Nombres premiers dans les triplets de Pythagore. Triplés de Pythagore

L'étude des propriétés des nombres naturels a conduit les Pythagoriciens à un autre problème "éternel" d'arithmétique théorique (théorie des nombres) - un problème dont les germes ont fait leur chemin bien avant Pythagore dans l'Egypte ancienne et l'ancienne Babylone, et une solution générale n'a pas été trouvée à ce jour. Commençons par le problème, qui en termes modernes peut être formulé comme suit : résoudre l'équation indéfinie en nombres naturels

Aujourd'hui, cette tâche s'appelle problème de Pythagore, et ses solutions - des triplets de nombres naturels satisfaisant l'équation (1.2.1) - sont appelées Triplés de Pythagore. En raison du lien évident entre le théorème de Pythagore et le problème de Pythagore, on peut donner à ce dernier une formulation géométrique : trouver tous les triangles rectangles avec des côtés entiers X, y et hypoténuse entière z.

Des solutions particulières du problème de Pythagore étaient connues dans les temps anciens. Dans un papyrus de l'époque du pharaon Amenemhet I (vers 2000 av. J.-C.), conservé au Musée égyptien de Berlin, on trouve un triangle rectangle avec un rapport d'aspect (). Selon le plus grand historien allemand des mathématiques M. Kantor (1829 - 1920), dans l'Égypte ancienne, il y avait une profession spéciale harpédonaptes- les "tendeurs de cordes", qui, lors de la cérémonie solennelle de pose des temples et des pyramides, marquaient des angles droits avec une corde comportant 12 (= 3 + 4 + 5) nœuds également espacés. La méthode de construction d'un angle droit avec des harpédonaptes ressort clairement de la figure 36.

Il faut dire qu'un autre connaisseur des mathématiques antiques, van der Waerden, est catégoriquement en désaccord avec Cantor, bien que les proportions mêmes de l'architecture égyptienne antique témoignent en faveur de Cantor. Quoi qu'il en soit, aujourd'hui un triangle rectangle avec un rapport d'aspect s'appelle égyptien.

Comme noté p. 76, une tablette d'argile datant de l'ancienne ère babylonienne et contenant 15 lignes de triplets pythagoriciens a été conservée. Outre le triplet trivial obtenu à partir de l'égyptien (3, 4, 5) en multipliant par 15 (45, 60, 75), il existe aussi des triplets de Pythagore très complexes, comme (3367, 3456, 4825) et pair (12709 , 13500, 18541) ! Il ne fait aucun doute que ces nombres ont été trouvés non par une simple énumération, mais par des règles uniformes.

Néanmoins, la question de la solution générale de l'équation (1.2.1) en nombres naturels n'a été posée et résolue que par les pythagoriciens. La formulation générale de tout problème mathématique était étrangère à la fois aux anciens Égyptiens et aux anciens Babyloniens. Ce n'est qu'avec Pythagore que commence la formation des mathématiques en tant que science déductive, et l'un des premiers pas sur cette voie a été la solution du problème des triplets de Pythagore. La tradition ancienne associe les premières solutions de l'équation (1.2.1) aux noms de Pythagore et de Platon. Essayons de reconstruire ces solutions.

Il est clair que Pythagore pensait l'équation (1.2.1) non pas sous une forme analytique, mais sous la forme d'un nombre carré , à l'intérieur duquel il fallait trouver les nombres carrés et . Il était naturel de représenter le nombre sous la forme d'un carré de côté y un côté de moins z carré d'origine, c'est-à-dire . Alors, comme il est facile de le voir sur la figure 37 (voyez !), pour le nombre de carrés restant, l'égalité doit être satisfaite. Ainsi, nous arrivons à un système d'équations linéaires

En additionnant et en soustrayant ces équations, on trouve la solution de l'équation (1.2.1) :

Il est facile de voir que la solution résultante ne donne des nombres naturels que pour impair . Ainsi, nous avons finalement

Et ainsi de suite... La tradition rattache cette décision au nom de Pythagore.

Notez que le système (1.2.2) peut également être obtenu formellement à partir de l'équation (1.2.1). En effet,

d'où, en supposant , on arrive à (1.2.2).

