Намерете височината на правилна триъгълна пирамида. Пирамида
Триизмерна фигура, която често се появява в геометрични задачи, е пирамидата. Най-простата от всички фигури в този клас е триъгълна. В тази статия ще анализираме подробно основните формули и свойствата на правилните
Геометрични идеи за фигурата
Преди да преминем към разглеждане на свойствата на правилна триъгълна пирамида, нека разгледаме по-подробно за каква фигура говорим.
Да приемем, че в триизмерното пространство има произволен триъгълник. Нека изберем всяка точка от това пространство, която не лежи в равнината на триъгълника и я свържем с трите върха на триъгълника. Имаме триъгълна пирамида.
Състои се от 4 страни, всички от които са триъгълници. Точките, в които се срещат три лица, се наричат върхове. Фигурата също има четири от тях. Линиите на пресичане на две лица са ръбове. Въпросната пирамида има 6 ръба на фигурата по-долу.
Тъй като фигурата е образувана от четири страни, тя се нарича още тетраедър.
Правилна пирамида
По-горе разгледахме произволна фигура с триъгълна основа. Сега да предположим, че начертаваме перпендикулярен сегмент от върха на пирамидата до нейната основа. Този сегмент се нарича височина. Очевидно можете да нарисувате 4 различни височини за фигурата. Ако височината пресича триъгълната основа в геометричния център, тогава такава пирамида се нарича права.
Права пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник, се нарича правилна. За нея и трите триъгълника, образуващи страничната повърхност на фигурата, са равнобедрени и равни един на друг. Специален случай на правилна пирамида е ситуацията, когато и четирите страни са равностранни еднакви триъгълници.
Нека разгледаме свойствата на правилна триъгълна пирамида и да дадем съответните формули за изчисляване на нейните параметри.
Основна страна, височина, страничен ръб и апотема
Всеки два от изброените параметъра еднозначно определят другите две характеристики. Нека представим формули, които свързват тези количества.
Да приемем, че страната на основата на правилна триъгълна пирамида е a. Дължината на страничния му ръб е b. Каква ще бъде височината на правилна триъгълна пирамида и нейната апотема?
За височина h получаваме израза:
Тази формула следва от Питагоровата теорема, за която са страничният ръб, височината и 2/3 от височината на основата.
Апотемата на пирамидата е височината на всеки страничен триъгълник. Дължината на апотемата a b е равна на:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
От тези формули става ясно, че каквато и да е страната на основата на триъгълна правилна пирамида и дължината на нейния страничен ръб, апотемата винаги ще бъде по-голяма от височината на пирамидата.
Представените две формули съдържат и четирите линейни характеристики на въпросната фигура. Следователно, при известните две от тях, можете да намерите останалите, като решите системата от писмени равенства.
Обем на фигурата
За абсолютно всяка пирамида (включително наклонена) стойността на обема на ограниченото от нея пространство може да се определи, като се знае височината на фигурата и площта на нейната основа. Съответната формула е:
Прилагайки този израз към въпросната фигура, получаваме следната формула:
Където височината на правилна триъгълна пирамида е h, а нейната основна страна е a.
Не е трудно да се получи формула за обема на тетраедър, в който всички страни са равни една на друга и представляват равностранни триъгълници. В този случай обемът на фигурата се определя по формулата:
Това означава, че се определя еднозначно от дължината на страната a.
Повърхностна площ
Нека продължим да разглеждаме свойствата на правилната триъгълна пирамида. Общата площ на всички лица на фигура се нарича нейната повърхност. Последното може да бъде удобно проучено чрез разглеждане на съответното развитие. Фигурата по-долу показва как изглежда развитието на правилна триъгълна пирамида.
Да приемем, че знаем височината h и страната на основата a на фигурата. Тогава площта на основата му ще бъде равна на:
Всеки ученик може да получи този израз, ако си спомни как да намери площта на триъгълник, а също така вземе предвид, че надморската височина на равностранен триъгълник също е ъглополовяща и медиана.
Площта на страничната повърхност, образувана от три еднакви равнобедрени триъгълника, е:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Това равенство следва от израза на апотемата на пирамидата по отношение на височината и дължината на основата.
