Comment résoudre les propriétés des fonctions. Fonctions élémentaires de base et leurs propriétés

Fournit des données de référence sur la fonction exponentielle : propriétés de base, graphiques et formules. Les sujets suivants sont abordés : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonie, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement en séries entières et représentation à l'aide de nombres complexes.

Définition

Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égaux à a :
oui (n) = une n = a·a·a···a,
à l'ensemble des nombres réels x :
oui (x) = hache.
Ici a est un nombre réel fixe, appelé base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est également appelée exposant pour baser un.

La généralisation s'effectue comme suit.
Pour naturel x = 1, 2, 3,... , la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. Pour les valeurs nulles et négatives d'entiers, la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour Real, la fonction exponentielle est définie comme la limite de la séquence :
,
où est une séquence arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout et satisfait les propriétés (1,5-8), comme pour x naturel.

Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et de la preuve de ses propriétés est donnée sur la page « Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle ».

Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1) défini et continu, pour , pour tous ;
(1.2) pour un ≠ 1 a de nombreuses significations ;
(1.3) augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Autres formules utiles.
.
Formule de conversion en fonction exponentielle avec une base d'exposant différente :

Lorsque b = e, on obtient l'expression de la fonction exponentielle par l'exponentielle :

Valeurs privées

, , , , .

La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
oui (x) = hache
pour quatre valeurs bases de diplômes: une = 2 , une = 8 , une = 1/2 et un = 1/8 . 1 On peut voir que pour un > 0 < a < 1 la fonction exponentielle augmente de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À

Ascendant, descendant

La fonction exponentielle est strictement monotone et n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

	y = une x , une > 1	y = hache, 0 < a < 1
Domaine de définition	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	augmente de façon monotone	diminue de façon monotone
Des zéros, y = 0	Non	Non
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction exponentielle de base a est le logarithme de base a.

Si, alors
.
Si, alors
.

Différenciation d'une fonction exponentielle

Pour différencier une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer la table des dérivées et la règle de différenciation d'une fonction complexe.

Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.

Soit une fonction exponentielle :
.
On l'amène à la base e :

Appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes. Pour ce faire, introduisez la variable

Alors

Du tableau des dérivées nous avons (remplacer la variable x par z) :
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est égale à
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.

Dérivée d'une fonction exponentielle

.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle

Trouver la dérivée d'une fonction
y = 3 5 fois

Solution

Exprimons la base de la fonction exponentielle par le nombre e.
3 = e ln 3
Alors
.
Entrez une variable
.
Alors

Du tableau des dérivées on trouve :
.
Depuis 5ln3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est égale à :
.
D’après la règle de différenciation d’une fonction complexe, on a :
.

Répondre

Intégral

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction nombre complexe z:
f (z) = une z
où z = x + iy ; 2 = - 1 .
je
Exprimons la constante complexe a en termes de module r et d'argument φ :
Alors


.
une = r e je φ
φ = φ L'argument φ n'est pas défini de manière unique. En général,
0 + 2 n où n est un entier. Donc la fonction f(z)
.

n'est pas clair non plus. Sa signification principale est souvent considérée

.

Extension de la série
Littérature utilisée :

DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009..

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides x Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides(variable ), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui

, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels..

2) Zéros de fonction

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x).

Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée. X Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x

)..

Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est vrai : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques 1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. Nombre

UN

appelée pente de la droite, elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à la direction positive de l'axe des x. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.

Propriétés d'une fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique

Limites et continuité

Ensembles

Sous beaucoup est compris comme une collection d’objets homogènes. Les objets qui forment un ensemble sont appelés éléments ou points de cette multitude. Les ensembles sont désignés par des lettres majuscules et leurs éléments par des lettres minuscules. Si un est un élément de l'ensemble UN, alors l'entrée est utilisée unÎ UN. Si b n'est pas un élément de l'ensemble UN, alors ça s'écrit comme ceci : b Ï UN. Un ensemble qui ne contient pas un seul élément est appelé un ensemble vide et est noté comme suit : Ø.

Si l'ensemble B se compose d'une partie des éléments de l'ensemble UN ou coïncide avec lui, alors l'ensemble B appelé sous-ensemble ensembles et désignent BÌ UN.