Il est clair que la solution de Pythagore a été trouvée sous une contrainte plutôt rigide () et contient loin de tous les triplets de Pythagore. L'étape suivante consiste à mettre , puis , car ce n'est que dans ce cas qu'il y aura un nombre carré. Ainsi, le système qui en résulte sera également un triplet de Pythagore. Maintenant le principal

Théorème. Si p Et q nombres premiers entre eux de parité différente, alors tous les triplets de Pythagore primitifs sont trouvés par les formules

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

L'objectif des travaux est de développer des méthodes et des algorithmes de calcul de triplets de Pythagore de la forme a2+b2=c2. Le processus d'analyse a été mené conformément aux principes d'une approche systématique. Parallèlement aux modèles mathématiques, des modèles graphiques sont utilisés qui affichent chaque membre du triplet de Pythagore sous la forme de carrés composites, dont chacun consiste en un ensemble de carrés unitaires. Il a été établi qu'un ensemble infini de triplets de Pythagore contient un nombre infini de sous-ensembles qui se distinguent par la différence entre les valeurs b–c. Un algorithme pour la formation de triplets de Pythagore avec n'importe quelle valeur prédéterminée de cette différence est proposé. On montre que les triplets de Pythagore existent pour toute valeur 3≤a

Triplés de Pythagore

l'analyse du système

modèle mathématique

modèle graphique

1. Anosov D.N. Un regard sur les mathématiques et quelque chose qui en découle. - M. : MTSNMO, 2003. - 24 p. : ill.

2. Ayerland K., Rosen M. Introduction classique à la théorie moderne des nombres. – M. : Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analyse des systèmes et technologie de l'information dans les organisations : manuel. - M. : RUDN, 2012. - 392 p.

4. Simon Singh. Dernier théorème de Fermat.

5. Ferma P. Études en théorie des nombres et analyse diophantienne. – M. : Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, disponible sur : http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Les triplets de Pythagore sont une cohorte de trois entiers qui satisfont la relation de Pythagore x2 + y2 = z2. D'une manière générale, il s'agit d'un cas particulier des équations diophantiennes, à savoir des systèmes d'équations dans lesquels le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations. Ils sont connus depuis longtemps, depuis l'époque de Babylone, c'est-à-dire bien avant Pythagore. Et ils ont acquis le nom après que Pythagore ait prouvé son célèbre théorème sur leur base. Cependant, comme il ressort de l'analyse de nombreuses sources dans lesquelles la question des triplets de Pythagore est abordée d'une manière ou d'une autre, la question des classes existantes de ces triplets et des voies possibles de leur formation n'a pas encore été pleinement dévoilée.

Ainsi, dans le livre de Simon Singh, il est dit: - "Les disciples et les adeptes de Pythagore ... ont dit au monde le secret de trouver les soi-disant trois k de Pythagore." Cependant, à la suite de cela nous lisons : - « Les pythagoriciens rêvaient de trouver d'autres triplets pythagoriciens, d'autres carrés, à partir desquels il serait possible d'ajouter un troisième grand carré. … À mesure que les nombres augmentent, les triplets de Pythagore deviennent de plus en plus rares et de plus en plus difficiles à trouver. Les pythagoriciens ont inventé une méthode pour trouver de tels triplets et, en l'utilisant, ont prouvé qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens.

Les mots qui prêtent à confusion sont mis en évidence dans la citation. Pourquoi "les pythagoriciens rêvaient de trouver..." s'ils "ont inventé une méthode pour trouver de tels triplets...", et pourquoi pour les grands nombres "il devient de plus en plus difficile de les trouver...".

Dans les travaux du célèbre mathématicien D.V. Anosov, la réponse souhaitée semble être donnée. - "Il existe de tels triplets de nombres naturels (c'est-à-dire entiers positifs) x, y, z qui

x2 + y2 = z2. (1)

…est-il possible de trouver toutes les solutions de l'équation x2+y2=z2 en nombres naturels ? …Oui. La réponse est que chacune de ces solutions peut être représentée comme

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

où l, m, n sont des nombres naturels, et m>n, ou sous une forme similaire dans laquelle x et y sont interchangés. Nous pouvons dire un peu plus brièvement que x, y, z de (2) avec tous les naturels possibles l et m > n sont toutes des solutions possibles de (1) à une permutation près de x et y. Par exemple, le triplet (3, 4, 5) est obtenu avec l=1, m=2, n=1. ... Apparemment, les Babyloniens connaissaient cette réponse, mais on ne sait pas comment ils y sont arrivés.

Habituellement, les mathématiciens sont connus pour leur exactitude dans la rigueur de leurs formulations. Mais, dans cette citation, une telle rigueur n'est pas observée. Alors quoi exactement : trouver ou imaginer ? Évidemment, ce sont des choses complètement différentes. Voici une ligne de triples "fraîchement cuits" (obtenus par la méthode décrite ci-dessous) :

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Il ne fait aucun doute que chacun de ces triplets peut être représenté sous la forme de la relation (2) et ensuite les valeurs de l, m, n peuvent être calculées. Mais c'est après que toutes les valeurs des triplets ont été trouvées. Mais qu'en est-il avant cela ?

On ne peut exclure que les réponses à ces questions soient connues depuis longtemps. Mais pour une raison quelconque, ils n'ont pas encore été trouvés. Ainsi, le but de ce travail est une analyse systématique de la totalité des exemples connus de triplets de Pythagore, la recherche de relations formant système dans divers groupes de triplets et l'identification de traits systémiques caractéristiques de ces groupes, puis le développement de simples des algorithmes efficaces pour calculer des triplets avec une configuration prédéterminée. Par configuration, nous entendons la relation entre les grandeurs qui composent le triplet.

