Solution. On résout le rectangle ∆ ASC : sin A=, BH=12, donc AB=13,AK=5 (triple de Pythagore 5,12,13). Résoudre rectangulaire ∆ BCH : BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagore triple 3,4,5).Le rayon est trouvé par la formule r === 4. Answer.4.

2.4. Triples de Pythagore en trigonométrie

L'identité trigonométrique principale est un cas particulier du théorème de Pythagore : sin2a + cos2a = 1 ; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Par conséquent, certaines tâches trigonométriques sont facilement résolues oralement à l'aide de triplets de Pythagore.

Les problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver les valeurs d'autres fonctions trigonométriques à partir d'une valeur donnée d'une fonction peuvent être résolus sans mettre au carré et extraire une racine carrée. Toutes les tâches de ce type dans le manuel scolaire d'algèbre (10-11) Mordkovich (n ° 000-n ° 000) peuvent être résolues oralement, ne connaissant que quelques triplets de Pythagore: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Considérons les solutions de deux tâches.

n° 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Solution. Triple de Pythagore : 3, 4, 5. Donc, cos t = -3/5 ; tg t = -4/3,

N° 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Solution. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Triplet de Pythagore 5,12,13. Étant donné les signes, nous obtenons sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Matériel de contrôle et de mesure de l'examen

a) cos (arc sinus 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) péché (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) vérifier la validité de l'égalité :

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Solution. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Conclusion

Dans les problèmes géométriques, on doit souvent résoudre des triangles rectangles, parfois plusieurs fois. Après analyse des tâches des manuels scolaires et du matériel USE, nous pouvons conclure que les triplets sont principalement utilisés : 3, 4, 5 ; 5, 12, 13 ; 7, 24, 25 ; 9, 40, 41 ; 8,15,17 ; qui sont faciles à retenir. Lors de la résolution de certaines tâches trigonométriques, la solution classique utilisant des formules trigonométriques et un grand nombre de calculs prend du temps, et la connaissance des triplets de Pythagore éliminera les erreurs de calcul et fera gagner du temps pour résoudre des problèmes plus difficiles à l'examen.

Liste bibliographique

1. Algèbre et débuts de l'analyse. 10-11 années. À 2 heures Partie 2. Un cahier de tâches pour les établissements d'enseignement / [et autres] ; éd. . - 8e éd., Sr. - M. : Mnémosyne, 2007. - 315 p. : je vais.

2. Algèbre de Perelman. - D. : VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovsky : Proc. Pour 7-9 cellules. avec un profond l'étude de l'enseignement général des mathématiques. école du russe lang. apprentissage, - 3e éd. - Mn. ; Nar. Asveta, 2000. - 574 p. : ill.

4. Mathématiques : Cours d'histoire, méthodologie, didactique. / Comp. . - M. : Maison d'édition de l'URAO, 2001. - 384 p.

5. Revue "Mathématiques à l'école" n°1, 1965.

6. Matériel de contrôle et de mesure de l'examen.

7. Géométrie, 7-9 : Proc. pour les établissements d'enseignement /, etc. - 13e éd. - M.: Education, 2003. – 384 p. : je vais.

8. Géométrie : Proc. pour 10-11 cellules. moy. école /, etc. - 2e éd. - M. : Education, 1993, - 207 p. : ill.

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Algèbre et débuts de l'analyse. 10-11 années. À 2 heures Partie 2. Un cahier de tâches pour les établissements d'enseignement / [et autres] ; éd. . - 8e éd., Sr. - M. : Mnémosyne, 2007. - 315 p. : ill., p.18.

Un exemple important d'équation diophantienne est donné par le théorème de Pythagore, qui relie les longueurs x et y des branches d'un triangle rectangle à la longueur z de son hypoténuse :

Bien sûr, vous êtes tombé sur l'une des merveilleuses solutions de cette équation en nombres naturels, à savoir le triplet de Pythagore des nombres x=3, y=4, z=5. Existe-t-il d'autres triplés ?

Il s'avère qu'il existe une infinité de triplets de Pythagore, et tous ont été trouvés il y a longtemps. Ils peuvent être obtenus par des formules bien connues, que vous découvrirez dans ce paragraphe.

Si les équations diophantiennes du premier et du second degré ont déjà été résolues, alors la question de la résolution des équations de degrés supérieurs reste encore ouverte, malgré les efforts des plus grands mathématiciens. Actuellement, par exemple, la célèbre conjecture de Fermat selon laquelle pour toute valeur entière n2 l'équation

n'a pas de solutions en nombres entiers.

Pour résoudre certains types d'équations diophantiennes, le soi-disant nombres complexes. Ce que c'est? Laissez la lettre i désigner un objet qui satisfait la condition je 2 \u003d -1(il est clair qu'aucun nombre réel ne satisfait cette condition). Considérons les expressions de la forme α+iβ, où α et β sont des nombres réels. De telles expressions seront appelées nombres complexes, ayant défini les opérations d'addition et de multiplication sur eux, ainsi que sur les binômes, mais avec la seule différence que l'expression je 2 partout on remplacera le chiffre -1 :

7.1. Beaucoup des trois

Prouver que si x0, y0, z0- Triple de Pythagore, puis triple y 0 , x 0 , z 0 Et x 0 k, y 0 k, z 0 k pour toute valeur du paramètre naturel k sont également de Pythagore.

7.2. Formules privées

Vérifiez que pour toutes les valeurs naturelles m>n trinité de la forme

est pythagoricien. Est-ce un triplet de Pythagore x, y, z peut être représenté sous cette forme, si vous permettez de réorganiser les nombres x et y dans le triplet ?

7.3. Triplés irréductibles

Un triplet de Pythagore de nombres qui n'ont pas de diviseur commun supérieur à 1 sera dit irréductible. Montrer qu'un triplet de Pythagore n'est irréductible que si deux des nombres du triplet sont premiers entre eux.

7.4. Propriété des triplets irréductibles

Montrer que dans tout triplet de Pythagore irréductible x, y, z le nombre z et exactement un des nombres x ou y sont impairs.

