Équations quadratiques avec 1 exemple de racine. Résolution d'équations quadratiques : formule racine, exemples

Poursuivant le sujet « Résolution d'équations », le contenu de cet article vous présentera les équations quadratiques.

Regardons tout en détail : l'essence et la notation d'une équation quadratique, définissons les termes qui l'accompagnent, analysons le schéma de résolution d'équations incomplètes et complètes, familiarisons-nous avec la formule des racines et du discriminant, établissons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr, nous donnerons une solution visuelle à des exemples pratiques.

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Équation quadratique, ses types

Définition 1

Équation quadratique est une équation écrite sous la forme une x 2 + b x + c = 0, Où x– variable, a , b et c– quelques chiffres, tandis que un n'est pas nul.

Souvent, les équations quadratiques sont également appelées équations du deuxième degré, car, par essence, une équation quadratique est une équation algébrique du deuxième degré.

Donnons un exemple pour illustrer la définition donnée : 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Ce sont des équations quadratiques.

Définition 2

Les nombres a, b et c sont les coefficients de l'équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, tandis que le coefficient un est appelé le premier, ou senior, ou coefficient à x 2, b - le deuxième coefficient, ou coefficient à x, UN c appelé membre gratuit.

Par exemple, dans l'équation quadratique 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 le coefficient principal est 6, le deuxième coefficient est − 2 , et le terme libre est égal à − 11 . Faisons attention au fait que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, alors une forme abrégée du formulaire est utilisée 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, pas 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Précisons également cet aspect : si les coefficients un et/ou bégal 1 ou − 1 , alors ils peuvent ne pas participer explicitement à l'écriture de l'équation quadratique, ce qui s'explique par les particularités de l'écriture des coefficients numériques indiqués. Par exemple, dans l'équation quadratique oui 2 − oui + 7 = 0 le coefficient principal est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations quadratiques réduites et non réduites

Sur la base de la valeur du premier coefficient, les équations quadratiques sont divisées en réduites et non réduites.

Définition 3

Équation quadratique réduite est une équation quadratique dont le coefficient dominant est 1. Pour les autres valeurs du coefficient dominant, l'équation quadratique n'est pas réduite.

Donnons des exemples : les équations quadratiques x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sont réduites, dans chacune desquelles le coefficient dominant est 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- équation quadratique non réduite, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation quadratique non réduite peut être convertie en une équation réduite en divisant les deux côtés par le premier coefficient (transformation équivalente). L’équation transformée aura les mêmes racines que l’équation non réduite donnée ou n’aura aucune racine du tout.

La considération d'un exemple précis nous permettra de démontrer clairement le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation quadratique réduite.

Exemple 1

Étant donné l'équation 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Il est nécessaire de convertir l’équation originale sous sa forme réduite.

Solution

Selon le schéma ci-dessus, nous divisons les deux côtés de l'équation originale par le coefficient dominant 6. On obtient alors : (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0 : 3, et c'est la même chose que : (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 et plus loin : (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0. D'ici : x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Ainsi, une équation équivalente à celle donnée est obtenue.

Répondre: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Passons à la définition d'une équation quadratique. Nous y avons précisé que une ≠ 0. Une condition similaire est nécessaire pour l'équation une x 2 + b x + c = 0était précisément carré, puisqu'à une = 0 cela se transforme essentiellement en une équation linéaire bx + c = 0.

Dans le cas où les coefficients b Et c sont égaux à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et conjointement), l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition 4

Équation quadratique incomplète- une telle équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, où au moins un des coefficients b Et c(ou les deux) est nul.

Équation quadratique complète– une équation quadratique dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas égaux à zéro.

Voyons pourquoi les types d'équations quadratiques reçoivent exactement ces noms.

Lorsque b = 0, l'équation quadratique prend la forme une x 2 + 0 x + c = 0, ce qui équivaut à une x 2 + c = 0. À c = 0équation quadratique écrite comme une x 2 + b x + 0 = 0, ce qui est équivalent une x 2 + b x = 0. À b = 0 Et c = 0 l'équation prendra la forme une x 2 = 0. Les équations que nous avons obtenues diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs côtés gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ni les deux. En fait, c’est ce fait qui a donné le nom à ce type d’équation – incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 x + 4 = 0 et − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sont des équations quadratiques complètes ; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

La définition donnée ci-dessus permet de distinguer les types d'équations quadratiques incomplètes suivants :

• une x 2 = 0, cette équation correspond aux coefficients b = 0 et c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 à b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 à c = 0.