Общата площ на фигурата е:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Обърнете внимание, че за тетраедър, в който и четирите страни са еднакви равностранни триъгълници, площта S ще бъде равна на:
Свойства на правилна пресечена триъгълна пирамида
Ако върхът на разглежданата триъгълна пирамида се отреже с равнина, успоредна на основата, тогава останалата долна част ще се нарече пресечена пирамида.
В случай на триъгълна основа, резултатът от описания метод на сечение е нов триъгълник, който също е равностранен, но има по-къса дължина на страната от страната на основата. По-долу е показана пресечена триъгълна пирамида.
Виждаме, че тази фигура вече е ограничена от две триъгълни основи и три равнобедрени трапеца.
Да приемем, че височината на получената фигура е равна на h, дължините на страните на долната и горната основа са съответно a 1 и a 2, а апотемата (височината на трапеца) е равна на a b. Тогава повърхността на пресечената пирамида може да се изчисли по формулата:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Тук първият член е площта на страничната повърхност, вторият член е площта на триъгълните основи.
Обемът на фигурата се изчислява, както следва:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
За да се определят недвусмислено характеристиките на пресечена пирамида, е необходимо да се знаят трите й параметъра, както се вижда от дадените формули.
Въведение
Когато започнахме да изучаваме стереометрични фигури, засегнахме темата „Пирамида“. Тази тема ни хареса, защото пирамидата се използва много често в архитектурата. И тъй като нашата бъдеща професия на архитектурата е вдъхновена от тази фигура, смятаме, че тя може да ни тласне към отлични проекти.
Здравината на архитектурните структури е най-важното им качество. Свързвайки силата, първо, с материалите, от които са създадени, и, второ, с характеристиките на дизайнерските решения, се оказва, че здравината на конструкцията е пряко свързана с геометричната форма, която е основна за нея.
С други думи, говорим за геометрична фигура, която може да се разглежда като модел на съответната архитектурна форма. Оказва се, че геометричната форма също определя здравината на една архитектурна конструкция.
От древни времена египетските пирамиди се считат за най-издръжливите архитектурни структури. Както знаете, те имат формата на правилни четириъгълни пирамиди.
Именно тази геометрична форма осигурява най-голяма стабилност поради голямата площ на основата. От друга страна, формата на пирамида гарантира, че масата намалява с увеличаване на височината над земята. Именно тези две свойства правят пирамидата стабилна и следователно здрава в условията на гравитация.
Целта на проекта: научете нещо ново за пирамидите, задълбочете знанията си и намерете практическо приложение.
За постигането на тази цел беше необходимо да се решат следните задачи:
· Научете историческа информация за пирамидата
· Разгледайте пирамидата като геометрична фигура
· Намерете приложение в бита и архитектурата
· Открийте приликите и разликите между пирамиди, разположени в различни части на света
Теоретична част
Историческа информация
Геометрията на пирамидите започва в Древен Египет и Вавилон, но се развива активно в Древна Гърция. Първият, който установява обема на пирамидата, е Демокрит, а Евдокс от Книд го доказва. Древногръцкият математик Евклид систематизира знанията за пирамидата в XII том на своите „Елементи“ и също така извежда първото определение на пирамида: твърда фигура, ограничена от равнини, които се събират от една равнина в една точка.
Гробници на египетските фараони. Най-големите от тях - пирамидите на Хеопс, Хефрен и Микерин в Ел Гиза - в древността са били смятани за едно от Седемте чудеса на света. Изграждането на пирамидата, в която гърците и римляните вече виждат паметник на безпрецедентната гордост на царете и жестокостта, обрекла целия народ на Египет на безсмислено строителство, беше най-важният култов акт и трябваше да изрази, очевидно, мистична идентичност на страната и нейния владетел. Населението на страната е работело по изграждането на гробницата през свободната от земеделска работа част от годината. Редица текстове свидетелстват за вниманието и грижите, които самите царе (макар и от по-късно време) са полагали към изграждането на гробницата и нейните строители. Известни са и специалните култови почести, които са били отдавани на самата пирамида.
Основни понятия
Пирамидасе нарича многостен, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са триъгълници, които имат общ връх.