7.5. Tous les triplets irréductibles

Montrer qu'un triplet de nombres x, y, z est un triplet de Pythagore irréductible si et seulement s'il coïncide avec le triplet à l'ordre des deux premiers nombres près 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Où m>n- des nombres naturels premiers de parité différente.

7.6. Formules générales

Montrer que toutes les solutions de l'équation

en nombres naturels sont donnés à l'ordre de l'inconnue x et y par les formules

où m>n et k sont des paramètres naturels (pour éviter la duplication d'éventuels triplets, il suffit de choisir des nombres de type premier entre eux et, de plus, de parité différente).

7.7. 10 premiers triplés

Trouver tous les triplets de Pythagore x, y, z satisfaisant la condition X

7.8. Propriétés des triplets de Pythagore

Montrer que pour tout triplet de Pythagore x, y, z les affirmations sont vraies :

a) au moins un des nombres x ou y est un multiple de 3 ;

b) au moins un des nombres x ou y est un multiple de 4 ;

c) au moins un des nombres x, y ou z est un multiple de 5.

7.9. Application des nombres complexes

Le module d'un nombre complexe α + iβ appelé un nombre non négatif

Vérifiez que pour tous les nombres complexes α + iβ Et γ + iδ la propriété est exécutée

En utilisant les propriétés des nombres complexes et leurs modules, prouver que deux entiers m et n satisfont l'égalité

c'est-à-dire qu'ils donnent une solution à l'équation

entiers (comparer avec le problème 7.5).

7.10. Triples non pythagoriciens

À l'aide des propriétés des nombres complexes et de leurs modules (voir problème 7.9), trouvez des formules pour toutes les solutions entières de l'équation :

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Solutions

7.1. Si x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , Ce y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , et pour toute valeur naturelle de k on a

Q.E.D.

7.2. Des égalités

on en déduit que le triplet indiqué dans le problème satisfait l'équation x 2 + y 2 = z 2 en nombres naturels. Cependant, tous les triplets de Pythagore x, y, z peut être représenté sous cette forme; par exemple, le triplet 9, 12, 15 est pythagoricien, mais le nombre 15 ne peut pas être représenté comme la somme des carrés de deux nombres naturels m et n.

7.3. Si deux nombres quelconques du triplet de Pythagore x, y, z ont un diviseur commun d, alors ce sera aussi un diviseur du troisième nombre (donc, dans le cas x = x 1 ré, y = y 1 ré nous avons z 2 \u003d X 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) ré 2, d'où z 2 est divisible par d 2 et z est divisible par d). Par conséquent, pour qu'un triplet de Pythagore soit irréductible, il faut que deux des nombres du triplet soient premiers entre eux,

7.4. Notez que l'un des nombres x ou y, disons x, d'un triplet de Pythagore irréductible x, y, z est impair car sinon les nombres x et y ne seraient pas premiers entre eux (voir problème 7.3). Si l'autre nombre y est aussi impair, alors les deux nombres

donner un reste de 1 lorsqu'il est divisé par 4, et le nombre z 2 \u003d x 2 + y 2 donne un reste de 2 lorsqu'il est divisé par 4, c'est-à-dire qu'il est divisible par 2, mais pas divisible par 4, ce qui ne peut pas l'être. Ainsi, le nombre y doit être pair, et le nombre z doit donc être impair.

7.5. Soit le triple de Pythagore x, y, z est irréductible et, pour la définition, le nombre x est pair, tandis que les nombres y, z sont impairs (voir problème 7.4). Alors

où sont les chiffres sont entiers. Montrons que les nombres a et b sont premiers entre eux. En effet, s'ils avaient un diviseur commun supérieur à 1, alors les nombres auraient le même diviseur z = une + b, y = une - b, c'est-à-dire que le triplet ne serait pas irréductible (voir problème 7.3). Maintenant, en développant les nombres a et b en produits de facteurs premiers, nous remarquons que tout facteur premier doit être inclus dans le produit 4ab = x2 seulement à un degré pair, et s'il est inclus dans l'expansion du nombre a, alors il n'est pas inclus dans l'expansion du nombre b et vice versa. Par conséquent, tout facteur premier est inclus dans l'expansion du nombre a ou b séparément uniquement à un degré pair, ce qui signifie que ces nombres eux-mêmes sont des carrés d'entiers. Mettons alors on obtient les égalités

de plus, les paramètres naturels m>n sont premiers entre eux (en raison de la copriméité des nombres a et b) et ont des parités différentes (en raison du nombre impair z \u003d m 2 + n 2).

Soit maintenant des nombres naturels m>n de parité différente premiers entre eux. Puis la troïka x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, d'après le problème 7.2, est pythagoricien. Montrons qu'elle est irréductible. Pour cela, il suffit de vérifier que les nombres y et z n'ont pas de diviseurs communs (voir problème 7.3). En fait, ces deux nombres sont impairs, car les numéros de type ont des parités différentes. Si les nombres y et z ont un simple diviseur commun (alors il doit être impair), alors chacun des nombres et et avec eux chacun des nombres m et n a le même diviseur, ce qui contredit leur simplicité mutuelle.

7.6. En vertu des assertions formulées dans les problèmes 7.1 et 7.2, ces formules ne définissent que des triplets de Pythagore. D'autre part, tout triplet de Pythagore x, y, z après sa réduction par le plus grand diviseur commun k, la paire de nombres x et y devient irréductible (voir problème 7.3) et, par conséquent, peut être représentée jusqu'à l'ordre des nombres x et y sous la forme décrite dans le problème 7.5. Par conséquent, tout triplet de Pythagore est donné par les formules indiquées pour certaines valeurs des paramètres.