Considérons séquentiellement la solution de chaque type d'équation quadratique incomplète.

Solution de l'équation a x 2 =0

Comme mentionné ci-dessus, cette équation correspond aux coefficients b Et c, égal à zéro. Équation une x 2 = 0 peut être converti en une équation équivalente x2 = 0, que nous obtenons en divisant les deux côtés de l'équation originale par le nombre un, différent de zéro. Le fait évident est que la racine de l’équation x2 = 0 c'est zéro parce que 0 2 = 0 . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique par les propriétés du degré : pour tout nombre p, n'est pas égal à zéro, l'inégalité est vraie p2 > 0, d'où il résulte que lorsque p ≠ 0égalité p2 = 0 ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour l'équation quadratique incomplète a x 2 = 0, il existe une seule racine x = 0.

Exemple 2

Par exemple, résolvons une équation quadratique incomplète − 3 x 2 = 0. C'est équivalent à l'équation x2 = 0, sa seule racine est x = 0, alors l'équation d'origine a une seule racine - zéro.

En bref, la solution s'écrit comme suit :

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Résoudre l'équation a x 2 + c = 0

Vient ensuite la solution d'équations quadratiques incomplètes, où b = 0, c ≠ 0, c'est-à-dire des équations de la forme une x 2 + c = 0. Transformons cette équation en déplaçant un terme d'un côté à l'autre de l'équation, en changeant le signe à l'opposé et en divisant les deux côtés de l'équation par un nombre qui n'est pas égal à zéro :

• transfert c du membre de droite, ce qui donne l'équation une x 2 = − c;
• diviser les deux côtés de l'équation par un, on se retrouve avec x = - c a .

Nos transformations sont équivalentes ; par conséquent, l'équation résultante est également équivalente à l'originale, et ce fait permet de tirer des conclusions sur les racines de l'équation. D'où sont les valeurs un Et c la valeur de l'expression - c a dépend : elle peut avoir un signe moins (par exemple, si une = 1 Et c = 2, alors - c a = - 2 1 = - 2) ou un signe plus (par exemple, si une = − 2 Et c = 6, alors - c a = - 6 - 2 = 3); ce n'est pas nul parce que c ≠ 0. Arrêtons-nous plus en détail sur les situations où - c a< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p l'égalité p 2 = - c a ne peut pas être vraie.

Tout est différent lorsque - c a > 0 : rappelez-vous la racine carrée, et il deviendra évident que la racine de l'équation x 2 = - c a sera le nombre - c a, puisque - c a 2 = - c a. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre - - c a est aussi la racine de l'équation x 2 = - c a : en effet, - - c a 2 = - c a.

L'équation n'aura pas d'autres racines. Nous pouvons le démontrer en utilisant la méthode de la contradiction. Pour commencer, définissons les notations pour les racines trouvées ci-dessus comme x1 Et −x1. Supposons que l'équation x 2 = - c a ait aussi une racine x2, qui est différent des racines x1 Et −x1. Nous savons qu'en substituant dans l'équation x ses racines, nous transformons l’équation en une juste égalité numérique.

Pour x1 Et −x1 on écrit : x 1 2 = - c a , et pour x2- x 2 2 = - c une . Sur la base des propriétés des égalités numériques, nous soustrayons une égalité correcte terme par terme à une autre, ce qui nous donnera : X 1 2 − X 2 2 = 0. Nous utilisons les propriétés des opérations avec des nombres pour réécrire la dernière égalité sous la forme (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins un des nombres est nul. De ce qui précède, il résulte que x 1 − x 2 = 0 et/ou x1 + x2 = 0, ce qui est pareil x2 = x1 et/ou X 2 = − X 1. Une contradiction évidente est apparue, car au début il a été convenu que la racine de l'équation x2 différent de x1 Et −x1. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas de racines autres que x = - c a et x = - - c a.

Résumons tous les arguments ci-dessus.

Définition 6

Équation quadratique incomplète une x 2 + c = 0 est équivalent à l'équation x 2 = - c a, qui :

• n'aura pas de racines en - c a< 0 ;
• aura deux racines x = - c a et x = - - c a pour - c a > 0.

