Quelle quantité physique est un scalaire, elle est un vecteur. Quantité vectorielle en physique : définition, notation, exemples

Dans les cours de physique, on rencontre souvent des grandeurs pour lesquelles il suffit de connaître uniquement des valeurs numériques pour les décrire. Par exemple, masse, temps, longueur.

Les grandeurs caractérisées uniquement par une valeur numérique sont appelées scalaire ou scalaires.

En plus des grandeurs scalaires, on utilise des grandeurs qui ont à la fois une valeur numérique et une direction. Par exemple, vitesse, accélération, force.

Les grandeurs caractérisées par une valeur numérique et une direction sont appelées vecteur ou vecteurs.

Les quantités vectorielles sont indiquées par les lettres correspondantes avec une flèche en haut ou en gras. Par exemple, le vecteur force est noté \(\vec F\) ou F . La valeur numérique d'une quantité vectorielle est appelée module ou longueur du vecteur. La valeur du vecteur force est notée F ou \(\left|\vec F \right|\).

Image vectorielle

Les vecteurs sont représentés par des segments orientés. Le début du vecteur est le point à partir duquel commence le segment dirigé (point UN sur la fig. 1), la fin du vecteur est le point où se termine la flèche (point B sur la fig. 1).

Riz. 1.

Les deux vecteurs sont appelés égal, s'ils ont la même longueur et sont dirigés dans la même direction. De tels vecteurs sont représentés par des segments dirigés ayant les mêmes longueurs et directions. Par exemple, sur la Fig. 2 montre les vecteurs \(\vec F_1 =\vec F_2\).

Riz. 2.

Lorsque deux vecteurs ou plus sont représentés dans un dessin, les segments sont construits à une échelle présélectionnée. Par exemple, sur la Fig. La figure 3 montre des vecteurs dont les longueurs sont \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s.

Riz. 3.

Méthode de spécification d'un vecteur

Sur un plan, un vecteur peut être spécifié de plusieurs manières :

1. Spécifiez les coordonnées du début et de la fin du vecteur. Par exemple, le vecteur \(\Delta\vec r\) de la Fig. 4 est donné par les coordonnées du début du vecteur – (2, 4) (m), la fin – (6, 8) (m).

Riz. 4.

2. Indiquez la norme du vecteur (sa valeur) et l'angle entre la direction du vecteur et une direction présélectionnée sur le plan. Souvent pour cette direction dans le sens positif de l'axe 0 X. Les angles mesurés dans cette direction dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sont considérés comme positifs. Sur la fig. 5 vecteur \(\Delta\vec r\) est donné par deux nombres b et \(\alpha\) , indiquant la longueur et la direction du vecteur.

Riz. 5.

La physique et les mathématiques ne peuvent se passer du concept de « quantité vectorielle ». Vous devez le connaître et le reconnaître, et également être capable de fonctionner avec lui. Vous devez absolument l'apprendre pour ne pas vous tromper et faire des erreurs stupides.

Comment distinguer une grandeur scalaire d’une grandeur vectorielle ?

Le premier n’a toujours qu’une seule caractéristique. C'est sa valeur numérique. La plupart des quantités scalaires peuvent prendre des valeurs positives et négatives. Des exemples en sont la charge électrique, le travail ou la température. Mais il existe des scalaires qui ne peuvent pas être négatifs, par exemple la longueur et la masse.

Une grandeur vectorielle, outre une grandeur numérique, toujours prise modulo, est également caractérisée par une direction. Par conséquent, il peut être représenté graphiquement, c'est-à-dire sous la forme d'une flèche dont la longueur est égale à la valeur absolue dirigée dans une certaine direction.

Lors de l'écriture, chaque grandeur vectorielle est indiquée par une flèche sur la lettre. Si nous parlons d'une valeur numérique, alors la flèche n'est pas écrite ou elle est prise modulo.

Quelles actions sont le plus souvent effectuées avec des vecteurs ?

Tout d’abord, une comparaison. Ils peuvent être égaux ou non. Dans le premier cas, leurs modules sont les mêmes. Mais ce n’est pas la seule condition. Ils doivent également avoir des directions identiques ou opposées. Dans le premier cas, il faut les appeler vecteurs égaux. Dans la seconde, ils s'avèrent opposés. Si au moins une des conditions spécifiées n’est pas remplie, alors les vecteurs ne sont pas égaux.

Vient ensuite l’ajout. Il peut être réalisé selon deux règles : un triangle ou un parallélogramme. Le premier prescrit de licencier d'abord un vecteur, puis le second à partir de sa fin. Le résultat de l'addition sera celui qu'il faudra tirer du début du premier à la fin du second.

