Additionner et soustraire des nombres entiers. Ajouter des nombres avec des signes différents

Plan de cours :

I. Moment organisationnel

Vérification des devoirs individuels.

II. Actualisation des connaissances de base des étudiants

1. Formation mutuelle. Questions de contrôle (paire forme organisationnelle de travail - tests mutuels).
2. Travail oral commenté (forme de travail organisationnel en groupe).
3. Travail indépendant (forme organisationnelle individuelle de travail, auto-test).

III. Message du sujet de la leçon

Forme de travail organisationnel en groupe, émettre une hypothèse, formuler une règle.

1. Effectuer des tâches de formation conformément au manuel (forme de travail organisationnel en groupe).
2. Travail d'étudiants forts utilisant des cartes (forme organisationnelle individuelle de travail).

VI. Pause physique

IX. Devoirs.

Cible: développer l'habileté d'additionner des nombres avec des signes différents.

Tâches :

• Formulez une règle pour additionner des nombres avec des signes différents.
• Entraînez-vous à additionner des nombres avec des signes différents.
• Développer la pensée logique.
• Développer la capacité de travailler en binôme et le respect mutuel.

Matériel pour la leçon : des fiches pour l'entraînement mutuel, des tableaux de résultats de travail, des fiches individuelles pour la répétition et le renforcement de la matière, une devise pour le travail individuel, des fiches avec une règle.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

JE. Moment d'organisation

– Commençons le cours par la vérification des devoirs individuels. La devise de notre leçon sera les paroles de Jan Amos Kamensky. À la maison, il fallait réfléchir à ses paroles. Comment le comprenez-vous ? (« Considérez comme malheureux ce jour ou cette heure où vous n'avez rien appris de nouveau et n'avez rien ajouté à votre éducation »)
– Comment comprenez-vous les propos de l’auteur ? (Si nous n’apprenons rien de nouveau, n’acquérons pas de nouvelles connaissances, alors cette journée peut être considérée comme perdue ou malheureuse. Nous devons nous efforcer d’acquérir de nouvelles connaissances).
– Et aujourd’hui, nous ne serons pas mécontents, car nous apprendrons encore quelque chose de nouveau.

II. Actualisation des connaissances de base des étudiants

– Afin d’apprendre de nouvelles matières, vous devez répéter ce que vous avez couvert.
Il y avait une tâche à la maison : répéter les règles et maintenant vous allez montrer vos connaissances en travaillant avec des questions de test.

(Questions de test sur le thème « Nombres positifs et négatifs »)

Travaillez en binôme. Examen par les pairs. Les résultats des travaux sont notés dans le tableau)

Comment s'appellent les nombres situés à droite de l'origine ?	Positif
Quels nombres sont appelés opposés ?	Deux nombres qui ne diffèrent l'un de l'autre que par leurs signes sont appelés opposés.
Quel est le module d'un nombre ?	Distance du point UNE(une) avant le début du compte à rebours, c'est-à-dire au point O(0), appelé module d'un nombre
Comment désigne-t-on le module d’un nombre ?	Supports droits
Formuler la règle pour additionner des nombres négatifs ?	Pour additionner deux nombres négatifs il faut : additionner leurs modules et mettre un signe moins
Comment s’appellent les nombres situés à gauche de l’origine ?	Négatif
Quel nombre est opposé à zéro ?	0
Le module d’un nombre quelconque peut-il être un nombre négatif ?	Non. La distance n'est jamais négative
Énoncer la règle pour comparer les nombres négatifs	Parmi deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus petit est le plus grand et celui dont le module est le plus grand est le plus petit.
Quelle est la somme des nombres opposés ?	0

Les réponses aux questions « + » sont correctes, « – » sont incorrectes Critères d'évaluation : 5 – « 5 » ; 4 – « 4 » ; 3 – « 3 »

	1	2	3	4	5	Grade
Q/questions
Soi/travail
Ind/travail
Conclusion

– Quelles questions ont été les plus difficiles ?
– De quoi avez-vous besoin pour réussir les questions du test ? (Connaître les règles)

2. Travail oral commenté

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– De quelles connaissances aviez-vous besoin pour résoudre 1 à 5 exemples ?

