Aire d'un trapèze si trois côtés sont connus formule. Comment trouver l'aire d'un trapèze

Il existe de nombreuses façons de trouver l'aire d'un trapèze. Habituellement, un professeur de mathématiques connaît plusieurs méthodes pour le calculer, examinons-les plus en détail :
1) , où AD et BC sont les bases, et BH est la hauteur du trapèze. Preuve : tracez la diagonale BD et exprimez les aires des triangles ABD et CDB par le demi-produit de leurs bases et hauteurs :

, où DP est la hauteur extérieure en

Additionnons ces égalités terme à terme et compte tenu que les hauteurs BH et DP sont égales, on obtient :

Mettons-le hors parenthèses

Q.E.D.

Corollaire à la formule de l'aire d'un trapèze :
Puisque la demi-somme des bases est égale à MN - la ligne médiane du trapèze, alors

2) Application de la formule générale de l'aire d'un quadrilatère.
L'aire d'un quadrilatère est égale à la moitié du produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare
Pour le prouver, il suffit de diviser le trapèze en 4 triangles, d'exprimer l'aire de chacun par « la moitié du produit des diagonales et le sinus de l'angle qui les sépare » (pris comme angle, ajouter les expressions résultantes, sortez-les de la parenthèse et factorisez cette parenthèse en utilisant la méthode de regroupement pour obtenir son égalité avec l'expression.

3) Méthode de décalage diagonal
C'est mon nom. Un professeur de mathématiques ne rencontrera pas une telle rubrique dans les manuels scolaires. Une description de la technique ne peut être trouvée que dans des manuels supplémentaires à titre d'exemple de résolution d'un problème. Je voudrais noter que la plupart des faits intéressants et utiles sur la planimétrie sont révélés aux étudiants par des professeurs de mathématiques en train de réaliser des travaux pratiques. Ceci est extrêmement sous-optimal, car l’étudiant doit les isoler dans des théorèmes distincts et les appeler « grands noms ». L’une d’elles est le « décalage diagonal ». De quoi parle-t-on ? Traçons une droite parallèle à AC passant par le sommet B jusqu'à ce qu'elle coupe la base inférieure au point E. Dans ce cas, le quadrilatère EBCA sera un parallélogramme (par définition) et donc BC=EA et EB=AC. La première égalité est importante pour nous maintenant. Nous avons:

A noter que le triangle BED, dont l'aire est égale à l'aire du trapèze, possède plusieurs propriétés plus remarquables :
1) Son aire est égale à l'aire du trapèze
2) Son isocèle se produit simultanément avec l'isocèle du trapèze lui-même
3) Son angle supérieur au sommet B est égal à l'angle entre les diagonales du trapèze (qui est très souvent utilisé dans les problèmes)
4) Sa médiane BK est égale à la distance QS entre les milieux des bases du trapèze. J'ai récemment découvert l'utilisation de cette propriété lors de la préparation d'un étudiant en mécanique et mathématiques à l'Université d'État de Moscou en utilisant le manuel de Tkachuk, version 1973 (le problème est indiqué en bas de page).

Techniques spéciales pour un professeur de mathématiques.

Parfois, je propose des problèmes en utilisant une manière très délicate de trouver l'aire d'un trapèze. Je la classe comme technique particulière car dans la pratique le tuteur les utilise extrêmement rarement. Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques uniquement dans la partie B, vous n'êtes pas obligé de lire à ce sujet. Pour les autres, je vous en dirai plus. Il s'avère que l'aire d'un trapèze est deux fois l'aire d'un triangle avec des sommets aux extrémités d'un côté et au milieu de l'autre, c'est-à-dire le triangle ABS sur la figure :
Preuve : tracez les hauteurs SM et SN dans les triangles BCS et ADS et exprimez la somme des aires de ces triangles :

Puisque le point S est le milieu de CD, alors (prouvez-le vous-même). Trouvons la somme des aires des triangles :

Puisque cette somme s'est avérée égale à la moitié de l'aire du trapèze, alors sa seconde moitié. Etc.

Dans la collection de techniques spéciales du tuteur, j'inclurais la forme de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle le long de ses côtés : où p est le demi-périmètre du trapèze. Je ne donnerai pas de preuve. Sinon, votre professeur de mathématiques se retrouvera sans emploi :). Venez en classe !

Problèmes sur l'aire d'un trapèze :

Note du professeur de mathématiques: La liste ci-dessous n'est pas un accompagnement méthodologique du sujet, c'est seulement une petite sélection de tâches intéressantes basées sur les techniques évoquées ci-dessus.

