L’équation de la droite ab a la forme. Équation générale d'une droite

Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

Dans l'espace tridimensionnel, il existe trois options pour la position relative de deux lignes :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : une droite dans le système de coordonnées cartésiennes

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale d'une droite.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante A, B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes A, B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction d'un élément donné.

conditions initiales.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur avec des composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite donnée par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc.

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente direct.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Hache + Wu + C = 0 conduire à :

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 nous obtenons C/A = -3, c'est-à-dire équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui s'appelle

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

r- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Nécessaire pour écrire différents types d'équations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec la pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les lignes droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des lignes droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux lignes sont perpendiculaires

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

L'équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme :

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M. pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M. Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculairement

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème a été prouvé.

L'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(x 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

oui - oui 1 = k(x - x 1). (1)

Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(x 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(x 1 , oui 1) et B(x 2 , oui 2), écrit ainsi :

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule

3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente

oui = k 1 x + B 1 ,

Laissez la droite passer par les points M 1 (x 1 ; y 1) et M 2 (x 2 ; y 2). L'équation d'une droite passant par le point M 1 a la forme y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Où k - coefficient encore inconnu.

Puisque la droite passe par le point M 2 (x 2 y 2), les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation (10.6) : y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

De là, nous trouvons Remplacer la valeur trouvée k dans l'équation (10.6), on obtient l'équation d'une droite passant par les points M 1 et M 2 :

On suppose que dans cette équation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, alors la droite passant par les points M 1 (x 1,y I) et M 2 (x 2,y 2) est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est x = x 1 .

Si y 2 = y I, alors l'équation de la droite peut s'écrire y = y 1, la droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

Équation d'une droite en segments

Laissez la ligne droite couper l'axe Ox au point M 1 (a;0) et l'axe Oy au point M 2 (0;b). L'équation prendra la forme :
ceux.
. Cette équation s'appelle équation d'une droite en segments, car les nombres a et b indiquent quels segments la ligne coupe sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné

Trouvons l'équation d'une droite passant par un point donné Mo (x O ; y o) perpendiculaire à un vecteur non nul donné n = (A ; B).

Prenons un point arbitraire M(x; y) sur la droite et considérons le vecteur M 0 M (x - x 0; y - y o) (voir Fig. 1). Puisque les vecteurs n et M o M sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à zéro : c'est-à-dire

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

L'équation (10.8) est appelée équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné .

Le vecteur n= (A; B), perpendiculaire à la droite, est appelé normal vecteur normal de cette ligne .

L’équation (10.8) peut être réécrite comme suit Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

où A et B sont les coordonnées du vecteur normal, C = -Ax o - Vu o est le terme libre. Équation (10.9) est l'équation générale de la droite(voir fig. 2).

Figure 1 Figure 2

Équations canoniques de la droite

,

Où
- les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et
- vecteur de direction.

Courbes du second ordre Cercle

Un cercle est l'ensemble de tous les points du plan équidistants d'un point donné, appelé centre.

Équation canonique d'un cercle de rayon R. centré en un point
:

En particulier, si le centre du piquet coïncide avec l'origine des coordonnées, alors l'équation ressemblera à :

Ellipse

Une ellipse est un ensemble de points sur un plan dont la somme des distances de chacun d'entre eux à deux points donnés Et , appelés foyers, est une quantité constante
, supérieur à la distance entre les foyers
.

L'équation canonique d'une ellipse dont les foyers se trouvent sur l'axe Ox, et l'origine des coordonnées au milieu entre les foyers a la forme
G de un longueur du demi-grand axe ; b – longueur du demi-petit axe (Fig. 2).

Équation d'une droite sur un plan.

Comme on le sait, tout point du plan est déterminé par deux coordonnées dans un système de coordonnées. Les systèmes de coordonnées peuvent être différents selon le choix de la base et de l'origine.

Définition. Équation de droite s'appelle la relation y = f(x) entre les coordonnées des points qui composent cette ligne.

