La circonférence de la base du cône. La surface totale du cône est

Voici des problèmes avec les cônes, l'état est lié à sa surface. En particulier, dans certains problèmes, il est question de modifier la surface lors de l'augmentation (diminution) de la hauteur du cône ou du rayon de sa base. Théorie pour résoudre des problèmes en . Considérons les tâches suivantes :

27135. La circonférence de la base du cône est 3, la génératrice est 2. Trouvez l'aire de la surface latérale du cône.

La surface latérale du cône est égale à :

Remplacement des données :

75697. Combien de fois l'aire de la surface latérale du cône augmentera-t-elle si sa génératrice est augmentée de 36 fois et que le rayon de la base reste le même ?

Surface latérale du cône :

La génératrice augmente 36 fois. Le rayon reste le même, ce qui signifie que la circonférence de la base n'a pas changé.

Cela signifie que la surface latérale du cône modifié aura la forme :

Ainsi, il augmentera de 36 fois.

*La relation est simple, ce problème peut donc être facilement résolu oralement.

27137. Combien de fois l'aire de la surface latérale du cône diminuera-t-elle si le rayon de sa base est réduit de 1,5 fois ?

La surface latérale du cône est égale à :

Le rayon diminue de 1,5 fois, soit :

Il a été constaté que la surface latérale diminuait de 1,5 fois.

27159. La hauteur du cône est de 6, le générateur est de 10. Trouvez l'aire de sa surface totale divisée par Pi.

Surface du cône complet :

Il faut trouver le rayon :

La hauteur et la génératrice sont connues, à l'aide du théorème de Pythagore on calcule le rayon :

Ainsi:

Divisez le résultat par Pi et notez la réponse.

76299. La surface totale du cône est de 108. Une section est tracée parallèlement à la base du cône, divisant la hauteur en deux. Trouvez la surface totale du cône coupé.

La section passe par le milieu de la hauteur parallèlement à la base. Cela signifie que le rayon de la base et la génératrice du cône coupé seront 2 fois inférieurs au rayon et à la génératrice du cône d'origine. Notons la surface du cône coupé :

Nous avons constaté qu'elle sera 4 fois inférieure à la surface de l'original, soit 108:4 = 27.

*Comme le cône original et le cône coupé sont des corps similaires, il était également possible d'utiliser la propriété de similarité :

27167. Le rayon de la base du cône est 3 et la hauteur est 4. Trouvez la surface totale du cône divisée par Pi.

Formule pour la surface totale d'un cône :

Le rayon est connu, il faut trouver la génératrice.

D'après le théorème de Pythagore :

Ainsi:

Divisez le résultat par Pi et notez la réponse.

Tâche. L'aire de la surface latérale du cône est quatre fois supérieure à l'aire de la base. Trouvez quel est le cosinus de l'angle entre la génératrice du cône et le plan de la base.

L'aire de la base du cône est :

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Type de cours : une leçon d'apprentissage de nouveau matériel en utilisant des éléments d'une méthode d'enseignement développemental basée sur des problèmes.

Objectifs de la leçon :

• pédagogique:
  • familiarisation avec un nouveau concept mathématique;
  • création de nouveaux centres de formation;
  • formation de compétences pratiques en résolution de problèmes.
• développement:
  • développement de la pensée indépendante des étudiants;
  • développement des compétences d'élocution correctes des écoliers.
• pédagogique:
  • développer les compétences de travail en équipe.

Matériel de cours : tableau magnétique, ordinateur, écran, projecteur multimédia, modèle conique, présentation du cours, polycopiés.

Objectifs du cours (pour les étudiants) :

• se familiariser avec un nouveau concept géométrique - le cône ;
• dériver une formule pour calculer la surface d'un cône ;
• apprendre à appliquer les connaissances acquises lors de la résolution de problèmes pratiques.

Progression de la leçon

Étape I. Organisationnel.

Remise des cahiers avec des travaux de tests à domicile sur le sujet abordé.

Les étudiants sont invités à découvrir le sujet de la leçon à venir en résolvant l'énigme (diapositive 1):

Graphique 1.

