Détermination de la tangente sinus cosinus dans un triangle rectangle. Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle aigu

Le rapport du côté opposé à l’hypoténuse s’appelle sinus d'un angle aigu triangle rectangle.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle

Le rapport entre la jambe adjacente et l'hypoténuse est appelé cosinus d'un angle aigu triangle rectangle.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle

Le rapport du côté opposé au côté adjacent est appelé tangente d'un angle aigu triangle rectangle.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle

Le rapport du côté adjacent au côté opposé est appelé cotangente d'un angle aigu triangle rectangle.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus d'un angle arbitraire

L'ordonnée d'un point du cercle unité auquel correspond l'angle \alpha est appelée sinus d'un angle arbitraire rotation \alpha .

\sin\alpha=y

Cosinus d'un angle arbitraire

L'abscisse d'un point du cercle unité auquel correspond l'angle \alpha est appelée cosinus d'un angle arbitraire rotation \alpha .

\cos \alpha=x

Tangente d'un angle arbitraire

Le rapport du sinus d’un angle de rotation arbitraire \alpha à son cosinus est appelé tangente d'un angle arbitraire rotation \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente d'un angle arbitraire

Le rapport du cosinus d’un angle de rotation arbitraire \alpha à son sinus est appelé cotangente d'un angle arbitraire rotation \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un exemple de recherche d'un angle arbitraire

Si \alpha est un angle AOM, où M est un point sur le cercle unité, alors

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Par exemple, si \angle AOM = -\frac(\pi)(4), alors : l'ordonnée du point M est égale à -\frac(\sqrt(2))(2), l'abscisse est égale à \frac(\sqrt(2))(2) et donc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

CTG \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tableau des valeurs des sinus des cosinus des tangentes des cotangentes

Les valeurs des principaux angles fréquents sont données dans le tableau :

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\gauche(\pi\droite)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\gauche(2\pi\droite)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\ sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle vous aidera à comprendre un triangle rectangle.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté \(AC\)) ; les jambes sont les deux côtés restants \(AB\) et \(BC\) (ceux adjacents à l'angle droit), et si l'on considère les jambes par rapport à l'angle \(BC\), alors la jambe \(AB\) est la jambe adjacente et la jambe \(BC\) est opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle– c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus de l'angle– c’est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l’hypoténuse.

Dans notre triangle :

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente de l'angle– c’est le rapport entre le côté opposé (distant) et le côté adjacent (proche).

Dans notre triangle :

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente d'angle– c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (lointaine).

Dans notre triangle :

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Vous ne me croyez pas ? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Considérons, par exemple, le cosinus de l'angle \(\beta \) . Par définition, à partir d'un triangle \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mais on peut calculer le cosinus de l'angle \(\beta \) à partir du triangle \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle \(ABC \) représenté dans la figure ci-dessous, on trouve \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l'angle \(\beta \) .

Réponses : \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à \(1\) . Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du rayon vecteur est fixée le long de la direction positive de l'axe \(x\) (dans notre exemple, ce est le rayon \(AB\)).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe \(x\) et la coordonnée le long de l'axe \(y\). Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons le triangle \(ACG\) . Il est rectangulaire car \(CG\) est perpendiculaire à l'axe \(x\).

Qu'est-ce que \(\cos \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? C'est exact \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). De plus, nous savons que \(AC\) est le rayon du cercle unité, ce qui signifie \(AC=1\) . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

À quoi est égal \(\sin \ \alpha \) du triangle \(ACG \) ? Eh bien bien sûr \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Remplacez la valeur du rayon \(AC\) dans cette formule et obtenez :

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées du point \(C\) appartenant au cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous réalisiez que \(\cos \ \alpha \) et \(\sin \alpha \) ne sont que des nombres ? À quelle coordonnée correspond \(\cos \alpha \) ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée \(x\) ! Et à quelle coordonnée correspond \(\sin \alpha \) ? C'est vrai, coordonnez \(y\) ! Donc le point \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

À quoi sont alors égaux \(tg \alpha \) et \(ctg \alpha \) ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : angle (comme adjacent à l'angle \(\beta \) ). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée \(y\) ; la valeur du cosinus de l'angle – coordonnée \(x\) ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe \(x\). Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre – négatif.