3. Travail indépendant

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Auto-test. Ouvrir les réponses tout en vérifiant)

– Pourquoi le dernier exemple vous a-t-il posé des difficultés ?
– La somme de quels nombres faut-il trouver, et la somme de quels nombres sait-on trouver ?

III. Message du sujet de la leçon

– Aujourd’hui, en classe, nous apprendrons la règle pour additionner des nombres avec des signes différents. Nous apprendrons à additionner des nombres avec des signes différents. Un travail indépendant à la fin du cours montrera vos progrès.

IV. Apprendre du nouveau matériel

– Ouvrons les cahiers, notons la date, le travail de classe, le sujet de la leçon « Additionner des nombres avec différents signes ».
– Qu’est-ce qui est indiqué au tableau ? (Ligne de coordonnées)

– Prouver qu'il s'agit d'une ligne de coordonnées ? (Il existe un point de référence, une direction de référence, un segment unitaire)
– Nous allons maintenant apprendre ensemble à additionner des nombres avec des signes différents à l’aide d’une ligne de coordonnées.

(Explication par les étudiants sous la direction du professeur.)

– Trouvons le chiffre 0 sur la ligne de coordonnées. Nous devons ajouter le chiffre 6 à 0. Nous faisons 6 pas vers la droite de l’origine, car. le chiffre 6 est positif (on pose un aimant coloré sur le chiffre 6 obtenu). A 6 on ajoute le nombre (- 10), on fait 10 pas à gauche de l'origine, puisque (- 10) est un nombre négatif (on met un aimant coloré sur le nombre obtenu (- 4).)
– Quelle réponse avez-vous reçue ? (–4)
– Comment as-tu eu le numéro 4 ? (10 – 6)
Tirez une conclusion : D’un nombre avec un module plus grand, soustrayez un nombre avec un module plus petit.
– Comment avez-vous obtenu le signe moins dans la réponse ?
Tirer une conclusion : Nous avons pris le signe d’un nombre de grand module.
– Écrivons un exemple dans un cahier :

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Résoudre de la même manière)

Entrée acceptée :

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Les gars, vous avez maintenant vous-même formulé la règle pour additionner des nombres avec des signes différents. Nous vous dirons vos suppositions hypothèse. Vous avez accompli un travail intellectuel très important. Comme les scientifiques, ils ont émis une hypothèse et découvert une nouvelle règle. Comparons votre hypothèse avec la règle (la feuille avec la règle imprimée est sur le bureau). Lisons en chœur règle ajouter des nombres avec des signes différents

– La règle est très importante ! Il vous permet d'ajouter des numéros de signes différents sans utiliser de ligne de coordonnées.
– Qu'est-ce qui n'est pas clair ?
– Où peut-on se tromper ?
– Afin de calculer correctement et sans erreurs les tâches avec des nombres positifs et négatifs, vous devez connaître les règles.

V. Consolidation du matériel étudié

– Pouvez-vous trouver la somme de ces nombres sur la droite de coordonnées ?
– Il est difficile de résoudre un tel exemple en utilisant une ligne de coordonnées, nous allons donc utiliser la règle que vous avez découverte pour le résoudre.
La tâche est écrite au tableau :
Manuel – p. 45 ; n° 179 (c, d) ; N ° 180 (a, b); N° 181 (b, c)
(Un étudiant fort travaille à consolider ce sujet avec une carte supplémentaire.)

VI. Pause physique(Jouer debout)

– Une personne a des qualités positives et négatives. Répartissez ces qualités sur la ligne de coordonnées.
(Les qualités positives sont à droite du point de départ, les qualités négatives sont à gauche du point de départ.)
– Si la qualité est négative, applaudissez une fois, si elle est positive, applaudissez deux fois. Sois prudent!
– Gentillesse, colère, cupidité , entraide, compréhension, l'impolitesse et, bien sûr, volonté Et envie de gagner, dont vous aurez besoin maintenant, puisque vous avez un travail indépendant à venir)
VII. Travail individuel suivi d'une vérification mutuelle

Option 1	Option 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Travail individuel (pour fortétudiants) suivi d'une vérification mutuelle