Notez que l'équation d'une ligne peut être exprimée de manière paramétrique, c'est-à-dire que chaque coordonnée de chaque point est exprimée par un paramètre indépendant. t.

Un exemple typique est la trajectoire d’un point en mouvement. Dans ce cas, le rôle du paramètre est joué par le temps.

Équation d'une droite sur un plan.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

De plus, les constantes A et B ne sont pas égales à zéro en même temps, c'est-à-dire A 2 + B 2  0. Cette équation du premier ordre est appelée équation générale d'une droite.

En fonction des valeurs des constantes A, B et C, les cas particuliers suivants sont possibles :

C = 0, A  0, B  0 – la droite passe par l'origine

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - droite parallèle à l'axe Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – droite parallèle à l'axe Oy

B = C = 0, A  0 – la droite coïncide avec l'axe Oy

A = C = 0, B  0 – la droite coïncide avec l'axe Ox

L'équation d'une droite peut être présentée sous différentes formes en fonction de conditions initiales données.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur de composantes (A, B) est perpendiculaire à la droite donnée par l'équation Ax + By + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation de la droite passant par le point A(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x – y + C = 0. Pour trouver le coefficient C, on substitue les coordonnées du point donné A dans l'expression résultante.

On obtient : 3 – 2 + C = 0, donc C = -1.

Total : l’équation recherchée : 3x – y – 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2) dans l'espace, alors l'équation de la droite passant par ces points est :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro.

Dans le plan, l'équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

si x 1  x 2 et x = x 1, si x 1 = x 2.

Fraction
=k est appelé pente direct.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Ax + By + C = 0 se réduit à la forme :

et désigner
, alors l'équation résultante s'appelle équation d'une droite avec pentek.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par un vecteur normal, vous pouvez saisir la définition d'une droite passant par un point et le vecteur directeur de la droite.

Définition. Tout vecteur non nul ( 1,  2), dont les composantes satisfont à la condition A 1 + B 2 = 0 est appelé vecteur directeur de la droite

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite avec un vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

On cherchera l'équation de la droite recherchée sous la forme : Ax + By + C = 0. Conformément à la définition, les coefficients doivent satisfaire aux conditions :

1A + (-1)B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C/A = 0.

à x = 1, y = 2 nous obtenons C/A = -3, c'est-à-dire équation requise :

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С 0, alors, en divisant par –С, on obtient :
ou

, Où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient UN est la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Ox, et b– la coordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy.

Exemple. L'équation générale de la droite x – y + 1 = 0 est donnée. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1,
, une = -1,b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l'équation Ax + By + C = 0 sont divisés par le nombre
qui s'appelle facteur de normalisation, alors on obtient

xcos + ysin - p = 0 –

équation normale d'une droite.

Le signe  du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que С< 0.

p est la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite, et  est l'angle formé par cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Ox.

Exemple. L'équation générale de la droite 12x – 5y – 65 = 0 est donnée. Il est nécessaire d'écrire différents types d'équations pour cette droite.

équation de cette droite en segments :

équation de cette droite avec pente : (diviser par 5)

équation normale d'une droite :

;

cos = 12/13 ; péché = -5/13 ; p = 5.

Exemple. Il convient de noter que toutes les droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des droites parallèles aux axes ou passant par l'origine des coordonnées.

La ligne droite coupe des segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Écrivez une équation d'une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.
L'équation de la droite est :

, une = b = 1 ; ab/2 = 8 ; une = 4 ; -4.

a = -4 ne convient pas selon les conditions du problème.
Total:

Exemple. ou x + y – 4 = 0.

La ligne droite coupe des segments positifs égaux sur les axes de coordonnées. Écrivez une équation d'une droite si l'aire du triangle formé par ces segments est de 8 cm 2.
Écrivez une équation pour une droite passant par le point A(-2, -3) et l'origine.

, où x 1 = y 1 = 0 ; x2 = -2 ; oui 2 = -3.

Définition. L'angle entre des lignes droites sur un plan.

.

