Ph est la bissectrice perpendiculaire au segment. Propriétés de la médiatrice perpendiculaire à un segment

Niveau d'entrée

Cercle circonscrit. Guide visuel (2019)

La première question qui peut se poser est : qu’est-ce qui est décrit – autour de quoi ?

Bon, en fait, parfois ça arrive autour de n'importe quoi, mais on parlera d'un cercle circonscrit autour (parfois on dit aussi « à propos ») d'un triangle. Qu'est-ce que c'est?

Et imaginez, un fait étonnant se produit :

Pourquoi ce fait est-il surprenant ?

Mais les triangles sont différents !

Et pour chacun il y a un cercle qui passera par à travers les trois sommets, c'est-à-dire le cercle circonscrit.

La preuve de ce fait étonnant peut être trouvée dans les niveaux suivants de la théorie, mais ici nous notons seulement que si nous prenons, par exemple, un quadrilatère, alors pour tout le monde il n'y aura pas de cercle passant par quatre sommets. Par exemple, un parallélogramme est un excellent quadrilatère, mais il n’existe pas de cercle passant par ses quatre sommets !

Et il n'y a que pour un rectangle :

Voici, et chaque triangle a toujours son cercle circonscrit ! Et c’est même toujours assez simple de retrouver le centre de ce cercle.

Savez-vous ce que c'est médiatrice?

Voyons maintenant ce qui se passe si l’on considère jusqu’à trois médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Il s’avère (et c’est précisément ce qui doit être prouvé, même si nous ne le ferons pas) que les trois perpendiculaires se coupent en un point. Regardez l'image : les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un point.

Pensez-vous que le centre du cercle circonscrit se trouve toujours à l’intérieur du triangle ? Imaginez - pas toujours !

Mais si à angle aigu, puis - à l'intérieur :

Que faire avec un triangle rectangle ?

Et avec un bonus supplémentaire :

Puisque nous parlons du rayon du cercle circonscrit : à quoi est-il égal pour un triangle arbitraire ? Et il y a une réponse à cette question : la soi-disant .

À savoir:

Et bien sûr,

1. Existence et centre du cercle circonscrit

Ici, la question se pose : un tel cercle existe-t-il pour chaque triangle ? Il s’avère que oui, pour tout le monde. Et de plus, nous allons maintenant formuler un théorème qui répond également à la question de savoir où se trouve le centre du cercle circonscrit.

Regardez, comme ceci :

Soyons courageux et démontrons ce théorème. Si vous avez déjà lu le sujet "" et compris pourquoi trois bissectrices se coupent en un point, alors ce sera plus facile pour vous, mais si vous ne l'avez pas lu, ne vous inquiétez pas : maintenant nous allons le découvrir.

Nous réaliserons la preuve en utilisant la notion de lieu des points (GMT).

Eh bien, par exemple, l’ensemble des boules est-il le « lieu géométrique » des objets ronds ? Non, bien sûr, car il existe des pastèques rondes. Est-ce un ensemble de personnes, un « lieu géométrique », qui peut parler ? Non non plus, car il y a des bébés qui ne peuvent pas parler. Dans la vie, il est généralement difficile de trouver un exemple de véritable « localisation géométrique de points ». C'est plus facile en géométrie. Voici par exemple exactement ce dont nous avons besoin :

Ici, l'ensemble est la médiatrice perpendiculaire et la propriété « » est « d'être équidistant (un point) des extrémités du segment ».

Devons-nous vérifier ? Vous devez donc vous assurer de deux choses :

1. Tout point équidistant des extrémités d’un segment est situé sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

Relions c et c. Ensuite, la ligne est la médiane et la hauteur b. Cela signifie - isocèle - nous nous sommes assurés que tout point situé sur la médiatrice perpendiculaire est à égale distance des points et.

Prenons le milieu et connectons et. Le résultat est la médiane. Mais selon la condition, non seulement la médiane est isocèle, mais aussi la hauteur, c'est-à-dire la médiatrice. Cela signifie que le point se trouve exactement sur la médiatrice.

