Facteurs identiques de décomposition des nombres. Décomposition des nombres en facteurs premiers, méthodes et exemples de décomposition

Cet article donne des réponses à la question de la factorisation d'un nombre sur une feuille. Regardons l'idée générale de la décomposition avec des exemples. Analysons la forme canonique du développement et son algorithme. Toutes les méthodes alternatives seront considérées à l'aide de signes de divisibilité et de tables de multiplication.

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Que signifie factoriser un nombre en facteurs premiers ?

Examinons le concept de facteurs premiers. On sait que tout facteur premier est un nombre premier. Dans un produit de la forme 2 · 7 · 7 · 23, nous avons 4 facteurs premiers sous la forme 2, 7, 7, 23.

La factorisation implique sa représentation sous forme de produits de nombres premiers. Si nous devons décomposer le nombre 30, alors nous obtenons 2, 3, 5. L'entrée prendra la forme 30 = 2 · 3 · 5. Il est possible que les multiplicateurs soient répétés. Un nombre comme 144 a 144 = 2 2 2 2 3 3.

Tous les nombres ne sont pas sujets à la dégradation. Les nombres supérieurs à 1 et entiers peuvent être pris en compte. Les nombres premiers, une fois factorisés, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, il est donc impossible de représenter ces nombres comme un produit.

Lorsque z fait référence à des nombres entiers, il est représenté comme un produit de a et b, où z est divisé par a et b. Les nombres composés sont factorisés à l’aide du théorème fondamental de l’arithmétique. Si le nombre est supérieur à 1, alors sa factorisation p 1, p 2, ..., p n prend la forme a = p 1 , p 2 , … , p n . La décomposition est supposée être en une seule variante.

Factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers

Lors de l'expansion, les facteurs peuvent se répéter. Ils sont écrits de manière compacte en utilisant des degrés. Si, lors de la décomposition du nombre a, nous avons un facteur p 1, qui apparaît s 1 fois et ainsi de suite p n – s n fois. L’expansion prendra donc la forme une=p 1 s 1 · une = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Cette entrée s'appelle la factorisation canonique d'un nombre en facteurs premiers.

En développant le nombre 609840, on obtient que 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, sa forme canonique sera 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Grâce au développement canonique, vous pouvez trouver tous les diviseurs d'un nombre et leur nombre.

Pour factoriser correctement, vous devez comprendre les nombres premiers et composés. Il s'agit d'obtenir un nombre séquentiel de diviseurs de la forme p 1, p 2, ..., p n Nombres une , une 1 , une 2 , … , une n - 1, cela permet d'obtenir une = p 1 une 1, où a 1 = a : p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , où a 2 = a 1 : p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · un n , où une n = une n - 1 : p n. Dès réception une n = 1, alors l'égalité une = p 1 · p 2 · … · p n on obtient la décomposition requise du nombre a en facteurs premiers. Noter que p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Pour trouver les facteurs les moins communs, vous devez utiliser un tableau de nombres premiers. Ceci est fait en utilisant l'exemple de la recherche du plus petit diviseur premier du nombre z. En prenant les nombres premiers 2, 3, 5, 11 et ainsi de suite, et en divisant le nombre z par eux. Puisque z n'est pas un nombre premier, il faut tenir compte du fait que le plus petit diviseur premier ne sera pas supérieur à z. On voit qu’il n’y a pas de diviseur de z, alors il est clair que z est un nombre premier.

Exemple 1

Regardons l'exemple du nombre 87. Lorsqu'on le divise par 2, on obtient 87 : 2 = 43 avec un reste de 1. Il s’ensuit que 2 ne peut pas être un diviseur ; la division doit se faire entièrement. Divisé par 3, on obtient 87 : 3 = 29. On conclut donc que 3 est le plus petit diviseur premier du nombre 87.

Lors de la prise en compte de facteurs premiers, vous devez utiliser un tableau de nombres premiers, où a. Lors de la factorisation de 95, vous devez utiliser environ 10 nombres premiers, et lors de la factorisation de 846653, environ 1 000.