Si deux lignes sont données y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, alors l'angle aigu entre ces lignes sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k 1 = k 2.

Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/k 2 . Théorème. 1 Lignes directes Ax + Wu + C = 0 et A 1 x + B 1 y + C 1 =  A, B 1 =  B. Si aussi C 1 =  C, alors les lignes coïncident.

Les coordonnées du point d'intersection de deux droites sont trouvées comme solution du système d'équations de ces droites.

Équation d'une droite passant par un point donné

perpendiculaire à cette ligne.

Définition. Une droite passant par le point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la droite y = kx + b est représentée par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Deux droites sont perpendiculaires si k 1 = -1/k 2 . Si le point M(x) est donné 0 , oui 0 ), alors la distance à la droite Ах + Ву + С =0 est définie comme

.

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base d'une perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée.

Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

.

Le théorème a été prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3x + 7 ; y = 2x + 1.

k 1 = -3 ; k 2 = 2 tg =
;

Exemple. = /4.

Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

Exemple. On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.
On retrouve l’équation du côté AB :

;

4x = 6 ans – 6 ;

2x – 3 ans + 3 = 0 ; L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.
k =
. Alors y =
.

. Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation :

d'où b = 17. Total :

Réponse : 3x + 2a – 34 = 0.

Géométrie analytique dans l'espace.

Équation d'une droite dans l'espace.

Équation d'une droite dans l'espace étant donné un point et vecteur de direction. Prenons une ligne arbitraire et un vecteur (m, n, p), parallèle à la ligne donnée. Vecteur direct.

appelé

vecteur de guidage

Sur la droite, nous prenons deux points arbitraires M 0 (x 0 , y 0 , z 0) et M (x, y, z).

z M1 Notons les rayons vecteurs de ces points comme - =
.

Et
M1 , il est évident que
= Parce que vecteurs

sont colinéaires, alors la relation est vraie = + t, où t est un paramètre.

Au total, on peut écrire : t..

Parce que cette équation est satisfaite par les coordonnées de n'importe quel point sur la ligne, alors l'équation résultante est

équation paramétrique d'une droite

.

Définition. Cette équation vectorielle peut être représentée sous forme de coordonnées : En transformant ce système et en égalisant les valeurs du paramètre t, on obtient les équations canoniques d'une droite dans l'espace : , qui peut être calculé à l'aide des formules :

;

.

De là, nous obtenons : m : n : p = cos : cos : cos.

Les nombres m, n, p sont appelés coefficients d'angle direct. Parce que est un vecteur non nul, alors m, n et p ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, mais un ou deux de ces nombres peuvent être égaux à zéro. Dans ce cas, dans l'équation de la droite, les numérateurs correspondants doivent être définis égaux à zéro.

Équation d'une droite dans l'espace passant

à travers deux points.

Si sur une ligne droite dans l'espace nous marquons deux points arbitraires M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), alors les coordonnées de ces points doivent satisfaire l'équation de la droite obtenu ci-dessus :

.

De plus, pour le point M 1 on peut écrire :

.

En résolvant ces équations ensemble, nous obtenons :

.

C'est l'équation d'une droite passant par deux points de l'espace.

Équations générales d'une droite dans l'espace.

L'équation d'une droite peut être considérée comme l'équation de la ligne d'intersection de deux plans.

Comme indiqué ci-dessus, un plan sous forme vectorielle peut être spécifié par l'équation :

+ D = 0, où

- plan normal ; - le rayon est le vecteur d'un point arbitraire sur le plan.

Équation générale d'une droite :

Cas particuliers de l'équation générale d'une droite :

a) Si C= 0, l'équation (2) aura la forme

Hache + Par = 0,

et la droite définie par cette équation passe par l'origine, puisque les coordonnées de l'origine sont x = 0, oui= 0 satisfait cette équation.

b) Si dans l'équation générale de la droite (2) B= 0, alors l'équation prend la forme

Hache + AVEC= 0, ou .