Tous! Nous avons pleinement vérifié le fait que La médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités du segment.

Tout cela est bien beau, mais a-t-on oublié le cercle circonscrit ? Pas du tout, nous venons de nous préparer un « tremplin d’attaque ».

Considérons un triangle. Traçons deux perpendiculaires bisectorales et, disons, aux segments et. Ils se croiseront à un moment donné, que nous nommerons.

Maintenant, faites attention !

Le point se trouve sur la médiatrice ;
le point se trouve sur la médiatrice.
Et cela signifie, et.

Plusieurs choses en découlent :

Premièrement, le point doit se situer sur la troisième bissectrice perpendiculaire au segment.

Autrement dit, la médiatrice doit également passer par le point et les trois médiatrices se coupent en un point.

Deuxièmement : si nous dessinons un cercle avec un centre en un point et un rayon, alors ce cercle passera également par le point et le point, c'est-à-dire qu'il sera un cercle circonscrit. Cela signifie qu'il existe déjà que l'intersection des trois médiatrices perpendiculaires est le centre du cercle circonscrit pour tout triangle.

Et la dernière chose : à propos de l'unicité. Il est clair (presque) que le point peut être obtenu d'une manière unique, donc le cercle est unique. Bon, on laisse « presque » à votre réflexion. Nous avons donc prouvé le théorème. Vous pouvez crier « Hourra ! »

Et si le problème demande « trouver le rayon du cercle circonscrit » ? Ou vice versa, le rayon est donné, mais il faut trouver autre chose ? Existe-t-il une formule reliant le rayon du cercle circonscrit aux autres éléments du triangle ?

Attention : le théorème des sinus stipule que pour trouver le rayon du cercle circonscrit, il vous faut un côté (n'importe lequel !) et l'angle qui lui est opposé. C'est tout !

3. Centre du cercle - intérieur ou extérieur

Maintenant la question est : le centre du cercle circonscrit peut-il se trouver à l’extérieur du triangle ?
Réponse : autant que possible. De plus, cela se produit toujours dans un triangle obtus.

Et en général :

CERCLE CIRCULAIRE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Cercle circonscrit à un triangle

C'est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.

2. Existence et centre du cercle circonscrit

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

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Mais ce n’est pas l’essentiel.

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Mais pensez par vous-même...

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Instructions

Tracez une ligne droite passant par les points d'intersection des cercles. Vous avez obtenu la médiatrice d'un segment donné.

Donnons-nous maintenant un point et une ligne droite. Il est nécessaire de tracer une perpendiculaire à partir de ce point pour placer l'aiguille au point. Tracez un cercle de rayon (le rayon doit aller d'un point à une ligne pour que le cercle puisse couper la ligne en deux points). Vous avez maintenant deux points sur une droite. Ces points créent un segment de ligne. Construisez la médiatrice perpendiculaire au segment, les extrémités sont les points résultants, selon l'algorithme discuté ci-dessus. La perpendiculaire doit passer par le point de départ.

La construction de lignes droites est la base du dessin technique. De nos jours, cela se fait de plus en plus avec l'aide d'éditeurs graphiques, qui offrent de grandes opportunités au concepteur. Cependant, certains principes de construction restent les mêmes que dans le dessin classique : utiliser un crayon et une règle.

Vous aurez besoin

• - une feuille de papier ;
• - crayon;
• - règle;
• - ordinateur avec programme AutoCAD.

Instructions

Commencez par la construction classique. Déterminez le plan dans lequel vous construirez la ligne. Supposons que ce soit le plan d'une feuille de papier. Selon les conditions du problème, arrangez-vous. Ils peuvent être arbitraires, mais il est possible qu'un système de coordonnées soit donné. Placez des points arbitraires là où vous préférez. Étiquetez-les A et B. Utilisez une règle pour les relier. Selon l'axiome, il est toujours possible de tracer une ligne droite passant par deux points, et un seul.

