Comment trouver l'équation d'une tangente à une fonction. Calculateur en ligne

Soit une fonction f, qui à un moment donné x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)), ayant un coefficient angulaire f '(x 0), est appelée tangente.

Que se passe-t-il si la dérivée n'existe pas au point x 0 ? Il existe deux options :

1. Il n’y a pas non plus de tangente au graphique. Un exemple classique est la fonction y = |x | au point (0 ; 0).
2. La tangente devient verticale. C'est vrai par exemple pour la fonction y = arcsin x au point (1 ; π /2).

Équation tangente

Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour créer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.

Soit donc une fonction y = f (x) qui a une dérivée y = f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a ; b) une tangente peut être tracée au graphique de cette fonction, qui est donnée par l'équation :

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ici f '(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.

Tâche. Étant donné la fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.

Équation tangente : y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais il faudra calculer les valeurs f (x 0) et f '(x 0).

Tout d’abord, trouvons la valeur de la fonction. Tout est simple ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée : f '(x) = (x 3)' = 3x 2 ;
Nous substituons x 0 = 2 dans la dérivée : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
Au total, nous obtenons : y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
C'est l'équation tangente.

Tâche. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction f (x) = 2sin x + 5 au point x 0 = π /2.

Cette fois, nous ne décrirons pas chaque action en détail, nous indiquerons seulement les étapes clés. Nous avons:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7 ;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x ;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0 ;

Équation tangente :

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Dans ce dernier cas, la ligne droite s'est avérée horizontale, car son coefficient angulaire k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.

Considérons la figure suivante :

Il représente une certaine fonction y = f(x), qui est différentiable au point a. Le point M avec les coordonnées (a; f(a)) est marqué. Un MR sécant est tracé via un point arbitraire P(a + ∆x; f(a + ∆x)) du graphique.

Si maintenant le point P est déplacé le long du graphique vers le point M, alors la droite MR tournera autour du point M. Dans ce cas, ∆x tendra vers zéro. De là, nous pouvons formuler la définition d’une tangente au graphique d’une fonction.

Tangente au graphique d'une fonction

La tangente au graphique d'une fonction est la position limite de la sécante lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro. Il faut comprendre que l'existence de la dérivée de la fonction f au point x0 signifie qu'en ce point du graphique il y a tangenteà lui.

Dans ce cas, le coefficient angulaire de la tangente sera égal à la dérivée de cette fonction en ce point f’(x0). C'est la signification géométrique de la dérivée. La tangente au graphique d'une fonction f différentiable au point x0 est une certaine droite passant par le point (x0;f(x0)) et ayant un coefficient angulaire f'(x0).

Équation tangente

Essayons d'obtenir l'équation de la tangente au graphique d'une fonction f au point A(x0; f(x0)). L’équation d’une droite de pente k a la forme suivante :

Puisque notre coefficient de pente est égal à la dérivée f'(x0), alors l'équation prendra la forme suivante : y = f'(x0)*x + b.

Calculons maintenant la valeur de b. Pour ce faire, on utilise le fait que la fonction passe par le point A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, à partir de là nous exprimons b et obtenons b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Nous substituons la valeur résultante dans l'équation tangente :

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Considérons l'exemple suivant : trouvez l'équation de la tangente au graphique de la fonction f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 au point x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Remplacez les valeurs obtenues dans la formule tangente, nous obtenons : y = 1 + 4*(x - 2). En ouvrant les parenthèses et en ramenant des termes similaires, nous obtenons : y = 4*x - 7.

Réponse : y = 4*x - 7.

Schéma général de composition de l'équation tangente au graphique de la fonction y = f(x) :

1. Déterminez x0.

2. Calculez f(x0).

3. Calculer f'(x)

Ce programme mathématique trouve l'équation de la tangente au graphique de la fonction \(f(x)\) en un point spécifié par l'utilisateur \(a\).

Le programme affiche non seulement l'équation tangente, mais affiche également le processus de résolution du problème.

Ce calculateur en ligne peut être utile aux élèves des écoles secondaires lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre.

Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous avez besoin de trouver la dérivée d'une fonction, nous avons pour cela la tâche Trouver la dérivée.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie des fonctions, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Entrez l'expression de fonction \(f(x)\) et le nombre \(a\)
f(x)=

une =

Trouver l'équation tangente
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Un peu de théorie.