Considérons l'algorithme de décomposition en facteurs premiers :

• trouver le plus petit facteur du diviseur p 1 d'un nombre un par la formule a 1 = a : p 1, quand a 1 = 1, alors a est un nombre premier et est inclus dans la factorisation, lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a = p 1 · a 1 et suivez jusqu'au point ci-dessous ;
• trouver le diviseur premier p 2 d'un nombre a 1 en énumérant séquentiellement les nombres premiers en utilisant a 2 = a 1 : p 2 , quand un 2 = 1 , alors le développement prendra la forme a = p 1 p 2 , quand a 2 = 1, alors a = p 1 p 2 a 2 , et nous passons à l'étape suivante ;
• rechercher parmi les nombres premiers et trouver un diviseur premier page 3 Nombres un 2 selon la formule a 3 = a 2 : p 3 quand a 3 = 1 , alors on obtient que a = p 1 p 2 p 3 , lorsqu'il n'est pas égal à 1, alors a = p 1 p 2 p 3 a 3 et passez à l'étape suivante ;
• le diviseur premier est trouvé pn Nombres un n - 1 en énumérant les nombres premiers avec pn-1, et aussi une n = une n - 1 : p n, où a n = 1, l'étape est finale, on obtient donc que a = p 1 · p 2 · … · p n .

Le résultat de l'algorithme est écrit sous la forme d'un tableau avec des facteurs décomposés avec une barre verticale séquentiellement dans une colonne. Considérez la figure ci-dessous.

L'algorithme résultant peut être appliqué en décomposant les nombres en facteurs premiers.

Lors de la prise en compte des facteurs premiers, l'algorithme de base doit être suivi.

Exemple 2

Factorisez le nombre 78 en facteurs premiers.

Solution

Afin de trouver le plus petit diviseur premier, vous devez parcourir tous les nombres premiers de 78. Soit 78 : 2 = 39. Une division sans reste signifie qu'il s'agit du premier diviseur simple, que nous désignons par p 1. On obtient que a 1 = a : p 1 = 78 : 2 = 39. Nous sommes arrivés à une égalité de la forme a = p 1 · a 1 , où 78 = 2 39. Alors a 1 = 39, c’est-à-dire que nous devrions passer à l’étape suivante.

Concentrons-nous sur la recherche du diviseur premier p2 Nombres un 1 = 39. Vous devriez passer par les nombres premiers, c'est-à-dire 39 : 2 = 19 (1 restant). Puisque la division avec reste, 2 n'est pas un diviseur. En choisissant le chiffre 3, on obtient que 39 : 3 = 13. Cela signifie que p 2 = 3 est le plus petit diviseur premier de 39 par a 2 = a 1 : p 2 = 39 : 3 = 13. On obtient une égalité de la forme une = p 1 p 2 une 2 sous la forme 78 = 2 3 13. Nous savons que a 2 = 13 n'est pas égal à 1, alors nous devrions passer à autre chose.

Le plus petit diviseur premier du nombre a 2 = 13 se trouve en recherchant parmi les nombres, en commençant par 3. On obtient que 13 : 3 = 4 (1 restant). De là, nous pouvons voir que 13 n'est pas divisible par 5, 7, 11, car 13 : 5 = 2 (rest. 3), 13 : 7 = 1 (rest. 6) et 13 : 11 = 1 (rest. 2) . On voit que 13 est un nombre premier. D'après la formule, cela ressemble à ceci : a 3 = a 2 : p 3 = 13 : 13 = 1. Nous avons constaté que a 3 = 1, ce qui signifie l'achèvement de l'algorithme. Maintenant, les facteurs s'écrivent sous la forme 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Répondre: 78 = 2 3 13.

Exemple 3

Factorisez le nombre 83 006 en facteurs premiers.

Solution

La première étape consiste à factoriser p 1 = 2 Et une 1 = une : p 1 = 83 006 : 2 = 41 503, où 83 006 = 2 · 41 503.

La deuxième étape suppose que 2, 3 et 5 ne sont pas des diviseurs premiers pour le nombre a 1 = 41 503, mais que 7 est un diviseur premier, car 41 503 : 7 = 5 929. On obtient que p 2 = 7, a 2 = a 1 : p 2 = 41 503 : 7 = 5 929. Évidemment, 83 006 = 2 7 5 929.