Donnons des exemples de résolution des équations une x 2 + c = 0.

Exemple 3

Étant donné une équation quadratique 9x2 + 7 = 0. Il faut trouver une solution.

Solution

Déplaçons le terme libre vers la droite de l'équation, l'équation prendra alors la forme 9 x 2 = − 7.
Divisons les deux côtés de l'équation résultante par 9 , on arrive à x 2 = - 7 9 . Sur le côté droit, nous voyons un nombre avec un signe moins, ce qui signifie : l'équation donnée n'a pas de racine. Alors l'équation quadratique incomplète originale 9x2 + 7 = 0 n'aura pas de racines.

Répondre:équation 9x2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Exemple 4

L'équation doit être résolue −x2 + 36 = 0.

Solution

Déplaçons 36 vers la droite : −x2 = −36.
Divisons les deux parties par − 1 , nous obtenons x2 = 36. Sur le côté droit se trouve un nombre positif, à partir duquel nous pouvons conclure que x = 36 ou x = - 36 .
Extrayons la racine et notons le résultat final : équation quadratique incomplète −x2 + 36 = 0 a deux racines x = 6 ou x = − 6.

Répondre: x = 6 ou x = − 6.

Solution de l'équation a x 2 +b x=0

Analysons le troisième type d'équations quadratiques incomplètes, lorsque c = 0. Trouver une solution à une équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0, nous utiliserons la méthode de factorisation. Factorisons le polynôme qui se trouve du côté gauche de l'équation, en prenant le facteur commun entre parenthèses x. Cette étape permettra de transformer l'équation quadratique incomplète originale en son équivalent x (une x + b) = 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à un ensemble d’équations x = 0 Et une x + b = 0. Équation une x + b = 0 linéaire, et sa racine : x = − b une.

Définition 7

Ainsi, l'équation quadratique incomplète une x 2 + b x = 0 aura deux racines x = 0 Et x = − b une.

Renforçons le matériel avec un exemple.

Exemple 5

Il faut trouver une solution à l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solution

Nous allons le retirer x en dehors des parenthèses, nous obtenons l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Cette équation est équivalente aux équations x = 0 et 2 3 x - 2 2 7 = 0. Vous devez maintenant résoudre l'équation linéaire résultante : 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Écrivez brièvement la solution de l’équation comme suit :

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Répondre: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formule pour les racines d'une équation quadratique

Pour trouver des solutions aux équations quadratiques, il existe une formule racine :

Définition 8

x = - b ± D 2 · a, où ré = b 2 − 4 une c– ce qu'on appelle le discriminant d'une équation quadratique.

Écrire x = - b ± D 2 · a signifie essentiellement que x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Il serait utile de comprendre comment cette formule a été dérivée et comment l'appliquer.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Soyons confrontés à la tâche de résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0. Effectuons un certain nombre de transformations équivalentes :

• diviser les deux côtés de l'équation par un nombre un, différent de zéro, on obtient l'équation quadratique suivante : x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Sélectionnons le carré complet sur le côté gauche de l'équation résultante :
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c un
  Après cela, l'équation prendra la forme : x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0 ;
• Il est maintenant possible de déplacer les deux derniers termes vers la droite, en changeant le signe en sens inverse, après quoi nous obtenons : x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Enfin, on transforme l'expression écrite à droite de la dernière égalité :
  b 2 · une 2 - c a = b 2 4 · une 2 - c a = b 2 4 · une 2 - 4 · une · c 4 · une 2 = b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 .

Ainsi, nous arrivons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , équivalente à l'équation originale une x 2 + b x + c = 0.

Nous avons examiné la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (résolution d'équations quadratiques incomplètes). L'expérience déjà acquise permet de tirer une conclusion concernant les racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 :

• avec b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• lorsque b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 l'équation est x + b 2 · a 2 = 0, alors x + b 2 · a = 0.