Pente directe Rappelons que le graphique de la fonction linéaire \(y=kx+b\) est une droite. Le nombre \(k=tg \alpha \) est appelé pente d'une droite

, et l'angle \(\alpha \) est l'angle entre cette ligne et l'axe Ox

Si \(k>0\), alors \(0 Si \(kEquation de la tangente au graphe de la fonction

Soit une fonction y = f(x) et un point M(a; f(a)) sur le graphique de cette fonction ; faisons savoir que f"(a) existe. Créons une équation pour la tangente au graphique d'une fonction donnée en un point donné. Cette équation, comme l'équation de toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées, a pour forme y = kx + b, la tâche est donc de trouver les valeurs des coefficients k et b.

Tout est clair avec le coefficient angulaire k : on sait que k = f"(a). Pour calculer la valeur de b, on utilise le fait que la droite recherchée passe par le point M(a; f(a)) . Cela signifie que si l'on substitue les coordonnées du point M dans l'équation d'une droite, on obtient l'égalité correcte : \(f(a)=ka+b\), c'est-à-dire \(b = f(a) - ka\).

Il reste à substituer les valeurs trouvées des coefficients k et b dans l'équation de la droite :

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a)$$

Nous avons reçu équation de la tangente au graphique d'une fonction\(y = f(x) \) au point \(x=a \).

Algorithme pour trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction \(y=f(x)\)
1. Désignons l'abscisse du point tangent par la lettre \(a\)
2. Calculer \(f(a)\)
3. Trouvez \(f"(x)\) et calculez \(f"(a)\)
4. Remplacez les nombres trouvés \(a, f(a), f"(a) \) dans la formule \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

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Tangente est une droite passant par un point de la courbe et coïncidant avec lui en ce point jusqu'au premier ordre (Fig. 1).

Une autre définition: c'est la position limite de la sécante en Δ x→0.

Explication : Prenez une droite coupant la courbe en deux points : UN Et b(voir photo). C'est une sécante. Nous allons le faire pivoter dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il ne trouve qu'un seul point commun avec la courbe. Cela nous donnera une tangente.

Définition stricte de la tangente :

Tangente au graphique d'une fonction f, différentiable au point xÔ, est une droite passant par le point ( xÔ; f(xÔ)) et ayant une pente f′( xÔ).

La pente a une ligne droite de la forme y =kx +b. Coefficient k et est pente cette ligne droite.

Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle aigu formé par cette droite avec l'axe des abscisses :

k = bronzage α

Ici l'angle α est l'angle entre la droite y =kx +b et la direction positive (c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) de l'axe des x. Ça s'appelle angle d'inclinaison d'une ligne droite(Fig. 1 et 2).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b aigu, alors la pente est un nombre positif. Le graphique augmente (Fig. 1).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b est obtus, alors la pente est un nombre négatif. Le graphique est décroissant (Fig. 2).

Si la droite est parallèle à l’axe des x, alors l’angle d’inclinaison de la droite est nul. Dans ce cas, la pente de la droite est également nulle (puisque la tangente de zéro est nulle). L'équation de la droite ressemblera à y = b (Fig. 3).

Si l'angle d'inclinaison d'une droite est de 90º (π/2), c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors la droite est donnée par l'égalité X =c, Où c– un nombre réel (Fig. 4).

Équation de la tangente au graphique d'une fonctionoui = f(x) au point xÔ:

Exemple : Trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 au point d'abscisse 2.

Solution .

Nous suivons l'algorithme.

1) Point de contact xÔ est égal à 2. Calculer f(xÔ):

f(xÔ) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Trouver f′( x). Pour ce faire, nous appliquons les formules de différenciation décrites dans la section précédente. D'après ces formules, X 2 = 2X, UN X 3 = 3X 2. Moyens:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Maintenant, en utilisant la valeur résultante f′( x), calculer f′( xÔ):

f′( xÔ) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Nous avons donc toutes les données nécessaires : xÔ = 2, f(xÔ) = 1, f ′( xÔ) = 4. Remplacez ces nombres dans l'équation tangente et trouvez la solution finale :

y = f(xÔ) + f′( xÔ) (x – xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Réponse : y = 4x – 7.