1) La base inférieure d'un trapèze isocèle est 13 et la base supérieure est 5. Trouvez l'aire du trapèze si sa diagonale est perpendiculaire au côté.
2) Trouvez l'aire d'un trapèze si ses bases mesurent 2 cm et 5 cm et ses côtés mesurent 2 cm et 3 cm.
3) Dans un trapèze isocèle, la plus grande base est 11, le côté est 5 et la diagonale est Trouvez l'aire du trapèze.
4) La diagonale d'un trapèze isocèle est 5 et la ligne médiane est 4. Trouvez l'aire.
5) Dans un trapèze isocèle, les bases sont 12 et 20 et les diagonales sont perpendiculaires entre elles. Calculer l'aire d'un trapèze
6) La diagonale d'un trapèze isocèle fait un angle avec sa base inférieure. Trouvez l'aire du trapèze si sa hauteur est de 6 cm.
7) L'aire du trapèze est de 20 et l'un de ses côtés mesure 4 cm. Trouvez la distance qui le sépare du milieu du côté opposé.
8) La diagonale d'un trapèze isocèle le divise en triangles d'aires 6 et 14. Trouvez la hauteur si le côté latéral est 4.
9) Dans un trapèze, les diagonales sont égales à 3 et 5, et le segment reliant les milieux des bases est égal à 2. Trouver l'aire du trapèze (Mekhmat MSU, 1970).

Je n'ai pas choisi les problèmes les plus difficiles (n'ayez pas peur du génie mécanique !) dans l'espoir de pouvoir les résoudre de manière indépendante. Décidez pour votre santé ! Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques, alors sans la participation de la formule de l'aire d'un trapèze dans ce processus, de graves problèmes peuvent survenir même avec le problème B6 et encore plus avec C4. Ne démarrez pas le sujet et en cas de difficultés, demandez de l'aide. Un professeur de mathématiques est toujours heureux de vous aider.

Kolpakov A.N.
Professeur de mathématiques à Moscou, préparation à l'examen d'État unifié à Strogino.

Qu'est-ce qu'un trapèze isocèle ? Il s’agit d’une figure géométrique dont les côtés opposés non parallèles sont égaux. Il existe plusieurs formules différentes pour trouver l'aire d'un trapèze avec différentes conditions données dans les problèmes. Autrement dit, l'aire peut être trouvée si la hauteur, les côtés, les angles, les diagonales, etc. sont donnés. Il est également impossible de ne pas mentionner que pour les trapèzes isocèles, il existe quelques « exceptions », grâce auxquelles la recherche de l'aire et la formule elle-même sont considérablement simplifiées. Vous trouverez ci-dessous des solutions détaillées pour chaque cas avec des exemples.

Propriétés nécessaires pour trouver l'aire d'un trapèze isocèle

Nous avons déjà découvert qu'une figure géométrique qui a des côtés opposés, non pas parallèles, mais égaux, est un trapèze et un isocèle. Il existe des cas particuliers où un trapèze est considéré comme isocèle.

• Ce sont les conditions d’égalité des angles. Alors, point obligatoire : les angles à la base (prendre la photo ci-dessous) doivent être égaux. Dans notre cas, l'angle BAD = angle CDA, et l'angle ABC = angle BCD
• La deuxième règle importante est que dans un tel trapèze, les diagonales doivent être égales. Donc AC = BD.
• Troisième aspect : les angles opposés du trapèze doivent totaliser 180 degrés. Cela signifie que l'angle ABC + l'angle CDA = 180 degrés. Il en va de même pour les angles BCD et BAD.
• Quatrièmement, si un trapèze permet de décrire un cercle autour de lui, alors il est isocèle.

Comment trouver l'aire d'un trapèze isocèle - formules et leurs descriptions

• S = (a+b)h/2 est la formule la plus courante pour trouver l'aire, où UN – le socle inférieur, b est la base supérieure et h est la hauteur.

• Si la hauteur est inconnue, vous pouvez la rechercher en utilisant une formule similaire : h = c*sin(x), où c est AB ou CD. sin(x) est le sinus de l'angle à n'importe quelle base, c'est-à-dire l'angle DAB = angle CDA = x. Au final, la formule prend cette forme : S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• La hauteur peut également être trouvée à l'aide de cette formule :

• La formule finale ressemble à ceci :

• L'aire d'un trapèze isocèle peut être trouvée sur la ligne médiane et la hauteur. La formule est : S = mh.

Considérons la condition où un cercle est inscrit dans un trapèze.