7.7. De l'inégalité z et les formules du problème 7.6, on obtient l'estimation m 2 c'est-à-dire m≤5. En supposant m = 2, n = 1 Et k = 1, 2, 3, 4, 5, nous obtenons des triplés 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. En supposant m=3, n=2 Et k = 1, 2, nous obtenons des triplés 5, 12, 13; 10, 24, 26. En supposant m = 4, n = 1, 3 Et k = 1, nous obtenons des triplés 8, 15, 17; 7, 24, 25. Enfin, en supposant m=5, n=2 Et k = 1, nous en obtenons trois 20, 21, 29.

Une méthode pratique et très précise utilisée par les arpenteurs-géomètres pour tracer des lignes perpendiculaires au sol est la suivante. Soit de tracer une perpendiculaire à la droite MN passant par le point A (fig. 13). Départ de A en direction de AM trois fois une certaine distance a. Ensuite, trois nœuds sont noués sur le cordon, les distances entre 4a et 5a. En attachant les nœuds extrêmes aux points A et B, tirez le cordon sur le nœud du milieu. Le cordon sera situé dans un triangle, dans lequel l'angle A est droit.

Cette ancienne méthode, apparemment utilisée il y a des milliers d'années par les constructeurs des pyramides égyptiennes, est basée sur le fait que chaque triangle, dont les côtés sont liés par 3:4:5, selon le théorème de Pythagore bien connu, est à angle droit, puisque

3 2 + 4 2 = 5 2 .

En plus des nombres 3, 4, 5, il existe, comme on le sait, un ensemble indénombrable d'entiers positifs a, b, c, satisfaisant la relation

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Ils sont appelés nombres de Pythagore. Selon le théorème de Pythagore, ces nombres peuvent servir de longueurs des côtés d'un triangle rectangle ; par conséquent, a et b sont appelés "jambes" et c est appelé "hypoténuse".

Il est clair que si a, b, c est un triplet de nombres de Pythagore, alors pa, pb, pc, où p est un facteur entier, sont des nombres de Pythagore. Inversement, si les nombres de Pythagore ont un facteur commun, alors par ce facteur commun vous pouvez tous les réduire, et encore une fois vous obtenez un triple des nombres de Pythagore. Par conséquent, nous n'étudierons d'abord que des triplets de nombres de Pythagore premiers entre eux (le reste est obtenu à partir d'eux en multipliant par un facteur entier p).

Montrons que dans chacun de ces triplets a, b, c l'une des "jambes" doit être paire et l'autre impaire. Disons "au contraire". Si les deux "jambes" a et b sont paires, alors le nombre a 2 + b 2 sera pair, et donc "l'hypoténuse". Ceci, cependant, contredit le fait que les nombres a, b, c n'ont pas de facteurs communs, puisque trois nombres pairs ont un facteur commun de 2. Ainsi, au moins une des "jambes" a, b est impaire.

Il reste une autre possibilité : les deux "jambes" sont impaires et l'"hypoténuse" est paire. Il est facile de prouver que ce n'est pas possible. En effet, si les "jambes" ont la forme

2x + 1 et 2y + 1,

alors la somme de leurs carrés vaut

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

c'est-à-dire que c'est un nombre qui, lorsqu'il est divisé par 4, donne un reste de 2. Pendant ce temps, le carré de tout nombre pair doit être divisible par 4 sans reste. Ainsi la somme des carrés de deux nombres impairs ne peut pas être le carré d'un nombre pair ; autrement dit, nos trois nombres ne sont pas pythagoriciens.

Ainsi, parmi les "jambes" a, b, l'une est paire et l'autre impaire. Par conséquent, le nombre a 2 + b 2 est impair, ce qui signifie que "l'hypoténuse" c est également impaire.

Supposons, pour être précis, que l'impair soit "jambe" a, et pair b. De l'égalité

une 2 + b 2 = c 2

on obtient facilement :

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Les facteurs c + b et c - b du côté droit sont premiers entre eux. En effet, si ces nombres avaient un facteur premier commun autre que un, alors la somme serait également divisible par ce facteur.

(c + b) + (c - b) = 2c,

et différence

(c + b) - (c - b) = 2b,

et le travail

(c + b) (c - b) \u003d un 2,

c'est-à-dire que les nombres 2c, 2b et a auraient un diviseur commun. Puisque a est impair, ce facteur est différent de deux, et donc les nombres a, b, c ont le même facteur commun, qui cependant ne peut pas l'être. La contradiction qui en résulte montre que les nombres c + b et c - b sont premiers entre eux.

Mais si le produit de nombres premiers entre eux est un carré exact, alors chacun d'eux est un carré, c'est-à-dire

En résolvant ce système, on trouve :

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 et 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, un \u003d mn.

Ainsi, les nombres de Pythagore considérés ont la forme

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

où m et n sont des nombres impairs premiers entre eux. Le lecteur pourra facilement vérifier le contraire : pour tout type impair, les formules écrites donnent trois nombres de Pythagore a, b, c.

Voici quelques triplets de nombres de Pythagore obtenus avec différents types :

Pour m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 pour m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 pour m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 pour m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 à m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 à m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 à m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 pour m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 pour m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 pour m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 à m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 à m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 à m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 à m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 à m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 à m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Tous les autres triplets de nombres de Pythagore ont des facteurs communs ou contiennent des nombres supérieurs à cent.)

Belotelov V.A. Triples de Pythagore et leur nombre // Encyclopédie des Nesterov

Cet article est une réponse à un professeur - un pinceur. Regardez, professeur, comment ils font ça dans notre village.

Région de Nijni Novgorod, Zavolzhye.

La connaissance de l'algorithme de résolution des équations diophantiennes (ADDE) et la connaissance des progressions polynomiales sont requises.

SI est un nombre premier.

MF est un nombre composé.

Soit un nombre impair N. Pour tout nombre impair, sauf un, vous pouvez écrire une équation.

p 2 + N \u003d q 2,

où ð + q = N, q – ð = 1.

Par exemple, pour les nombres 21 et 23, les équations seraient, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Si N est premier, cette équation est unique. Si le nombre N est composé, alors il est possible de composer des équations similaires pour le nombre de paires de facteurs représentant ce nombre, y compris 1 x N.