Dans cet article nous analyserons tous types de problèmes pour trouver

Souvenons-nous signification géométrique de la dérivée: si une tangente est tracée au graphique d'une fonction en un point, alors le coefficient de pente de la tangente (égal à la tangente de l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe) est égal à la dérivée de la fonction au point.

Prenons un point arbitraire sur la tangente de coordonnées :

Et considérons un triangle rectangle :

Dans ce triangle

D'ici

C'est l'équation de la tangente tracée au graphique de la fonction au point.

Pour écrire l’équation de la tangente, il suffit de connaître l’équation de la fonction et le point auquel la tangente est tracée. Ensuite, nous pouvons trouver et .

Il existe trois principaux types de problèmes d’équation tangente.

1. Étant donné un point de contact

2. Le coefficient de pente tangente est donné, c'est-à-dire la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.

3. Données sont les coordonnées du point par lequel la tangente est tracée, mais qui n'est pas le point de tangence.

Examinons chaque type de tâche.

1. Écrire l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point .

.

b) Trouvez la valeur de la dérivée au point . Trouvons d'abord la dérivée de la fonction

Remplaçons les valeurs trouvées dans l'équation tangente :

Ouvrons les parenthèses sur le côté droit de l'équation. On obtient :

Répondre: .

2. Trouver l'abscisse des points auxquels les fonctions sont tangentes au graphique parallèle à l’axe des x.

Si la tangente est parallèle à l'axe des x, donc l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe est nul, donc la tangente de l'angle tangent est nulle. Cela signifie que la valeur de la dérivée de la fonction aux points de contact est nul.

a) Trouver la dérivée de la fonction .

b) Égalons la dérivée à zéro et trouvons les valeurs dans lesquelles la tangente est parallèle à l'axe :

En assimilant chaque facteur à zéro, on obtient :

Réponse : 0 ; 3 ; 5

3. Écrire des équations pour les tangentes au graphique d'une fonction , parallèle direct .

Une tangente est parallèle à une droite. La pente de cette droite est de -1. Puisque la tangente est parallèle à cette ligne, la pente de la tangente est également -1. C'est on connaît la pente de la tangente, et, par conséquent, valeur dérivée au point de tangence.

C'est le deuxième type de problème pour trouver l'équation de la tangente.

On nous donne donc la fonction et la valeur de la dérivée au point de tangence.

a) Trouvez les points auxquels la dérivée de la fonction est égale à -1.

Tout d’abord, trouvons l’équation dérivée.

Assumons la dérivée au nombre -1.

Trouvons la valeur de la fonction au point.

(par condition)

.

b) Trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point .

Trouvons la valeur de la fonction au point.

(sous conditions).

Remplaçons ces valeurs dans l'équation tangente :

.

Répondre:

4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe , passant par un point

Tout d’abord, vérifions si le point est un point tangent. Si un point est un point tangent, alors il appartient au graphique de la fonction et ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de la fonction. Remplaçons les coordonnées du point dans l'équation de la fonction.

Titre="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} n'est pas un point de contact.

C'est le dernier type de problème pour trouver l'équation tangente. Tout d'abord il faut trouver l'abscisse du point tangent.

Trouvons la valeur.

Soyons le point de contact. Le point appartient à la tangente au graphique de la fonction. Si nous substituons les coordonnées de ce point dans l'équation tangente, nous obtenons l'égalité correcte :

.

La valeur de la fonction en un point est .

Trouvons la valeur de la dérivée de la fonction au point.

Tout d’abord, trouvons la dérivée de la fonction. Ce .

La dérivée en un point est égale à .

Remplaçons les expressions pour et dans l'équation tangente. On obtient l'équation pour :

Résolvons cette équation.

Réduisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 :

Ramenons le côté droit de l’équation à un dénominateur commun. On obtient :

Simplifions le numérateur de la fraction et multiplions les deux côtés par - cette expression est strictement supérieure à zéro.

On obtient l'équation

Résolvons-le. Pour ce faire, mettons les deux parties au carré et passons au système.

Titre="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Résolvons la première équation.

Résolvons l'équation quadratique, nous obtenons

La deuxième racine ne satisfait pas à la condition title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Écrivons l'équation de la tangente à la courbe au point. Pour ce faire, remplacez la valeur dans l'équation - Nous l'avons déjà enregistré.

Répondre:
.