Option 1	Option 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Résumer la leçon. Réflexion

– Je crois que vous avez travaillé activement, avec diligence, participé à la découverte de nouvelles connaissances, exprimé votre opinion, je peux maintenant évaluer votre travail.
– Dites-moi, les gars, qu'est-ce qui est le plus efficace : recevoir des informations toutes faites ou penser par vous-même ?
– Qu'avons-nous appris de nouveau pendant la leçon ? (Nous avons appris à additionner des nombres avec des signes différents.)
– Nommez la règle pour additionner des nombres avec des signes différents.
– Dis-moi, notre leçon d'aujourd'hui n'a-t-elle pas été vaine ?
- Pourquoi? (Nous avons acquis de nouvelles connaissances.)
- Revenons à la devise. Cela signifie que Jan Amos Kamensky avait raison lorsqu’il disait : "Considérez comme malheureux ce jour ou cette heure où vous n'avez rien appris de nouveau et n'avez rien ajouté à votre éducation."

IX. Devoirs

Apprenez la règle (carte), p. 45, n° 184.
Mission individuelle - comme vous comprenez les mots de Roger Bacon : «Une personne qui ne connaît pas les mathématiques n'est capable d'aucune autre science. De plus, il n'est même pas capable d'apprécier le niveau de son ignorance ?

Dans cet article, nous traiterons ajouter des nombres avec des signes différents. Ici, nous donnerons une règle pour ajouter des nombres positifs et négatifs, et examinerons des exemples d'application de cette règle lors de l'ajout de nombres avec des signes différents.

Navigation dans les pages.

Règle pour additionner des nombres avec des signes différents

Exemples d'ajout de nombres avec des signes différents

Considérons exemples d'ajout de nombres avec des signes différents selon la règle discutée dans le paragraphe précédent. Commençons par un exemple simple.

Exemple.

Additionnez les nombres −5 et 2.

Solution.

Nous devons ajouter des nombres avec des signes différents. Suivons toutes les étapes prescrites par la règle pour ajouter un nombre positif et un nombre négatif.

Tout d'abord, on trouve les modules des termes ; ils sont respectivement égaux à 5 et 2.

Le module du nombre −5 est supérieur au module du nombre 2, alors rappelez-vous le signe moins.

Il reste à mettre le signe moins mémorisé devant le nombre obtenu, on obtient −3. Ceci termine l'ajout de nombres avec des signes différents.

Répondre:

(−5)+2=−3 .

Pour additionner des nombres rationnels avec des signes différents qui ne sont pas des nombres entiers, ils doivent être représentés sous forme de fractions ordinaires (vous pouvez également travailler avec des décimales, si cela vous convient). Regardons ce point lors de la résolution de l'exemple suivant.

Exemple.

Ajoutez un nombre positif et un nombre négatif −1,25.

Solution.

Représentons des nombres sous forme de fractions ordinaires ; pour ce faire, nous allons effectuer le passage d'un nombre fractionnaire à une fraction impropre : , et convertir la fraction décimale en fraction ordinaire : .

Vous pouvez maintenant utiliser la règle pour additionner des nombres avec des signes différents.

Les modules des nombres ajoutés sont 17/8 et 5/4. Pour la commodité d'actions ultérieures, nous ramenons les fractions à un dénominateur commun, nous avons donc 17/8 et 10/8.

Nous devons maintenant comparer les fractions communes 17/8 et 10/8. Depuis 17>10, alors . Ainsi, le terme avec un signe plus a un module plus grand, rappelez-vous donc le signe plus.

Maintenant, nous soustrayons le plus petit du plus grand module, c'est-à-dire que nous soustrayons des fractions avec les mêmes dénominateurs : .

Il ne reste plus qu'à mettre le signe plus mémorisé devant le nombre obtenu, on obtient , mais - c'est le nombre 7/8.

développer la connaissance de la règle d'addition de nombres avec des signes différents, la capacité de l'appliquer dans les cas les plus simples ;

développement de compétences pour comparer, identifier des modèles, généraliser ;

favoriser une attitude responsable envers le travail éducatif.

Équipement: projecteur multimédia, écran.