Ainsi, nous savons que la révolution entière du rayon vecteur autour du cercle est \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de \(390()^\circ \) ou de \(-1140()^\circ \) ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Dans le premier cas, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), ainsi, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Dans le deuxième cas, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier), correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre l'angle \(\beta =-60()^\circ \) . La même image correspond au coin \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (où \(m \) est n'importe quel nombre entier)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(tableau)\)

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin dans \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) correspond à un point de coordonnées \(\left(0;1 \right) \) , donc :

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- n'existe pas ;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins de \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondent à des points avec des coordonnées \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \droite) \), respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses :

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- n'existe pas

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- n'existe pas

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- n'existe pas

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Vous devez vous en souvenir ou pouvoir l'afficher !! \) !}

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) indiqué dans le tableau ci-dessous, vous devez vous rappeler :

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple de mémorisation assez simple des valeurs correspondantes :

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de se souvenir des valeurs sinusoïdales pour les trois mesures d'angle ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en \(30()^\circ \) . Connaissant ces valeurs \(4\), il est assez simple de restituer l'ensemble du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(tableau)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Le numérateur "\(1 \)" correspondra à \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) et le dénominateur "\(\sqrt(\text(3)) \)" correspondra à \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser uniquement les valeurs \(4\) du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaissant les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation ? Eh bien, bien sûr, vous pouvez ! Dérivons une formule générale pour trouver les coordonnées d'un point. Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous donne ce point \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centre du cercle. Le rayon du cercle est \(1.5\) . Il faut trouver les coordonnées du point \(P\) obtenues en faisant pivoter le point \(O\) de \(\delta \) degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée \(x\) du point \(P\) correspond à la longueur du segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . La longueur du segment \(UK\) correspond à la coordonnée \(x\) du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à \(3\) . La longueur du segment \(KQ\) peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Alors on a que pour le point \(P\) la coordonnée \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

En utilisant la même logique, on trouve la valeur de la coordonnée y du point \(P\) . Ainsi,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Ainsi, en général, les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tableau) \), Où

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonnées du centre du cercle,

\(r\) - rayon du cercle,

\(\delta \) - angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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Niveau intermédiaire

Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)

TRIANGLE RECTANGULAIRE. NIVEAU D'ENTRÉE.

Dans les problèmes, l'angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,

et en cela

et en cela

Qu'est-ce qu'il y a de bien dans un triangle rectangle ? Eh bien... tout d'abord, il existe de beaux noms spéciaux pour ses côtés.

Attention au dessin !

Rappelez-vous et ne confondez pas : il y a deux jambes et il n'y a qu'une seule hypoténuse(le seul et l'unique, l'unique et le plus long) !

Eh bien, nous avons discuté des noms, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore.

Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Cela a été prouvé par Pythagore à des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors, cela a apporté de nombreux avantages à ceux qui le connaissent. Et le meilleur, c’est que c’est simple.

Donc, Théorème de Pythagore :

Vous souvenez-vous de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ! » ?

Dessinons ces mêmes pantalons pythagoriciens et regardons-les.

Est-ce que ça ne ressemble pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux ? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est précisément liée au théorème de Pythagore, ou plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé ainsi :

"Somme superficies de carrés, construit sur les jambes, est égal à surface carrée, construit sur l'hypoténuse."

Cela semble-t-il vraiment un peu différent ? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l’énoncé de son théorème, c’est exactement l’image qui en est ressortie.

Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon pythagoricien.

Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore ?

Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?

Vous voyez, dans les temps anciens, il n’y avait pas… d’algèbre ! Il n'y avait aucun signe, etc. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point il était terrible pour les pauvres anciens étudiants de se souvenir de tout avec des mots ??! Et nous pouvons nous réjouir d’avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :

Cela devrait être facile maintenant :

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

Eh bien, le théorème le plus important sur les triangles rectangles a été discuté. Si vous êtes intéressé par la manière dont cela est prouvé, lisez les niveaux de théorie suivants, et maintenant allons plus loin... dans la forêt sombre... la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.

En fait, tout n'est pas si effrayant du tout. Bien entendu, la « vraie » définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente devrait être examinée dans l’article. Mais je n’en ai vraiment pas envie, n’est-ce pas ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes concernant un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Pourquoi tout se passe-t-il au coin de la rue ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous !

1.
En fait, cela ressemble à ceci :

Et l'angle ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c’est-à-dire une jambe opposée (pour un angle) ? Bien sûr qu'il y en a ! C'est une jambe !

Et l'angle ? Regardez attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Cela signifie que pour l'angle la jambe est adjacente, et

Maintenant, faites attention ! Regardez ce que nous avons :

Voyez comme c'est cool :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je écrire cela avec des mots maintenant ? Quelle est la jambe par rapport à l’angle ? En face, bien sûr, il « se trouve » en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu’avons-nous ?