De là, la seule racine x = - b 2 · a est évidente ;

• pour b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ce qui suit sera vrai : x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , qui est identique à x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - b 2 - 4 · une · c 4 · une 2 , c'est-à-dire l'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence de racines de l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (et donc l'équation originale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 écrit sur le côté droit. Et le signe de cette expression est donné par le signe du numérateur (dénominateur 4 et 2 sera toujours positif), c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 − 4 une c. Cette expression b 2 − 4 une c le nom est donné - le discriminant de l'équation quadratique et la lettre D est définie comme sa désignation. Ici, vous pouvez écrire l'essence du discriminant - en fonction de sa valeur et de son signe, ils peuvent conclure si l'équation quadratique aura de vraies racines et, si oui, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Revenons à l'équation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Réécrivons-le en utilisant la notation discriminante : x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Formulons à nouveau nos conclusions :

Définition 9

• à D< 0 l'équation n'a pas de véritables racines ;
• à D=0 l'équation a une racine unique x = - b 2 · a ;
• à D > 0 l'équation a deux racines : x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ou x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Sur la base des propriétés des radicaux, ces racines peuvent s'écrire sous la forme : x = - b 2 · a + D 2 · a ou - b 2 · a - D 2 · a. Et, lorsque nous ouvrons les modules et ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous obtenons : x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement a été la dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique :

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculé par la formule ré = b 2 − 4 une c.

Ces formules permettent de déterminer les deux racines réelles lorsque le discriminant est supérieur à zéro. Lorsque le discriminant est nul, l’application des deux formules donnera la même racine comme seule solution à l’équation quadratique. Dans le cas où le discriminant est négatif, si l’on essaie d’utiliser la formule de la racine quadratique, nous serons confrontés à la nécessité de prendre la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui nous fera sortir du cadre des nombres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'aura pas de racines réelles, mais une paire de racines conjuguées complexes est possible, déterminées par les mêmes formules de racines que celles que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

Il est possible de résoudre une équation quadratique en utilisant immédiatement la formule de la racine, mais cela se fait généralement lorsqu'il est nécessaire de trouver des racines complexes.

Dans la majorité des cas, cela signifie généralement rechercher non pas des racines complexes, mais réelles d'une équation quadratique. Ensuite, il est optimal, avant d'utiliser les formules pour les racines d'une équation quadratique, de déterminer d'abord le discriminant et de s'assurer qu'il n'est pas négatif (sinon nous conclurons que l'équation n'a pas de racines réelles), puis de procéder au calcul du valeur des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet de formuler un algorithme de résolution d'une équation quadratique.

Définition 10

Pour résoudre une équation quadratique une x 2 + b x + c = 0, nécessaire:

• selon la formule ré = b 2 − 4 une c trouver la valeur discriminante ;
• en D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pour D = 0, trouvez la racine unique de l'équation en utilisant la formule x = - b 2 · a ;
• pour D > 0, déterminez deux racines réelles de l'équation quadratique en utilisant la formule x = - b ± D 2 · a.

Notez que lorsque le discriminant est nul, vous pouvez utiliser la formule x = - b ± D 2 · a, cela donnera le même résultat que la formule x = - b 2 · a.

Regardons des exemples.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Donnons des solutions à des exemples pour différentes valeurs du discriminant.

Exemple 6

Nous devons trouver les racines de l'équation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solution

Notons les coefficients numériques de l'équation quadratique : a = 1, b = 2 et c = − 6. Ensuite, nous procédons selon l'algorithme, c'est-à-dire Commençons par calculer le discriminant, auquel on substituera les coefficients a, b Et c dans la formule discriminante : D = b 2 − 4 · une · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Nous obtenons donc D > 0, ce qui signifie que l’équation originale aura deux racines réelles.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine x = - b ± D 2 · a et, en remplaçant les valeurs correspondantes, nous obtenons : x = - 2 ± 28 2 · 1. Simplifions l'expression résultante en retirant le facteur du signe racine puis en réduisant la fraction :

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Répondre: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemple 7

Besoin de résoudre une équation quadratique − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solution

Définissons le discriminant : D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Avec cette valeur du discriminant, l'équation originale n'aura qu'une seule racine, déterminée par la formule x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Répondre: x = 3,5.

Exemple 8

L'équation doit être résolue 5 ans 2 + 6 ans + 2 = 0

Solution

Les coefficients numériques de cette équation seront : a = 5, b = 6 et c = 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver le discriminant : D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Le discriminant calculé est négatif, donc l’équation quadratique originale n’a pas de véritables racines.