La règle du parallélogramme peut être utilisée lors de l'ajout de quantités vectorielles en physique. Contrairement à la première règle, ils doivent ici être reportés d'un point. Ensuite, construisez-les jusqu'à former un parallélogramme. Le résultat de l'action doit être considéré comme la diagonale du parallélogramme tiré du même point.

Si une quantité vectorielle est soustraite d’une autre, alors elle est à nouveau tracée à partir d’un point. Seul le résultat sera un vecteur qui coïncide avec ce qui est tracé de la fin du second à la fin du premier.

Quels vecteurs sont étudiés en physique ?

Il y en a autant que de scalaires. Vous pouvez simplement vous rappeler quelles quantités vectorielles existent en physique. Ou connaissez les signes par lesquels ils peuvent être calculés. Pour ceux qui préfèrent la première option, ce tableau sera utile. Il contient le vecteur principal

Maintenant, un peu plus sur certaines de ces quantités.

La première quantité est la vitesse

Cela vaut la peine de commencer par des exemples de quantités vectorielles. Cela est dû au fait qu’il figure parmi les premiers à être étudiés.

La vitesse est définie comme une caractéristique du mouvement d'un corps dans l'espace. Il définit la valeur numérique et la direction. La vitesse est donc une quantité vectorielle. De plus, il est d'usage de le diviser en types. Le premier est la vitesse linéaire. Il est introduit lorsqu’on considère un mouvement uniforme rectiligne. Dans ce cas, il s'avère égal au rapport du chemin parcouru par le corps au temps de mouvement.

La même formule peut être utilisée pour des mouvements inégaux. Ce n'est qu'alors que ce sera moyen. De plus, l'intervalle de temps qui doit être choisi doit être le plus court possible. Lorsque l'intervalle de temps tend vers zéro, la valeur de la vitesse est déjà instantanée.

Si un mouvement arbitraire est considéré, alors la vitesse est toujours une quantité vectorielle. Après tout, il doit être décomposé en composantes dirigées le long de chaque vecteur dirigeant les lignes de coordonnées. De plus, il est défini comme la dérivée du rayon vecteur pris par rapport au temps.

La deuxième quantité est la force

Il détermine la mesure de l'intensité de l'impact exercé sur le corps par d'autres corps ou champs. Puisque la force est une quantité vectorielle, elle a nécessairement sa propre ampleur et sa propre direction. Puisqu’elle agit sur le corps, le point sur lequel la force est appliquée est également important. Pour obtenir une représentation visuelle des vecteurs de force, vous pouvez vous référer au tableau suivant.

Une autre quantité vectorielle est également la force résultante. Elle est définie comme la somme de toutes les forces mécaniques agissant sur le corps. Pour le déterminer, il faut effectuer une addition selon le principe de la règle du triangle. Il suffit de disposer les vecteurs un à un à partir de la fin du précédent. Le résultat sera celui qui relie le début du premier à la fin du dernier.

La troisième quantité est le déplacement

Pendant le mouvement, le corps décrit une certaine ligne. C'est ce qu'on appelle une trajectoire. Cette ligne peut être complètement différente. Le plus important n’est pas son apparence, mais les points de départ et d’arrivée du mouvement. Ils sont reliés par un segment appelé traduction. C'est aussi une quantité vectorielle. De plus, il est toujours dirigé depuis le début du mouvement jusqu'au point où le mouvement a été arrêté. Il est généralement désigné par la lettre latine r.

Ici, la question suivante peut se poser : « Le chemin est-il une quantité vectorielle ? En général, cette affirmation n'est pas vraie. Le chemin est égal à la longueur de la trajectoire et n’a pas de direction spécifique. L'exception est la situation où elle est considérée dans une seule direction. Ensuite, l'amplitude du vecteur déplacement coïncide en valeur avec le chemin et leur direction s'avère être la même. Par conséquent, lorsque l’on considère un mouvement le long d’une ligne droite sans changer la direction du mouvement, le chemin peut être inclus dans des exemples de grandeurs vectorielles.

La quatrième quantité est l'accélération

C'est une caractéristique de la vitesse de changement de vitesse. De plus, l’accélération peut avoir des valeurs positives et négatives. Lors d’un déplacement en ligne droite, il est dirigé vers une vitesse plus élevée. Si le mouvement se produit le long d'une trajectoire courbe, alors son vecteur accélération est décomposé en deux composantes dont l'une est dirigée vers le centre de courbure le long du rayon.