Voyez-vous comment le numérateur et le dénominateur ont changé de place ?

Et maintenant les coins à nouveau et fait un échange :

CV

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore :

Le théorème principal concernant les triangles rectangles est le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Si ce n'est pas très bon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est fort possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore à plusieurs reprises, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver ? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Voyez avec quelle habileté nous avons divisé ses côtés en segments de longueurs et !

Maintenant, connectons les points marqués

Ici, nous avons cependant noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et vous demandez pourquoi il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droite, . Qu'en est-il d'une zone plus petite ? Certainement, . La superficie totale des quatre coins demeure. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et que nous les appuyions l'un contre l'autre avec leurs hypoténuses. Ce qui s'est passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des « coupes » est égale.

Rassemblons tout cela maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore et prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vraies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport du côté adjacent au côté opposé.

Et encore une fois tout cela sous forme de tablette :

C'est très pratique !

Signes d'égalité des triangles rectangles

I. Des deux côtés

II. Par jambe et hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Le long de la jambe et de l'angle aigu

un)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient « appropriées ». Par exemple, si cela se passe comme ceci :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils ont un angle aigu identique.

Il faut que dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, elle était opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes habituels d'égalité des triangles ? Regardez le sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles « ordinaires », trois de leurs éléments doivent être égaux : deux côtés et l'angle qui les sépare, deux angles et le côté qui les sépare, ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, non ?

La situation est à peu près la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Selon un angle aigu

II. Des deux côtés

III. Par jambe et hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi est-ce ainsi ?

Au lieu d’un triangle rectangle, considérons un rectangle entier.

Traçons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que savez-vous des diagonales d’un rectangle ?

Et qu’est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c’est que le contraire soit également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse soit égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regardez attentivement. Nous avons : , c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais il n'y a qu'un seul point dans le triangle, dont les distances des trois sommets du triangle sont égales, et c'est le CENTRE DU CERCLE. Alors que s'est-il passé ?

Alors commençons par ce « en plus… ».

Regardons et.

Mais les triangles semblables ont tous des angles égaux !

On peut dire la même chose de et

Maintenant, dessinons-le ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similarité ?

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons les relations des parties correspondantes :

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Alors, appliquons la similarité : .

Que va-t-il se passer maintenant ?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Vous devez très bien vous souvenir de ces deux formules et utiliser celle qui est la plus pratique. Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes : .

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux côtés :
• par jambe et hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin aigu : ou
• de la proportionnalité de deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté opposé au côté adjacent :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent au côté opposé : .

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse : .

Aire d'un triangle rectangle :

• via les jambes :

L’un des domaines mathématiques avec lesquels les élèves ont le plus de difficultés est la trigonométrie. Ce n'est pas surprenant : pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, il faut une pensée spatiale, la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes à l'aide de formules, de simplifier des expressions et d'être capable d'utiliser le nombre pi dans calculs. De plus, vous devez être capable d'utiliser la trigonométrie pour prouver des théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de dériver des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

Se familiariser avec cette science doit commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, le principal objet d’étude dans cette branche de la science mathématique était les triangles rectangles. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question à l'aide de deux côtés et d'un angle ou de deux angles et d'un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même dans l'art.

Étape initiale

Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés exclusivement en utilisant l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans la vie quotidienne de cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les élèves utilisent les connaissances acquises en physique et en résolvant des équations trigonométriques abstraites, qui commencent au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint un niveau de développement supérieur, des formules avec sinus, cosinus, tangente et cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent et où la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il est nécessaire de connaître son existence, au moins parce que la surface de la Terre, et celle de toute autre planète, est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera « en forme d'arc » dans espace tridimensionnel.

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Attention, il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique traite de telles formes, qui sont utilisées en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle de 90 degrés. C'est le plus long. On rappelle que selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il faut se rappeler que la somme des angles d’un triangle dans un système de coordonnées rectangulaires est égale à 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une bonne compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si dans votre réponse à un problème vous obtenez un sinus ou un cosinus d'une valeur supérieure à 1, recherchez une erreur dans les calculs ou le raisonnement. Cette réponse est clairement incorrecte.

Enfin, la tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. En divisant le sinus par le cosinus, on obtient le même résultat. Regardez : d'après la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, on obtient la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente est donc le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant un par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons passer aux formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, vous ne pouvez pas vous passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c’est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle permet de gagner du temps si l'on a besoin de connaître la taille de l'angle plutôt que son côté.