Trouver le plus petit diviseur premier de p 4 du nombre a 3 = 847 est 7. On voit que a 4 = a 3 : p 4 = 847 : 7 = 121, donc 83 006 = 2 7 7 7 121.

Pour trouver le diviseur premier du nombre a 4 = 121, on utilise le nombre 11, c'est-à-dire p 5 = 11. On obtient alors une expression de la forme une 5 = une 4 : p 5 = 121 : 11 = 11, et 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

Pour le numéro un 5 = 11 nombre p6 = 11 est le plus petit diviseur premier. D'où a 6 = a 5 : p 6 = 11 : 11 = 1. Alors un 6 = 1. Cela indique l’achèvement de l’algorithme. Les facteurs s'écriront sous la forme 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

La notation canonique de la réponse prendra la forme 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Répondre: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Exemple 4

Factorisez le nombre 897 924 289.

Solution

Pour trouver le premier facteur premier, recherchez parmi les nombres premiers en commençant par 2. La fin de la recherche intervient au numéro 937. Alors p 1 = 937, a 1 = a : p 1 = 897 924 289 : 937 = 958 297 et 897 924 289 = 937 958 297.

La deuxième étape de l’algorithme consiste à parcourir des nombres premiers plus petits. Autrement dit, nous commençons par le nombre 937. Le nombre 967 peut être considéré comme premier car il est un diviseur premier du nombre a 1 = 958 297. De là, nous obtenons que p 2 = 967, alors a 2 = a 1 : p 1 = 958 297 : 967 = 991 et 897 924 289 = 937 967 991.

La troisième étape dit que 991 est un nombre premier, puisqu’il n’a pas un seul facteur premier qui ne dépasse pas 991. La valeur approximative de l'expression radicale est 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Cela montre que p 3 = 991 et a 3 = a 2 : p 3 = 991 : 991 = 1. Nous constatons que la décomposition du nombre 897 924 289 en facteurs premiers est obtenue comme 897 924 289 = 937 967 991.

Répondre: 897 924 289 = 937 967 991.

Utilisation de tests de divisibilité pour la factorisation première

Pour factoriser un nombre en facteurs premiers, vous devez suivre un algorithme. Lorsqu'il y a de petits nombres, il est permis d'utiliser la table de multiplication et les signes de divisibilité. Regardons cela avec des exemples.

Exemple 5

S'il est nécessaire de factoriser 10, alors le tableau montre : 2 · 5 = 10. Les nombres 2 et 5 résultants sont des nombres premiers, ils sont donc des facteurs premiers du nombre 10.

Exemple 6

S'il faut décomposer le nombre 48, alors le tableau montre : 48 = 6 8. Mais 6 et 8 ne sont pas des facteurs premiers, puisqu'ils peuvent également être développés comme 6 = 2 3 et 8 = 2 4. Ensuite, le développement complet à partir d’ici est obtenu comme 48 = 6 8 = 2 3 2 4. La notation canonique prendra la forme 48 = 2 4 · 3.

Exemple 7

Lors de la décomposition du nombre 3400, vous pouvez utiliser les signes de divisibilité. Dans ce cas, les signes de divisibilité par 10 et 100 sont pertinents. De là, nous obtenons que 3 400 = 34 · 100, où 100 peut être divisé par 10, c'est-à-dire écrit 100 = 10 · 10, ce qui signifie que 3 400 = 34 · 10 · 10. Sur la base du test de divisibilité, nous trouvons que 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Tous les facteurs sont premiers. L'expansion canonique prend la forme 3 400 = 2 3 5 2 17.

Lorsque nous trouvons des facteurs premiers, nous devons utiliser des tests de divisibilité et des tables de multiplication. Si vous imaginez le nombre 75 comme un produit de facteurs, alors vous devez prendre en compte la règle de divisibilité par 5. Nous obtenons que 75 = 5 15 et 15 = 3 5. Autrement dit, l'expansion souhaitée est un exemple de la forme du produit 75 = 5 · 3 · 5.