Dans le cas montré sur l'image,

QN = D = H – le diamètre du cercle et en même temps la hauteur du trapèze ;

LO, ON, OQ = R – rayons du cercle ;

DC = a – base supérieure ;

AB = b – base inférieure ;

DAB, ABC, BCD, CDA – alpha, bêta – angles des bases du trapèze.

Un cas similaire permet de trouver la zone à l'aide des formules suivantes :

• Essayons maintenant de trouver l'aire passant par les diagonales et les angles qui les séparent.

Sur la figure, nous notons AC, DB – diagonales – d. Angles COB, DOB – alpha ; DOC, AOB – bêta. Formule pour l'aire d'un trapèze isocèle en utilisant les diagonales et l'angle entre elles, ( S ) est:

La pratique de l'examen d'État unifié et de l'examen d'État de l'année dernière montre que les problèmes de géométrie posent des difficultés à de nombreux écoliers. Vous pouvez facilement y faire face si vous mémorisez toutes les formules nécessaires et vous entraînez à résoudre des problèmes.

Dans cet article, vous verrez des formules pour trouver l'aire d'un trapèze, ainsi que des exemples de problèmes avec des solutions. Vous pourrez croiser les mêmes dans les KIM lors des examens de certification ou lors des Olympiades. Par conséquent, traitez-les avec soin.

Que faut-il savoir sur le trapèze ?

Pour commencer, rappelons que trapèze est appelé un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés, également appelés bases, sont parallèles et les deux autres ne le sont pas.

Dans un trapèze, la hauteur (perpendiculaire à la base) peut également être abaissée. La ligne médiane est tracée - il s'agit d'une ligne droite parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme. Ainsi que des diagonales qui peuvent se croiser, formant des angles aigus et obtus. Ou, dans certains cas, à angle droit. De plus, si le trapèze est isocèle, un cercle peut y être inscrit. Et décrivez un cercle autour.

Formules de zone trapézoïdale

Tout d'abord, examinons les formules standard pour trouver l'aire d'un trapèze. Nous examinerons ci-dessous les moyens de calculer l'aire des trapèzes isocèles et curvilignes.

Imaginez donc que vous ayez un trapèze avec des bases a et b, dans lequel la hauteur h est abaissée jusqu'à la plus grande base. Calculer l'aire d'une figure dans ce cas est aussi simple que de décortiquer des poires. Il suffit de diviser la somme des longueurs des bases par deux et de multiplier le résultat par la hauteur : S = 1/2(a + b)*h.

Prenons un autre cas : supposons que dans un trapèze, en plus de la hauteur, il y ait une ligne médiane m. Nous connaissons la formule pour trouver la longueur de la ligne médiane : m = 1/2(a + b). Par conséquent, nous pouvons à juste titre simplifier la formule de l'aire d'un trapèze sous la forme suivante : S = m*h. En d’autres termes, pour trouver l’aire d’un trapèze, il faut multiplier la ligne médiane par la hauteur.

Considérons une autre option : le trapèze contient des diagonales d 1 et d 2, qui ne se coupent pas à angle droit α. Pour calculer l'aire d'un tel trapèze, vous devez diviser le produit des diagonales par deux et multiplier le résultat par le sin de l'angle qui les sépare : S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Considérons maintenant la formule pour trouver l'aire d'un trapèze si l'on ne sait rien de celui-ci à l'exception des longueurs de tous ses côtés : a, b, c et d. Il s’agit d’une formule lourde et complexe, mais il vous sera utile de la retenir au cas où : S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

À propos, les exemples ci-dessus sont également vrais dans le cas où vous avez besoin de la formule pour l'aire d'un trapèze rectangulaire. Il s'agit d'un trapèze dont le côté jouxte les bases à angle droit.

Trapèze isocèle

Un trapèze dont les côtés sont égaux est appelé isocèle. Nous examinerons plusieurs options pour la formule de l'aire d'un trapèze isocèle.

Première option : pour le cas où un cercle de rayon r est inscrit à l'intérieur d'un trapèze isocèle, et que le côté et la plus grande base forment un angle aigu α. Un cercle peut s'inscrire dans un trapèze à condition que la somme des longueurs de ses bases soit égale à la somme des longueurs de ses côtés.

L'aire d'un trapèze isocèle se calcule comme suit : multipliez le carré du rayon du cercle inscrit par quatre et divisez le tout par sinα : S = 4r 2 /sinα. Une autre formule d'aire est un cas particulier pour l'option lorsque l'angle entre la grande base et le côté est de 30 0 : S = 8r2.