En tant que boîte à outils, un appareil mathématique sera utilisé à un niveau qui ne dépasse pas le cadre des mathématiques enseignées au lycée et de l'analyse du système basée sur les méthodes décrites dans.

Modélisme

Du point de vue de l'analyse du système, tout triplet de Pythagore est un système formé d'objets, qui sont trois nombres et leurs propriétés. Leur totalité, dans laquelle les objets sont placés dans certaines relations et forment un système avec de nouvelles propriétés qui ne sont inhérentes ni aux objets individuels ni à aucun autre de leur totalité, où les objets sont placés dans d'autres relations.

Dans l'équation (1), les objets du système sont des nombres naturels liés par des relations algébriques simples : à gauche du signe égal se trouve la somme de deux nombres élevés à la puissance 2, à droite se trouve le troisième nombre, également élevé à la puissance 2. Les nombres individuels, à gauche de l'égalité, étant élevés à la puissance 2, n'imposent aucune restriction à l'opération de leur sommation - la somme résultante peut être n'importe quoi. Mais, le signe égal placé après l'opération de sommation impose une restriction systémique sur la valeur de cette somme : la somme doit être un nombre tel que le résultat de l'opération d'extraction de la racine carrée soit un nombre naturel. Et cette condition n'est pas satisfaite pour tous les nombres substitués dans le côté gauche de l'égalité. Ainsi, le signe égal mis entre deux termes de l'équation et le troisième transforme le triplet de termes en un système. Une nouvelle fonctionnalité de ce système est l'introduction de restrictions sur les valeurs des nombres d'origine.

Basé sur la forme d'écriture, le triplet de Pythagore peut être considéré comme un modèle mathématique d'un système géométrique composé de trois carrés interconnectés par des relations de sommation et d'égalité, comme le montre la Fig. 1. Fig. 1 est un modèle graphique du système considéré, et son modèle verbal est l'énoncé :

L'aire d'un carré de longueur de côté c peut être divisée sans reste en deux carrés de longueurs de côté a et b, tels que la somme de leurs aires soit égale à l'aire du carré d'origine, c'est-à-dire tous les trois les quantités a, b et c sont liées par la relation

Modèle graphique de la décomposition d'un carré

Dans le cadre des canons de l'analyse des systèmes, on sait que si un modèle mathématique reflète adéquatement les propriétés d'un certain système géométrique, alors l'analyse des propriétés de ce système lui-même nous permet de clarifier les propriétés de son modèle mathématique, de approfondissez-les, clarifiez-les et, si nécessaire, améliorez-les. C'est le chemin que nous suivrons.

Précisons que, selon les principes de l'analyse des systèmes, les opérations d'addition et de soustraction ne peuvent être effectuées que sur des objets composites, c'est-à-dire des objets composés d'un ensemble d'objets élémentaires. Ainsi, nous percevrons tout carré comme une figure composée d'un ensemble de carrés élémentaires ou unitaires. Alors la condition d'obtention d'une solution en nombres naturels équivaut à accepter la condition que le carré unité soit indivisible.

Un carré unité est un carré dont la longueur de chaque côté est égale à un. Autrement dit, lorsque l'aire d'un carré unitaire détermine l'expression suivante.

Le paramètre quantitatif d'un carré est son aire, qui est déterminée par le nombre de carrés unitaires pouvant être placés sur une aire donnée. Pour un carré avec une valeur arbitraire de x, l'expression x2 détermine l'aire du carré formé par des segments de longueur x segments unitaires. Des carrés unitaires x2 peuvent être placés sur la surface de ce carré.

Les définitions ci-dessus peuvent être perçues comme triviales et évidentes, mais elles ne le sont pas. DN Anosov définit le concept d'aire d'une manière différente : - "... l'aire d'une figure est égale à la somme des aires de ses parties. Pourquoi sommes-nous sûrs qu'il en est ainsi ? ... Nous imaginons une figure faite d'une sorte de matériau homogène, alors sa surface est proportionnelle à la quantité de matière qu'elle contient - sa masse. Il est entendu en outre que lorsqu'on divise un corps en plusieurs parties, la somme de leurs masses est égale à la masse du corps d'origine. C'est compréhensible, car tout est constitué d'atomes et de molécules, et puisque leur nombre n'a pas changé, leur masse totale n'a pas changé non plus... Après tout, en fait, la masse d'un morceau de matière homogène est proportionnelle à son volume ; par conséquent, vous devez savoir que le volume de la "feuille" qui a la forme d'une figure donnée est proportionnel à sa surface. En un mot, ... que l'aire d'une figure est égale à la somme des aires de ses parties, en géométrie il faut le prouver. ... Dans le manuel de Kiselev, l'existence d'une zone qui possède la propriété même dont nous discutons maintenant a été honnêtement postulée comme une sorte d'hypothèse, et il a été dit que c'était en fait vrai, mais nous ne le prouverons pas. Ainsi le théorème de Pythagore, s'il est prouvé avec des aires, dans un sens purement logique, ne restera pas complètement prouvé.