Type de cours : leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

DÉROULEMENT DE LA LEÇON

1. Moment organisationnel.

Tenez-vous droit

Ils s'assirent tranquillement.

La cloche a sonné,

Commençons notre leçon.

Les gars! Aujourd'hui, des invités sont venus à notre cours. Tournons-nous vers eux et sourions-nous. Alors, nous commençons notre leçon.

Diapositive 2- Épigraphe de la leçon : « Celui qui ne remarque rien n'étudie rien.

Celui qui n’étudie rien pleure et s’ennuie toujours.

Roman Sef (écrivain pour enfants)

Salade 3 - Je propose de jouer au jeu « Au contraire ». Règles du jeu: vous devez diviser les mots en deux groupes : gagner, mentir, chaleur, donné, vérité, bien, perte, pris, mal, froid, positif, négatif.

Il y a beaucoup de contradictions dans la vie. Avec leur aide, nous définissons la réalité environnante. Pour notre leçon, j'ai besoin du dernier : positif - négatif.

De quoi parle-t-on en mathématiques lorsque nous utilisons ces mots ? (À propos des chiffres.)

Le grand Pythagore disait : « Les nombres gouvernent le monde ». Je propose de parler des nombres les plus mystérieux de la science - des nombres avec des signes différents. - Les nombres négatifs sont apparus en science comme l'opposé des nombres positifs. Leur chemin vers la science a été difficile car même de nombreux scientifiques ne soutenaient pas l'idée de leur existence.

Quels concepts et quantités les gens mesurent-ils avec des nombres positifs et négatifs ? (charges de particules élémentaires, température, pertes, hauteur et profondeur, etc.)

Diapositive 4- Les mots de sens opposés sont des antonymes (tableau).

2. Définir le sujet de la leçon.

Diapositive 5 (travailler avec une table)– Quels nombres ont été étudiés dans les leçons précédentes ?
– Quelles tâches liées aux nombres positifs et négatifs pouvez-vous effectuer ?
– Attention à l'écran. (Diapositive 5)
– Quels nombres sont présentés dans le tableau ?
– Nommez les modules de nombres écrits horizontalement.
– Indiquer le plus grand nombre, indiquer le nombre ayant le plus grand module.
– Répondez aux mêmes questions pour les nombres écrits verticalement.
– Le plus grand nombre et le nombre ayant la plus grande valeur absolue coïncident-ils toujours ?
– Trouver la somme des nombres positifs, la somme des nombres négatifs.
– Formuler la règle d’addition des nombres positifs et la règle d’addition des nombres négatifs.
– Quels nombres reste-t-il à additionner ?
– Savez-vous comment les plier ?
– Connaissez-vous la règle pour additionner des nombres avec des signes différents ?
– Formuler le sujet de la leçon.
– Quel objectif allez-vous vous fixer ? .Pensez à ce que nous allons faire aujourd'hui ? (Réponses des enfants). Aujourd'hui, nous continuons à nous familiariser avec les nombres positifs et négatifs. Le sujet de notre leçon est « Additionner des nombres avec des signes différents ». Notre objectif est d'apprendre à additionner des nombres avec des signes différents sans erreurs. Notez la date et le sujet du cours dans votre cahier.

3.Travailler sur le sujet de la leçon.

Diapositive 6.– À l’aide de ces concepts, trouvez les résultats de l’addition de nombres avec différents signes à l’écran.
– Quels nombres sont le résultat de l’addition de nombres positifs et de nombres négatifs ?
– Quels nombres sont le résultat de l’addition de nombres avec des signes différents ?
– Qu'est-ce qui détermine le signe de la somme de nombres de signes différents ? (Diapositive 5)
– Du terme ayant le plus grand module.
- C'est comme une lutte acharnée. Le plus fort gagne.

Diapositive 7- Jouons. Imaginez que vous êtes dans une lutte acharnée. . Professeur. Les rivaux se rencontrent généralement lors de compétitions. Et aujourd'hui, nous visiterons plusieurs tournois avec vous. La première chose qui nous attend est la finale du concours de tir à la corde. Rencontrez Ivan Minusov au numéro -7 et Petr Plyusov au numéro +5. Selon vous, qui va gagner ? Pourquoi? Ainsi, Ivan Minusov a gagné, il s'est vraiment avéré plus fort que son adversaire et a pu l'entraîner vers son côté négatif exactement de deux pas.