Deuxième option : cette fois on prend un trapèze isocèle, dans lequel sont tracées en plus les diagonales d 1 et d 2, ainsi que la hauteur h. Si les diagonales d'un trapèze sont perpendiculaires entre elles, la hauteur est la moitié de la somme des bases : h = 1/2(a + b). Sachant cela, il est facile de transformer la formule de l'aire d'un trapèze qui vous est déjà familière sous cette forme : S = h2.

Formule pour l'aire d'un trapèze courbe

Commençons par comprendre ce qu'est un trapèze courbe. Imaginez un axe de coordonnées et un graphique d'une fonction f continue et non négative qui ne change pas de signe dans un segment donné sur l'axe des x. Un trapèze curviligne est formé par le graphe de la fonction y = f(x) - en haut, l'axe des x est en bas (segment), et sur les côtés - des droites tracées entre les points a et b et le graphe de la fonction.

Il est impossible de calculer l'aire d'une telle figure non standard en utilisant les méthodes ci-dessus. Ici, vous devez appliquer l'analyse mathématique et utiliser l'intégrale. A savoir : la formule de Newton-Leibniz - S = ∫ b une f(x)dx = F(x)│ b une = F(b) – F(a). Dans cette formule, F est la primitive de notre fonction sur le segment sélectionné. Et l'aire d'un trapèze curviligne correspond à l'incrément de la primitive sur un segment donné.

Exemples de problèmes

Pour que toutes ces formules soient plus faciles à comprendre dans votre tête, voici quelques exemples de problèmes pour trouver l'aire d'un trapèze. Il serait préférable que vous essayiez d'abord de résoudre les problèmes vous-même, puis que vous compariez ensuite la réponse que vous recevez avec la solution toute faite.

Tâche n°1 :Étant donné un trapèze. Sa plus grande base mesure 11 cm, la plus petite mesure 4 cm. Le trapèze a des diagonales, l'une de 12 cm de long, la seconde de 9 cm.

Solution : Construisez un AMRS trapézoïdal. Tracez une droite РХ passant par le sommet P de manière à ce qu'elle soit parallèle à la diagonale MC et coupe la droite AC au point X. Vous obtiendrez un triangle APХ.

Nous considérerons deux figures obtenues à la suite de ces manipulations : le triangle APX et le parallélogramme CMRX.

Grâce au parallélogramme, on apprend que PX = MC = 12 cm et CX = MR = 4 cm. D'où on peut calculer le côté AX du triangle ARX : AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

On peut aussi prouver que le triangle APX est rectangle (pour cela appliquer le théorème de Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Et calculez son aire : S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Ensuite, vous devrez prouver que les triangles AMP et PCX ont la même aire. La base sera l'égalité des parties MR et CX (déjà prouvée ci-dessus). Et aussi les hauteurs que vous abaissez sur ces côtés - elles sont égales à la hauteur du trapèze AMRS.

Tout cela permettra de dire que S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Tâche n°2 : Le KRMS trapézoïdal est donné. Sur ses côtés latéraux se trouvent les points O et E, tandis que OE et KS sont parallèles. On sait également que les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans un rapport de 1:5. RM = a et KS = b. Vous devez trouver OE.

Solution : Tracez une ligne parallèle au RK passant par le point M, et désignez le point de son intersection avec OE par T. A est le point d'intersection de la ligne passant par le point E parallèle au RK avec la base KS.

Introduisons une notation supplémentaire - OE = x. Et aussi la hauteur h 1 pour le triangle TME et la hauteur h 2 pour le triangle AEC (vous pouvez prouver indépendamment la similitude de ces triangles).

Nous supposerons que b > a. Les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans le rapport 1:5, ce qui nous donne le droit de créer l'équation suivante : (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformons et obtenons : h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Puisque les triangles TME et AEC sont semblables, on a h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinons les deux entrées et obtenons : (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Ainsi, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusion

La géométrie n'est pas la science la plus simple, mais vous pouvez certainement répondre aux questions de l'examen. Il suffit de faire preuve d'un peu de persévérance dans la préparation. Et bien sûr, rappelez-vous toutes les formules nécessaires.

Nous avons essayé de rassembler toutes les formules de calcul de l'aire d'un trapèze en un seul endroit afin que vous puissiez les utiliser lorsque vous préparez les examens et révisez le matériel.

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Le trapèze aux multiples côtés... Il peut être arbitraire, isocèle ou rectangulaire. Et dans chaque cas, il faut savoir comment trouver l'aire d'un trapèze. Bien entendu, le plus simple est de mémoriser les formules de base. Mais parfois, il est plus facile d’en utiliser une dérivée prenant en compte toutes les caractéristiques d’une figure géométrique particulière.