Il nous semble que les définitions du carré unité introduites ci-dessus suppriment le D.N indiqué. Incertitude d'Anosov. Après tout, si l'aire d'un carré et d'un rectangle est déterminée par la somme des carrés unitaires qui les remplissent, alors lorsque le rectangle est divisé en parties adjacentes arbitraires, l'aire du rectangle est naturellement égale à la somme de toutes ses parties.

De plus, les définitions introduites suppriment l'incertitude liée à l'utilisation des concepts « diviser » et « ajouter » en relation avec des figures géométriques abstraites. En effet, que signifie diviser un rectangle ou toute autre figure plate en parties ? S'il s'agit d'une feuille de papier, elle peut être coupée avec des ciseaux. Si la terre - mettre une clôture. Chambre - mettre une partition. Et si c'était un carré dessiné ? Tracer une ligne de séparation et déclarer que le carré est divisé ? Mais, après tout, D.I. Mendeleev: "... Vous pouvez tout déclarer, mais vous - allez-y, manifestez!"

Et en utilisant les définitions proposées, "Diviser une figure" signifie diviser le nombre de carrés unitaires remplissant cette figure en deux parties (ou plus). Le nombre de carrés unitaires dans chacune de ces parties détermine son aire. La configuration de ces parties peut être arbitraire, mais la somme de leurs aires sera toujours égale à l'aire de la figure d'origine. Peut-être que les mathématiciens considéreront ces arguments comme incorrects, alors nous les prendrons comme une hypothèse. Si de telles hypothèses sont acceptables dans le manuel de Kiselyov, alors ce serait un péché pour nous de ne pas utiliser une telle technique.

La première étape de l'analyse du système consiste à identifier la situation problématique. Au début de cette étape, plusieurs centaines de triplets de Pythagore trouvés dans diverses sources ont été parcourus. Dans le même temps, l'attention a été attirée sur le fait que l'ensemble des triplets de Pythagore mentionnés dans les publications peut être divisé en plusieurs groupes de configuration différente. Nous considérerons la différence de longueur des côtés des carrés d'origine et soustraits, c'est-à-dire la valeur c-b, comme le signe d'une configuration spécifique. Par exemple, dans les publications, les triplets qui satisfont la condition c-b=1 sont souvent présentés à titre d'exemple. Nous supposons que l'ensemble de ces triplets de Pythagore forme un ensemble, que nous appellerons "Classe c-1", et nous analyserons les propriétés de cette classe.

Considérons les trois carrés représentés sur la figure, où c est la longueur du côté du carré à réduire, b est la longueur du côté du carré à soustraire et a est la longueur du côté du carré formé de leur différence. Sur la fig. 1 on peut voir qu'en soustrayant l'aire du carré soustrait de l'aire du carré réduit, il reste deux bandes de carrés unitaires dans le reste:

Pour former un carré à partir de ce reste, la condition doit être satisfaite

Ces relations nous permettent de déterminer les valeurs de tous les membres du triplet par un seul nombre donné c. Le plus petit nombre c qui satisfait la relation (6) est c = 5. Ainsi, les longueurs des trois côtés des carrés satisfaisant la relation (1) ont été déterminées. Rappelons que la valeur b du côté du carré moyen

a été choisi lorsque nous avons décidé de former un carré du milieu en réduisant de un le côté du carré d'origine. Puis des relations (5), (6). (7) on obtient la relation suivante :

d'où il résulte que la valeur choisie c = 5 détermine de manière unique les valeurs b = 4, a = 3.

En conséquence, des relations sont obtenues qui permettent de représenter n'importe quel triplet de Pythagore de la classe "c - 1" sous une telle forme, où les valeurs des trois membres sont déterminées par un paramètre spécifié - la valeur c :

Nous ajoutons que le nombre 5 dans l'exemple ci-dessus est apparu comme le minimum de toutes les valeurs possibles de c pour lesquelles l'équation (6) a une solution en nombres naturels. Le nombre suivant qui a la même propriété est 13, puis 25, puis 41, 61, 85, etc. Comme vous pouvez le voir, dans cette série de nombres, les intervalles entre nombres adjacents augmentent rapidement. Ainsi, par exemple, après une valeur valide , la valeur valide suivante est , et après , la valeur valide suivante est , c'est-à-dire que la valeur valide est à plus de cinquante millions de la précédente !