On distingue les valeurs d'accélération moyenne et instantanée. Le premier doit être calculé comme le rapport entre le changement de vitesse sur une certaine période de temps et ce temps. Lorsque l’intervalle de temps considéré tend vers zéro, on parle d’accélération instantanée.

Cinquième valeur - élan

D'une autre manière, on l'appelle aussi quantité de mouvement. L'élan est une quantité vectorielle car il est directement lié à la vitesse et à la force appliquées au corps. Tous deux ont une direction et la donnent à l'impulsion.

Par définition, cette dernière est égale au produit de la masse corporelle et de la vitesse. En utilisant le concept de quantité de mouvement d’un corps, nous pouvons écrire différemment la célèbre loi de Newton. Il s'avère que le changement de quantité de mouvement est égal au produit de la force et d'une période de temps.

En physique, la loi de conservation de la quantité de mouvement joue un rôle important, selon laquelle dans un système fermé de corps, sa quantité de mouvement totale est constante.

Nous avons très brièvement énuméré quelles grandeurs (vecteurs) sont étudiées dans le cours de physique.

Problème d'impact inélastique

Condition. Il y a une plate-forme fixe sur les rails. Un chariot s'en approche à une vitesse de 4 m/s. et wagon - 10 et 40 tonnes, respectivement. La voiture heurte la plate-forme et un couplage automatique se produit. Il est nécessaire de calculer la vitesse du système « voiture-plate-forme » après l'impact.

Solution. Tout d'abord, vous devez saisir les notations suivantes : la vitesse de la voiture avant l'impact est v 1, la vitesse de la voiture avec la plate-forme après l'accouplement est v, la masse de la voiture est m 1, la masse de la plate-forme est m2. Selon les conditions du problème, il faut connaître la valeur de la vitesse v.

Les règles permettant de résoudre de telles tâches nécessitent une représentation schématique du système avant et après l'interaction. Il est raisonnable de diriger l'axe OX le long des rails dans la direction où le wagon se déplace.

Dans ces conditions, le système automobile peut être considéré comme fermé. Ceci est dû au fait que les forces externes peuvent être négligées. La gravité et sont équilibrés, et le frottement sur les rails n'est pas pris en compte.

Selon la loi de conservation de la quantité de mouvement, leur somme vectorielle avant l'interaction de la voiture et de la plate-forme est égale au total pour l'accouplement après l'impact. Au début, la plate-forme ne bougeait pas, son élan était donc nul. Seule la voiture bougeait, son élan était le produit de m 1 et v 1 .

Étant donné que l'impact était inélastique, c'est-à-dire que la voiture s'est connectée à la plate-forme, puis qu'ils ont commencé à rouler ensemble dans la même direction, l'impulsion du système n'a pas changé de direction. Mais son sens a changé. À savoir le produit de la somme de la masse de la voiture avec la plate-forme et de la vitesse souhaitée.

Vous pouvez écrire l'égalité suivante : m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Ce sera vrai pour la projection des vecteurs impulsionnels sur l'axe sélectionné. Il est facile d'en déduire l'égalité qui sera nécessaire pour calculer la vitesse souhaitée : v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

Selon les règles, les valeurs de masse doivent être converties de tonnes en kilogrammes. Par conséquent, lorsque vous les remplacez dans la formule, vous devez d’abord multiplier les quantités connues par mille. Des calculs simples donnent un chiffre de 0,75 m/s.

Répondre. La vitesse de la voiture avec la plateforme est de 0,75 m/s.

Problème de division du corps en plusieurs parties

Condition. La vitesse d'une grenade volante est de 20 m/s. Il se brise en deux morceaux. Le poids du premier est de 1,8 kg. Il continue de se déplacer dans la direction dans laquelle volait la grenade à une vitesse de 50 m/s. Le deuxième fragment a une masse de 1,2 kg. Quelle est sa vitesse ?

Solution. Soit les masses des fragments désignées par les lettres m 1 et m 2. Leurs vitesses seront respectivement v 1 et v 2. La vitesse initiale de la grenade est v. Le problème nécessite de calculer la valeur de v 2 .

Pour que le plus gros fragment continue à se déplacer dans la même direction que la grenade entière, le second doit voler dans la direction opposée. Si vous choisissez la direction de l'axe comme celle qui était lors de l'impulsion initiale, alors après la rupture, le gros fragment vole le long de l'axe et le petit vole contre l'axe.

