Le rapport de la ligne médiane du trapèze à la base. Géométrie N. Nikitin

QUADRANGLES.

§ 49. TRAPÈZE.

Un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont parallèles et les deux autres ne sont pas parallèles est appelé un trapèze.

Sur le dessin 252, le quadrilatère ABDC AB || CD, CA || BD ABDC - trapèze.

Les côtés parallèles d'un trapèze sont appelés ses terrains; AB et CD sont les bases du trapèze. Les deux autres côtés sont appelés côtés trapèze; AC et BD sont les côtés du trapèze.

Si les côtés sont égaux, alors un trapèze est appelé isocèle.

Le trapèze ABOM est isocèle, puisque AM=BO (Fig. 253).

Un trapèze dont l'un des côtés est perpendiculaire à la base est appelé rectangulaire(dév. 254).

La ligne médiane d'un trapèze est un segment qui relie les milieux des côtés du trapèze.

Théorème. La ligne médiane d'un trapèze est parallèle à chacune de ses bases et est égale à leur demi-somme.

Donné: OS - la ligne médiane du trapèze ABDK, c'est-à-dire OK \u003d OA et BC \u003d CD (Fig. 255).

Nous devons prouver :

1) SE || KD et système d'exploitation || UN B;
2)

Preuve. Tracez une ligne passant par les points A et C qui coupe le prolongement de la base KD en un point E.

Dans les triangles ABC et DCE :
BC \u003d CD - par état;
/ 1 = / 2 comme verticale,
/ 4 = / 3, dans le sens transversal interne avec les parallèles AB et KE et la sécante BD. Ainsi, /\ ABC = /\ DSE.

Par conséquent, AC = CE, c'est-à-dire OS est la ligne médiane du triangle KAE. Ainsi (§ 48) :

1) SE || KE et donc OS || KD et système d'exploitation || UN B;
2) , mais DE \u003d AB (de l'égalité des triangles ABC et DCE), de sorte que le segment DE peut être remplacé par le segment AB qui lui est égal. Alors on obtient :

Le théorème a été démontré.

Des exercices.

1. Démontrer que la somme des angles intérieurs d'un trapèze adjacent à chaque côté est 2 d.

2. Démontrer que les angles à la base d'un trapèze isocèle sont égaux.

3. Montrer que si les angles à la base d'un trapèze sont égaux, alors ce trapèze est isocèle.

4. Démontrer que les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales entre elles.

5. Montrer que si les diagonales d'un trapèze sont égales, alors ce trapèze est isocèle.

6. Démontrer que le périmètre de la figure formée par les segments reliant les milieux des côtés du quadrilatère est égal à la somme des diagonales de ce quadrilatère.

7. Démontrer qu'une droite passant par le milieu d'un des côtés du trapèze parallèle à ses bases divise en deux l'autre côté du trapèze.

Le concept de la ligne médiane du trapèze

Rappelons tout d'abord quelle figure s'appelle un trapèze.

Définition 1

Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres ne sont pas parallèles.

Dans ce cas, les côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze, et non parallèles - les côtés du trapèze.

Définition 2

La ligne médiane d'un trapèze est un segment de ligne qui relie les milieux des côtés du trapèze.

Théorème de la ligne médiane du trapèze

Nous introduisons maintenant le théorème sur la ligne médiane d'un trapèze et le prouvons par la méthode vectorielle.

Théorème 1

La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme.

Preuve.

Soit un trapèze $ABCD$ de bases $AD\ et\ BC$. Et soit $MN$ la ligne médiane de ce trapèze (Fig. 1).

Figure 1. La ligne médiane du trapèze

Montrons que $MN||AD\ et\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considérez le vecteur $\overrightarrow(MN)$. Ensuite, nous utilisons la règle du polygone pour l'addition de vecteurs. D'une part, on comprend que

D'un autre côté

En additionnant les deux dernières égalités, on obtient

Puisque $M$ et $N$ sont les milieux des côtés du trapèze, on a

On a:

Ainsi

A partir de la même égalité (puisque $\overrightarrow(BC)$ et $\overrightarrow(AD)$ sont codirectionnels et donc colinéaires), on obtient que $MN||AD$.