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Que signifie l’affacturage ? Cela signifie trouver des nombres dont le produit est égal au nombre d'origine.

Pour comprendre ce que signifie factoriser, regardons un exemple.

Un exemple de factorisation d'un nombre

Factorisez le chiffre 8.

Le nombre 8 peut être représenté comme un produit de 2 par 4 :

Représenter 8 comme un produit de 2 * 4 signifie une factorisation.

Notez que ce n’est pas la seule factorisation de 8.

Après tout, 4 est factorisé comme ceci :

A partir de là, 8 peut être représenté :

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Vérifions notre réponse. Trouvons à quoi est égale la factorisation :

Autrement dit, nous avons obtenu le numéro d'origine, la réponse est correcte.

Factoriser le nombre 24 en facteurs premiers

Comment factoriser le nombre 24 en facteurs premiers ?

Un nombre est dit premier s’il n’est divisible que par un et par lui-même.

Le nombre 8 peut être représenté comme le produit de 3 par 8 :

Ici, le nombre 24 est factorisé. Mais le devoir dit « factoriser le nombre 24 en facteurs premiers », c'est-à-dire : Ce sont les facteurs premiers qui sont nécessaires. Et dans notre développement, 3 est un facteur premier et 8 n’est pas un facteur premier.

Que signifie l’affacturage ? Comment faire cela ? Que pouvez-vous apprendre en factorisant un nombre en facteurs premiers ? Les réponses à ces questions sont illustrées par des exemples précis.

Définitions :

Un nombre qui a exactement deux diviseurs différents est appelé premier.

Un nombre qui a plus de deux diviseurs est appelé composé.

Factoriser un nombre naturel signifie le représenter comme un produit de nombres naturels.

Factoriser un nombre naturel en facteurs premiers signifie le représenter comme un produit de nombres premiers.

Remarques :

• Dans la décomposition d'un nombre premier, l'un des facteurs est égal à un et l'autre est égal au nombre lui-même.
• Cela n’a aucun sens de parler de factorisation de l’unité.
• Un nombre composé peut être factorisé en facteurs dont chacun est différent de 1.

Lorsque vous factorisez de grands nombres en facteurs premiers, utilisez la notation en colonnes :

	Le plus petit nombre premier divisible par 216 est 2. Divisez 216 par 2. Nous obtenons 108.
	Le nombre résultant 108 est divisé par 2. Faisons la division. Le résultat est 54.
	D'après le test de divisibilité par 2, le nombre 54 est divisible par 2. Après division, nous obtenons 27.
	Le nombre 27 se termine par le chiffre impair 7. Il Non divisible par 2. Le prochain nombre premier est 3. Divisez 27 par 3. Nous obtenons 9. Moins premier Le nombre par lequel 9 est divisible est 3. Trois est lui-même un nombre premier, il est divisible par lui-même et par un. Divisons 3 par nous-mêmes. Au final, nous en avons eu 1.

• Un nombre n'est divisible que par les nombres premiers qui font partie de sa décomposition.
• Un nombre n'est divisible qu'en nombres composés dont la décomposition en facteurs premiers y est entièrement contenue.

Regardons des exemples :

Trouvez le quotient de la division du nombre a par le nombre b, si ces nombres sont décomposés en facteurs premiers comme suit : a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19 ; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Références

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathématiques 6ème année. - Gymnase. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Derrière les pages d'un manuel de mathématiques. - M. : Éducation, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaïkovski I.V. Devoirs pour le cours de mathématiques, 5e et 6e années. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaïkovski K.G. Mathématiques 5-6. Un manuel pour les élèves de 6e année de l'école par correspondance MEPhI. - M. : ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathématiques : Manuel-interlocuteur pour les 5-6 années du secondaire. - M. : Education, Bibliothèque des Professeurs de Mathématiques, 1989.

1. Portail Internet Matematika-na.ru ().
2. Portail Internet Math-portal.ru ().

Devoirs

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012. N° 127, N° 129, N° 141.
2. Autres tâches : n° 133, n° 144.

Ce calculateur en ligne décompose les nombres en facteurs premiers en énumérant les facteurs premiers. Si le nombre est grand, pour faciliter la présentation, utilisez un séparateur de chiffres.