Annoncer le sujet et les objectifs de la leçon aux étudiants (diapositive 2).

Étape II. Explication du nouveau matériel.

1) Conférence du professeur.

Au tableau se trouve un tableau avec l’image d’un cône. Le nouveau matériel est expliqué accompagné du matériel de programme « Stéréométrie ». Une image tridimensionnelle d'un cône apparaît sur l'écran. L'enseignant donne la définition d'un cône et parle de ses éléments. (diapositive 3). On dit qu’un cône est un corps formé par la rotation d’un triangle rectangle par rapport à une jambe. (diapositives 4, 5). Une image d'un scan de la surface latérale du cône apparaît. (diapositive 6)

2) Travaux pratiques.

Actualisation des connaissances de base : répéter les formules de calcul de l'aire d'un cercle, de l'aire d'un secteur, de la longueur d'un cercle, de la longueur d'un arc de cercle. (diapositives 7 à 10)

La classe est divisée en groupes. Chaque groupe reçoit un scan de la surface latérale du cône découpé dans du papier (un secteur de cercle avec un numéro attribué). Les élèves prennent les mesures nécessaires et calculent l'aire du secteur résultant. Des instructions pour effectuer le travail, des questions - des énoncés de problèmes - apparaissent à l'écran (diapositives 11 à 14). Un représentant de chaque groupe note les résultats des calculs dans un tableau préparé au tableau. Les participants de chaque groupe collent ensemble un modèle de cône à partir du motif dont ils disposent. (diapositive 15)

3) Énoncé et solution du problème.

Comment calculer la surface latérale d'un cône si seuls le rayon de la base et la longueur de la génératrice du cône sont connus ? (diapositive 16)

Chaque groupe prend les mesures nécessaires et essaie de dériver une formule pour calculer la superficie requise en utilisant les données disponibles. En effectuant ce travail, les élèves doivent remarquer que la circonférence de la base du cône est égale à la longueur de l'arc du secteur - le développement de la surface latérale de ce cône. (diapositives 17 à 21) En utilisant les formules nécessaires, la formule souhaitée est dérivée. Les arguments des élèves devraient ressembler à ceci :

Le rayon de balayage du secteur est égal à je, mesure en degré de l'arc – φ. L'aire du secteur est calculée par la formule : la longueur de l'arc délimitant ce secteur est égale au rayon de la base du cône R. La longueur du cercle situé à la base du cône est C = 2πR . A noter que puisque l'aire de la surface latérale du cône est égale à l'aire de développement de sa surface latérale, alors

Ainsi, l'aire de la surface latérale du cône est calculée par la formule S DBO = πRl.

Après avoir calculé l'aire de la surface latérale du modèle de cône à l'aide d'une formule dérivée indépendamment, un représentant de chaque groupe écrit le résultat des calculs dans un tableau au tableau conformément aux numéros de modèle. Les résultats du calcul dans chaque ligne doivent être égaux. Sur cette base, l’enseignant détermine l’exactitude des conclusions de chaque groupe. Le tableau des résultats devrait ressembler à ceci :

Numéro de modèle.	Je tâche	IIème tâche
	(125/3)π ~ 41,67 π
	(425/9)π ~ 47,22 π
	(539/9)π ~ 59,89 π

Paramètres du modèle :

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

L'approximation des calculs est associée à des erreurs de mesure.

Après vérification des résultats, la sortie des formules pour les aires des surfaces latérales et totales du cône apparaît à l'écran (diapositives 22 à 26), les élèves prennent des notes dans des cahiers.

Stade III. Consolidation du matériel étudié.

1) Les étudiants se voient proposer problèmes de solution orale sur des dessins prêts à l'emploi.

Trouver les aires des surfaces complètes des cônes indiquées sur les figures (diapositives 27 à 32).

2) Question : Les aires des surfaces des cônes formés par la rotation d’un triangle rectangle autour de différentes jambes sont-elles égales ? Les élèves formulent une hypothèse et la testent. L'hypothèse est testée en résolvant des problèmes et écrite par l'élève au tableau.

Donné:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a ;

ВАА", АВВ" – les organes de rotation.