L'équation ne contient pas de variable oui, et la droite définie par cette équation est parallèle à l'axe Oy.

c) Si dans l'équation générale de la droite (2) UN= 0, alors cette équation prendra la forme

Par + AVEC= 0, ou ;

l'équation ne contient pas de variable x, et la droite qu'il définit est parallèle à l'axe Bœuf.

Il ne faut pas oublier : si une ligne droite est parallèle à un axe de coordonnées, alors dans son équation il n'y a pas de terme contenant une coordonnée du même nom que cet axe.

d) Quand C= 0 et UN= 0 l'équation (2) prend la forme Par= 0, ou oui = 0.

C'est l'équation de l'axe Bœuf.

d) Quand C= 0 et B= 0 l'équation (2) s'écrira sous la forme Hache= 0 ou x = 0.

C'est l'équation de l'axe Oy.

La position relative des lignes sur un plan. L'angle entre des lignes droites sur un plan. Condition pour les lignes parallèles. Condition de perpendiculaire des lignes.

l 1 l 2 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Les vecteurs S 1 et S 2 sont appelés guides pour leurs lignes.

L'angle entre les droites l 1 et l 2 est déterminé par l'angle entre les vecteurs directeurs.
Théorème 1 : cos de l'angle entre l 1 et l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Théorème 2 : Pour que 2 lignes soient égales il faut et suffit :

Théorème 3 : Pour que 2 droites soient perpendiculaires il faut et suffisant :

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Equation générale du plan et ses cas particuliers. Équation d'un plan en segments.

Équation générale du plan :

Hache + Par + Cz + D = 0

Cas particuliers :

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – le plan passe par l'origine

2. С=0 Axe+By+D = 0 – plan || once

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY

4. A=0 Par+Cz+D = 0 – plan || BŒUF

5. A=0 et D=0 By+Cz = 0 – l'avion passe par OX

6. B=0 et D=0 Ax+Cz = 0 – l'avion passe par OY

7. C=0 et D=0 Ax+By = 0 – l'avion passe par OZ

La position relative des plans et des droites dans l'espace :

1. L'angle entre les lignes droites dans l'espace est l'angle entre leurs vecteurs directeurs.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. L'angle entre les plans est déterminé par l'angle entre leurs vecteurs normaux.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Le cosinus de l'angle entre la ligne et le plan peut être trouvé par le sinus de l'angle entre le vecteur directeur de la ligne et le vecteur normal du plan.

4. 2 droits || dans l'espace quand leur || guides vectoriels

5. 2 avions || quand || vecteurs normaux

6. Les notions de perpendiculaire des lignes et des plans sont introduites de la même manière.

Question n°14

Différents types d'équation d'une droite sur un plan (équation d'une droite en segments, avec un coefficient d'angle, etc.)

Équation d'une droite en segments :
Supposons que dans l'équation générale de la droite :

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – la droite passe par l'origine.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Axe + C = 0 x =

4. b=C=0 Axe = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Équation d'une droite avec une pente :

Toute ligne droite qui n'est pas égale à l'axe de l'ampli-op (B not = 0) peut être écrite dans la ligne suivante. formulaire:

k = tanα α – angle entre la droite et la droite orientée positivement OX

b – point d'intersection de la ligne droite avec l'axe de l'ampli-op

Document:

Hache+Par+C = 0

Wu = -Ah-S |:B

Équation d'une droite basée sur deux points :

Question n°16

Limite finie d'une fonction en un point et pour x→∞

Limite finale à x0 :

Le nombre A est appelé la limite de la fonction y = f(x) pour x→x 0 si pour tout E > 0 il existe b > 0 tel que pour x ≠x 0 satisfaisant l'inégalité |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

La limite est indiquée par : = A

Limite finale au point +∞ :

Le nombre A est appelé la limite de la fonction y = f(x) en x → + ∞ , si pour tout E > 0 il existe C > 0 tel que pour x > C l'inégalité |f(x) - A|< Е

La limite est indiquée par : = A

Limite finale au point -∞ :

Le nombre A est appelé limite de la fonction y = f(x) pour x→-∞, si pour un E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е