Dessinez un système de coordonnées. Laissez-vous attribuer les points A (x1; y1). Pour les réaliser, vous devez tracer le nombre requis le long de l'axe des x et tracer une ligne droite parallèle à l'axe des y passant par le point marqué. Tracez ensuite la valeur égale à y1 le long de l'axe correspondant. À partir du point marqué, tracez une perpendiculaire jusqu'à ce qu'elle croise. Le lieu de leur intersection sera le point A. De la même manière, trouvez le point B dont les coordonnées peuvent être désignées par (x2; y2). Connectez les deux points.

Dans AutoCAD, une ligne droite peut être construite à l'aide de plusieurs fichiers . La fonction "by" est généralement installée par défaut. Recherchez l'onglet « Accueil » dans le menu supérieur. Vous verrez le panneau Dessiner devant vous. Trouvez le bouton avec l'image d'une ligne droite et cliquez dessus.

AutoCAD vous permet également de spécifier les coordonnées des deux. Tapez (_xline) dans la ligne de commande ci-dessous. Appuyez sur Entrée. Entrez les coordonnées du premier point et appuyez également sur Entrée. Déterminez le deuxième point de la même manière. Il peut également être spécifié en cliquant sur la souris, en plaçant le curseur à l'endroit souhaité sur l'écran.

Dans AutoCAD, vous pouvez construire une ligne droite non seulement par deux points, mais également par l'angle d'inclinaison. Dans le menu contextuel Dessiner, sélectionnez Ligne puis l'option Angle. Le point de départ peut être défini en cliquant sur la souris ou en appuyant sur , comme dans la méthode précédente. Définissez ensuite la taille de l'angle et appuyez sur Entrée. Par défaut, la ligne droite sera située à l'angle souhaité par rapport à l'horizontale.

Vidéo sur le sujet

Sur un dessin complexe (schéma) perpendicularité droit et avion déterminé par les dispositions de base : si un côté d'un angle droit est parallèle avion projections, alors un angle droit est projeté sur ce plan sans distorsion ; si une ligne est perpendiculaire à deux lignes sécantes avion, il est perpendiculaire à ceci avion.

Vous aurez besoin

• Crayon, règle, rapporteur, triangle.

Instructions

Exemple : tracer une perpendiculaire passant par le point M à avion Pour tracer une perpendiculaire à avion, il y a deux lignes qui se croisent dans ce avion, et construisez une ligne perpendiculaire à eux. La frontale et l’horizontale sont choisies comme ces deux lignes qui se croisent. avion.

Frontal f(f₁f₂) est une ligne droite située dans avion et parallèle au frontal avion projections P₂. Cela signifie que f₂ est sa valeur naturelle et que f₁ est toujours parallèle à x₁₂. A partir du point A₂, tracez h₂ parallèlement à x₁₂ et obtenez le point 1₂ sur B₂C₂.

À l'aide d'une ligne de communication par projection, pointez 1₁ vers B₁C₁. Connectez-vous avec A₁ - c'est h₁ - la valeur naturelle de l'horizontale. A partir du point B₁, dessinez f₁‖x₁₂, en A₁C₁ vous obtenez le point 2₁. À l’aide de la ligne de connexion de projection, trouvez le point 2₂ sur A₂C₂. Connectez-vous au point B₂ - ce sera f₂ - la taille naturelle du devant.

Horizontales naturelles construites h₁ et frontales f₂ de projections perpendiculaires à avion. A partir du point M₂, tracez sa projection frontale a₂ sous un angle de 90

Glossaire des termes planimétriques- Les définitions des termes issus de la planimétrie sont rassemblées ici. Les références aux termes de ce glossaire (sur cette page) sont en italique. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipédia

Points colinéaires

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Glossaire de planimétrie- Cette page est un glossaire. Voir aussi l'article principal : Planimétrie Les définitions des termes issus de la planimétrie sont rassemblées ici. Les liens vers les termes de ce dictionnaire (sur cette page) sont en italique... Wikipédia