Diapositive 8.- . Passons maintenant à d'autres compétitions. La finale du concours de tir est devant vous. Les meilleurs sous cette forme étaient Minus Troikin avec trois ballons et Plus Chetverikov, qui avait quatre ballons en réserve. Et ici les gars, selon vous, qui sera le gagnant ?

Diapositive 9- Les compétitions ont montré que le plus fort gagne. Il en est ainsi lors de l'addition de nombres avec des signes différents : -7 + 5 = -2 et -3 + 4 = +1. Les gars, comment les nombres avec des signes différents s'additionnent-ils ? Les étudiants proposent leurs propres options ?

L'enseignant formule la règle et donne des exemples.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Lors de la démonstration, les élèves peuvent commenter la solution apparaissant sur la diapositive.

Diapositive 10- Professeur, jouons à un autre jeu « Battleship ». Un navire ennemi s'approche de nos côtes, il faut l'assommer et le couler. Pour cela, nous avons une arme à feu. Mais pour atteindre l’objectif, vous devez faire des calculs précis. Lesquels vous verrez maintenant. Es-tu prêt? Alors allez-y ! Ne vous laissez pas distraire, les exemples changent exactement après 3 secondes. Est-ce que tout le monde est prêt ?

À tour de rôle, les élèves viennent au tableau et calculent les exemples qui apparaissent sur la diapositive. – Nommez les étapes de réalisation de la tâche.

Diapositive 11- Travaillez selon le manuel : p. 180 p. 33, lisez la règle d'addition de nombres avec des signes différents. Commentaires sur la règle.
– Quelle est la différence entre la règle proposée dans le manuel et l’algorithme que vous avez compilé ? Considérez les exemples du manuel avec des commentaires.

Diapositive 12- Professeur - Maintenant les gars, menons expérience. Mais pas chimique, mais mathématique ! Prenons les chiffres 6 et 8, les signes plus et moins et mélangeons bien le tout. Prenons quatre exemples expérimentaux. Faites-les dans votre cahier. (deux élèves résolvent sur les ailes du tableau, puis les réponses sont vérifiées). Quelles conclusions peut-on tirer de cette expérience ?(Le rôle des signes). Faisons 2 autres expériences , mais avec vos numéros (1 personne à la fois va au tableau). Trouvons des chiffres les uns pour les autres et vérifions les résultats de l'expérience (vérification mutuelle).

Diapositive 13 .- La règle s'affiche à l'écran sous forme poétique .

4. Renforcer le sujet de la leçon.

Diapositive 14 – Enseignant - « Toutes sortes de signes sont nécessaires, toutes sortes de signes sont importants ! » Maintenant, les gars, nous allons vous diviser en deux équipes. Les garçons feront partie de l'équipe du Père Noël et les filles de l'équipe de Sunny. Votre tâche, sans calculer les exemples, est de déterminer lesquels d'entre eux auront des réponses négatives et lesquels auront des réponses positives et d'écrire les lettres de ces exemples dans un cahier. Les garçons sont respectivement négatifs et les filles sont positives (les cartes de la demande sont délivrées). Un autotest est en cours.

Bien joué! Votre sens des signes est excellent. Cela vous aidera à accomplir la tâche suivante

Diapositive 15 -Éducation physique. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5, etc. (nombres négatifs - squat, nombres positifs - tirez vers le haut, sautez)

Diapositive 16-Résolvez vous-même 9 exemples (tâche sur les cartes dans l'application). 1 personne au conseil d'administration. Faites un auto-test. Les réponses s'affichent à l'écran et les élèves corrigent les erreurs dans leur cahier. Levez la main si vous avez raison. (Les notes sont attribuées uniquement pour les bons et excellents résultats)

Diapositive 17-Les règles nous aident à résoudre correctement les exemples. Répétons-les. Sur l'écran se trouve un algorithme permettant d'ajouter des nombres avec des signes différents.