Trouver: S PPK 1, S PPK 2.

Graphique 5. (diapositive 33)

Solution:

1) R=BC = un; S PPK 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π une c + π une 2 = π une (une + c).

2) R = CA =b; S PPK 2 = S DBO 2 + S base 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Si S PPK 1 = S PPK 2, alors a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Parce que une, b, c – nombres positifs (les longueurs des côtés du triangle), l'égalité n'est vraie que si une =b.

Conclusion: Les surfaces de deux cônes ne sont égales que si les côtés du triangle sont égaux. (diapositive 34)

3) Résoudre le problème du manuel : n°565.

Stade IV. Résumer la leçon.

Devoirs: paragraphes 55, 56 ; N° 548, n° 561. (diapositive 35)

Annonce des notes attribuées.

Conclusions pendant le cours, répétition des principales informations reçues pendant le cours.

Littérature (diapositive 36)

1. Niveaux de géométrie 10-11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., « Prosveshchenie », 2008.
2. «Énigmes et charades mathématiques» - N.V. Udaltsova, bibliothèque « Premier septembre », série « MATHÉMATIQUES », numéro 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.

Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.

Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.

Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.

2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit à une pyramide quadrangulaire régulière est-il supérieur au volume d'un cône inscrit dans cette pyramide ?

C'est simple : dessinez la vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.

Autre point important. On se souvient que dans les problèmes de la partie B de l'examen d'État unifié de mathématiques, la réponse s'écrit sous la forme d'un nombre entier ou d'une fraction décimale finale. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».

Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.

Aujourd'hui, nous allons vous expliquer comment trouver la génératrice d'un cône, ce qui est souvent nécessaire dans les problèmes de géométrie scolaire.

Le concept de génératrice à cône

Un cône droit est une figure obtenue en faisant tourner un triangle rectangle autour d’une de ses pattes. La base du cône forme un cercle. La section verticale du cône est un triangle, la section horizontale est un cercle. La hauteur d'un cône est le segment reliant le sommet du cône au centre de la base. La génératrice d'un cône est un segment qui relie le sommet du cône à n'importe quel point de la ligne du cercle de base.

Puisqu'un cône est formé en faisant tourner un triangle rectangle, il s'avère que la première branche d'un tel triangle est l'altitude, la seconde est le rayon du cercle à la base et l'hypoténuse est la génératrice du cône. Il n'est pas difficile de deviner que le théorème de Pythagore est utile pour calculer la longueur du générateur. Et maintenant, comment trouver la longueur de la génératrice du cône.

Trouver le générateur

Le moyen le plus simple de comprendre comment trouver un générateur est de prendre un exemple spécifique. Supposons que les conditions suivantes du problème soient données : la hauteur est de 9 cm, le diamètre du cercle de base est de 18 cm. Il faut trouver une génératrice.

Ainsi, la hauteur du cône (9 cm) est l'une des branches du triangle rectangle à l'aide de laquelle ce cône s'est formé. La deuxième jambe sera le rayon du cercle de base. Le rayon est la moitié du diamètre. Ainsi, nous divisons le diamètre qui nous est donné en deux et obtenons la longueur du rayon : 18:2 = 9. Le rayon est 9.

Il est désormais très simple de trouver la génératrice du cône. Puisqu'il s'agit d'une hypoténuse, le carré de sa longueur sera égal à la somme des carrés des jambes, c'est-à-dire la somme des carrés du rayon et de la hauteur. Ainsi, le carré de la longueur du générateur = 64 (le carré de la longueur du rayon) + 64 (le carré de la longueur de la hauteur) = 64x2 = 128. Prenons maintenant la racine carrée de 128. Comme résultat, nous obtenons huit racines de deux. Ce sera la génératrice du cône.

Comme vous pouvez le constater, cela n’a rien de compliqué. Par exemple, nous avons pris des conditions simples du problème, mais dans un cours scolaire, elles peuvent être plus complexes. N'oubliez pas que pour calculer la longueur de la génératrice, vous devez connaître le rayon du cercle et la hauteur du cône. Connaissant ces données, il est facile de trouver la longueur de la génératrice.