Les deux ensembles s'appellent égal, s'ils sont constitués des mêmes éléments.

Association deux ensembles UN Et B appelé un ensemble C, constitué de tous les éléments appartenant à au moins un des ensembles : C=UNÈ B.

En traversant deux ensembles UN Et B appelé un ensemble C, constitué de tous les éléments appartenant à chacun de ces ensembles : C=UNÇ B.

Par différence ensembles UN Et B appelé un ensemble E UN, qui n'appartiennent pas à l'ensemble B: .

Supplément ensembles UNÌ B appelé un ensemble C, composé de tous les éléments de l'ensemble B, n'appartenant pas UN.

Les ensembles dont les éléments sont des nombres réels sont appelés numérique:

En même temps NÌ ZÌ QÌ R., jeÌ R. Et R.=jeÈ Q.

Beaucoup X, dont les éléments satisfont à l'inégalité est appelé segment(segment) et est noté [ un; b]; inégalité un<Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides<b – intervalle et est noté () ; les inégalités et - demi-intervalles et sont désignés par et respectivement. Vous devez aussi souvent composer avec des intervalles et demi-intervalles infinis : , , , et . C'est pratique de tous les appeler à intervalles .

Intervalle, c'est-à-dire ensemble de points satisfaisant l'inégalité (où ), s'appelle le -voisinage du point un.

La notion de fonction. Propriétés de base d'une fonction

Si chaque élément Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ensembles X un seul élément correspond déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles ensembles Oui, puis ils disent ça sur le plateau X donné fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides). En même temps Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides appelé variable indépendante ou argument, UN déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles – variable dépendante ou fonction, UN f désigne la loi de la correspondance. Beaucoup X appelé domaine de définition fonctions, et un ensemble Oui – plage de valeurs fonctions.

Il existe plusieurs façons de spécifier des fonctions.

1) Méthode analytique - la fonction est donnée par une formule de la forme déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides).

2) Méthode tabulaire - la fonction est spécifiée par un tableau contenant les valeurs des arguments et les valeurs de la fonction correspondantes déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides).

3) Méthode graphique - représentant un graphique d'une fonction, c'est-à-dire ensemble de points ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides; déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles) plan de coordonnées dont les abscisses représentent les valeurs de l'argument, et les ordonnées représentent les valeurs correspondantes de la fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides).

4) Méthode verbale - une fonction est décrite par la règle de sa composition. Par exemple, la fonction Dirichlet prend la valeur 1 si Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides est un nombre rationnel et 0 si Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides– nombre irrationnel.

Les principales propriétés suivantes des fonctions sont distinguées.

1 Pair et impair Fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) s'appelle même, si pour des valeurs Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides de son domaine de définition est satisfait f(–Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides)=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides), Et impair, Si f(–Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides)=–f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides). Si aucune des égalités énumérées n’est satisfaite, alors déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) s'appelle fonction générale. Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy, et le graphique de la fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

2 Monotonie Fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) s'appelle croissant (décroissant) sur l'intervalle X, si une valeur d'argument plus grande de cet intervalle correspond à une valeur de fonction plus grande (plus petite). Laisser Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 ,Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 î X, Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 >Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1. Alors la fonction augmente sur l'intervalle X, Si f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2)>f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1), et diminue si f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2)<f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1).

Outre les fonctions croissantes et décroissantes, les fonctions non décroissantes et non croissantes sont prises en compte. La fonction s'appelle non décroissant (non croissant), si à Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 ,Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 î X, Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 >Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 inégalité est vraie f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2)≥f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1) (f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2)≤f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1)).

Les fonctions croissantes et décroissantes, ainsi que les fonctions non croissantes et non décroissantes sont dites monotones.

3 Limité Fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) est dit borné sur l’intervalle X, s'il existe un nombre aussi positif M>0, quoi | f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides)|≤M pour n'importe qui Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et validesÎ X. Sinon la fonction est dite illimitée X.

4 Fréquence Fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) est appelé périodique avec un point T≠0, le cas échéant Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides du domaine de la fonction f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides+T)=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides). Dans ce qui suit, par période on entend la plus petite période positive d'une fonction.