Prenons le nombre N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

J'ai rêvé, mais est-il possible, accroché à cette différence entre la FI et la MF, de trouver une méthode pour leur identification.

Introduisons la notation;

Changeons l'équation inférieure, -

N \u003d en 2 - un 2 \u003d (b - un) (b + un).

Regroupons les valeurs de N selon le critère en -a, c'est-à-dire faisons un tableau.

Les nombres N ont été résumés dans une matrice, -

C'est pour cette tâche que j'ai dû m'occuper des progressions de polynômes et de leurs matrices. Tout s'est avéré vain - les défenses du PCh sont puissamment tenues. Entrons dans une colonne du tableau 1, où dans - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Encore une fois. Le tableau 2 a été obtenu à la suite d'une tentative de résolution du problème d'identification du FI et du MF. Il ressort du tableau que pour tout nombre N, il existe autant d'équations de la forme a 2 + N \u003d en 2, en combien de paires de facteurs le nombre N peut être divisé, y compris le facteur 1 x N. De plus aux nombres N \u003d ℓ 2, où

ℓ - FC. Pour N = ℓ 2 , où ℓ est IF, il existe une unique équation p 2 + N = q 2 . De quelle preuve supplémentaire pouvons-nous parler si le tableau énumère des facteurs plus petits parmi des paires de facteurs formant N, de un à ∞. Nous placerons le tableau 2 dans un coffre et cacherons le coffre dans un placard.

Revenons au sujet énoncé dans le titre de l'article.

Cet article est une réponse à un professeur - un pinceur.

J'ai demandé de l'aide - j'avais besoin d'une série de chiffres que je ne pouvais pas trouver sur Internet. J'ai rencontré des questions comme, - "pour quoi faire?", "Mais montrez-moi la méthode." En particulier, il y avait une question de savoir si la série des triplets de Pythagore est infinie, "comment le prouver?". Il ne m'a pas aidé. Regardez, professeur, comment ils font ça dans notre village.

Prenons la formule des triplets de Pythagore, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Passons par l'ARDU.

Trois situations sont possibles :

I. x est un nombre impair,

y est un nombre pair

z est un nombre pair.

Et il existe une condition x > y > z.

II. x est un nombre impair

y est un nombre pair

z est un nombre impair.

x > z > y.

III.x - un nombre pair,

y est un nombre impair

z est un nombre impair.

x > y > z.

Commençons par moi.

Introduisons de nouvelles variables

Substituer dans l'équation (1).

Annulons par la plus petite variable 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Réduisons la variable 2β – 2γ par une plus petite avec l'introduction simultanée d'un nouveau paramètre ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Alors, 2α - 2β = x - y - 1.

L'équation (2) prendra la forme, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Faisons le carré -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU donne à travers les paramètres la relation entre les termes supérieurs de l'équation, nous avons donc obtenu l'équation (3).

Il n'est pas solide de s'occuper de la sélection des solutions. Mais, premièrement, il n'y a nulle part où aller, et deuxièmement, plusieurs de ces solutions sont nécessaires, et nous pouvons restaurer un nombre infini de solutions.

Pour ƒ = 1, k = 1, nous avons x – y = 1.

Avec ƒ = 12, k = 16, nous avons x - y = 9.

Avec ƒ = 4, k = 32, nous avons x - y = 25.

Vous pouvez le ramasser pendant longtemps, mais à la fin, la série prendra la forme -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Envisagez l'option II.

Introduisons de nouvelles variables dans l'équation (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

On réduit d'une plus petite variable 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Réduisons par la plus petite variable 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z et remplacer dans l'équation (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Avec ƒ = 3, k = 4, on a x - z = 2.

Avec ƒ = 8, k = 14, nous avons x - z = 8.

Avec ƒ = 3, k = 24, nous avons x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Dessinons un trapèze -

Écrivons une formule.

où n=1, 2,...∞.

Le cas III ne sera pas décrit - il n'y a pas de solutions là-bas.

Pour la condition II, l'ensemble des triplets sera le suivant :

L'équation (1) est présentée sous la forme x 2 = z 2 + y 2 pour plus de clarté.

Pour la condition I, l'ensemble des triplets sera le suivant :

Au total, 9 colonnes de triples sont peintes, cinq triples chacune. Et chacune des colonnes présentées peut s'écrire jusqu'à ∞.

A titre d'exemple, considérons les triplets de la dernière colonne, où x - y \u003d 81.

Pour les valeurs de x, on écrit un trapèze, -

Écrivons la formule

Pour les valeurs de nous écrivons un trapèze, -

Écrivons la formule

Pour les valeurs de z, on écrit un trapèze, -

Écrivons la formule

Où n = 1 ÷ ∞.

Comme promis, une série de triplets avec x - y = 81 vole vers ∞.

Il y a eu une tentative pour les cas I et II de construire des matrices pour x, y, z.

Écrivez les cinq dernières colonnes de x des rangées supérieures et construisez un trapèze.

Cela n'a pas fonctionné et le motif devrait être quadratique. Pour tout faire en ajouré, il s'est avéré qu'il fallait combiner les colonnes I et II.

Dans le cas II, les quantités y, z sont à nouveau interverties.

Nous avons réussi à fusionner pour une raison - les cartes s'intègrent bien dans cette tâche - nous avons eu de la chance.

Vous pouvez maintenant écrire des matrices pour x, y, z.

Prenons les cinq dernières colonnes de la valeur x des lignes supérieures et construisons un trapèze.

Tout va bien, vous pouvez construire des matrices, et commençons par une matrice pour z.

Je cours au placard chercher un coffre.

Total : En plus de un, chaque nombre impair de l'axe numérique participe à la formation des triplets de Pythagore par un nombre égal de couples de facteurs formant ce nombre N, dont le facteur 1 x N.

Le nombre N \u003d ℓ 2, où ℓ - SI, forme un triple de Pythagore, si ℓ est MF, alors il n'y a pas de triple sur les facteurs ℓхℓ.

Construisons des matrices pour x, y.