апотема- височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх;
Странични лица- триъгълници, срещащи се във връх;
Странични ребра- общи страни на страничните лица;
Върхът на пирамидата- точка, свързваща страничните ребра и не лежаща в равнината на основата;
Височина- перпендикулярен сегмент, прекаран през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на този сегмент са върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
Диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, минаващо през върха и диагонала на основата;
База- многоъгълник, който не принадлежи на върха на пирамидата.
Основни свойства на правилната пирамида
Страничните ръбове, страничните лица и апотемите са съответно равни.
Двустенните ъгли при основата са равни.
Двустенните ъгли при страничните ръбове са равни.
Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата.
Всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични лица.
Основни пирамидални формули
Площта на страничната и общата повърхност на пирамидата.
Площта на страничната повърхност на пирамида (пълна и пресечена) е сумата от площите на всичките й странични лица, общата повърхност е сумата от площите на всичките й лица.
Теорема: Площта на страничната повърхност на правилна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.
стр- основен периметър;
ч- апотема.
Площта на страничните и пълните повърхности на пресечена пирамида.
стр. 1, стр 2 - базови периметри;
ч- апотема.
Р- обща площ на правилна пресечена пирамида;
S страна- площ на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида;
S 1 + S 2- основна площ
Обем на пирамидата
форма volume ula се използва за пирамиди от всякакъв вид.
з- височина на пирамидата.
Ъгли на пирамида
Ъглите, образувани от страничната повърхност и основата на пирамидата, се наричат двустенни ъгли в основата на пирамидата.
Двустенният ъгъл е образуван от два перпендикуляра.
За да определите този ъгъл, често трябва да използвате теоремата за трите перпендикуляра.
Ъглите, образувани от страничния ръб и неговата проекция върху основната равнина, се наричат ъгли между страничния ръб и равнината на основата.
Ъгълът, образуван от два странични ръба, се нарича двустенен ъгъл при страничния ръб на пирамидата.
Ъгълът, образуван от два странични ръба на едно лице на пирамидата, се нарича ъгъл на върха на пирамидата.
Пирамидни секции
Повърхнината на пирамида е повърхността на многостен. Всяко от нейните лица е равнина, следователно сечението на пирамидата, определено от режеща равнина, е начупена линия, състояща се от отделни прави линии.
Диагонално сечение
Сечението на пирамида с равнина, минаваща през два странични ръба, които не лежат на едно и също лице, се нарича диагонално сечениепирамиди.
Паралелни секции
Теорема:
Ако пирамидата е пресечена от равнина, успоредна на основата, тогава страничните ръбове и височини на пирамидата се разделят от тази равнина на пропорционални части;
Разрезът на тази равнина е многоъгълник, подобен на основата;
Площите на сечението и основата са свързани една с друга като квадрати на техните разстояния от върха.
Видове пирамиди
Правилна пирамида– пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата.
За правилна пирамида:
1. страничните ребра са равни
2. страничните лица са равни
3. апотемите са равни
4. двустенните ъгли в основата са равни
5. двустенните ъгли при страничните ръбове са равни
6. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички върхове на основата
7. всяка точка на височина е на еднакво разстояние от всички странични ръбове
Пресечена пирамида- част от пирамидата, затворена между нейната основа и режеща равнина, успоредна на основата.
Основата и съответното сечение на пресечена пирамида се наричат основи на пресечена пирамида.
Нарича се перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на друга височината на пресечена пирамида.
Задачи
номер 1. В правилна четириъгълна пирамида точка O е центърът на основата, SO=8 cm, BD=30 cm Намерете страничния ръб SA.
Разрешаване на проблеми
номер 1. В правилната пирамида всички лица и ръбове са равни.
Помислете за OSB: OSB е правоъгълен правоъгълник, защото.
SB 2 =SO 2 + OB 2
SB 2 =64+225=289
Пирамида в архитектурата
Пирамидата е монументална структура под формата на обикновена правилна геометрична пирамида, в която страните се събират в една точка. Според функционалното си предназначение пирамидите в древността са били места за погребение или култови поклонения. Основата на пирамидата може да бъде с триъгълна, четириъгълна или многоъгълна форма с произволен брой върхове, но най-разпространената версия е четириъгълната основа.
Има значителен брой пирамиди, построени от различни култури на древния свят, главно като храмове или паметници. Големите пирамиди включват египетските пирамиди.