La fonction s'appelle explicite, s'il est donné par une formule de la forme déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides). Si la fonction est donnée par l'équation F(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides, déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles)=0, non autorisé par rapport à la variable dépendante déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles, alors on l'appelle implicite.

Laisser déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides) est fonction de la variable indépendante définie sur l'ensemble X avec portée Oui. Faisons correspondre chacun déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réellesÎ Oui sens unique Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et validesÎ X, à laquelle f(Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides)=déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles.Puis la fonction résultante Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides=φ (déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles), défini sur l'ensemble Oui avec portée X, appelé inverse et est désigné déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f –1 (Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides). Les graphiques des fonctions mutuellement inverses sont symétriques par rapport à la bissectrice des premier et troisième quartiers de coordonnées.

Laissez la fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(toi) est fonction d'une variable toi, défini sur l'ensemble U avec portée Oui, et la variable toià son tour est une fonction toi=φ (Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides), défini sur l'ensemble X avec portée U. Puis donné sur le plateau X fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=f(φ (Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides)) s'appelle fonction complexe(composition de fonctions, superposition de fonctions, fonction d'une fonction).

Fonctions élémentaires

Les principales fonctions élémentaires comprennent :

• fonction de puissance déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=xn; déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=x-n Et déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1/ n;
• fonction exponentielle déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=un x;
• fonction logarithmique déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=journal un x;
• fonctions trigonométriques déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles= péché Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides, déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=cos Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides, déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=tg Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides Et déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=ctg Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides;
• fonctions trigonométriques inverses déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles= arc sinus Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides, déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=arccos Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides, déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=arctg Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides Et déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles=arcctg Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides.

A partir des fonctions élémentaires de base, de nouvelles fonctions peuvent être obtenues par opérations algébriques et superposition de fonctions.

Les fonctions construites à partir de fonctions élémentaires de base utilisant un nombre fini d'opérations algébriques et un nombre fini d'opérations de superposition sont appelées élémentaire.

Algébrique est une fonction dans laquelle un nombre fini d'opérations algébriques sont effectuées sur l'argument. Les fonctions algébriques comprennent :

· une fonction rationnelle entière (polynôme ou polynôme)

· fonction fractionnaire-rationnelle (rapport de deux polynômes)

· fonction irrationnelle (si les opérations sur l'argument incluent l'extraction de la racine).

Toute fonction non algébrique est appelée transcendantal. Les fonctions transcendantales comprennent les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses.

Fonctions et leurs propriétés

La fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants.Fonction Ils appellent une telle dépendance de la variable y sur la variable x dans laquelle chaque valeur de la variable x correspond à une seule valeur de la variable y.

Variable X appelé variable indépendante ou argument. Variable à appelé variable dépendante. Ils disent aussi quela variable y est fonction de la variable x. Les valeurs de la variable dépendante sont appeléesvaleurs de fonction.

Si la dépendance de la variableà à partir d'une variableX est une fonction, alors elle peut s'écrire brièvement comme suit :oui= f( x ). (Lire:à est égalf depuisX .) Symbolef( x) désigne la valeur de la fonction correspondant à la valeur de l'argument égale àX .

Toutes les valeurs de la forme variable indépendantedomaine d'une fonction . Toutes les valeurs que prend la variable dépendanteplage de fonctions .

Si une fonction est spécifiée par une formule et que son domaine de définition n'est pas spécifié, alors le domaine de définition de la fonction est considéré comme constitué de toutes les valeurs de l'argument pour lequel la formule a un sens.

Méthodes de spécification d'une fonction :

1. méthode analytique (la fonction est spécifiée à l'aide d'une formule mathématique ;

2.méthode tabulaire (la fonction est spécifiée à l'aide d'un tableau)

3. méthode descriptive (la fonction est précisée par une description verbale)

4. méthode graphique (la fonction est spécifiée à l'aide d'un graphique).

Graphique de fonction nommer l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument, et les ordonnées - valeurs de fonction correspondantes.