Dans ce problème, il est permis d'utiliser la loi de conservation de l'impulsion du fait que la grenade explose instantanément. Par conséquent, malgré le fait que la gravité affecte la grenade et ses pièces, elle n'a pas le temps d'agir et de changer la direction du vecteur d'impulsion avec sa valeur absolue.

La somme des grandeurs vectorielles de l'impulsion après l'explosion de la grenade est égale à celle qui l'a précédée. Si on écrit la loi de conservation en projection sur l'axe OX, elle ressemblera à ceci : (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2 . À partir de là, il est facile d'exprimer la vitesse requise. Il sera déterminé par la formule : v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Après avoir remplacé les valeurs numériques et les calculs, nous obtenons 25 m/s.

Répondre. La vitesse du petit fragment est de 25 m/s.

Problème de prise de vue sous un angle

Condition. Un canon est monté sur une plateforme de masse M. Il tire un projectile de masse m. Il s'envole selon un angle α par rapport à l'horizon avec une vitesse v (donnée par rapport au sol). Vous devez connaître la vitesse de la plateforme après le tir.

Solution. Dans ce problème, vous pouvez utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement en projection sur l'axe OX. Mais seulement dans le cas où la projection des forces résultantes externes est égale à zéro.

Pour la direction de l'axe OX, vous devez sélectionner le côté où le projectile volera, et parallèle à la ligne horizontale. Dans ce cas, les projections des forces de gravité et la réaction du support sur OX seront égales à zéro.

Le problème sera résolu sous une forme générale, puisqu'il n'existe pas de données spécifiques pour des quantités connues. La réponse est une formule.

L'élan du système avant le tir était nul, puisque la plate-forme et le projectile étaient immobiles. Soit la vitesse souhaitée de la plate-forme soit désignée par la lettre latine u. Ensuite, son élan après le tir sera déterminé comme le produit de la masse et de la projection de la vitesse. Puisque la plate-forme reculera (dans la direction opposée à l'axe OX), la valeur de l'impulsion aura un signe moins.

L'impulsion d'un projectile est le produit de sa masse et de la projection de la vitesse sur l'axe OX. Du fait que la vitesse est dirigée selon un angle par rapport à l'horizon, sa projection est égale à la vitesse multipliée par le cosinus de l'angle. En égalité littérale, cela ressemblera à ceci : 0 = - Mu + mv * cos α. De là, par des transformations simples, on obtient la formule de réponse : u = (mv * cos α) / M.

Répondre. La vitesse de la plateforme est déterminée par la formule u = (mv * cos α) / M.

Problème de traversée de rivière

Condition. La largeur de la rivière sur toute sa longueur est la même et égale à l, ses rives sont parallèles. La vitesse d'écoulement de l'eau dans la rivière v 1 et la vitesse propre du bateau v 2 sont connues. 1). Lors de la traversée, la proue du bateau est dirigée strictement vers la rive opposée. Jusqu’où sera-t-il transporté en aval ? 2). Sous quel angle α doit-on orienter la proue du bateau pour qu'elle atteigne la rive opposée strictement perpendiculairement au point de départ ? Combien de temps faudra-t-il pour une telle traversée ?

Solution. 1). La vitesse totale du bateau est la somme vectorielle de deux grandeurs. Le premier d’entre eux est le débit de la rivière, qui se dirige le long des berges. La seconde est la vitesse propre du bateau, perpendiculaire aux rives. Le dessin produit deux triangles similaires. Le premier est constitué par la largeur du fleuve et la distance sur laquelle dérive le bateau. La seconde concerne les vecteurs vitesses.

D'eux découle l'entrée suivante : s / l = v 1 / v 2. Après la transformation, la formule de la valeur souhaitée est obtenue : s = l * (v 1 / v 2).

2). Dans cette version du problème, le vecteur vitesse totale est perpendiculaire aux rives. Il est égal à la somme vectorielle de v 1 et v 2. Le sinus de l'angle dont le vecteur vitesse propre doit s'écarter est égal au rapport des modules v 1 et v 2. Pour calculer le temps de trajet, vous devrez diviser la largeur de la rivière par la vitesse maximale calculée. La valeur de cette dernière est calculée à l'aide du théorème de Pythagore.

v = √(v 2 2 - v 1 2), alors t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Répondre. 1). s = l * (v1 / v2), 2). péché α = v 1 / v 2, t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Les grandeurs sont appelées scalaires (scalaires) si, après avoir choisi une unité de mesure, elles sont complètement caractérisées par un nombre. Des exemples de grandeurs scalaires sont l'angle, la surface, le volume, la masse, la densité, la charge électrique, la résistance et la température.