Quelques mots sur le trapèze et ses éléments

Tout quadrilatère dont les deux côtés sont parallèles peut être appelé trapèze. En général, elles ne sont pas égales et sont appelées bases. Le plus grand est celui du bas et l’autre est celui du haut.

Les deux autres côtés s'avèrent latéraux. Dans un trapèze arbitraire, ils ont des longueurs différentes. S'ils sont égaux, alors la figure devient isocèle.

Si soudainement l'angle entre n'importe quel côté et la base s'avère être égal à 90 degrés, alors le trapèze est rectangulaire.

Toutes ces fonctionnalités peuvent aider à résoudre le problème de la recherche de l'aire d'un trapèze.

Parmi les éléments de la figure qui peuvent être indispensables pour résoudre des problèmes, on peut souligner les suivants :

• la hauteur, c'est-à-dire un segment perpendiculaire aux deux bases ;
• la ligne médiane, qui a à ses extrémités les milieux des côtés latéraux.

Quelle formule peut être utilisée pour calculer l’aire si la base et la hauteur sont connues ?

Cette expression est donnée comme base car le plus souvent on peut reconnaître ces grandeurs même lorsqu'elles ne sont pas données explicitement. Ainsi, pour comprendre comment trouver l'aire d'un trapèze, vous devrez additionner les deux bases et les diviser par deux. Multipliez ensuite la valeur obtenue par la valeur de la hauteur.

Si nous désignons les bases par les lettres a 1 et a 2, la hauteur par n, alors la formule de l'aire ressemblera à ceci :

S = ((une 1 + une 2)/2)*n.

La formule qui calcule la superficie si sa hauteur et sa ligne médiane sont données

Si vous regardez attentivement la formule précédente, il est facile de remarquer qu’elle contient clairement la valeur de la ligne médiane. A savoir la somme des bases divisée par deux. Supposons que la ligne médiane soit désignée par la lettre l, alors la formule pour l'aire devient :

S = l * n.

Capacité à trouver une zone en utilisant les diagonales

Cette méthode sera utile si l'angle qu'ils forment est connu. Supposons que les diagonales soient désignées par les lettres d 1 et d 2 et que les angles entre elles soient α et β. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un trapèze s'écrira comme suit :

S = ((d 1 * d 2)/2) * péché α.

Vous pouvez facilement remplacer α par β dans cette expression. Le résultat ne changera pas.

Comment connaître l'aire si tous les côtés de la figure sont connus ?

Il existe également des situations où les côtés exacts de cette figure sont connus. Cette formule est lourde et difficile à retenir. Mais c'est possible. Que les côtés aient la désignation : a 1 et a 2, la base a 1 est supérieure à a 2. Alors la formule d’aire prendra la forme suivante :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + en 1 2 - en 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle

La première tient au fait qu’un cercle peut y être inscrit. Et, connaissant son rayon (il est noté par la lettre r), ainsi que l'angle à la base - γ, vous pouvez utiliser la formule suivante :

S = (4 * r 2) / péché γ.

La dernière formule générale, qui repose sur la connaissance de tous les côtés de la figure, sera considérablement simplifiée du fait que les côtés ont la même signification :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze rectangulaire

Il est clair que n'importe lequel des éléments ci-dessus convient à n'importe quelle figure. Mais parfois, il est utile de connaître une caractéristique d’un tel trapèze. Cela réside dans le fait que la différence entre les carrés des longueurs des diagonales est égale à la différence constituée des carrés des bases.

Souvent, les formules d'un trapèze sont oubliées, tandis que les expressions des aires d'un rectangle et d'un triangle sont mémorisées. Ensuite, vous pouvez utiliser une méthode simple. Divisez le trapèze en deux formes, s'il est rectangulaire, ou en trois. L'un sera certainement un rectangle et le second, ou les deux autres, seront des triangles. Après avoir calculé les aires de ces figures, il ne reste plus qu'à les additionner.

C'est un moyen assez simple de trouver l'aire d'un trapèze rectangulaire.

Et si les coordonnées des sommets du trapèze étaient connues ?

Dans ce cas, vous devrez utiliser une expression qui permettra de déterminer la distance entre les points. Il peut être appliqué trois fois : afin de connaître les deux bases et une hauteur. Et puis il suffit d'appliquer la première formule, décrite un peu plus haut.

Pour illustrer cette méthode, l’exemple suivant peut être donné. Étant donné les sommets de coordonnées A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Vous devez connaître l'aire de la figure.