On comprend maintenant d'où vient cette phrase dans le livre: - "Plus les nombres augmentent, plus les triplets de Pythagore sont de moins en moins courants, et il devient de plus en plus difficile de les trouver...". Cependant, cette affirmation n'est pas vraie. Il suffit de regarder les triplets de Pythagore correspondant aux paires ci-dessus de valeurs voisines de c, car une caractéristique attire immédiatement l'attention - dans les deux paires, dans lesquelles les valeurs de c sont séparées par de si grands intervalles, le les valeurs d'un s'avèrent être des nombres impairs voisins. En effet, pour la première paire nous avons

et pour la deuxième paire

Ce ne sont donc pas les triplets eux-mêmes qui sont "de moins en moins fréquents", mais les intervalles entre valeurs voisines de c augmentent. Les triplets de Pythagore eux-mêmes, comme on le verra ci-dessous, existent pour tout nombre naturel.

Considérons maintenant les triplets de la classe suivante - "Classe c-2". Comme on peut le voir sur la fig. 1, en soustrayant d'un carré de côté c un carré de côté (c - 2), le reste est la somme de deux bandes unitaires. La valeur de cette somme est déterminée par l'équation :

À partir de l'équation (10), nous obtenons une relation qui définit l'un des ensembles infinis de triplets de classe "c-2":

La condition d'existence d'une solution à l'équation (11) en nombres naturels est toute valeur c pour laquelle a est un nombre naturel. La valeur minimale de c pour laquelle une solution existe est c = 5. Alors le triplet "de départ" pour cette classe de triplets est déterminé par l'ensemble a = 4, b = 3, c = 5. C'est, encore une fois, le classique triple 3, 4, 5 est formé , seulement maintenant l'aire du carré à soustraire est inférieure à l'aire du reste.

Et enfin, analysons les triplets de la classe "s-8". Pour cette classe de triplets, en soustrayant l'aire du carré de l'aire c2 du carré d'origine, on obtient :

Ensuite, à partir de l'équation (12), il s'ensuit :

La valeur minimale de c pour laquelle la solution existe est c = 13. Le triplet de Pythagore à cette valeur prendra la forme 12, 5, 13. Dans ce cas, là encore, l'aire du carré à soustraire est inférieure à la zone du reste. Et en réorganisant les désignations par endroits, on obtient le triple 5, 12, 13, qui par sa configuration appartient à la classe "c - 1". Il semble qu'une analyse plus approfondie d'autres configurations possibles ne révélera rien de fondamentalement nouveau.

Dérivation des ratios calculés

Dans la section précédente, la logique d'analyse a été développée conformément aux exigences de l'analyse de système dans quatre de ses cinq étapes principales : analyse de la situation problématique, formation des objectifs, formation des fonctions et formation de la structure. Il est maintenant temps de passer à la cinquième étape finale - le test de faisabilité, c'est-à-dire le test de la mesure dans laquelle les objectifs sont atteints. .

Le tableau 1 est présenté ci-dessous. 1, qui montre les valeurs des triplets de Pythagore appartenant à la classe "c - 1". La plupart des triplets se trouvent dans diverses publications, mais des triplets pour des valeurs égales à 999, 1001 n'ont pas été trouvés dans les publications connues.

Tableau 1

Triples de Pythagore de classe "c-1"

On peut vérifier que tous les triplets satisfont la relation (3). Ainsi, l'un des objectifs fixés a été atteint. Les relations (9), (11), (13) obtenues dans la section précédente permettent de former un ensemble infini de triplets en fixant pour seul paramètre c, le côté du carré réduit. Ceci, bien sûr, est une option plus constructive que la relation (2), pour l'utilisation de laquelle il faut fixer arbitrairement trois nombres l, m, n, ayant une valeur quelconque, puis chercher une solution, sachant seulement qu'à la fin, un triplet de Pythagore sera certainement obtenu, et lequel est inconnu. Dans notre cas, la configuration du triplet en cours de formation est connue à l'avance et un seul paramètre doit être défini. Mais, hélas, toutes les valeurs de ce paramètre n'ont pas de solution. Et vous devez connaître à l'avance ses valeurs autorisées. Le résultat est donc bon, mais loin d'être idéal. Il est souhaitable d'obtenir une solution telle que les triplets de Pythagore puissent être calculés pour tout nombre naturel donné arbitrairement. À cette fin, revenons à la quatrième étape - la formation de la structure des relations mathématiques obtenues.

Étant donné que le choix de la valeur c comme paramètre de base pour déterminer les membres restants du triplet s'est avéré peu pratique, une autre option doit être essayée. Comme on peut le voir sur le tableau. 1, le choix du paramètre a comme paramètre de base semble préférable, puisque les valeurs de ce paramètre sont alignées dans une suite de nombres naturels impairs. Après de simples transformations, nous amenons les relations (9) à une forme plus constructive :

Les relations (14) permettent de trouver un triplet de Pythagore pour toute valeur impaire préassignée a. Dans le même temps, la simplicité de l'expression de b vous permet d'effectuer des calculs même sans calculatrice. En effet, en choisissant, par exemple, le nombre 13, on obtient :

Et pour le nombre 99, respectivement, nous obtenons :

Les relations (15) permettent d'obtenir les valeurs des trois termes de la suite de Pythagore pour tout n donné, à partir de n=1.