Il faut distinguer deux types de grandeurs scalaires : les scalaires purs et les pseudoscalaires.

3.1.1. Des scalaires purs.

Les scalaires purs sont entièrement définis par un seul nombre, indépendant du choix des axes de référence. Des exemples de scalaires purs sont la température et la masse.

3.1.2. Pseudoscalaires.

Comme les scalaires purs, les pseudoscalaires sont définis à l'aide d'un nombre unique dont la valeur absolue ne dépend pas du choix des axes de référence. Cependant, le signe de ce nombre dépend du choix des directions positives sur les axes de coordonnées.

Considérons, par exemple, un parallélépipède rectangle dont les projections des bords sur les axes de coordonnées rectangulaires sont respectivement égales. Le volume de ce parallélépipède est déterminé à l'aide du déterminant.

dont la valeur absolue ne dépend pas du choix des axes de coordonnées rectangulaires. Cependant, si vous changez la direction positive sur l'un des axes de coordonnées, le déterminant changera de signe. Le volume est un pseudoscalaire. L'angle, l'aire et la surface sont également des pseudoscalaires. Ci-dessous (section 5.1.8), nous verrons qu'un pseudoscalaire est en fait un tenseur d'un type particulier.

Quantités vectorielles

3.1.3. Axe.

Un axe est une droite infinie sur laquelle est choisie la direction positive. Supposons qu'une telle ligne droite et la direction de

est considéré comme positif. Considérons un segment sur cette droite et supposons que le nombre mesurant la longueur est égal à a (Fig. 3.1). Alors la longueur algébrique du segment est égale à a, la longueur algébrique du segment est égale à - a.

Si nous prenons plusieurs lignes parallèles, alors, après avoir déterminé la direction positive sur l'une d'elles, nous la déterminons ainsi sur le reste. La situation est différente si les droites ne sont pas parallèles ; il faut alors se mettre d'accord spécifiquement sur le choix de la direction positive pour chaque ligne droite.

3.1.4. Sens de rotation.

Laissez l'axe. On appellera rotation autour d'un axe positive ou directe si elle s'effectue pour un observateur se tenant dans la direction positive de l'axe, à droite et à gauche (Fig. 3.2). DANS sinon on l'appelle négatif ou inverse.

3.1.5. Trièdres directs et inverses.

Que ce soit un trièdre (rectangulaire ou non rectangulaire). Les directions positives sont sélectionnées sur les axes respectivement de O à x, de O à y et de O à z.

Les deux mots qui effraient les écoliers – vecteur et scalaire – ne font pas vraiment peur. Si vous abordez le sujet avec intérêt, alors tout peut être compris. Dans cet article, nous examinerons quelle quantité est vectorielle et laquelle est scalaire. Plus précisément, nous donnerons des exemples. Chaque étudiant a probablement remarqué qu'en physique, certaines quantités sont indiquées non seulement par un symbole, mais également par une flèche au sommet. Que veulent-ils dire ? Ceci sera discuté ci-dessous. Essayons de comprendre en quoi cela diffère du scalaire.

Exemples de vecteurs. Comment sont-ils désignés ?

Qu’entend-on par vecteur ? Ce qui caractérise le mouvement. Peu importe que ce soit dans l'espace ou dans un avion. Quelle quantité est une quantité vectorielle en général ? Par exemple, un avion vole à une certaine vitesse, à une certaine altitude, a une masse spécifique et commence à quitter l’aéroport avec l’accélération requise. Quel est le mouvement d'un avion ? Qu'est-ce qui l'a fait voler ? Bien sûr, l'accélération, la vitesse. Les quantités vectorielles du cours de physique en sont des exemples clairs. Pour parler franchement, une quantité vectorielle est associée au mouvement, au déplacement.

L’eau se déplace également à une certaine vitesse depuis le haut de la montagne. Voyez-vous ? Le mouvement ne s'effectue pas en volume ou en masse, mais en vitesse. Un joueur de tennis permet à la balle de se déplacer à l'aide d'une raquette. Il règle l'accélération. Soit dit en passant, la force appliquée dans ce cas est également une quantité vectorielle. Parce qu'il est obtenu grâce à des vitesses et des accélérations données. Le pouvoir peut également changer et mener des actions spécifiques. Le vent qui déplace les feuilles des arbres peut également être considéré comme un exemple. Parce qu'il y a de la vitesse.

Quantités positives et négatives

Une grandeur vectorielle est une grandeur qui a une direction dans l’espace environnant et une grandeur. Le mot effrayant réapparut, cette fois module. Imaginez que vous deviez résoudre un problème dans lequel une valeur d'accélération négative sera enregistrée. Dans la nature, il semblerait que les significations négatives n’existent pas. Comment la vitesse peut-elle être négative ?