Avant de trouver l'aire du trapèze, vous devez calculer les longueurs des bases à partir des coordonnées. Vous aurez besoin de la formule suivante :

longueur du segment = √((différence des premières coordonnées des points) 2 + (différence des secondes coordonnées des points) 2 ).

La base supérieure est désignée AB, ce qui signifie que sa longueur sera égale à √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. La base inférieure est CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Vous devez maintenant tracer la hauteur du haut vers la base. Soit son début au point A. La fin du segment sera sur la base inférieure au point de coordonnées (5; 1), soit le point H. La longueur du segment AN sera égale à √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Il ne reste plus qu'à substituer les valeurs résultantes dans la formule de l'aire d'un trapèze :

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Le problème a été résolu sans unités de mesure, car l'échelle de la grille de coordonnées n'était pas spécifiée. Cela peut être un millimètre ou un mètre.

Exemples de problèmes

N ° 1. État. L'angle entre les diagonales d'un trapèze arbitraire est connu, il est égal à 30 degrés. La plus petite diagonale a une valeur de 3 dm et la seconde est 2 fois plus grande. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze.

Solution. Vous devez d’abord connaître la longueur de la deuxième diagonale, car sans cela, il ne sera pas possible de calculer la réponse. Ce n'est pas difficile à calculer, 3 * 2 = 6 (dm).

Vous devez maintenant utiliser la formule appropriée pour la surface :

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Le problème est résolu.

Répondre: L'aire du trapèze est de 4,5 dm2.

N ° 2. État. Dans le trapèze ABCD, les bases sont les segments AD et BC. Le point E est le milieu du côté SD. On en trace une perpendiculaire à la droite AB, l'extrémité de ce segment est désignée par la lettre H. On sait que les longueurs AB et EH sont respectivement égales à 5 et 4 cm. Il faut calculer l'aire de. ​​le trapèze.

Solution. Vous devez d’abord faire un dessin. Puisque la valeur de la perpendiculaire est inférieure au côté vers lequel elle est dessinée, le trapèze sera légèrement allongé vers le haut. EH sera donc à l’intérieur de la figure.

Pour voir clairement les progrès dans la résolution du problème, vous devrez effectuer une construction supplémentaire. A savoir, tracez une ligne droite qui sera parallèle au côté AB. Les points d'intersection de cette droite avec AD sont P, et avec la continuation de BC sont X. La figure résultante VHRA est un parallélogramme. De plus, sa superficie est égale à celle requise. Cela est dû au fait que les triangles obtenus lors de la construction supplémentaire sont égaux. Cela résulte de l'égalité du côté et de deux angles qui lui sont adjacents, l'un vertical, l'autre transversal.

Vous pouvez trouver l'aire d'un parallélogramme à l'aide d'une formule qui contient le produit du côté et de la hauteur abaissée sur celui-ci.

Ainsi, l'aire du trapèze est de 5 * 4 = 20 cm 2.

Répondre: S = 20 cm2.

N° 3. État. Les éléments d'un trapèze isocèle ont les valeurs suivantes : base inférieure - 14 cm, supérieure - 4 cm, angle aigu - 45º. Vous devez calculer son aire.

Solution. Soit la plus petite base désignée BC. La hauteur tirée du point B sera appelée VH. Puisque l’angle est de 45º, le triangle ABH sera rectangulaire et isocèle. Donc AN=VN. De plus, AN est très facile à trouver. Elle est égale à la moitié de la différence des bases. Soit (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Les bases sont connues, les hauteurs sont calculées. Vous pouvez utiliser la première formule, évoquée ici, pour un trapèze arbitraire.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Répondre: La surface requise est de 45 cm 2.

N° 4. État. Il existe un trapèze arbitraire ABCD. Les points O et E sont pris sur ses côtés latéraux, de telle sorte que OE soit parallèle à la base de AD. La superficie du trapèze AOED est cinq fois plus grande que celle de l'OVSE. Calculez la valeur OE si les longueurs des bases sont connues.

Solution. Vous devrez tracer deux lignes parallèles AB : la première passant par le point C, son intersection avec OE - point T ; la seconde passant par E et le point d'intersection avec AD sera M.

Soit l'inconnu OE=x. La hauteur du plus petit trapèze OVSE est n 1, le plus grand AOED est n 2.

Puisque les aires de ces deux trapèzes sont liées entre 1 et 5, on peut écrire l’égalité suivante :

(x + une 2) * n 1 = 1/5 (x + une 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + une 1) / (5 (x + une 2)).