5.Organisation du travail indépendant.

Diapositive 18 -Ftravail en ligne à travers le jeu « Devinez le mot »(tâche sur les fiches en annexe).

Diapositive 19 - Le score du jeu doit être « A »

Diapositive 20 -A maintenant, attention. Devoirs. Les devoirs ne devraient pas vous poser de difficultés.

Diapositive 21 - Lois d'addition dans les phénomènes physiques. Trouvez des exemples d'ajout de nombres avec différents signes et posez-les les uns aux autres. Qu'avez-vous appris de nouveau ? Avons-nous atteint notre objectif ?

Diapositive 22 - C'est la fin de la leçon, résumons-la maintenant. Réflexion. L'enseignant commente et note la leçon.

Diapositive 23 - Merci de votre attention !

Je vous souhaite d'avoir plus de positif et moins de négatif dans votre vie. Je veux vous dire les gars, merci pour votre travail actif. Je pense que vous pouvez facilement appliquer les connaissances acquises dans les cours suivants. La leçon est terminée. Merci beaucoup à tous. Au revoir!

Cet article est consacré aux nombres avec des signes différents. Nous allons décomposer le matériel et essayer de soustraire entre ces nombres. Dans ce paragraphe, nous nous familiariserons avec les concepts et règles de base qui seront utiles pour résoudre des exercices et des problèmes. L'article présente également des exemples détaillés qui vous aideront à mieux comprendre le matériel.

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Comment faire une soustraction correctement

Pour mieux comprendre le processus de soustraction, nous devons commencer par quelques définitions de base.

Définition 1

Si vous soustrayez le nombre b du nombre a, cela peut être transformé comme l'addition des nombres a et - b, où b et − b sont des nombres de signes opposés.

Si nous exprimons cette règle en lettres, cela ressemble à ceci : a − b = a + (− b) , où a et b sont des nombres réels.

Cette règle de soustraction de nombres avec des signes différents fonctionne pour les nombres réels, rationnels et entiers. Cela peut être prouvé sur la base des propriétés des opérations avec des nombres réels. Grâce à eux, on peut représenter les nombres comme plusieurs égalités (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a. Puisque l’addition et la soustraction sont étroitement liées, l’expression a − b = a + (− b) sera également égale. Cela signifie que la règle de soustraction en question est également vraie.

Cette règle, utilisée pour soustraire des nombres de signes différents, permet de travailler aussi bien avec des nombres positifs que négatifs. Vous pouvez également effectuer le processus de soustraction d’un nombre négatif d’un nombre positif, qui se transforme en addition.

Afin de consolider les informations reçues, nous considérerons des exemples typiques et considérerons en pratique la règle de soustraction pour des nombres de signes différents.

Exemples d'exercices de soustraction

Renforçons le matériel en regardant des exemples typiques.

Exemple 1

Vous devez soustraire 4 de − 16.

Pour effectuer une soustraction, vous devez prendre le nombre opposé à celui que vous soustrayez 4, qui est − 4. D'après la règle de soustraction discutée ci-dessus (− 16) − 4 = (− 16) + (− 4) . Ensuite, nous devons additionner les nombres négatifs résultants. On obtient : (− 16) + (− 4) = − (16 + 4) = − 20. (− 16) − 4 = − 20 .

Pour soustraire des fractions, vous devez représenter les nombres sous forme de fractions ou de décimales. Cela dépend du type de nombres avec lesquels il sera plus pratique d'effectuer des calculs.

Exemple 2

Il faut soustraire − 0, 7 de 3 7.

Nous recourons à la règle de la soustraction des nombres. Remplacez la soustraction par l'addition : 3 7 - (- 0, 7) = 3 7 + 0, 7.

Nous additionnons les fractions et obtenons la réponse sous la forme d'une fraction. 3 7 - (- 0 , 7) = 1 9 70 .

Lorsqu'un nombre est représenté par la racine carrée, le logarithme, les fonctions fondamentales et trigonométriques, le résultat de la soustraction peut souvent être écrit sous forme d'expression numérique. Pour clarifier cette règle, considérons l’exemple suivant.