Dans le cas où la tâche consiste à indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule racine en effectuant des actions avec des nombres complexes :

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 je 10 ou x = - 6 - 2 je 10,

x = - 3 5 + 1 5 · je ou x = - 3 5 - 1 5 · je.

Répondre: il n'y a pas de véritables racines ; les racines complexes sont les suivantes : - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Dans le programme scolaire, il n'y a pas d'exigence standard pour rechercher des racines complexes. Par conséquent, si lors de la solution, le discriminant est déterminé comme négatif, la réponse est immédiatement écrite selon laquelle il n'y a pas de véritables racines.

Formule racine pour même les seconds coefficients

La formule racine x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions à des équations quadratiques à coefficient pair pour x ( ou avec un coefficient de la forme 2 · n, par exemple 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Montrons comment cette formule est dérivée.

Soyons confrontés à la tâche de trouver une solution à l'équation quadratique a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . On procède selon l'algorithme : on détermine le discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), puis on utilise la formule racine :

x = - 2 n ± D 2 une, x = - 2 n ± 4 n 2 - une c 2 une, x = - 2 n ± 2 n 2 - une c 2 une, x = - n ± n 2 - une · c une .

Soit l'expression n 2 − a · c notée D 1 (parfois elle est notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 · n prendra la forme :

x = - n ± D 1 a, où D 1 = n 2 − a · c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1, ou D 1 = D 4. Autrement dit, D 1 est le quart du discriminant. Évidemment, le signe de D 1 est le même que le signe de D, ce qui signifie que le signe de D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence de racines d'une équation quadratique.

Définition 11

Ainsi, pour trouver une solution à une équation quadratique de deuxième coefficient 2 n, il faut :

• trouver D 1 = n 2 − a · c ;
• à J 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• lorsque D 1 = 0, déterminez la racine unique de l'équation en utilisant la formule x = - n a ;
• pour D 1 > 0, déterminez deux racines réelles en utilisant la formule x = - n ± D 1 a.

Exemple 9

Il faut résoudre l'équation quadratique 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième coefficient de l'équation donnée par 2 · (− 3) . Ensuite, nous réécrivons l'équation quadratique donnée comme 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, où a = 5, n = − 3 et c = − 32.

Calculons la quatrième partie du discriminant : D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. La valeur résultante est positive, ce qui signifie que l’équation a deux racines réelles. Déterminons-les à l'aide de la formule racine correspondante :

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Il serait possible d'effectuer des calculs en utilisant la formule habituelle des racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas la solution serait plus lourde.

Répondre: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplifier la forme des équations quadratiques

Parfois, il est possible d'optimiser la forme de l'équation originale, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, l’équation quadratique 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 est clairement plus pratique à résoudre que 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Le plus souvent, la simplification de la forme d'une équation quadratique est réalisée en multipliant ou en divisant ses deux côtés par un certain nombre. Par exemple, nous avons montré ci-dessus une représentation simplifiée de l’équation 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obtenue en divisant les deux côtés par 100.

Une telle transformation est possible lorsque les coefficients de l'équation quadratique ne sont pas des nombres premiers entre eux. Ensuite, nous divisons généralement les deux côtés de l'équation par le plus grand diviseur commun des valeurs absolues de ses coefficients.

A titre d'exemple, nous utilisons l'équation quadratique 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Déterminons le PGCD des valeurs absolues de ses coefficients : PGCD (12, 42, 48) = PGCD(PGCD (12, 42), 48) = PGCD (6, 48) = 6. Divisons les deux côtés de l'équation quadratique originale par 6 et obtenons l'équation quadratique équivalente 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

En multipliant les deux côtés d’une équation quadratique, vous vous débarrassez généralement des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, ils sont multipliés par le plus petit commun multiple des dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation quadratique 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 est multipliée par LCM (6, 3, 1) = 6, alors elle s'écrira sous une forme plus simple x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Enfin, notons que l'on supprime presque toujours le moins du premier coefficient d'une équation quadratique en changeant les signes de chaque terme de l'équation, ce qui est obtenu en multipliant (ou en divisant) les deux côtés par − 1. Par exemple, à partir de l'équation quadratique − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, vous pouvez passer à sa version simplifiée 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relation entre racines et coefficients

La formule des racines des équations quadratiques, déjà connue de nous, x = - b ± D 2 · a, exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. Sur la base de cette formule, nous avons la possibilité de préciser d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables sont le théorème de Vieta :

x 1 + x 2 = - b a et x 2 = c a.