По цялата земя можете да видите архитектурни структури под формата на пирамиди. Сградите на пирамидите напомнят за древни времена и изглеждат много красиви.
Египетските пирамиди са най-големите архитектурни паметници на Древен Египет, включително едно от „Седемте чудеса на света“, Хеопсовата пирамида. От подножието до върха достига 137,3 м, а преди да загуби върха, височината му е била 146,7 м
Сградата на радиостанцията в столицата на Словакия, наподобяваща обърната пирамида, е построена през 1983 г. В допълнение към офисите и сервизните помещения, вътре в обема има доста просторна концертна зала, която има един от най-големите органи в Словакия.
Лувърът, който е „мълчалив, непроменен и величествен като пирамида“, е претърпял много промени през вековете, преди да се превърне в най-великия музей в света. Роден е като крепост, издигната от Филип Август през 1190 г., която скоро се превръща в кралска резиденция. През 1793 г. дворецът става музей. Колекциите се обогатяват чрез завещания или покупки.
Определение
Пирамидае полиедър, съставен от многоъгълник \(A_1A_2...A_n\) и \(n\) триъгълници с общ връх \(P\) (не лежащ в равнината на многоъгълника) и страни срещу него, съвпадащи с страни на многоъгълника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\) .
Пример: петоъгълна пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Триъгълници \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) и др. се наричат странични лицапирамиди, сегменти \(PA_1, PA_2\) и др. – странични ребра, многоъгълник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – база, точка \(P\) – отгоре.
Височинапирамидите са перпендикуляр, спуснат от върха на пирамидата към равнината на основата.
Нарича се пирамида с триъгълник в основата тетраедър.
Пирамидата се нарича правилно, ако основата му е правилен многоъгълник и е изпълнено едно от следните условия:
\((a)\) страничните ръбове на пирамидата са равни;
\((b)\) височината на пирамидата минава през центъра на окръжността, описана близо до основата;
\((c)\) страничните ребра са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.
\((d)\) страничните стени са наклонени към равнината на основата под същия ъгъл.
Правилен тетраедъре триъгълна пирамида, чиито лица са равни равностранни триъгълници.
Теорема
Условия \((a), (b), (c), (d)\) са еквивалентни.
Доказателство
Нека намерим височината на пирамидата \(PH\) . Нека \(\alpha\) е равнината на основата на пирамидата.
1) Нека докажем, че от \((a)\) следва \((b)\) . Нека \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
защото \(PH\perp \alpha\), тогава \(PH\) е перпендикулярен на всяка права, лежаща в тази равнина, което означава, че триъгълниците са правоъгълни. Това означава, че тези триъгълници са равни по общ катет \(PH\) и хипотенуза \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Това означава \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Това означава, че точките \(A_1, A_2, ..., A_n\) са на едно и също разстояние от точката \(H\), следователно, те лежат на една и съща окръжност с радиус \(A_1H\) . Тази окръжност, по дефиниция, е описана около многоъгълника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Нека докажем, че \((b)\) предполага \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоъгълна и равна на два крака. Това означава, че техните ъгли също са равни, следователно, \(\ъгъл PA_1H=\ъгъл PA_2H=...=\ъгъл PA_nH\).
3) Нека докажем, че \((c)\) предполага \((a)\) .
Подобно на първата точка, триъгълници \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)правоъгълен както по крака, така и под остър ъгъл. Това означава, че техните хипотенузи също са равни, тоест \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Нека докажем, че от \((b)\) следва \((d)\) .
защото в правилен многоъгълник центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат (най-общо казано, тази точка се нарича център на правилен многоъгълник), тогава \(H\) е центърът на вписаната окръжност. Нека начертаем перпендикуляри от точката \(H\) към страните на основата: \(HK_1, HK_2\) и т.н. Това са радиусите на вписаната окръжност (по дефиниция). Тогава според TTP (\(PH\) е перпендикулярен на равнината, \(HK_1, HK_2\) и т.н. са проекции, перпендикулярни на страните) наклонен \(PK_1, PK_2\) и т.н. перпендикулярно на страните \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.н. съответно. И така, по дефиниция \(\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H\)равни на ъглите между страничните стени и основата. защото триъгълници \(PK_1H, PK_2H, ...\) са равни (като правоъгълни от двете страни), тогава ъглите \(\ъгъл PK_1H, \ъгъл PK_2H, ...\)са равни.