Considérons maintenant les triplets de Pythagore de la classe "c - 2". En tableau. 2 montre dix de ces triplets à titre d'exemple. De plus, seules trois paires de triplets ont été trouvées dans les publications connues - 8, 15, 23 ; 12, 35, 36 ; et 16, 63, 65. Cela s'est avéré suffisant pour déterminer les motifs par lesquels ils sont formés. Les sept autres ont été trouvés à partir de relations précédemment dérivées (11). Pour des raisons de commodité de calcul, ces ratios ont été transformés de manière à ce que tous les paramètres soient exprimés en termes de a. De (11) il résulte évidemment que tous les triplets pour la classe "c - 2" satisfont les relations suivantes :

Tableau 2

Triples de Pythagore de classe "c-2"

Comme on peut le voir sur le tableau. 2, l'ensemble infini des triplets de classe "c - 2" peut être divisé en deux sous-classes. Pour les triplets où la valeur de a est divisible par 4 sans reste, les valeurs de b et c sont impaires. De tels triplets, pour lesquels GCD = 1, sont dits primitifs. Pour les triplets dont les valeurs a ne sont pas divisibles par 4 en nombres entiers, les trois membres du triplet a, b, c sont pairs.

Passons maintenant à l'examen des résultats de l'analyse de la troisième des classes sélectionnées - la classe "c - 8". Les relations calculées pour cette classe, obtenues à partir de (13), ont la forme :

Les relations (20), (21) sont essentiellement identiques. La différence réside uniquement dans le choix de la séquence d'actions. Ou, conformément à (20), la valeur souhaitée de a est sélectionnée (dans ce cas, cette valeur doit être divisée par 4), puis les valeurs de b et c sont déterminées. Ou, un nombre arbitraire est choisi, puis, à partir des relations (21), les trois membres du triplet de Pythagore sont déterminés. En tableau. 3 montre un certain nombre de triplets de Pythagore ainsi calculés. Cependant, calculer les valeurs des triplets de Pythagore est encore plus simple. Si au moins une valeur est connue, alors toutes les valeurs suivantes sont déterminées très simplement par les relations suivantes :

Tableau 3

La validité de la relation (22) pour tous peut être vérifiée à la fois par des triplets du tableau. 2, ainsi que d'autres sources. A titre d'exemple, dans le tableau. 4 triplets en italique d'un vaste tableau de triplets de Pythagore (10000 triplets) calculés sur la base d'un programme informatique par la relation (2) et en gras - triplets calculés par la relation (20). Ces valeurs n'étaient pas dans le tableau spécifié.

Tableau 4

Triples de Pythagore de classe "s-8"

Ainsi, pour des triplets de la forme, les relations suivantes peuvent être utilisées :

Et pour les triplets de la forme<>, on a le rapport :

Il convient de souligner que les classes ci-dessus de triplets "c - 1", "c - 2", "c - 8" représentent plus de 90% des mille premiers triplets du tableau donné dans. Cela donne des raisons de considérer ces classes comme de base. Ajoutons que lors de la dérivation des relations (22), (23), (24), aucune propriété particulière des nombres étudiés en théorie des nombres (premier, copremier, etc.) n'a été utilisée. Les régularités révélées dans la formation des triplets de Pythagore ne sont dues qu'aux propriétés systémiques des figures géométriques décrites par ces triplets - carrés, constitués d'un ensemble de carrés unitaires.

Conclusion

Maintenant, comme l'a dit Andrew Wiles en 1993, "Je pense que je devrais m'arrêter là." L'objectif fixé a été pleinement atteint. Il est montré que l'analyse des propriétés des modèles mathématiques, dont la structure est associée à des figures géométriques, est grandement simplifiée si, dans le processus d'analyse, parallèlement aux calculs purement mathématiques, les propriétés géométriques des modèles étudiés sont également pris en compte. La simplification est obtenue, notamment, du fait que le chercheur "voit" les résultats souhaités sans effectuer de transformations mathématiques.

Par exemple, l'égalité

devient évidente sans transformations sur son côté gauche, il suffit de regarder la fig. 1 pour un modèle graphique de cette égalité.

En conséquence, sur la base de l'analyse effectuée, il est montré que pour tout carré de côté, des carrés de côtés b et c peuvent être trouvés tels que l'égalité est valable pour eux et des relations sont obtenues qui fournissent des résultats avec un minimum de calculs :

pour les valeurs impaires a,

et - pour les valeurs paires.

