинана правоъгълен триъгълник е равно на произведението на катетите, разделено на хипотенузата (Формула 8)

Квадратите на краката са обратно пропорционални на квадрата на височината, спусната до хипотенузата (Формула 9). Това тъждество също е едно от следствията на Питагоровата теорема.

Дължина на хипотенузатаравен на диаметъра (два радиуса) на описаната окръжност (Формула 10). Хипотенуза на правоъгълен триъгълник е диаметърът на описаната окръжност. Това свойство често се използва при решаване на проблеми.

Вписан радиус V правоъгълен триъгълник кръгможе да се намери като половината от израза, включващ сумата от катетите на този триъгълник минус дължината на хипотенузата. Или като произведението на краката, разделено на сбора от всички страни (периметър) на даден триъгълник. (Формула 11)
Синус от ъгъл отношение към противоположнототози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 12). Това свойство се използва при решаване на проблеми. Познавайки размерите на страните, можете да намерите ъгъла, който образуват.

Косинусът на ъгъл A (α, алфа) в правоъгълен триъгълник ще бъде равен на отношение съседентози ъгъл катет към хипотенуза(по дефиниция на синус). (Формула 13)