Le théorème a été démontré.

Exemples de tâches sur le concept de la ligne médiane d'un trapèze

Exemple 1

Les côtés du trapèze sont respectivement $15\cm$ et $17\cm$. Le périmètre du trapèze est $52\cm$. Trouver la longueur de la ligne médiane du trapèze.

Solution.

Dénotons la ligne médiane du trapèze par $n$.

La somme des côtés est

Donc, puisque le périmètre est $52\ cm$, la somme des bases est

Ainsi, d'après le théorème 1, on obtient

Répondre: 10 $\cm$.

Exemple 2

Les extrémités du diamètre du cercle sont respectivement à $9$ cm et $5$ cm de sa tangente. Trouve le diamètre de ce cercle.

Solution.

Soit donné un cercle de centre $O$ et de diamètre $AB$. Tracez la tangente $l$ et construisez les distances $AD=9\ cm$ et $BC=5\ cm$. Traçons le rayon $OH$ (Fig. 2).

Figure 2.

Puisque $AD$ et $BC$ sont les distances à la tangente, alors $AD\bot l$ et $BC\bot l$ et puisque $OH$ est le rayon, alors $OH\bot l$, donc $OH | \left|AD\right||BC$. De tout cela, nous obtenons que $ABCD$ est un trapèze, et $OH$ est sa ligne médiane. D'après le théorème 1, on obtient

1. Le segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égal à la moitié de la différence des bases
2. Les triangles formés par les bases du trapèze et les segments des diagonales jusqu'au point de leur intersection sont semblables
3. Triangles formés par des segments des diagonales d'un trapèze, dont les côtés reposent sur les côtés du trapèze - aire égale (ont la même aire)
4. Si nous prolongeons les côtés du trapèze vers la plus petite base, ils se croiseront en un point avec la ligne droite reliant les milieux des bases
5. Le segment reliant les bases du trapèze, et passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze, est divisé par ce point dans une proportion égale au rapport des longueurs des bases du trapèze
6. Un segment parallèle aux bases du trapèze et tracé par le point d'intersection des diagonales est bissecté par ce point, et sa longueur est égale à 2ab / (a ​​​​+ b), où a et b sont les bases du trapèze

Propriétés d'un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze

Reliez les milieux des diagonales du trapèze ABCD, à la suite de quoi nous aurons un segment LM.
Un segment de droite qui joint les milieux des diagonales d'un trapèze se trouve sur la ligne médiane du trapèze.

Ce segment parallèle aux bases du trapèze.

La longueur du segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égale à la demi-différence de ses bases.

LM = (AD - BC)/2
ou
LM = (a-b)/2

Propriétés des triangles formés par les diagonales d'un trapèze

Les triangles formés par les bases du trapèze et le point d'intersection des diagonales du trapèze - sont similaires.
Les triangles BOC et AOD sont similaires. Comme les angles BOC et AOD sont verticaux, ils sont égaux.
Les angles OCB et OAD sont internes et croisés sur les lignes parallèles AD et BC (les bases du trapèze sont parallèles entre elles) et la ligne sécante AC, ils sont donc égaux.
Les angles OBC et ODA sont égaux pour la même raison (croisement interne).

Puisque les trois angles d'un triangle sont égaux aux angles correspondants d'un autre triangle, ces triangles sont similaires.

Qu'en découle-t-il ?

Pour résoudre des problèmes de géométrie, la similitude des triangles est utilisée comme suit. Si nous connaissons les longueurs des deux éléments correspondants de triangles similaires, alors nous trouvons le coefficient de similitude (nous divisons l'un par l'autre). D'où les longueurs de tous les autres éléments sont liées les unes aux autres par exactement la même valeur.