PROPRIÉTÉS DE BASE DES FONCTIONS

1. Zéros de fonction

Le zéro d'une fonction est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

2. Intervalles de signe constant d'une fonction

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

3. Fonction croissante (décroissante).

Croissant dans un certain intervalle, une fonction est une fonction pour laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Fonction y = f ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) appelé croissant sur l'intervalle (UN; b ), si pour quelque chose Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 Et Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 de cet intervalle tel queLe domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 < Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 , l'inégalité est vraief ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 )< f ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 ).

Descendant dans un certain intervalle, une fonction est une fonction pour laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

Fonction à = f ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) appelé décroissant sur l'intervalle (UN; b ) , si pour quelque Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 Et Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 de cet intervalle tel que Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 < Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 , l'inégalité est vraief ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 1 )> f ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 ).

4. Fonction paire (impaire)

Même fonction - une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour toutX du domaine de la définition l'égalitéf (- Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) = f ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) . Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Par exemple, y = x 2 - même fonction.

Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f (- Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) = - f (Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Par exemple : y = x 3 - fonction étrange .

Une fonction de forme générale n’est ni paire ni impaire (y = x 2 +x ).

Propriétés de certaines fonctions et leurs graphiques

1. Fonction linéaire appelée fonction de la forme , Où k Et b – des chiffres.

Le domaine d'une fonction linéaire est un ensembleR. des chiffres réels.

Graphique d'une fonction linéaireà = kx + b ( k ≠ 0) est une droite passant par le point (0;b ) et parallèle à la ligneà = kx .

Droit, non parallèle à l'axeOh, est le graphique d'une fonction linéaire.

Propriétés d'une fonction linéaire.

1. Quand k > 0 fonction à = kx + b

2. Quand k < 0 fonction y = kx + b décroissante dans le domaine de la définition.

déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = kx + b ( k ≠ 0 ) est la droite numérique entière, c'est-à-dire beaucoupR. des chiffres réels.

À k = 0 ensemble de valeurs de fonctiony = kx + b se compose d'un numérob .

3. Quand b = 0 et k = 0 la fonction n'est ni paire ni impaire.

À k = 0 fonction linéaire a la formey = b et à b ≠ 0 c'est même.

À k = 0 et b = 0 fonction linéaire a la formey = 0 et est à la fois pair et impair.

Graphique d'une fonction linéairey = b est une droite passant par le point (0; b ) et parallèle à l'axeOh. Notez que lorsque b = 0 graphique de fonctiony = b coïncider avec l'axe Oh .

5. Quand k > 0 nous avons ça à> 0, si et à< 0 si . À k < 0 nous avons que y > 0 si et à< 0, если .

2. Fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2

R.des chiffres réels.

Donner une variableX plusieurs valeurs du domaine de la fonction et calcul des valeurs correspondantesà selon la formule déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 , nous représentons le graphique de la fonction.

Graphique d'une fonction déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 appelé parabole.

Propriétés de la fonction y = x 2 .

1. Si X= 0, alors y = 0, c'est-à-dire La parabole a un point commun avec les axes de coordonnées (0 ; 0) - l'origine des coordonnées.

2. Si x ≠ 0 , Que à > 0, c'est-à-dire tous les points de la parabole, à l'exception de l'origine, se trouvent au-dessus de l'axe des x.

3. Ensemble de valeurs de fonctionà = X 2 est la fonction spanà = X 2 diminue.

X

3.Fonction

Le domaine de cette fonction est la fonction spandéterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = | Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides | diminue.

7. La fonction prend sa plus petite valeur au pointX, il est égal à 0. Il n’y a pas de plus grande valeur.

6. Fonction

Portée de la fonction : .

Plage de fonctions : .

Le graphique est une hyperbole.

1. Fonction zéros.

oui ≠ 0, pas de zéros.

2. Intervalles de constance des signes,

Si k > 0, alors à> 0 à X > 0; à < 0 при X < О.

Si k < 0, то à < 0 при X > 0; à> 0 à X < 0.

3. Intervalles d'augmentation et de diminution.

Si k > 0, alors la fonction décroît à mesure .

Si k < 0, то функция возрастает при .

4. Fonction paire (impaire).

La fonction est étrange.