Commençons par la matrice pour x. Pour ce faire, nous tirerons dessus la grille de coordonnées issue du problème d'identification des FI et MF.

La numérotation des lignes verticales est normalisée par l'expression

Supprimons la première colonne, car

La matrice prendra la forme -

Décrivons les rangées verticales, -

Décrivons les coefficients en "a", -

Décrivons les membres gratuits, -

Faisons une formule générale pour "x", -

Si nous faisons un travail similaire pour "y", nous obtenons -

Vous pouvez approcher ce résultat de l'autre côté.

Prenons l'équation,

et 2 + N = en 2 .

Changeons un peu -

N \u003d en 2 - un 2.

Faisons le carré -

N 2 \u003d en 4 - 2v 2 un 2 + un 4.

Aux côtés gauche et droit de l'équation, ajoutez en magnitude 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 une 2 \u003d en 4 + 2v 2 une 2 + une 4.

Et enfin -

(en 2 + un 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Les triplets de Pythagore sont composés comme suit :

Prenons un exemple avec le nombre N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Les colonnes verticales du tableau 2 sont numérotées avec des valeurs en - a, tandis que les colonnes verticales du tableau 3 sont numérotées avec des valeurs x - y.

x - y \u003d (c - un) 2,

x \u003d y + (c - un) 2.

Faisons trois équations.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x1 = 6845, y1 = 6844, z1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x3 = 125, y3 = 44, z3 = 117.

Les facteurs 3 et 39 ne sont pas des nombres relativement premiers, donc un triple s'est avéré avec un facteur de 9.

Décrivons ce qui précède écrit en symboles généraux, -

Dans ce travail, tout, y compris un exemple de calcul de triplets de Pythagore avec le nombre

N = 117, lié au plus petit facteur en - a. Discrimination explicite par rapport au facteur en + a. Corrigeons cette injustice - nous allons composer trois équations avec un facteur en + a.

Revenons à la question de l'identification de IF et MF.

Beaucoup de choses ont été faites dans ce sens, et aujourd'hui la pensée suivante est passée entre les mains - il n'y a pas d'équation d'identification, et il n'y a rien de tel pour déterminer les facteurs.

Supposons que nous ayons trouvé la relation F = a, b (N).

Il existe une formule

Vous pouvez vous débarrasser de dans la formule F à partir de et vous obtenez une équation homogène du nième degré par rapport à a, c'est-à-dire F = un(N).

Pour tout degré n de cette équation, il existe un nombre N à m couples de facteurs, pour m > n.

Et par conséquent, une équation homogène de degré n doit avoir m racines.

Oui, cela ne peut pas être.

Dans cet article, les nombres N ont été considérés pour l'équation x 2 = y 2 + z 2 lorsqu'ils sont dans l'équation à l'endroit z. Lorsque N est à la place de x, c'est une autre tâche.

Cordialement, Belotelov V.A.

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

L'objectif des travaux est de développer des méthodes et des algorithmes de calcul de triplets de Pythagore de la forme a2+b2=c2. Le processus d'analyse a été mené conformément aux principes d'une approche systématique. Parallèlement aux modèles mathématiques, des modèles graphiques sont utilisés qui affichent chaque membre du triplet de Pythagore sous la forme de carrés composites, dont chacun consiste en un ensemble de carrés unitaires. Il a été établi qu'un ensemble infini de triplets de Pythagore contient un nombre infini de sous-ensembles qui se distinguent par la différence entre les valeurs b–c. Un algorithme pour la formation de triplets de Pythagore avec n'importe quelle valeur prédéterminée de cette différence est proposé. On montre que les triplets de Pythagore existent pour toute valeur 3≤a

Triplés de Pythagore

l'analyse du système

modèle mathématique

modèle graphique

1. Anosov D.N. Un regard sur les mathématiques et quelque chose qui en découle. - M. : MTSNMO, 2003. - 24 p. : ill.

2. Ayerland K., Rosen M. Introduction classique à la théorie moderne des nombres. – M. : Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Analyse des systèmes et technologie de l'information dans les organisations : manuel. - M. : RUDN, 2012. - 392 p.

4. Simon Singh. Dernier théorème de Fermat.

5. Ferma P. Études en théorie des nombres et analyse diophantienne. – M. : Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, disponible sur : http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Les triplets de Pythagore sont une cohorte de trois entiers qui satisfont la relation de Pythagore x2 + y2 = z2. D'une manière générale, il s'agit d'un cas particulier des équations diophantiennes, à savoir des systèmes d'équations dans lesquels le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations. Ils sont connus depuis longtemps, depuis l'époque de Babylone, c'est-à-dire bien avant Pythagore. Et ils ont acquis le nom après que Pythagore ait prouvé son célèbre théorème sur leur base. Cependant, comme il ressort de l'analyse de nombreuses sources dans lesquelles la question des triplets de Pythagore est abordée d'une manière ou d'une autre, la question des classes existantes de ces triplets et des voies possibles de leur formation n'a pas encore été pleinement dévoilée.

Ainsi, dans le livre de Simon Singh, il est dit: - "Les disciples et les adeptes de Pythagore ... ont dit au monde le secret de trouver les soi-disant trois k de Pythagore." Cependant, à la suite de cela nous lisons : - « Les pythagoriciens rêvaient de trouver d'autres triplets pythagoriciens, d'autres carrés, à partir desquels il serait possible d'ajouter un troisième grand carré. … À mesure que les nombres augmentent, les triplets de Pythagore deviennent de plus en plus rares et de plus en plus difficiles à trouver. Les pythagoriciens ont inventé une méthode pour trouver de tels triplets et, en l'utilisant, ont prouvé qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens.

Les mots qui prêtent à confusion sont mis en évidence dans la citation. Pourquoi "les pythagoriciens rêvaient de trouver..." s'ils "ont inventé une méthode pour trouver de tels triplets...", et pourquoi pour les grands nombres "il devient de plus en plus difficile de les trouver...".