Propriétés des triangles situés sur le côté latéral et des diagonales d'un trapèze

Considérons deux triangles situés sur les côtés du trapèze AB et CD. Ce sont les triangles AOB et COD. Malgré le fait que les tailles des côtés individuels de ces triangles peuvent être complètement différentes, mais les aires des triangles formés par les côtés et le point d'intersection des diagonales du trapèze sont, c'est-à-dire que les triangles sont égaux.

Si les côtés du trapèze sont prolongés vers la plus petite base, alors le point d'intersection des côtés sera coïncider avec une ligne droite passant par les milieux des bases.

Ainsi, tout trapèze peut être étendu à un triangle. Où:

• Les triangles formés par les bases d'un trapèze avec un sommet commun au point d'intersection des côtés étendus sont similaires
• La droite reliant les milieux des bases du trapèze est, en même temps, la médiane du triangle construit

Propriétés d'un segment reliant les bases d'un trapèze

Si vous dessinez un segment dont les extrémités se trouvent sur les bases du trapèze, qui se trouve au point d'intersection des diagonales du trapèze (KN), alors le rapport de ses segments constitutifs du côté de la base au point d'intersection du diagonales (KO / ON) sera égal au rapport des bases du trapèze(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Cette propriété découle de la similitude des triangles correspondants (voir ci-dessus).

Propriétés d'un segment parallèle aux bases d'un trapèze

Si vous dessinez un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze, alors il aura les propriétés suivantes :

• Distance prédéfinie (KM) coupe en deux le point d'intersection des diagonales du trapèze
• Longueur de coupe, passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze et parallèle aux bases, est égal à KM = 2ab/(a + b)

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze

un B- bases d'un trapèze

c, ré- côtés du trapèze

d1 d2- diagonales d'un trapèze

α β - angles avec une plus grande base du trapèze

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze à travers les bases, les côtés et les angles à la base

Le premier groupe de formules (1-3) reflète l'une des principales propriétés des diagonales trapézoïdales :

1. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés des côtés plus le double du produit de ses bases. Cette propriété des diagonales d'un trapèze peut être prouvée comme un théorème séparé

2 . Cette formule est obtenue en transformant la formule précédente. Le carré de la deuxième diagonale est jeté sur le signe égal, après quoi la racine carrée est extraite des côtés gauche et droit de l'expression.

3 . Cette formule pour trouver la longueur de la diagonale d'un trapèze est similaire à la précédente, à la différence qu'une autre diagonale est laissée sur le côté gauche de l'expression

Le groupe suivant de formules (4-5) a une signification similaire et exprime une relation similaire.

Le groupe de formules (6-7) vous permet de trouver la diagonale d'un trapèze si vous connaissez la plus grande base du trapèze, un côté et l'angle à la base.

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze en fonction de la hauteur

Note. Dans cette leçon, la solution des problèmes de géométrie concernant les trapèzes est donnée. Si vous n'avez pas trouvé de solution au problème de géométrie du type qui vous intéresse - posez une question sur le forum.

Tâche.
Les diagonales du trapèze ABCD (AD | | BC) se coupent au point O. Trouver la longueur de la base BC du trapèze si la base AD = 24 cm, la longueur AO = 9 cm, la longueur OS = 6 cm.

Solution.
La solution de cette tâche est absolument identique aux tâches précédentes en termes d'idéologie.

Les triangles AOD et BOC sont similaires dans trois angles - AOD et BOC sont verticaux et les angles restants sont égaux deux à deux, car ils sont formés par l'intersection d'une ligne et de deux lignes parallèles.

Puisque les triangles sont semblables, alors toutes leurs dimensions géométriques sont liées les unes aux autres, comme les dimensions géométriques des segments AO et OC que nous connaissons par la condition du problème. C'est

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / av. J.-C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Répondre: 16cm

Tâche .
Dans le trapèze ABCD on sait que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Trouvez l'aire du trapèze.