Lien bibliographique

Beskrovny I.M. ANALYSE DU SYSTÈME DES PROPRIÉTÉS DES TRIPLES DE PYTHAGORE // Technologies modernes à forte intensité scientifique. - 2013. - N° 11. - P. 135-142 ;
URL : http://site/ru/article/view?id=33537 (date d'accès : 20/03/2020). Nous portons à votre connaissance les revues publiées par la maison d'édition "Academy of Natural History"

Ensuite, nous considérons les méthodes bien connues pour générer des triplets de Pythagore efficaces. Les étudiants de Pythagore ont été les premiers à concevoir un moyen simple de générer des triplets de Pythagore, en utilisant une formule dont les parties représentent un triplet de Pythagore :

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Où m- non apparié, m>2. Vraiment,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Une formule similaire a été proposée par l'ancien philosophe grec Platon :

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Où m- n'importe quel chiffre. Pour m= 2,3,4,5 les triplets suivants sont générés :

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Comme vous pouvez le voir, ces formules ne peuvent pas donner tous les triplets primitifs possibles.

Considérons le polynôme suivant, qui se décompose en une somme de polynômes :

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

D'où les formules suivantes pour obtenir des triplets primitifs :

un = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ces formules génèrent des triplets dans lesquels le nombre moyen diffère du plus grand d'exactement un, c'est-à-dire que tous les triplets possibles ne sont pas également générés. Ici les premiers triplets sont : (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Pour déterminer comment générer tous les triplets primitifs, il faut examiner leurs propriétés. Tout d'abord, si ( abc) est un triplet primitif, alors un Et b, b Et c, UN Et c— doit être premier. Laisser un Et b sont divisées en d. Alors un 2 + b 2 est aussi divisible par d. Respectivement, c 2 et c devrait être divisé en d. Autrement dit, ce n'est pas un triplet primitif.

Deuxièmement, parmi les chiffres un, b l'un doit être jumelé et l'autre non jumelé. En effet, si un Et b- jumelé, puis Avec seront appariés et les nombres peuvent être divisés par au moins 2. S'ils ne sont pas appariés, ils peuvent être représentés par 2 k+1 et 2 je+1, où k,je- quelques chiffres. Alors un 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4je 2 +4je+1, c'est-à-dire Avec 2, ainsi que un 2 + b 2 a un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 4.

Laisser Avec- n'importe quel nombre, c'est-à-dire Avec = 4k+je (je=0,…,3). Alors Avec 2 = (4k+je) 2 a un reste de 0 ou 1 et ne peut pas avoir un reste de 2. Ainsi, un Et b ne peut pas être dissocié, c'est-à-dire un 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4je 2 +4je+1 et reste Avec 2 par 4 devrait être 1, ce qui signifie que Avec devrait être dissocié.

Ces exigences pour les éléments du triplet de Pythagore sont satisfaites par les nombres suivants :

un = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Où m Et n sont premiers avec différents appariements. Pour la première fois, ces dépendances sont devenues connues grâce aux travaux d'Euclide, qui a vécu 2300 r. dos.

Montrons la validité des dépendances (2). Laisser UN- doubler, alors b Et c- non apparié. Alors c + b je c − b- des couples. Ils peuvent être représentés comme c + b = 2tu Et c − b = 2v, Où tu,v sont des nombres entiers. C'est pourquoi

un 2 = Avec 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2tu 2 v = 4UV

Et donc ( un/2) 2 = UV.

On peut prouver par contradiction que tu Et v sont premiers entre eux. Laisser tu Et v- sont divisées en d. Alors ( c + b) Et ( c − b) sont divisées en d. Et donc c Et b devrait être divisé en d, et cela contredit la condition du triplet de Pythagore.

Parce que UV = (un/2) 2 et tu Et v premier, il est facile de prouver que tu Et v doivent être des carrés de certains nombres.

Il existe donc des entiers positifs m Et n, tel que tu = m 2 et v = n 2. Alors

UN 2 = 4UV = 4m 2 n 2 donc
UN = 2mn; b = tu − v = m 2 − n 2 ; c = tu + v = m 2 + n 2 .

Parce que b> 0, alors m > n.

Il reste à montrer que m Et n avoir des appariements différents. Si m Et n- jumelé, puis tu Et v doivent être appariés, mais cela est impossible, car ils sont premiers entre eux. Si m Et n- non apparié, alors b = m 2 − n 2 et c = m 2 + n 2 seraient jumelés, ce qui est impossible car c Et b sont premiers entre eux.

Ainsi, tout triplet de Pythagore primitif doit satisfaire les conditions (2). Dans le même temps, les chiffres m Et n appelé générer des nombres triplés primitifs. Par exemple, prenons un triplet de Pythagore primitif (120,119,169). Dans ce cas

UN= 120 = 2 12 5, b= 119 = 144 − 25, et c = 144+25=169,

Où m = 12, n= 5 - générant des nombres, 12 > 5 ; 12 et 5 sont premiers entre eux et d'appariements différents.