De nombreux élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire pour résoudre des problèmes scolaires : la somme de un et du carré de la tangente d'un angle est égale à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s'avère qu'une simple opération mathématique rend la formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : connaissant ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de transformation et plusieurs formules de base, vous pouvez à tout moment dériver les formules plus complexes requises sur une feuille de papier.

Formules pour les angles doubles et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - pour vous entraîner, essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être réorganisées pour réduire la puissance du sinus, du cosinus et de la tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. A l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule que diviser la longueur de chaque côté d’un triangle par l’angle opposé donne le même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle contenant tous les points d'un triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s’avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison de la distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus courantes.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions en décimales jusqu'à ce que vous obteniez le résultat final - vous pouvez également laisser la réponse sous forme de fraction, sauf indication contraire dans les conditions. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d’erreur, mais il ne faut pas oublier qu’à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître qui, selon l’idée de l’auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez votre temps en opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou la racine de deux, car elles se retrouvent dans les problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « laids ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s’applique à n’importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. N'oubliez pas ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie car ils n'en comprennent pas le sens pratique. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts avec lesquels vous pouvez calculer la distance jusqu'à des étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite ou envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie, sous une forme ou une autre, est utilisée partout, de la musique à la médecine.

En conclusion

Donc tu es sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l’intérêt de la trigonométrie réside dans le fait qu’en utilisant les paramètres connus d’un triangle, vous devez calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total : la longueur de trois côtés et la taille de trois angles. La seule différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont fournies.

Vous savez maintenant comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse. Étant donné que ces termes ne signifient rien de plus qu'un rapport et qu'un rapport est une fraction, l'objectif principal d'un problème de trigonométrie est de trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations. Et ici, les mathématiques scolaires régulières vous aideront.

Conférence: Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle arbitraire

Sinus, cosinus d'un angle arbitraire

Pour comprendre ce que sont les fonctions trigonométriques, regardons un cercle de rayon unité. Ce cercle a un centre à l'origine sur le plan de coordonnées. Pour déterminer les fonctions données, nous utiliserons le vecteur rayon OU, qui commence au centre du cercle, et le point R. est un point du cercle. Ce rayon vecteur forme un angle alpha avec l'axe OH. Puisque le cercle a un rayon égal à un, alors OU = R = 1.

Si du point de vue R. abaisser la perpendiculaire à l'axe OH, alors on obtient un triangle rectangle avec une hypoténuse égale à un.

Si le rayon vecteur se déplace dans le sens des aiguilles d'une montre, alors cette direction est appelée négatif, s'il se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre - positif.

Sinus de l'angle OU, est l'ordonnée du point R. vecteur sur un cercle.

Autrement dit, pour obtenir la valeur du sinus d'un angle alpha donné, il est nécessaire de déterminer la coordonnée U dans un avion.

Comment cette valeur a-t-elle été obtenue ? Puisque nous savons que le sinus d’un angle arbitraire dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l’hypoténuse, nous obtenons que

Et depuis R=1, Que péché(α) = y 0 .

Dans un cercle unité, la valeur de l'ordonnée ne peut être inférieure à -1 et supérieure à 1, ce qui signifie

Le sinus prend une valeur positive dans le premier et le deuxième quart du cercle unité, et négative dans le troisième et le quatrième.

Cosinus de l'angle cercle donné formé par le rayon vecteur OU, est l'abscisse du point R. vecteur sur un cercle.

Autrement dit, pour obtenir la valeur du cosinus d'un angle alpha donné, il est nécessaire de déterminer la coordonnée X dans un avion.

Le cosinus d'un angle arbitraire dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse, on obtient ça

Et depuis R=1, Que cos(α) = x 0 .

Dans le cercle unité, la valeur de l'abscisse ne peut être inférieure à -1 et supérieure à 1, ce qui signifie

Le cosinus prend une valeur positive dans les premier et quatrième quarts du cercle unité, et négative dans les deuxième et troisième.

Tangenteangle arbitraire Le rapport sinus/cosinus est calculé.

Si nous considérons un triangle rectangle, alors c'est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Si nous parlons du cercle unité, alors c'est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse.

À en juger par ces relations, on peut comprendre que la tangente ne peut pas exister si la valeur de l'abscisse est nulle, c'est-à-dire à un angle de 90 degrés. La tangente peut prendre toutes les autres valeurs.

La tangente est positive dans les premier et troisième quarts du cercle unité et négative dans les deuxième et quatrième.