Dans les travaux du célèbre mathématicien D.V. Anosov, la réponse souhaitée semble être donnée. - "Il existe de tels triplets de nombres naturels (c'est-à-dire entiers positifs) x, y, z qui

x2 + y2 = z2. (1)

…est-il possible de trouver toutes les solutions de l'équation x2+y2=z2 en nombres naturels ? …Oui. La réponse est que chacune de ces solutions peut être représentée comme

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

où l, m, n sont des nombres naturels, et m>n, ou sous une forme similaire dans laquelle x et y sont interchangés. Nous pouvons dire un peu plus brièvement que x, y, z de (2) avec tous les naturels possibles l et m > n sont toutes des solutions possibles de (1) à une permutation près de x et y. Par exemple, le triplet (3, 4, 5) est obtenu avec l=1, m=2, n=1. ... Apparemment, les Babyloniens connaissaient cette réponse, mais on ne sait pas comment ils y sont arrivés.

Habituellement, les mathématiciens sont connus pour leur exactitude dans la rigueur de leurs formulations. Mais, dans cette citation, une telle rigueur n'est pas observée. Alors quoi exactement : trouver ou imaginer ? Évidemment, ce sont des choses complètement différentes. Voici une ligne de triples "fraîchement cuits" (obtenus par la méthode décrite ci-dessous) :

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Il ne fait aucun doute que chacun de ces triplets peut être représenté sous la forme de la relation (2) et ensuite les valeurs de l, m, n peuvent être calculées. Mais c'est après que toutes les valeurs des triplets ont été trouvées. Mais qu'en est-il avant cela ?

On ne peut exclure que les réponses à ces questions soient connues depuis longtemps. Mais pour une raison quelconque, ils n'ont pas encore été trouvés. Ainsi, le but de ce travail est une analyse systématique de la totalité des exemples connus de triplets de Pythagore, la recherche de relations formant système dans divers groupes de triplets et l'identification de traits systémiques caractéristiques de ces groupes, puis le développement de simples des algorithmes efficaces pour calculer des triplets avec une configuration prédéterminée. Par configuration, nous entendons la relation entre les grandeurs qui composent le triplet.

En tant que boîte à outils, un appareil mathématique sera utilisé à un niveau qui ne dépasse pas le cadre des mathématiques enseignées au lycée et de l'analyse du système basée sur les méthodes décrites dans.

Modélisme

Du point de vue de l'analyse du système, tout triplet de Pythagore est un système formé d'objets, qui sont trois nombres et leurs propriétés. Leur totalité, dans laquelle les objets sont placés dans certaines relations et forment un système avec de nouvelles propriétés qui ne sont inhérentes ni aux objets individuels ni à aucun autre de leur totalité, où les objets sont placés dans d'autres relations.

Dans l'équation (1), les objets du système sont des nombres naturels liés par des relations algébriques simples : à gauche du signe égal se trouve la somme de deux nombres élevés à la puissance 2, à droite se trouve le troisième nombre, également élevé à la puissance 2. Les nombres individuels, à gauche de l'égalité, étant élevés à la puissance 2, n'imposent aucune restriction à l'opération de leur sommation - la somme résultante peut être n'importe quoi. Mais, le signe égal placé après l'opération de sommation impose une restriction systémique sur la valeur de cette somme : la somme doit être un nombre tel que le résultat de l'opération d'extraction de la racine carrée soit un nombre naturel. Et cette condition n'est pas satisfaite pour tous les nombres substitués dans le côté gauche de l'égalité. Ainsi, le signe égal mis entre deux termes de l'équation et le troisième transforme le triplet de termes en un système. Une nouvelle fonctionnalité de ce système est l'introduction de restrictions sur les valeurs des nombres d'origine.

Basé sur la forme d'écriture, le triplet de Pythagore peut être considéré comme un modèle mathématique d'un système géométrique composé de trois carrés interconnectés par des relations de sommation et d'égalité, comme le montre la Fig. 1. Fig. 1 est un modèle graphique du système considéré, et son modèle verbal est l'énoncé :

L'aire d'un carré de longueur de côté c peut être divisée sans reste en deux carrés de longueurs de côté a et b, tels que la somme de leurs aires soit égale à l'aire du carré d'origine, c'est-à-dire tous les trois les quantités a, b et c sont liées par la relation

Modèle graphique de la décomposition d'un carré

Dans le cadre des canons de l'analyse des systèmes, on sait que si un modèle mathématique reflète adéquatement les propriétés d'un certain système géométrique, alors l'analyse des propriétés de ce système lui-même nous permet de clarifier les propriétés de son modèle mathématique, de approfondissez-les, clarifiez-les et, si nécessaire, améliorez-les. C'est le chemin que nous suivrons.

Précisons que, selon les principes de l'analyse des systèmes, les opérations d'addition et de soustraction ne peuvent être effectuées que sur des objets composites, c'est-à-dire des objets composés d'un ensemble d'objets élémentaires. Ainsi, nous percevrons tout carré comme une figure composée d'un ensemble de carrés élémentaires ou unitaires. Alors la condition d'obtention d'une solution en nombres naturels équivaut à accepter la condition que le carré unité soit indivisible.

Un carré unité est un carré dont la longueur de chaque côté est égale à un. Autrement dit, lorsque l'aire d'un carré unitaire détermine l'expression suivante.

Le paramètre quantitatif d'un carré est son aire, qui est déterminée par le nombre de carrés unitaires pouvant être placés sur une aire donnée. Pour un carré avec une valeur arbitraire de x, l'expression x2 détermine l'aire du carré formé par des segments de longueur x segments unitaires. Des carrés unitaires x2 peuvent être placés sur la surface de ce carré.