Exemple 3

Il faut soustraire le chiffre 5 du chiffre - 2.

Utilisons la règle de soustraction décrite ci-dessus. Prenons le nombre opposé pour soustraire 5 - c'est − 5. Selon le travail avec des nombres avec des signes différents - 2 - 5 = - 2 + (- 5) .

Faisons maintenant l'addition : on obtient - 2 + (- 5) = 2 + 5.

L'expression résultante est le résultat de la soustraction des nombres d'origine avec des signes différents : - 2 + 5.

La valeur de l'expression résultante ne peut être calculée aussi précisément que possible uniquement si nécessaire. Pour des informations détaillées, vous pouvez étudier d'autres sections liées à ce sujet.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Dans cette leçon, nous apprendrons ce qu’est un nombre négatif et quels nombres sont appelés opposés. Nous apprendrons également comment additionner des nombres négatifs et positifs (nombres avec des signes différents) et examinerons plusieurs exemples d'addition de nombres avec des signes différents.

Regardez cet équipement (voir Fig. 1).

Riz. 1. Équipement d'horlogerie

Il ne s'agit pas d'une aiguille qui indique directement l'heure ni d'un cadran (voir Fig. 2). Mais sans cette pièce, l’horloge ne fonctionne pas.

Riz. 2. Équipement à l’intérieur de l’horloge

Que représente la lettre Y ? Rien que le son Y. Mais sans cela, de nombreux mots ne « fonctionneront » pas. Par exemple, le mot « souris ». Il en va de même pour les nombres négatifs : ils ne montrent aucune quantité, mais sans eux, le mécanisme de calcul serait beaucoup plus difficile.

Nous savons que l’addition et la soustraction sont des opérations égales et peuvent être effectuées dans n’importe quel ordre. Dans l’ordre direct, nous pouvons calculer : , mais nous ne pouvons pas commencer par soustraction, car nous ne sommes pas encore d’accord sur quoi .

Il est clair qu’augmenter le nombre de puis diminuer signifie finalement diminuer de trois. Pourquoi ne pas désigner cet objet et compter ainsi : ajouter, c'est soustraire. Alors .

Le chiffre peut signifier, par exemple, une pomme. Le nouveau nombre ne représente aucune quantité réelle. En soi, cela ne signifie rien comme la lettre Y. C'est juste un nouvel outil pour faciliter les calculs.

Nommons de nouveaux numéros négatif. Nous pouvons maintenant soustraire le plus grand nombre du plus petit nombre. Techniquement, vous devez toujours soustraire le plus petit nombre du plus grand nombre, mais mettez un signe moins dans votre réponse : .

Regardons un autre exemple : . Vous pouvez effectuer toutes les actions à la suite : .

Cependant, il est plus facile de soustraire le troisième nombre du premier nombre puis d’ajouter le deuxième nombre :

Les nombres négatifs peuvent être définis d'une autre manière.

Pour chaque nombre naturel, par exemple , on introduit un nouveau nombre, que l'on note , et on détermine qu'il a la propriété suivante : la somme du nombre et est égale à : .

Nous appellerons le nombre négatif, et les nombres et - ci-contre. Ainsi, nous obtenons un nombre infini de nouveaux nombres, par exemple :

Le contraire du nombre ;

Le contraire du nombre ;

Le contraire du nombre ;

Le contraire du nombre ;

Soustrayez le plus grand nombre du plus petit nombre : . Ajoutons à cette expression : . Nous avons obtenu zéro. Cependant, selon la propriété : le nombre qui ajoute zéro à cinq est noté moins cinq : . Par conséquent, l’expression peut être notée .

Chaque nombre positif a un nombre jumeau, qui diffère uniquement en ce qu'il est précédé d'un signe moins. De tels nombres sont appelés. opposé(voir fig. 3).

Riz. 3. Exemples de nombres opposés

Propriétés des nombres opposés

1. La somme des nombres opposés est nulle : .

2. Si vous soustrayez un nombre positif de zéro, le résultat sera le nombre négatif opposé : .

1. Les deux nombres peuvent être positifs, et nous savons déjà comment les additionner : .

2. Les deux nombres peuvent être négatifs.

Nous avons déjà abordé l'ajout de nombres comme ceux-ci dans la leçon précédente, mais assurons-nous de bien comprendre quoi en faire. Par exemple: .