Les hauteurs et les côtés des triangles sont proportionnels par construction. Par conséquent, nous pouvons écrire une égalité supplémentaire :

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Dans les deux dernières entrées du côté gauche, il y a des valeurs égales, ce qui signifie que nous pouvons écrire que (x + a 1) / (5(x + a 2)) est égal à (x - a 2) / (a ​​​​1-x).

Un certain nombre de transformations sont nécessaires ici. Multipliez d’abord en croix. Des parenthèses apparaîtront pour indiquer la différence des carrés, après avoir appliqué cette formule vous obtiendrez une courte équation.

Dans celui-ci, vous devez ouvrir les parenthèses et déplacer tous les termes avec le « x » inconnu vers la gauche, puis extraire la racine carrée.

Répondre: x = √ ((une 1 2 + 5 une 2 2) / 6).

La pratique de l'examen d'État unifié et de l'examen d'État de l'année dernière montre que les problèmes de géométrie posent des difficultés à de nombreux écoliers. Vous pouvez facilement y faire face si vous mémorisez toutes les formules nécessaires et vous entraînez à résoudre des problèmes.

Dans cet article, vous verrez des formules pour trouver l'aire d'un trapèze, ainsi que des exemples de problèmes avec des solutions. Vous pourrez croiser les mêmes dans les KIM lors des examens de certification ou lors des Olympiades. Par conséquent, traitez-les avec soin.

Que faut-il savoir sur le trapèze ?

Pour commencer, rappelons que trapèze est appelé un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés, également appelés bases, sont parallèles et les deux autres ne le sont pas.

Dans un trapèze, la hauteur (perpendiculaire à la base) peut également être abaissée. La ligne médiane est tracée - il s'agit d'une ligne droite parallèle aux bases et égale à la moitié de leur somme. Ainsi que des diagonales qui peuvent se croiser, formant des angles aigus et obtus. Ou, dans certains cas, à angle droit. De plus, si le trapèze est isocèle, un cercle peut y être inscrit. Et décrivez un cercle autour.

Formules de zone trapézoïdale

Tout d'abord, examinons les formules standard pour trouver l'aire d'un trapèze. Nous examinerons ci-dessous les moyens de calculer l'aire des trapèzes isocèles et curvilignes.

Imaginez donc que vous ayez un trapèze avec des bases a et b, dans lequel la hauteur h est abaissée jusqu'à la plus grande base. Calculer l'aire d'une figure dans ce cas est aussi simple que de décortiquer des poires. Il suffit de diviser la somme des longueurs des bases par deux et de multiplier le résultat par la hauteur : S = 1/2(a + b)*h.

Prenons un autre cas : supposons que dans un trapèze, en plus de la hauteur, il y ait une ligne médiane m. Nous connaissons la formule pour trouver la longueur de la ligne médiane : m = 1/2(a + b). Par conséquent, nous pouvons à juste titre simplifier la formule de l'aire d'un trapèze sous la forme suivante : S = m*h. En d’autres termes, pour trouver l’aire d’un trapèze, il faut multiplier la ligne médiane par la hauteur.

Considérons une autre option : le trapèze contient des diagonales d 1 et d 2, qui ne se coupent pas à angle droit α. Pour calculer l'aire d'un tel trapèze, vous devez diviser le produit des diagonales par deux et multiplier le résultat par le sin de l'angle qui les sépare : S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Considérons maintenant la formule pour trouver l'aire d'un trapèze si l'on ne sait rien de celui-ci à l'exception des longueurs de tous ses côtés : a, b, c et d. Il s’agit d’une formule lourde et complexe, mais il vous sera utile de la retenir au cas où : S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

À propos, les exemples ci-dessus sont également vrais dans le cas où vous avez besoin de la formule pour l'aire d'un trapèze rectangulaire. Il s'agit d'un trapèze dont le côté jouxte les bases à angle droit.

Trapèze isocèle

Un trapèze dont les côtés sont égaux est appelé isocèle. Nous examinerons plusieurs options pour la formule de l'aire d'un trapèze isocèle.

Première option : pour le cas où un cercle de rayon r est inscrit à l'intérieur d'un trapèze isocèle, et que le côté et la plus grande base forment un angle aigu α. Un cercle peut s'inscrire dans un trapèze à condition que la somme des longueurs de ses bases soit égale à la somme des longueurs de ses côtés.