Les définitions ci-dessus peuvent être perçues comme triviales et évidentes, mais elles ne le sont pas. DN Anosov définit le concept d'aire d'une manière différente : - "... l'aire d'une figure est égale à la somme des aires de ses parties. Pourquoi sommes-nous sûrs qu'il en est ainsi ? ... Nous imaginons une figure faite d'une sorte de matériau homogène, alors sa surface est proportionnelle à la quantité de matière qu'elle contient - sa masse. Il est entendu en outre que lorsqu'on divise un corps en plusieurs parties, la somme de leurs masses est égale à la masse du corps d'origine. C'est compréhensible, car tout est constitué d'atomes et de molécules, et puisque leur nombre n'a pas changé, leur masse totale n'a pas changé non plus... Après tout, en fait, la masse d'un morceau de matière homogène est proportionnelle à son volume ; par conséquent, vous devez savoir que le volume de la "feuille" qui a la forme d'une figure donnée est proportionnel à sa surface. En un mot, ... que l'aire d'une figure est égale à la somme des aires de ses parties, en géométrie il faut le prouver. ... Dans le manuel de Kiselev, l'existence d'une zone qui possède la propriété même dont nous discutons maintenant a été honnêtement postulée comme une sorte d'hypothèse, et il a été dit que c'était en fait vrai, mais nous ne le prouverons pas. Ainsi le théorème de Pythagore, s'il est prouvé avec des aires, dans un sens purement logique, ne restera pas complètement prouvé.

Il nous semble que les définitions du carré unité introduites ci-dessus suppriment le D.N indiqué. Incertitude d'Anosov. Après tout, si l'aire d'un carré et d'un rectangle est déterminée par la somme des carrés unitaires qui les remplissent, alors lorsque le rectangle est divisé en parties adjacentes arbitraires, l'aire du rectangle est naturellement égale à la somme de toutes ses parties.

De plus, les définitions introduites suppriment l'incertitude liée à l'utilisation des concepts « diviser » et « ajouter » en relation avec des figures géométriques abstraites. En effet, que signifie diviser un rectangle ou toute autre figure plate en parties ? S'il s'agit d'une feuille de papier, elle peut être coupée avec des ciseaux. Si la terre - mettre une clôture. Chambre - mettre une partition. Et si c'était un carré dessiné ? Tracer une ligne de séparation et déclarer que le carré est divisé ? Mais, après tout, D.I. Mendeleev: "... Vous pouvez tout déclarer, mais vous - allez-y, manifestez!"

Et en utilisant les définitions proposées, "Diviser une figure" signifie diviser le nombre de carrés unitaires remplissant cette figure en deux parties (ou plus). Le nombre de carrés unitaires dans chacune de ces parties détermine son aire. La configuration de ces parties peut être arbitraire, mais la somme de leurs aires sera toujours égale à l'aire de la figure d'origine. Peut-être que les mathématiciens considéreront ces arguments comme incorrects, alors nous les prendrons comme une hypothèse. Si de telles hypothèses sont acceptables dans le manuel de Kiselyov, alors ce serait un péché pour nous de ne pas utiliser une telle technique.

La première étape de l'analyse du système consiste à identifier la situation problématique. Au début de cette étape, plusieurs centaines de triplets de Pythagore trouvés dans diverses sources ont été parcourus. Dans le même temps, l'attention a été attirée sur le fait que l'ensemble des triplets de Pythagore mentionnés dans les publications peut être divisé en plusieurs groupes de configuration différente. Nous considérerons la différence de longueur des côtés des carrés d'origine et soustraits, c'est-à-dire la valeur c-b, comme le signe d'une configuration spécifique. Par exemple, dans les publications, les triplets qui satisfont la condition c-b=1 sont souvent présentés à titre d'exemple. Nous supposons que l'ensemble de ces triplets de Pythagore forme un ensemble, que nous appellerons "Classe c-1", et nous analyserons les propriétés de cette classe.

Considérons les trois carrés représentés sur la figure, où c est la longueur du côté du carré à réduire, b est la longueur du côté du carré à soustraire et a est la longueur du côté du carré formé de leur différence. Sur la fig. 1 on peut voir qu'en soustrayant l'aire du carré soustrait de l'aire du carré réduit, il reste deux bandes de carrés unitaires dans le reste:

Pour former un carré à partir de ce reste, la condition doit être satisfaite

Ces relations nous permettent de déterminer les valeurs de tous les membres du triplet par un seul nombre donné c. Le plus petit nombre c qui satisfait la relation (6) est c = 5. Ainsi, les longueurs des trois côtés des carrés satisfaisant la relation (1) ont été déterminées. Rappelons que la valeur b du côté du carré moyen

a été choisi lorsque nous avons décidé de former un carré du milieu en réduisant de un le côté du carré d'origine. Puis des relations (5), (6). (7) on obtient la relation suivante :

d'où il résulte que la valeur choisie c = 5 détermine de manière unique les valeurs b = 4, a = 3.

En conséquence, des relations sont obtenues qui permettent de représenter n'importe quel triplet de Pythagore de la classe "c - 1" sous une telle forme, où les valeurs des trois membres sont déterminées par un paramètre spécifié - la valeur c :

Nous ajoutons que le nombre 5 dans l'exemple ci-dessus est apparu comme le minimum de toutes les valeurs possibles de c pour lesquelles l'équation (6) a une solution en nombres naturels. Le nombre suivant qui a la même propriété est 13, puis 25, puis 41, 61, 85, etc. Comme vous pouvez le voir, dans cette série de nombres, les intervalles entre nombres adjacents augmentent rapidement. Ainsi, par exemple, après une valeur valide , la valeur valide suivante est , et après , la valeur valide suivante est , c'est-à-dire que la valeur valide est à plus de cinquante millions de la précédente !

On comprend maintenant d'où vient cette phrase dans le livre: - "Plus les nombres augmentent, plus les triplets de Pythagore sont de moins en moins courants, et il devient de plus en plus difficile de les trouver...". Cependant, cette affirmation n'est pas vraie. Il suffit de regarder les triplets de Pythagore correspondant aux paires ci-dessus de valeurs voisines de c, car une caractéristique attire immédiatement l'attention - dans les deux paires, dans lesquelles les valeurs de c sont séparées par de si grands intervalles, le les valeurs d'un s'avèrent être des nombres impairs voisins. En effet, pour la première paire nous avons

et pour la deuxième paire

Ce ne sont donc pas les triplets eux-mêmes qui sont "de moins en moins fréquents", mais les intervalles entre valeurs voisines de c augmentent. Les triplets de Pythagore eux-mêmes, comme on le verra ci-dessous, existent pour tout nombre naturel.