Pour trouver cette somme, additionnez les nombres positifs opposés et mettez un signe moins.

3. Un nombre peut être positif et l’autre négatif.

Si cela nous convient, nous pouvons remplacer l'addition d'un nombre négatif par la soustraction d'un nombre positif : .

Autre exemple : . Encore une fois, nous écrivons le montant comme la différence. Vous pouvez soustraire un nombre plus grand d’un nombre plus petit en soustrayant un nombre plus petit d’un nombre plus grand, mais en utilisant le signe moins.

On peut échanger les termes : .

Autre exemple similaire : .

Dans tous les cas, le résultat est une soustraction.

Pour formuler brièvement ces règles, rappelons encore un terme. Bien entendu, les nombres opposés ne sont pas égaux. Mais il serait étrange de ne pas remarquer ce qu’ils ont en commun. Nous appelons cela commun numéro de module. Le module des nombres opposés est le même : pour un nombre positif il est égal au nombre lui-même, et pour un nombre négatif il est égal à son contraire, positif. Par exemple: , .

Pour ajouter deux nombres négatifs, vous devez additionner leurs modules et mettre un signe moins :

Pour ajouter un nombre négatif et un nombre positif, vous devez soustraire le plus petit module du plus grand module et mettre le signe du nombre avec le plus grand module :

Les deux nombres sont négatifs, nous ajoutons donc leurs modules et mettons un signe moins :

Deux nombres avec des signes différents, donc du module du nombre (le plus grand module), on soustrait le module du nombre et on met un signe moins (le signe du nombre avec le plus grand module) :

Deux nombres de signes différents, donc du module du nombre (le plus grand module), on soustrait le module du nombre et on met un signe moins (le signe du nombre avec le plus grand module) : .

Deux nombres de signes différents, donc du module du nombre (le plus grand module), on soustrait le module du nombre et on met un signe plus (le signe du nombre avec le plus grand module) : .

Les nombres positifs et négatifs ont historiquement joué des rôles différents.

Nous avons d’abord introduit les nombres naturels pour compter les objets :

Ensuite, nous avons introduit d'autres nombres positifs - des fractions, pour compter des quantités non entières, des parties : .

Les nombres négatifs sont apparus comme un outil pour simplifier les calculs. Ce n’était pas comme s’il existait des quantités dans la vie que nous ne pouvions pas compter, et nous avons inventé les nombres négatifs.

Autrement dit, les nombres négatifs ne proviennent pas du monde réel. Ils se sont avérés si pratiques que, dans certains endroits, ils ont trouvé une application dans la vie. Par exemple, on entend souvent parler de températures négatives. Cependant, nous ne rencontrons jamais un nombre négatif de pommes. Quelle est la différence ?

La différence est que dans la vie, les quantités négatives ne sont utilisées qu’à des fins de comparaison, mais pas pour les quantités. Si un hôtel dispose d'un sous-sol et qu'un ascenseur y est installé, alors afin de maintenir la numérotation habituelle des étages réguliers, un premier étage négatif peut apparaître. Ce premier moins signifie seulement un étage en dessous du niveau du sol (voir Fig. 1).

Riz. 4. Moins le premier et moins le deuxième étage

Une température négative n’est que négative par rapport au zéro choisi par l’auteur de l’échelle, Anders Celsius. Il existe d'autres échelles, et la même température peut n'y être plus négative.

En même temps, on comprend qu'il est impossible de changer le point de départ pour qu'il n'y ait pas cinq pommes, mais six. Ainsi, dans la vie, les nombres positifs servent à déterminer des quantités (pommes, gâteau).

Nous les utilisons également à la place des noms. Chaque téléphone pourrait recevoir son propre nom, mais le nombre de noms est limité et il n'y a pas de numéros. C'est pourquoi nous utilisons des numéros de téléphone. Également pour commander (le siècle suit le siècle).

Les nombres négatifs dans la vie sont utilisés dans ce dernier sens (moins le premier étage en dessous du zéro et le premier étage)

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