On peut prouver que les nombres m, n les formules (2) donnent un triplet de Pythagore primitif (a,b,c). Vraiment,

UN 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

C'est ( un,b,c) est un triplet de Pythagore. Prouvons que tandis que un,b,c sont des nombres premiers par contradiction. Divisons ces nombres par p> 1. Depuis m Et n avoir des appariements différents, alors b Et c- non apparié, c'est-à-dire p≠ 2. Depuis R divise b Et c, Ce R doit diviser 2 m 2 et 2 n 2 , ce qui est impossible car p≠ 2. Donc m, n sont premiers entre eux et un,b,c sont également premiers entre eux.

Le tableau 1 montre tous les triplets de Pythagore primitifs générés par les formules (2) pour m≤10.

Tableau 1. Triples de Pythagore primitifs pour m≤10

m	n	un	b	c	m	n	un	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

L'analyse de ce tableau montre la présence de la série de motifs suivants :

• ou un, ou b sont divisés par 3 ;
• un des nombres un,b,c est divisible par 5 ;
• nombre UN est divisible par 4 ;
• travail un· b est divisible par 12.

En 1971, les mathématiciens américains Teigan et Hedwin ont proposé des paramètres peu connus d'un triangle rectangle comme sa hauteur (hauteur) pour générer des triplets h = c− b et excès (succès) e = un + b − c. Dans la Fig.1. ces quantités sont indiquées sur un certain triangle rectangle.

Figure 1. Triangle rectangle et sa croissance et son excès

Le nom "excès" vient du fait qu'il s'agit de la distance supplémentaire qui doit être parcourue le long des jambes du triangle d'un sommet à l'autre, si vous ne suivez pas sa diagonale.

Par excès et croissance, les côtés du triangle de Pythagore peuvent s'exprimer ainsi :

e 2 e 2
un = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Pas toutes les combinaisons h Et e peut correspondre à des triangles de Pythagore. Pour un donné h valeurs possibles e est le produit d'un certain nombre d. Ce nombre d s'appelle la croissance et fait référence à h de la manière suivante : d est le plus petit entier positif dont le carré est divisible par 2 h. Parce que e plusieurs d, alors il s'écrit e = kd, Où k est un entier positif.

A l'aide de binômes ( k,h) vous pouvez générer tous les triangles de Pythagore, y compris non primitifs et généralisés, comme suit :

(ns) 2 (ns) 2
un = h + ns, b = ns + ——, c = h + ns + ——, (4)
2h 2h

De plus, un triplet est primitif si k Et h sont premiers entre eux et si h =± q 2 à q- non apparié.
De plus, ce sera exactement un triplet de Pythagore si k> √2 h/d Et h > 0.

Trouver k Et h depuis ( un,b,c) procédez comme suit :

• h = c − b;
• écrire h Comment h = pq 2 , où p> 0 et tel que n'est pas un carré ;
• d = 2pq Si p- non apparié et d = pq, si p est apparié ;
• k = (un − h)/d.

Par exemple, pour le triplet (8,15,17) nous avons h= 17−15 = 2 1, donc p= 2 et q = 1, d= 2, et k= (8 − 2)/2 = 3. Donc ce triplet est donné par ( k,h) = (3,2).

Pour le triple (459,1260,1341) nous avons h= 1341 − 1260 = 81, donc p = 1, q= 9 et d= 18, donc k= (459 − 81)/18 = 21, donc le code de ce triplet est ( k,h) = (21, 81).

Spécifier des triplets avec h Et k possède plusieurs propriétés intéressantes. Paramètre kéquivaut à

k = 4S/(dP), (5)

Où S = un B/2 est l'aire du triangle, et P = un + b + c est son périmètre. Cela découle de l'égalité eP = 4S, qui vient du théorème de Pythagore.

Pour un triangle rectangle e est égal au diamètre du cercle inscrit dans le triangle. Cela vient du fait que l'hypoténuse Avec = (UN − r)+(b − r) = un + b − 2r, Où r est le rayon du cercle. D'ici h = c − b = UN − 2r Et e = un − h = 2r.

Pour h> 0 et k > 0, k est le nombre ordinal de triplets un-b-c dans une séquence de triangles de Pythagore avec des h. À partir du tableau 2, qui montre plusieurs options pour les triplets générés par paires h, k, on voit qu'avec l'augmentation k les côtés du triangle augmentent. Ainsi, contrairement à la numérotation classique, la numérotation par paires h, k a un ordre supérieur dans les séquences de triplets.

Tableau 2. Triplets de Pythagore générés par les couples h, k.

h	k	un	b	c	h	k	un	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Pour h > 0, d satisfait l'inégalité 2√ h ≤ d ≤ 2h, où la borne inférieure est atteinte à p= 1, et la supérieure, à q= 1. Par conséquent, la valeur d par rapport à 2√ h est une mesure de combien h loin du carré d'un certain nombre.