5) Нека докажем, че \((d)\) предполага \((b)\) .
Подобно на четвъртата точка, триъгълниците \(PK_1H, PK_2H, ...\) са равни (като правоъгълни по крака и остър ъгъл), което означава, че сегментите \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) са равен. Това означава, че по дефиниция \(H\) е центърът на окръжност, вписана в основата. Но защото За правилните многоъгълници центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат, тогава \(H\) е центърът на описаната окръжност. Chtd
Последица
Страничните стени на правилната пирамида са равни равнобедрени триъгълници.
Определение
Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотема.
Апотемите на всички странични стени на правилната пирамида са равни една на друга и също са медиани и ъглополовящи.
Важни бележки
1. Височината на правилна триъгълна пирамида попада в точката на пресичане на височините (или ъглополовящите, или медианите) на основата (основата е правилен триъгълник).
2. Височината на правилна четириъгълна пирамида попада в точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е квадрат).
3. Височината на правилна шестоъгълна пирамида попада в точката на пресичане на диагоналите на основата (основата е правилен шестоъгълник).
4. Височината на пирамидата е перпендикулярна на всяка права линия, лежаща в основата.
Определение
Пирамидата се нарича правоъгълен, ако един от страничните му ръбове е перпендикулярен на равнината на основата.
Важни бележки
1. В правоъгълна пирамида ръбът, перпендикулярен на основата, е височината на пирамидата. Тоест \(SR\) е височината.
2. Защото Тогава \(SR\) е перпендикулярна на която и да е права от основата \(\триъгълник SRM, \триъгълник SRP\)– правоъгълни триъгълници.
3. Триъгълници \(\триъгълник SRN, \триъгълник SRK\)- също правоъгълни.
Тоест всеки триъгълник, образуван от този ръб и диагоналът, излизащ от върха на този ръб, лежащ в основата, ще бъде правоъгълен.
\[(\Large(\text(Обем и повърхност на пирамидата)))\]
Теорема
Обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината на пирамидата: \
Последици
Нека \(a\) е страната на основата, \(h\) е височината на пирамидата.
1. Обемът на правилна триъгълна пирамида е \(V_(\текст(десен триъгълник.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Обемът на правилна четириъгълна пирамида е \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Обемът на правилна шестоъгълна пирамида е \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Обемът на правилен тетраедър е \(V_(\текст(дясно тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорема
Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на полупродукта на периметъра на основата и апотемата.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Определение
Да разгледаме произволна пирамида \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Нека начертаем равнина, успоредна на основата на пирамидата през определена точка, разположена на страничния ръб на пирамидата. Тази равнина ще раздели пирамидата на два многостена, единият от които е пирамида (\(PB_1B_2...B_n\)), а другият се нарича пресечена пирамида(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Пресечената пирамида има две основи - многоъгълници \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\), които са подобни един на друг.
Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, прекаран от някаква точка на горната основа към равнината на долната основа.
Важни бележки
1. Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецовидни.
2. Сегментът, свързващ центровете на основите на правилна пресечена пирамида (т.е. пирамида, получена чрез напречно сечение на правилна пирамида), е височината.
Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за Единния държавен изпит.
Помислете за равнина, многоъгълник 
, лежаща в нея и точка S, нележаща в нея. Нека свържем S с всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат странични ребра. 
Многоъгълникът се нарича основа, а точка S е връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълна пирамида е тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, спускащ се от върха й към равнината на основата. 
Пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на надморската височина на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.
Коментар на преподавателя:
Не бъркайте понятията „правилна пирамида“ и „правилен тетраедър“. В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага, че центърът P на многоъгълника съвпада с височина на основата, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.
Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно. 
Преподавател по математика за неговата терминология: 80% от работата с пирамиди е изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA 
За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да извика първия от тях апотематичен, и второто крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.
Формула за обем на пирамида:
1) 
, където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера и е площта на общата повърхност на пирамидата.
3) 
, където MN е разстоянието между всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.
Свойство на основата на височината на пирамида:
Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени
Коментар на учителя по математика: Моля, имайте предвид, че всички точки са обединени от едно общо свойство: по един или друг начин, страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна за учене формулировка: точка P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични стени. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички триъгълници-апотеми са еднакви.
Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината
Продължаваме да разглеждаме задачите, включени в Единния държавен изпит по математика. Вече сме изучавали задачи, в които е дадено условието и се изисква да се намери разстоянието между две дадени точки или ъгъл.
Пирамидата е многостен, чиято основа е многоъгълник, останалите лица са триъгълници и имат общ връх.
Правилна пирамида е пирамида, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а върхът му е проектиран в центъра на основата.
Правилна четириъгълна пирамида - основата е квадрат на пирамидата, проектирана в точката на пресичане на диагоналите на основата (квадрат).
ML - апотема
∠MLO - двустенен ъгъл при основата на пирамидата
∠MCO - ъгъл между страничния ръб и равнината на основата на пирамидата
В тази статия ще разгледаме задачи за решаване на правилна пирамида. Трябва да намерите някакъв елемент, странична повърхност, обем, височина. Разбира се, трябва да знаете теоремата на Питагор, формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата и формулата за намиране на обема на пирамида.
В статията "" представя формулите, които са необходими за решаване на задачи по стереометрия. И така, задачите:
SABCDточка О- център на основата,Свръх, ТАКА = 51, A.C.= 136. Намерете страничния ръбS.C..
В този случай основата е квадрат. Това означава, че диагоналите AC и BD са равни, пресичат се и се разполовяват от пресечната точка. Обърнете внимание, че в правилната пирамида височината, спусната от върха й, минава през центъра на основата на пирамидата. SO е височината и триъгълникаSOCправоъгълен. Тогава според Питагоровата теорема:
Как да извлечете корена на голямо число.
Отговор: 85
Решете сами:
В правилна четириъгълна пирамида SABCDточка О- център на основата, Свръх, ТАКА = 4, A.C.= 6. Намерете страничния ръб S.C..
В правилна четириъгълна пирамида SABCDточка О- център на основата, Свръх, S.C. = 5, A.C.= 6. Намерете дължината на отсечката ТАКА.
В правилна четириъгълна пирамида SABCDточка О- център на основата, Свръх, ТАКА = 4, S.C.= 5. Намерете дължината на отсечката A.C..
SABC Р- средата на реброто пр.н.е., С- отгоре. Известно е, че AB= 7, а С.Р.= 16. Намерете площта на страничната повърхност.
Площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата (апотемата е височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх):
Или можем да кажем това: площта на страничната повърхност на пирамидата е равна на сумата от площите на трите странични лица. Страничните стени на правилната триъгълна пирамида са триъгълници с еднаква площ. В този случай:
Отговор: 168
Решете сами:
В правилна триъгълна пирамида SABC Р- средата на реброто пр.н.е., С- отгоре. Известно е, че AB= 1, а С.Р.= 2. Намерете площта на страничната повърхност.
В правилна триъгълна пирамида SABC Р- средата на реброто пр.н.е., С- отгоре. Известно е, че AB= 1, а площта на страничната повърхност е 3. Намерете дължината на сегмента С.Р..
В правилна триъгълна пирамида SABC Л- средата на реброто пр.н.е., С- отгоре. Известно е, че SL= 2, а площта на страничната повърхност е 3. Намерете дължината на сегмента AB.
В правилна триъгълна пирамида SABC М. Площ на триъгълник ABCе 25, обемът на пирамидата е 100. Намерете дължината на отсечката MS.
Основата на пирамидата е равностранен триъгълник. Ето защо Ме центърът на основата иMS- височина на правилна пирамидаSABC. Обем на пирамидата SABCе равно на: преглед на решението
В правилна триъгълна пирамида SABCмедианите на основата се пресичат в точката М. Площ на триъгълник ABCравно на 3, MS= 1. Намерете обема на пирамидата.
В правилна триъгълна пирамида SABCмедианите на основата се пресичат в точката М. Обемът на пирамидата е 1, MS= 1. Намерете площта на триъгълника ABC.
Нека приключим тук. Както можете да видите, проблемите се решават в една или две стъпки. В бъдеще ще разгледаме други проблеми от тази част, където са дадени тела на революция, не го пропускайте!
Успех на теб!
С уважение, Александър Крутицких.
P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.