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Factoriser un nombre en facteurs premiers - théorie, algorithme, exemples et solutions

L'une des façons les plus simples de factoriser un nombre est de vérifier si le nombre est divisible par 2, 3, 5,... etc., c'est-à-dire : vérifier si un nombre est divisible par une série de nombres premiers. Si le numéro n n'est divisible par aucun nombre premier jusqu'à , alors ce nombre est premier, car si le nombre est composite, alors il comporte au moins deux facteurs et tous deux ne peuvent pas être supérieurs à .

Imaginons l'algorithme de décomposition des nombres n en facteurs premiers. Préparons à l'avance un tableau de nombres premiers s=. Notons une série de nombres premiers par p 1 , p 2 , p 3 , ...

Algorithme de décomposition d'un nombre en facteurs premiers :

Exemple 1. Factoriser le nombre 153 en facteurs premiers.

Solution. Il nous suffit d'avoir une table de nombres premiers jusqu'à , c'est-à-dire 2, 3, 5, 7, 11.

Divisez 153 par 2. 153 n'est pas divisible par 2 sans reste. Ensuite, divisez 153 par l'élément suivant du tableau des nombres premiers, c'est-à-dire à 3. 153:3=51. Remplissez le tableau :

Ensuite, nous vérifions si le nombre 17 est divisible par 3. Le nombre 17 n'est pas divisible par 3. Il n'est pas divisible par les nombres 5, 7, 11. Le prochain diviseur est plus grand . Par conséquent, 17 est un nombre premier qui n’est divisible que par lui-même : 17 : 17 = 1. La procédure est arrêtée. remplissez le tableau :

Nous choisissons les diviseurs par lesquels les nombres 153, 51, 17 sont divisés sans reste, c'est-à-dire tous les chiffres sont du côté droit du tableau. Ce sont les diviseurs 3, 3, 17. Maintenant le nombre 153 peut être représenté comme un produit de nombres premiers : 153=3·3·17.

Exemple 2. Factoriser le nombre 137 en facteurs premiers.

Solution. Nous calculons . Cela signifie qu'il faut vérifier la divisibilité du nombre 137 par des nombres premiers jusqu'à 11 : 2,3,5,7,11. En divisant le nombre 137 par ces nombres un à un, on découvre que le nombre 137 n'est divisible par aucun des nombres 2,3,5,7,11. Donc 137 est un nombre premier.

Tout nombre composé peut être factorisé en facteurs premiers. Il peut y avoir plusieurs méthodes de décomposition. Les deux méthodes produisent le même résultat.

Comment factoriser un nombre en facteurs premiers de la manière la plus pratique ? Voyons comment procéder au mieux, à l'aide d'exemples spécifiques.

Exemples.

1) Factorisez le nombre 1400 en facteurs premiers.

1400 est divisible par 2. 2 est un nombre premier, il n'est pas nécessaire de le factoriser. Nous obtenons 700. Divisons-le par 2. Nous obtenons 350. Nous divisons également 350 par 2. Le nombre résultant 175 peut être divisé par 5. Le résultat est 35 - nous le divisons à nouveau par 5. Le total est de 7. Cela ne peut être que. divisé par 7. On obtient 1, division terminée.

Le même nombre peut être factorisé différemment :

Il est pratique de diviser 1400 par 10. 10 n’est pas un nombre premier, il doit donc être pris en compte en facteurs premiers : 10=2∙5. Le résultat est 140. Nous le divisons à nouveau par 10=2∙5. Nous obtenons 14. Si 14 est divisé par 14, alors il doit également être décomposé en un produit de facteurs premiers : 14=2∙7.

Ainsi, nous arrivons à nouveau à la même décomposition que dans le premier cas, mais plus rapidement.

Conclusion : lors de la décomposition d'un nombre, il n'est pas nécessaire de le diviser uniquement en facteurs premiers. Nous divisons par ce qui est plus pratique, par exemple par 10. N'oubliez pas de décomposer les diviseurs composés en facteurs simples.

2) Factorisez le nombre 1620 en facteurs premiers.