Trinôme carré

Équation de la forme hache 2 + bx + c = 0, où un , b Et Avec - quelques chiffres, etune≠ 0, appelé carré.

Dans une équation quadratiquehache 2 + bx + c = 0 coefficient est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. appelé le premier coefficient b - seconds coefficients, avec - membre gratuit.

La formule des racines d’une équation quadratique est :

.

L'expression s'appelle discriminant équation quadratique et est notéD .

Si D = 0, alors il n'y a qu'un seul nombre qui satisfait l'équation hache 2 + bx + c = 0. Cependant, nous avons convenu de dire que dans ce cas l'équation quadratique a deux racines réelles égales, et le nombre lui-même appelé double racine.

Si D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Si D > 0, alors l'équation quadratique a deux racines réelles différentes.

Soit une équation quadratiquehache 2 + bx + c = 0. Depuis une≠ 0, puis en divisant les deux côtés de cette équation parUN, on obtient l'équation . Croire Et , on arrive à l'équation , dans laquelle le premier coefficient est égal à 1. Cette équation est appeléedonné.

La formule des racines de l’équation quadratique ci-dessus est :

.

Équations de la forme

est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 + bx = 0, hache 2 + s = 0, est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides 2 = 0

sont appelés équations quadratiques incomplètes. Les équations quadratiques incomplètes sont résolues en factorisant le côté gauche de l'équation.

Théorème de Vieta .

La somme des racines d'une équation quadratique est égale au rapport du deuxième coefficient au premier, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est le rapport du terme libre au premier coefficient, c'est-à-dire

Théorème inverse.

Si la somme de deux nombresX 1 Et X 2 égal à , et leur produit est égal, alors ces nombres sont les racines de l'équation quadratiqueOh 2 + b x + c = 0.

Fonction du formulaire Oh 2 + b x + c appelé trinôme carré. Les racines de cette fonction sont les racines de l'équation quadratique correspondanteOh 2 + b x + c = 0.

Si le discriminant d'un trinôme quadratique est supérieur à zéro, alors ce trinôme peut être représenté comme suit :

Oh 2 + b x + c = une(x-x 1 )(x-x 2 )

Où X 1 Et X 2 - les racines du trinôme

Si le discriminant d'un trinôme quadratique est nul, alors ce trinôme peut être représenté comme suit :

Oh 2 + b x + c = une(x-x 1 ) 2

Où X 1 - la racine du trinôme.

Par exemple, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Équation de la forme Oh 4 + b X 2 + s= 0 est appelé biquadratique. Utilisation du remplacement de variable à l'aide de la formuleX 2 = déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles cela se réduit à une équation quadratiqueest appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles 2 + par + c = 0.

Fonction quadratique

Fonction quadratique est une fonction qui peut être écrite par une formule de la formedéterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles = hache 2 + bx + c , Où Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides – variable indépendante,un , b Et c – quelques chiffres, etun ≠ 0.

Les propriétés de la fonction et le type de son graphique sont déterminés principalement par les valeurs du coefficientun et discriminant.

Propriétés d'une fonction quadratique

Portée:R.;

Plage de valeurs :

à est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. > 0 [- D/(4 un); ∞)

à est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. < 0 (-∞; - D/(4 un)];

Pair, impair :

à b = 0 fonction paire

à b ≠ La fonction 0 n'est ni paire ni impaire

à D> 0 deux zéros : ,

à D= 0 un zéro :

à D < 0 нулей нет

Intervalles de constance des signes :

si a > 0, D> 0, alors

si a > 0, D= 0, alors

e si a > 0, D < 0, то

si un< 0, D> 0, alors

si un< 0, D= 0, alors

si un< 0, D < 0, то

- Intervalles de monotonie

pour un > 0

à un< 0

Le graphique d'une fonction quadratique estparabole – une courbe symétrique par rapport à une droite passant par le sommet de la parabole (le sommet de la parabole est le point d'intersection de la parabole avec l'axe de symétrie).

Pour représenter graphiquement une fonction quadratique, vous avez besoin de :

1) trouver les coordonnées du sommet de la parabole et le marquer dans le plan de coordonnées ;

2) construire plusieurs points supplémentaires appartenant à la parabole ;

3) reliez les points marqués avec une ligne lisse.