Un vecteur a un tel concept. Cela s'applique, par exemple, aux forces appliquées au corps, mais ayant des directions différentes. Rappelez-vous le troisième où l'action est égale à la réaction. Les gars jouent à la corde. Une équipe porte des T-shirts bleus, l’autre des T-shirts jaunes. Ces derniers s'avèrent plus forts. Supposons que leur vecteur force soit dirigé positivement. En même temps, les premiers ne peuvent pas tirer sur la corde, mais ils essaient. Une force opposée surgit.

Quantité vectorielle ou scalaire ?

Parlons de la différence entre une quantité vectorielle et une quantité scalaire. Quel paramètre n’a pas de direction, mais a sa propre signification ? Listons ci-dessous quelques quantités scalaires :

Ont-ils tous une direction ? Non. Quelle quantité est vectorielle et laquelle est scalaire ne peut être montrée qu'avec des exemples visuels. En physique, de tels concepts existent non seulement dans la section « Mécanique, dynamique et cinématique », mais également dans le paragraphe « Électricité et magnétisme ». La force de Lorentz est aussi une quantité vectorielle.

Vecteur et scalaire dans les formules

Les manuels de physique contiennent souvent des formules comportant une flèche en haut. Rappelez-vous la deuxième loi de Newton. La force (« F » avec une flèche en haut) est égale au produit de la masse (« m ») et de l'accélération (« a » avec une flèche en haut). Comme mentionné ci-dessus, la force et l’accélération sont des quantités vectorielles, mais la masse est scalaire.

Malheureusement, toutes les publications ne portent pas la désignation de ces quantités. Cela a probablement été fait pour simplifier les choses afin que les écoliers ne soient pas induits en erreur. Il est préférable d'acheter les livres et ouvrages de référence qui indiquent les vecteurs dans les formules.

L'illustration montrera quelle quantité est une quantité vectorielle. Il est recommandé de prêter attention aux images et aux diagrammes dans les cours de physique. Les quantités vectorielles ont une direction. Où est-il dirigé ? Bien sûr, vers le bas. Cela signifie que la flèche sera affichée dans la même direction.

La physique est étudiée en profondeur dans les universités techniques. Dans de nombreuses disciplines, les enseignants parlent des quantités scalaires et vectorielles. De telles connaissances sont requises dans les domaines suivants : construction, transports, sciences naturelles.

Dans l'étude de diverses branches de la physique, de la mécanique et des sciences techniques, il existe des grandeurs entièrement déterminées en précisant leurs valeurs numériques, plus précisément, qui sont entièrement déterminées à l'aide d'un nombre obtenu à la suite de leur mesure par une grandeur homogène prise comme unité . De telles quantités sont appelées scalaire ou, en bref, des scalaires. Les quantités scalaires, par exemple, sont la longueur, la surface, le volume, le temps, la masse, la température corporelle, la densité, le travail, la capacité électrique, etc. Puisqu'une quantité scalaire est déterminée par un nombre (positif ou négatif), elle peut être tracée sur le axe de coordonnées correspondant. Par exemple, l'axe du temps, de la température, de la longueur (distance parcourue) et autres sont souvent construits.

En plus des grandeurs scalaires, dans divers problèmes, il existe des grandeurs pour lesquelles, en plus de leur valeur numérique, il faut également connaître leur direction dans l'espace. De telles quantités sont appelées vecteur. Des exemples physiques de grandeurs vectorielles peuvent être le déplacement d'un point matériel se déplaçant dans l'espace, la vitesse et l'accélération de ce point, ainsi que la force agissant sur lui, l'intensité du champ électrique ou magnétique. Les grandeurs vectorielles sont utilisées, par exemple, en climatologie. Regardons un exemple simple de la climatologie. Si nous disons que le vent souffle à une vitesse de 10 m/s, alors nous introduirons une valeur scalaire de la vitesse du vent, mais si nous disons que le vent du nord souffle à une vitesse de 10 m/s, alors dans ce cas Dans ce cas, la vitesse du vent sera déjà une quantité vectorielle.

Les quantités vectorielles sont représentées à l'aide de vecteurs.

Pour la représentation géométrique des quantités vectorielles, on utilise des segments orientés, c'est-à-dire des segments qui ont une direction fixe dans l'espace. Dans ce cas, la longueur du segment est égale à la valeur numérique de la grandeur vectorielle et sa direction coïncide avec la direction de la grandeur vectorielle. Le segment orienté caractérisant une quantité vectorielle donnée est appelé un vecteur géométrique ou juste un vecteur.