L'aire d'un trapèze isocèle se calcule comme suit : multipliez le carré du rayon du cercle inscrit par quatre et divisez le tout par sinα : S = 4r 2 /sinα. Une autre formule d'aire est un cas particulier pour l'option lorsque l'angle entre la grande base et le côté est de 30 0 : S = 8r2.

Deuxième option : cette fois on prend un trapèze isocèle, dans lequel sont tracées en plus les diagonales d 1 et d 2, ainsi que la hauteur h. Si les diagonales d'un trapèze sont perpendiculaires entre elles, la hauteur est la moitié de la somme des bases : h = 1/2(a + b). Sachant cela, il est facile de transformer la formule de l'aire d'un trapèze qui vous est déjà familière sous cette forme : S = h2.

Formule pour l'aire d'un trapèze courbe

Commençons par comprendre ce qu'est un trapèze courbe. Imaginez un axe de coordonnées et un graphique d'une fonction f continue et non négative qui ne change pas de signe dans un segment donné sur l'axe des x. Un trapèze curviligne est formé par le graphe de la fonction y = f(x) - en haut, l'axe des x est en bas (segment), et sur les côtés - des droites tracées entre les points a et b et le graphe de la fonction.

Il est impossible de calculer l'aire d'une telle figure non standard en utilisant les méthodes ci-dessus. Ici, vous devez appliquer l'analyse mathématique et utiliser l'intégrale. A savoir : la formule de Newton-Leibniz - S = ∫ b une f(x)dx = F(x)│ b une = F(b) – F(a). Dans cette formule, F est la primitive de notre fonction sur le segment sélectionné. Et l'aire d'un trapèze curviligne correspond à l'incrément de la primitive sur un segment donné.

Exemples de problèmes

Pour que toutes ces formules soient plus faciles à comprendre dans votre tête, voici quelques exemples de problèmes pour trouver l'aire d'un trapèze. Il serait préférable que vous essayiez d'abord de résoudre les problèmes vous-même, puis que vous compariez ensuite la réponse que vous recevez avec la solution toute faite.

Tâche n°1 :Étant donné un trapèze. Sa plus grande base mesure 11 cm, la plus petite mesure 4 cm. Le trapèze a des diagonales, l'une de 12 cm de long, la seconde de 9 cm.

Solution : Construisez un AMRS trapézoïdal. Tracez une droite РХ passant par le sommet P de manière à ce qu'elle soit parallèle à la diagonale MC et coupe la droite AC au point X. Vous obtiendrez un triangle APХ.

Nous considérerons deux figures obtenues à la suite de ces manipulations : le triangle APX et le parallélogramme CMRX.

Grâce au parallélogramme, on apprend que PX = MC = 12 cm et CX = MR = 4 cm. D'où on peut calculer le côté AX du triangle ARX : AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

On peut aussi prouver que le triangle APX est rectangle (pour cela appliquer le théorème de Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Et calculez son aire : S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Ensuite, vous devrez prouver que les triangles AMP et PCX ont la même aire. La base sera l'égalité des parties MR et CX (déjà prouvée ci-dessus). Et aussi les hauteurs que vous abaissez sur ces côtés - elles sont égales à la hauteur du trapèze AMRS.

Tout cela permettra de dire que S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Tâche n°2 : Le KRMS trapézoïdal est donné. Sur ses côtés latéraux se trouvent les points O et E, tandis que OE et KS sont parallèles. On sait également que les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans un rapport de 1:5. RM = a et KS = b. Vous devez trouver OE.

Solution : Tracez une ligne parallèle au RK passant par le point M, et désignez le point de son intersection avec OE par T. A est le point d'intersection de la ligne passant par le point E parallèle au RK avec la base KS.

Introduisons une notation supplémentaire - OE = x. Et aussi la hauteur h 1 pour le triangle TME et la hauteur h 2 pour le triangle AEC (vous pouvez prouver indépendamment la similitude de ces triangles).

Nous supposerons que b > a. Les aires des trapèzes ORME et OKSE sont dans le rapport 1:5, ce qui nous donne le droit de créer l'équation suivante : (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformons et obtenons : h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Puisque les triangles TME et AEC sont semblables, on a h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinons les deux entrées et obtenons : (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Ainsi, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusion

La géométrie n'est pas la science la plus simple, mais vous pouvez certainement répondre aux questions de l'examen. Il suffit de faire preuve d'un peu de persévérance dans la préparation. Et bien sûr, rappelez-vous toutes les formules nécessaires.

Nous avons essayé de rassembler toutes les formules de calcul de l'aire d'un trapèze en un seul endroit afin que vous puissiez les utiliser lorsque vous préparez les examens et révisez le matériel.

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