En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est le deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, en regardant la forme de l’équation quadratique 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est 7 3 et que le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d’autres liens entre les racines et les coefficients d’une équation quadratique. Par exemple, la somme des carrés des racines d'une équation quadratique peut être exprimée en termes de coefficients :

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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J'espère qu'après avoir étudié cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation quadratique complète.

Grâce au discriminant, seules les équations quadratiques complètes sont résolues ; pour résoudre les équations quadratiques incomplètes, d'autres méthodes sont utilisées, que vous trouverez dans l'article « Résolution d'équations quadratiques incomplètes ».

Quelles équations quadratiques sont dites complètes ? Ce équations de la forme ax 2 + b x + c = 0, où les coefficients a, b et c ne sont pas égaux à zéro. Ainsi, pour résoudre une équation quadratique complète, nous devons calculer le discriminant D.

D = b 2 – 4ac.

En fonction de la valeur du discriminant, nous noterons la réponse.

Si le discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est nul, alors x = (-b)/2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D > 0),

alors x 1 = (-b - √D)/2a, et x 2 = (-b + √D)/2a.

Par exemple. Résoudre l'équation x2– 4x + 4=0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Réponse : 2.

Résoudre l'équation 2 x2 +x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Réponse : pas de racines.

Résoudre l'équation 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Réponse : – 3,5 ; 1.

Imaginons donc la solution d’équations quadratiques complètes à l’aide du diagramme de la figure 1.

En utilisant ces formules, vous pouvez résoudre n’importe quelle équation quadratique complète. Il faut juste faire attention à l'équation a été écrite sous forme de polynôme de la forme standard

UN x2 + bx + c, sinon vous risquez de faire une erreur. Par exemple, en écrivant l’équation x + 3 + 2x 2 = 0, vous pouvez décider par erreur que

a = 1, b = 3 et c = 2. Alors

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 et alors l'équation a deux racines. Et ce n'est pas vrai. (Voir la solution à l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite sous forme de polynôme de forme standard, l'équation quadratique complète doit d'abord être écrite sous forme de polynôme de forme standard (le monôme avec le plus grand exposant doit venir en premier, c'est-à-dire UN x2 , puis avec moins – bx et puis un membre gratuit Avec.

Lors de la résolution d'une équation quadratique réduite et d'une équation quadratique avec un coefficient pair au deuxième terme, vous pouvez utiliser d'autres formules. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation quadratique complète, le deuxième terme a un coefficient pair (b = 2k), alors vous pouvez résoudre l'équation à l'aide des formules présentées dans le diagramme de la figure 2.

Une équation quadratique complète est dite réduite si le coefficient à x2 est égal à un et l'équation prend la forme x 2 + px + q = 0. Une telle équation peut être donnée pour solution, ou elle peut être obtenue en divisant tous les coefficients de l'équation par le coefficient UN, debout à x2 .

La figure 3 montre un diagramme pour résoudre le carré réduit
équations. Regardons un exemple d'application des formules discutées dans cet article.

Exemple. Résoudre l'équation

3x2 + 6x – 6 = 0.

Résolvons cette équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3

Vous pouvez remarquer que le coefficient de x dans cette équation est un nombre pair, c'est-à-dire b = 6 ou b = 2k, d'où k = 3. Essayons ensuite de résoudre l'équation en utilisant les formules présentées dans le diagramme de la figure D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3. En remarquant que tous les coefficients de cette équation quadratique sont divisibles par 3 et en effectuant la division, nous obtenons l'équation quadratique réduite x 2 + 2x – 2 = 0 Résolvez cette équation en utilisant les formules de l'équation quadratique réduite
équations figure 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Réponse : –1 – √3 ; –1 + √3.

Comme vous pouvez le voir, en résolvant cette équation à l’aide de différentes formules, nous avons obtenu la même réponse. Par conséquent, après avoir parfaitement maîtrisé les formules présentées dans le diagramme de la figure 1, vous serez toujours en mesure de résoudre n'importe quelle équation quadratique complète.