La notion de vecteur joue un rôle important tant en mathématiques que dans de nombreux domaines de la physique et de la mécanique. De nombreuses grandeurs physiques peuvent être représentées à l'aide de vecteurs, et cette représentation contribue très souvent à la généralisation et à la simplification des formules et des résultats. Souvent les grandeurs vectorielles et les vecteurs qui les représentent sont identifiés les uns aux autres : par exemple, on dit que la force (ou la vitesse) est un vecteur.

Des éléments de l'algèbre vectorielle sont utilisés dans des disciplines telles que : 1) les machines électriques ; 2) entraînement électrique automatisé ; 3) éclairage et irradiation électriques ; 4) circuits à courant alternatif non ramifiés ; 5) mécanique appliquée ; 6) mécanique théorique ; 7) physique ; 8) système hydraulique : 9) pièces de machine ; 10) résistance des matériaux ; 11) gestion ; 12) chimie ; 13) cinématique ; 14) statique, etc.

2. Définition d'un vecteur. Un segment de droite est défini par deux points égaux : ses extrémités. Mais on peut considérer un segment orienté défini par une paire ordonnée de points. On sait sur ces points lequel d'entre eux est le premier (début) et lequel est le second (fin).

Un segment orienté est compris comme une paire ordonnée de points, dont le premier - le point A - est appelé son début et le second - B - sa fin.

Puis sous vecteur dans le cas le plus simple, le segment dirigé lui-même est compris, et dans d'autres cas, différents vecteurs sont différentes classes d'équivalence de segments dirigés, déterminées par une relation d'équivalence spécifique. De plus, la relation d'équivalence peut être différente, déterminant le type de vecteur (« libre », « fixe », etc.). En termes simples, au sein d'une classe d'équivalence, tous les segments orientés qui y sont inclus sont traités comme complètement égaux et chacun peut également représenter la classe entière.

Les vecteurs jouent un rôle important dans l'étude des transformations infinitésimales de l'espace.

Définition 1. Nous appellerons un segment orienté (ou, ce qui revient au même, une paire ordonnée de points) vecteur. La direction du segment est généralement indiquée par une flèche. Lors de l'écriture, une flèche est placée au dessus de la lettre de désignation du vecteur, par exemple : (dans ce cas, la lettre correspondant au début du vecteur doit être placée devant). Dans les livres, les lettres désignant un vecteur sont souvent saisies en gras, par exemple : UN.

Nous inclurons également comme vecteurs ce qu'on appelle le vecteur zéro, dont le début et la fin coïncident.

Un vecteur dont le début coïncide avec sa fin est appelé zéro. Le vecteur zéro est simplement noté 0.

La distance entre le début et la fin d'un vecteur est appelée son longueur(et aussi module et valeur absolue). La longueur du vecteur est notée | | ou | |. La longueur d'un vecteur, ou le module d'un vecteur, est la longueur du segment orienté correspondant : | | = .

Les vecteurs sont appelés colinéaire, s'ils sont situés sur la même ligne ou sur des lignes parallèles, bref, s'il existe une ligne à laquelle ils sont parallèles.

Les vecteurs sont appelés coplanaire, s'il existe un plan auquel ils sont parallèles, ils peuvent être représentés par des vecteurs situés sur le même plan. Le vecteur nul est considéré comme colinéaire à n’importe quel vecteur, car il n’a pas de direction spécifique. Sa longueur est bien entendu nulle. Évidemment, deux vecteurs quelconques sont coplanaires ; mais bien sûr, tous les trois vecteurs dans l'espace ne sont pas coplanaires. Puisque les vecteurs parallèles entre eux sont parallèles au même plan, les vecteurs colinéaires sont encore plus coplanaires. Bien entendu, l’inverse n’est pas vrai : les vecteurs coplanaires peuvent ne pas être colinéaires. En vertu de la condition adoptée ci-dessus, le vecteur zéro est colinéaire à tout vecteur et coplanaire à n'importe quelle paire de vecteurs, c'est-à-dire si parmi trois vecteurs au moins un est nul, alors ils sont coplanaires.

2) Le mot « coplanaire » signifie essentiellement : « ayant un plan commun », c'est-à-dire « situé dans le même plan ». Mais comme nous parlons ici de vecteurs libres qui peuvent être transférés (sans changer de longueur et de direction) de manière arbitraire, nous devons appeler coplanaires les vecteurs parallèles au même plan, car dans ce cas ils peuvent être transférés de telle sorte qu'ils se trouvent dans un avion.