Le problème d'Apollonius- Le problème d'Apollonius est de construire un cercle tangent à trois cercles donnés à l'aide d'un compas et d'une règle. Selon la légende, le problème aurait été formulé par Apollonius de Perge vers 220 avant JC. e. dans le livre "Touch", qui a été perdu... Wikipédia

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Diagramme de Voronoï- un ensemble aléatoire de points sur le plan. Le diagramme de Voronoï d'un ensemble fini de points S sur le plan représente une partition du plan telle que... Wikipédia

Dans la leçon précédente, nous avons examiné les propriétés de la bissectrice d’un angle, à la fois enfermée dans un triangle et libre. Un triangle comprend trois angles et pour chacun d'eux les propriétés considérées de la bissectrice sont conservées.

Théorème:

Les bissectrices AA 1, BB 1, СС 1 du triangle se coupent en un point O (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons d'abord deux bissectrices BB 1 et CC 1. Ils se croisent, le point d'intersection O existe. Pour le prouver, supposons le contraire : que les bissectrices données ne se coupent pas, auquel cas elles sont parallèles. Alors la droite BC est sécante et la somme des angles est , cela contredit le fait que dans tout le triangle la somme des angles est .

Il existe donc le point O de l’intersection de deux bissectrices. Considérons ses propriétés :

Le point O se trouve sur la bissectrice de l’angle, ce qui signifie qu’il est équidistant de ses côtés BA et BC. Si OK est perpendiculaire à BC, OL est perpendiculaire à BA, alors les longueurs de ces perpendiculaires sont égales - . Aussi, le point O se trouve sur la bissectrice de l'angle et est équidistant de ses côtés CB et CA, les perpendiculaires OM et OK sont égales.

Nous avons obtenu les égalités suivantes :

, c'est-à-dire que les trois perpendiculaires tombant du point O vers les côtés du triangle sont égales les unes aux autres.

On s'intéresse à l'égalité des perpendiculaires OL et OM. Cette égalité dit que le point O est équidistant des côtés de l'angle, il s'ensuit qu'il se situe sur sa bissectrice AA 1.

Ainsi, nous avons prouvé que les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un point.

De plus, un triangle est constitué de trois segments, ce qui signifie que nous devons considérer les propriétés de chaque segment individuel.

Le segment AB est donné. Tout segment a un milieu et une perpendiculaire peut être tracée à travers lui - notons-le p. Ainsi, p est la médiatrice.

Riz. 2. Illustration du théorème

Tout point situé sur la médiatrice est équidistant des extrémités du segment.

Prouvez-le (Fig. 2).

Preuve:

Considérons les triangles et . Ils sont rectangulaires et égaux, car ils ont une branche commune OM, et les branches AO et OB sont égales par condition, nous avons donc deux triangles rectangles, égaux en deux branches. Il s'ensuit que les hypoténuses des triangles sont également égales, c'est-à-dire ce qu'il fallait prouver.

Le théorème inverse est vrai.

Chaque point équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Étant donné un segment AB, sa médiatrice p et un point M équidistant des extrémités du segment. Montrer que le point M se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au segment (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons un triangle. Il est isocèle, selon la condition. Considérons la médiane d'un triangle : le point O est le milieu de la base AB, OM est la médiane. Selon la propriété d'un triangle isocèle, la médiane tracée à sa base est à la fois une altitude et une bissectrice. Il s'ensuit que. Mais la droite p est aussi perpendiculaire à AB. Nous savons qu'au point O il est possible de tracer une seule perpendiculaire au segment AB, ce qui signifie que les droites OM et p coïncident, il s'ensuit que le point M appartient à la droite p, ce qu'il fallait prouver.

Les théorèmes directs et inverses peuvent être généralisés.

Un point se trouve sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.

Alors, répétons qu’il y a trois segments dans un triangle et que la propriété de médiatrice s’applique à chacun d’eux.

Théorème:

Les médiatrices d'un triangle se coupent en un point.