Les coordonnées du sommet de la parabole sont déterminées par les formules :

; .

Conversion de graphiques de fonctions

1. Étirage graphiquey = x 2 le long de l'axeà V|une| fois (à|une| < 1 est une compression de 1/|une| une fois).

Si, et< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (les branches de la parabole seront dirigées vers le bas).

Résultat: graphique d'une fonctiony = ah 2 .

2. Transfert parallèle graphiques de fonctionsy = ah 2 le long de l'axeX sur| m | (à droite quand

m > 0 et vers la gauche quandT< 0).

Résultat : graphique de fonctiony = une(x - t) 2 .

3. Transfert parallèle graphiques de fonctions le long de l'axeà sur| n | (jusqu'àp> 0 et vers le bas àn< 0).

Résultat : graphique de fonctiony = une(x - t) 2 +p.

Inégalités quadratiques

Inégalités de formeOh 2 + b x + c > 0 etOh 2 + bx + c< 0, oùX - variable,un , b EtAvec - quelques chiffres, etune≠ 0 sont appelées inégalités du deuxième degré à une variable.

La résolution d’une inégalité du deuxième degré dans une variable peut être considérée comme la recherche des intervalles dans lesquels la fonction quadratique correspondante prend des valeurs positives ou négatives.

Résoudre les inégalités de la formeOh 2 + bx + c > 0 etOh 2 + bx + c< 0 procédez comme suit :

1) trouver le discriminant du trinôme quadratique et découvrir si le trinôme a des racines ;

2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axeX et à travers les points marqués, une parabole est dessinée schématiquement, dont les branches sont dirigées vers le haut versest appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. > 0 ou vers le bas quandUN< 0 ; si le trinôme n'a pas de racines, alors représentez schématiquement une parabole située dans le demi-plan supérieur àest appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. > 0 ou moins àest appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels. < 0;

3) trouvé sur l'axeX intervalles pour lesquels les points de la parabole sont situés au-dessus de l'axeX (si l'inégalité est résolueOh 2 + bx + c > 0) ou en dessous de l'axeX (si l'inégalité est résolueOh 2 + bx + c < 0).

Exemple:

Résolvons les inégalités .

Considérez la fonction

Son graphique est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (puisque ).

Voyons comment se situe le graphique par rapport à l'axeX. Résolvons l'équation pour cela . Nous obtenons celaX = 4. L’équation a une racine unique. Cela signifie que la parabole touche l'axeX.

Après avoir schématisé une parabole, nous constatons que la fonction prend des valeurs négatives pour toutX, sauf 4.

La réponse peut s'écrire ainsi :X - tout nombre non égal à 4.

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

diagramme de solution

1. Trouver des zéros fonction du côté gauche de l’inégalité.

2. Marquez la position des zéros sur l'axe des nombres et déterminez leur multiplicité (Sik je est pair, alors zéro est de multiplicité paire sik je impair est impair).

3. Trouver les signes de la fonction dans les intervalles entre ses zéros, en partant de l'intervalle le plus à droite : dans cet intervalle la fonction du côté gauche de l'inégalité est toujours positive pour la forme donnée des inégalités. Lors du déplacement de droite à gauche en passant par le zéro d'une fonction d'un intervalle à un intervalle adjacent, il faut prendre en compte :

si zéro est impair multiplicité, le signe de la fonction change,

si zéro est pair multiplicité, le signe de la fonction est conservé.

4. Écrivez la réponse.

Exemple:

(x + 6) (x + 1) (X- 4) < 0.

Zéros de fonction trouvés. Ils sont égaux :X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Marquons les zéros de la fonction sur la ligne de coordonnéesf ( Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides ) = (x + 6) (x + 1) (X- 4).

Retrouvons les signes de cette fonction dans chacun des intervalles (-∞ ; -6), (-6 ; -1), (-1 ; 4) et

Il ressort clairement de la figure que l'ensemble des solutions à l'inégalité est l'union des intervalles (-∞ ; -6) et (-1 ; 4).

Réponse : (-∞ ; -6) et (-1; 4).

La méthode considérée pour résoudre les inégalités s'appelleméthode d'intervalle.