Pour abréger le discours, mettons-nous d'accord sur un terme : si plusieurs vecteurs libres sont parallèles à un même plan, alors on dira qu'ils sont coplanaires. En particulier, deux vecteurs sont toujours coplanaires ; pour s'en convaincre, il suffit de les reporter du même point. Il est clair en outre que la direction du plan dans lequel deux vecteurs donnés sont parallèles est complètement définie si ces deux vecteurs ne sont pas parallèles entre eux. Nous appellerons simplement tout plan auquel ces vecteurs coplanaires sont parallèles le plan de ces vecteurs.

Définition 2. Les deux vecteurs sont appelés égal, s’ils sont colinéaires, ont la même direction et ont des longueurs égales.

Il faut toujours se rappeler que l’égalité des longueurs de deux vecteurs ne signifie pas que ces vecteurs sont égaux.

Au sens même de la définition, deux vecteurs séparément égaux au troisième sont égaux entre eux. Évidemment, tous les vecteurs nuls sont égaux les uns aux autres.

De cette définition, il résulte immédiatement qu'en choisissant n'importe quel point A", nous pouvons construire (et un seul) vecteur A" B", égal à un vecteur donné, ou, comme on dit, transférer le vecteur au point A".

Commentaire. Pour les vecteurs, il n'y a pas de concepts de « plus » ou de « moins », c'est-à-dire ils sont égaux ou non.

Un vecteur dont la longueur est égale à un est appelé célibataire vecteur et est noté e. Un vecteur unitaire dont la direction coïncide avec la direction du vecteur a est appelé ortom vecteur et est noté a.

3. À propos d'une autre définition d'un vecteur. Notez que le concept d'égalité des vecteurs diffère considérablement du concept d'égalité, par exemple des nombres. Chaque nombre n'est égal qu'à lui-même, c'est-à-dire que deux nombres égaux peuvent en toutes circonstances être considérés comme le même nombre. Avec les vecteurs, comme on le voit, la situation est différente : par définition, il existe des vecteurs différents mais égaux. Bien que dans la plupart des cas nous n'ayons pas besoin de les distinguer, il se peut qu'à un moment donné nous nous intéressions au vecteur , et non à un autre vecteur égal A "B".

Afin de simplifier le concept d'égalité des vecteurs (et de supprimer certaines des difficultés qui y sont associées), ils vont parfois compliquer la définition d'un vecteur. Nous n'utiliserons pas cette définition compliquée, mais nous la formulerons. Pour éviter toute confusion, nous écrirons « Vecteur » (avec une majuscule) pour désigner la notion définie ci-dessous.

Définition 3. Soit un segment dirigé. L'ensemble de tous les segments orientés égaux à un segment donné au sens de la définition 2 est appelé Vecteur.

Ainsi, chaque segment orienté définit un Vecteur. Il est facile de voir que deux segments orientés définissent le même vecteur si et seulement s'ils sont égaux. Pour les Vecteurs, comme pour les nombres, l'égalité signifie coïncidence : deux Vecteurs sont égaux si et seulement s'ils sont le même Vecteur.

Dans un transfert parallèle d'espace, un point et son image forment une paire ordonnée de points et définissent un segment dirigé, et tous ces segments dirigés sont égaux au sens de la définition 2. Par conséquent, le transfert parallèle d'espace peut être identifié avec un vecteur composé de tous ces segments dirigés.

Il est bien connu dès le cours de physique initial qu'une force peut être représentée par un segment orienté. Mais il ne peut pas être représenté par un vecteur, puisque les forces, représentées par des segments égaux dirigés, produisent, en général, des actions différentes. (Si une force agit sur un corps élastique, alors le segment dirigé qui la représente ne peut pas être transféré même le long de la ligne droite sur laquelle il repose.)

Ce n'est qu'une des raisons pour lesquelles, à côté des vecteurs, c'est-à-dire des ensembles (ou, comme on dit, des classes) de segments égaux dirigés, il est nécessaire de considérer des représentants individuels de ces classes. Dans ces circonstances, l’application de la définition 3 est compliquée par un grand nombre de réserves. Nous nous en tiendrons à la définition 1 et, au sens général, il sera toujours clair s'il s'agit d'un vecteur bien défini ou si quelqu'un qui lui est égal peut être substitué à sa place.

En lien avec la définition d'un vecteur, il convient d'expliquer le sens de certains mots trouvés dans la littérature.