Un triangle est donné. Perpendiculaires à ses côtés : P 1 au côté BC, P 2 au côté AC, P 3 au côté AB.

Montrer que les perpendiculaires P 1, P 2 et P 3 se coupent au point O (Fig. 4).

Riz. 4. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons deux médiatrices P 2 et P 3, elles se coupent, le point d'intersection O existe. Prouvons ce fait par contradiction - que les perpendiculaires P 2 et P 3 soient parallèles. L’angle s’inverse alors, ce qui contredit le fait que la somme des trois angles d’un triangle est . Il existe donc un point O de l’intersection de deux des trois médiatrices perpendiculaires. Propriétés du point O : il se trouve sur la médiatrice du côté AB, ce qui signifie qu'il est équidistant des extrémités du segment AB : . Il se trouve également sur la médiatrice du côté AC, ce qui signifie . Nous avons obtenu les égalités suivantes.

Bissectrice perpendiculaire (perpendiculaire médiane ou médiatrice) - une droite perpendiculaire à un segment donné et passant par son milieu.

Propriétés

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ où l'indice désigne le côté vers lequel la perpendiculaire est tracée, $S$ est l'aire du triangle, et on suppose également que les côtés sont liés par des inégalités $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ Et $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ En d’autres termes, la plus petite médiatrice d’un triangle appartient au segment médian.

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Remarques

Extrait caractérisant la médiatrice

Koutouzov, s'arrêtant pour mâcher, regarda Wolzogen avec surprise, comme s'il ne comprenait pas ce qu'on lui disait. Wolzogen, remarquant l'excitation des alten Herrn, [le vieux monsieur (allemand)] dit en souriant :
– Je ne me considérais pas en droit de cacher à Votre Seigneurie ce que j'ai vu... Les troupes sont dans un désordre complet...
-L'avez-vous vu ? Avez-vous vu?.. – a crié Koutouzov en fronçant les sourcils, se levant rapidement et avançant vers Wolzogen. "Comment... comment oses-tu !...", a-t-il crié, faisant des gestes menaçants en se serrant la main et en s'étouffant. - Comment osez-vous, cher monsieur, me dire cela ? Vous ne savez rien. Dites de ma part au général Barclay que ses informations sont incorrectes et que le déroulement réel de la bataille est mieux connu de moi, le commandant en chef, que de lui.
Wolzogen voulut s'y opposer, mais Koutouzov l'interrompit.
- L'ennemi est repoussé à gauche et vaincu sur le flanc droit. Si vous n’avez pas bien vu, cher monsieur, ne vous permettez pas de dire ce que vous ne savez pas. S'il vous plaît, allez voir le général Barclay et faites-lui part le lendemain de mon intention absolue d'attaquer l'ennemi », a déclaré Koutouzov d'un ton sévère. Tout le monde était silencieux, et tout ce qu’on pouvait entendre était la respiration lourde du vieux général essoufflé. "Ils ont été repoussés partout, ce pour quoi je remercie Dieu et notre courageuse armée." L'ennemi a été vaincu, et demain nous le chasserons de la terre sacrée russe, dit Koutouzov en se signant ; et soudain sanglota à cause des larmes qui coulèrent. Wolzogen, haussant les épaules et pinçant les lèvres, s'éloigna silencieusement sur le côté, se demandant uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [à cette tyrannie du vieux monsieur. (Allemand)]
"Oui, le voici, mon héros", a déclaré Koutouzov au général dodu, beau et aux cheveux noirs, qui entrait à ce moment-là dans le monticule. C'était Raevsky, qui a passé toute la journée au point principal du champ de Borodino.
Raevsky a rapporté que les troupes étaient fermement en place et que les Français n'osaient plus attaquer. Après l'avoir écouté, Koutouzov a déclaré en français :
– Vous ne pensez donc pas comme les autres que nous sommes obligés de nous retirer ? [Vous ne pensez donc pas, comme d'autres, que nous devrions battre en retraite ?]