Solution .
Pour trouver la hauteur d'un trapèze à partir des sommets des plus petites bases B et C, nous abaissons deux hauteurs sur la plus grande base. Comme le trapèze est inégal, on note la longueur AM = a, la longueur KD = b ( à ne pas confondre avec les symboles de la formule trouver l'aire d'un trapèze). Puisque les bases du trapèze sont parallèles et que nous avons omis deux hauteurs perpendiculaires à la plus grande base, alors MBCK est un rectangle.

Moyens
AD=AM+BC+KD
un + 8 + b = 24
un = 16 - b

Les triangles DBM et ACK sont rectangles, donc leurs angles droits sont formés par les hauteurs du trapèze. Notons h la hauteur du trapèze. Alors par le théorème de Pythagore

H 2 + (24 - un) 2 \u003d (5√17) 2
Et
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Considérez que a \u003d 16 - b, puis dans la première équation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Remplacez la valeur du carré de la hauteur dans la deuxième équation, obtenue par le théorème de Pythagore. On a:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Ainsi, KD = 12
Où
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Trouver l'aire d'un trapèze en utilisant sa hauteur et la moitié de la somme des bases
, où a b - les bases du trapèze, h - la hauteur du trapèze
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Répondre: l'aire d'un trapèze est de 80 cm2.

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Le concept de la ligne médiane du trapèze

Rappelons tout d'abord quelle figure s'appelle un trapèze.

Définition 1

Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et les deux autres ne sont pas parallèles.

Dans ce cas, les côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze, et non parallèles - les côtés du trapèze.

Définition 2

La ligne médiane d'un trapèze est un segment de ligne qui relie les milieux des côtés du trapèze.

Théorème de la ligne médiane du trapèze

Nous introduisons maintenant le théorème sur la ligne médiane d'un trapèze et le prouvons par la méthode vectorielle.

Théorème 1

La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme.

Preuve.

Soit un trapèze $ABCD$ de bases $AD\ et\ BC$. Et soit $MN$ la ligne médiane de ce trapèze (Fig. 1).

Figure 1. La ligne médiane du trapèze

Montrons que $MN||AD\ et\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Considérez le vecteur $\overrightarrow(MN)$. Ensuite, nous utilisons la règle du polygone pour l'addition de vecteurs. D'une part, on comprend que

D'un autre côté

En additionnant les deux dernières égalités, on obtient

Puisque $M$ et $N$ sont les milieux des côtés du trapèze, on a

On a:

Ainsi

A partir de la même égalité (puisque $\overrightarrow(BC)$ et $\overrightarrow(AD)$ sont codirectionnels et donc colinéaires), on obtient que $MN||AD$.

Le théorème a été démontré.

Exemples de tâches sur le concept de la ligne médiane d'un trapèze

Exemple 1

Les côtés du trapèze sont respectivement $15\cm$ et $17\cm$. Le périmètre du trapèze est $52\cm$. Trouver la longueur de la ligne médiane du trapèze.

Solution.

Dénotons la ligne médiane du trapèze par $n$.

La somme des côtés est

Donc, puisque le périmètre est $52\ cm$, la somme des bases est

Ainsi, d'après le théorème 1, on obtient

Répondre: 10 $\cm$.

Exemple 2

Les extrémités du diamètre du cercle sont respectivement à $9$ cm et $5$ cm de sa tangente. Trouve le diamètre de ce cercle.

Solution.

Soit donné un cercle de centre $O$ et de diamètre $AB$. Tracez la tangente $l$ et construisez les distances $AD=9\ cm$ et $BC=5\ cm$. Traçons le rayon $OH$ (Fig. 2).

Figure 2.

Puisque $AD$ et $BC$ sont les distances à la tangente, alors $AD\bot l$ et $BC\bot l$ et puisque $OH$ est le rayon, alors $OH\bot l$, donc $OH | \left|AD\right||BC$. De tout cela, nous obtenons que $ABCD$ est un trapèze, et $OH$ est sa ligne médiane. D'après le théorème 1, on obtient