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Considérons le problème. La base du rectangle est 10 cm plus grande que sa hauteur et sa superficie est de 24 cm². Trouvez la hauteur du rectangle. Laisser X centimètres est la hauteur du rectangle, alors sa base est égale à ( X+10) cm. L'aire de ce rectangle est X(X+ 10) cm². Selon les conditions du problème X(X+ 10) = 24. En ouvrant les parenthèses et en déplaçant le nombre 24 de signe opposé vers la gauche de l'équation, on obtient : X² + 10 X-24 = 0. Lors de la résolution de ce problème, une équation appelée quadratique a été obtenue.

Une équation quadratique est une équation de la forme

hache ²+ bx+c= 0

Où une, b, c- des numéros donnés, et UN≠ 0, et X- inconnu.

Chances une, b, c L'équation quadratique est généralement appelée : un— le premier ou le coefficient le plus élevé, b- deuxième coefficient, c- un membre gratuit. Par exemple, dans notre problème, le coefficient principal est 1, le deuxième coefficient est 10 et le terme libre est -24. Résoudre de nombreux problèmes en mathématiques et en physique revient à résoudre des équations quadratiques.

Résoudre des équations quadratiques

Complétez les équations quadratiques. La première étape consiste à mettre l’équation donnée sous forme standard hache²+ bx+ c = 0. Revenons à notre problème, dans lequel l'équation peut s'écrire X(X+ 10) = 24 mettons-le sous forme standard, ouvrons les parenthèses X² + 10 X- 24 = 0, on résout cette équation en utilisant la formule des racines d'une équation quadratique générale.

L'expression sous le signe racine dans cette formule est appelée le discriminant D = b²-4 ca

Si D>0, alors l'équation quadratique a deux racines différentes, qui peuvent être trouvées en utilisant la formule des racines d'une équation quadratique.

Si D=0, alors l’équation quadratique a une racine.

Si D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Remplaçons les valeurs dans notre formule UN= 1, b= 10, c= -24.

on obtient D>0, donc on obtient deux racines.

Considérons un exemple où D=0, dans cette condition il devrait y avoir une racine.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Prenons un exemple où D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Le nombre sous le signe racine (discriminant) est négatif ; on écrit la réponse comme suit : l'équation n'a pas de racines réelles.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Équation quadratique hache² + bx+ c= 0 est dit incomplet si au moins un des coefficients b ou cégal à zéro. Une équation quadratique incomplète est une équation de l’un des types suivants :

hache² = 0,

hache² + c= 0, c≠ 0,

hache² + bx= 0, b≠ 0.

Regardons quelques exemples et résolvons l'équation

En divisant les deux côtés de l'équation par 5, on obtient l'équation X² = 0, la réponse aura une racine X= 0.

Considérons une équation de la forme

3X² - 27 = 0

En divisant les deux côtés par 3, on obtient l'équation X² - 9 = 0, ou on peut l'écrire X² = 9, la réponse aura deux racines X= 3 et X= -3.

Considérons une équation de la forme

2X² + 7 = 0

En divisant les deux côtés par 2, on obtient l'équation X² = -7/2. Cette équation n’a pas de véritables racines, puisque X² ≥ 0 pour tout nombre réel X.

Considérons une équation de la forme

3X² + 5 X= 0

En factorisant le côté gauche de l’équation, on obtient X(3X+ 5) = 0, la réponse aura deux racines X= 0, X=-5/3.

La chose la plus importante lors de la résolution d'équations quadratiques est d'amener l'équation quadratique à une forme standard, de mémoriser la formule des racines d'une équation quadratique générale et de ne pas se tromper dans les signes.

", c'est-à-dire les équations du premier degré. Dans cette leçon, nous examinerons ce qu'on appelle une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Important!

Le degré d’une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l’inconnue.

Si la puissance maximale dans laquelle l’inconnue est « 2 », alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! La forme générale d'une équation quadratique ressemble à ceci :

A x 2 + b x + c = 0

« a », « b » et « c » reçoivent des nombres.

• « a » est le premier ou le coefficient le plus élevé ;
• « b » est le deuxième coefficient ;
• « c » est un terme libre.

Pour trouver « a », « b » et « c », vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique « ax 2 + bx + c = 0 ».

Pratiquons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Équation	Chances
une = 5 b = −14 c = 17
une = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0