Considérons maintenant les triplets de la classe suivante - "Classe c-2". Comme on peut le voir sur la fig. 1, en soustrayant d'un carré de côté c un carré de côté (c - 2), le reste est la somme de deux bandes unitaires. La valeur de cette somme est déterminée par l'équation :

À partir de l'équation (10), nous obtenons une relation qui définit l'un des ensembles infinis de triplets de classe "c-2":

La condition d'existence d'une solution à l'équation (11) en nombres naturels est toute valeur c pour laquelle a est un nombre naturel. La valeur minimale de c pour laquelle une solution existe est c = 5. Alors le triplet "de départ" pour cette classe de triplets est déterminé par l'ensemble a = 4, b = 3, c = 5. C'est, encore une fois, le classique triple 3, 4, 5 est formé , seulement maintenant l'aire du carré à soustraire est inférieure à l'aire du reste.

Et enfin, analysons les triplets de la classe "s-8". Pour cette classe de triplets, en soustrayant l'aire du carré de l'aire c2 du carré d'origine, on obtient :

Ensuite, à partir de l'équation (12), il s'ensuit :

La valeur minimale de c pour laquelle la solution existe est c = 13. Le triplet de Pythagore à cette valeur prendra la forme 12, 5, 13. Dans ce cas, là encore, l'aire du carré à soustraire est inférieure à la zone du reste. Et en réorganisant les désignations par endroits, on obtient le triple 5, 12, 13, qui par sa configuration appartient à la classe "c - 1". Il semble qu'une analyse plus approfondie d'autres configurations possibles ne révélera rien de fondamentalement nouveau.

Dérivation des ratios calculés

Dans la section précédente, la logique d'analyse a été développée conformément aux exigences de l'analyse de système dans quatre de ses cinq étapes principales : analyse de la situation problématique, formation des objectifs, formation des fonctions et formation de la structure. Il est maintenant temps de passer à la cinquième étape finale - le test de faisabilité, c'est-à-dire le test de la mesure dans laquelle les objectifs sont atteints. .

Le tableau 1 est présenté ci-dessous. 1, qui montre les valeurs des triplets de Pythagore appartenant à la classe "c - 1". La plupart des triplets se trouvent dans diverses publications, mais des triplets pour des valeurs égales à 999, 1001 n'ont pas été trouvés dans les publications connues.

Tableau 1

Triples de Pythagore de classe "c-1"

On peut vérifier que tous les triplets satisfont la relation (3). Ainsi, l'un des objectifs fixés a été atteint. Les relations (9), (11), (13) obtenues dans la section précédente permettent de former un ensemble infini de triplets en fixant pour seul paramètre c, le côté du carré réduit. Ceci, bien sûr, est une option plus constructive que la relation (2), pour l'utilisation de laquelle il faut fixer arbitrairement trois nombres l, m, n, ayant une valeur quelconque, puis chercher une solution, sachant seulement qu'à la fin, un triplet de Pythagore sera certainement obtenu, et lequel est inconnu. Dans notre cas, la configuration du triplet en cours de formation est connue à l'avance et un seul paramètre doit être défini. Mais, hélas, toutes les valeurs de ce paramètre n'ont pas de solution. Et vous devez connaître à l'avance ses valeurs autorisées. Le résultat est donc bon, mais loin d'être idéal. Il est souhaitable d'obtenir une solution telle que les triplets de Pythagore puissent être calculés pour tout nombre naturel donné arbitrairement. À cette fin, revenons à la quatrième étape - la formation de la structure des relations mathématiques obtenues.

Étant donné que le choix de la valeur c comme paramètre de base pour déterminer les membres restants du triplet s'est avéré peu pratique, une autre option doit être essayée. Comme on peut le voir sur le tableau. 1, le choix du paramètre a comme paramètre de base semble préférable, puisque les valeurs de ce paramètre sont alignées dans une suite de nombres naturels impairs. Après de simples transformations, nous amenons les relations (9) à une forme plus constructive :

Les relations (14) permettent de trouver un triplet de Pythagore pour toute valeur impaire préassignée a. Dans le même temps, la simplicité de l'expression de b vous permet d'effectuer des calculs même sans calculatrice. En effet, en choisissant, par exemple, le nombre 13, on obtient :

Et pour le nombre 99, respectivement, nous obtenons :

Les relations (15) permettent d'obtenir les valeurs des trois termes de la suite de Pythagore pour tout n donné, à partir de n=1.

Considérons maintenant les triplets de Pythagore de la classe "c - 2". En tableau. 2 montre dix de ces triplets à titre d'exemple. De plus, seules trois paires de triplets ont été trouvées dans les publications connues - 8, 15, 23 ; 12, 35, 36 ; et 16, 63, 65. Cela s'est avéré suffisant pour déterminer les motifs par lesquels ils sont formés. Les sept autres ont été trouvés à partir de relations précédemment dérivées (11). Pour des raisons de commodité de calcul, ces ratios ont été transformés de manière à ce que tous les paramètres soient exprimés en termes de a. De (11) il résulte évidemment que tous les triplets pour la classe "c - 2" satisfont les relations suivantes :

Tableau 2

Triples de Pythagore de classe "c-2"

Comme on peut le voir sur le tableau. 2, l'ensemble infini des triplets de classe "c - 2" peut être divisé en deux sous-classes. Pour les triplets où la valeur de a est divisible par 4 sans reste, les valeurs de b et c sont impaires. De tels triplets, pour lesquels GCD = 1, sont dits primitifs. Pour les triplets dont les valeurs a ne sont pas divisibles par 4 en nombres entiers, les trois membres du triplet a, b, c sont pairs.

Passons maintenant à l'examen des résultats de l'analyse de la troisième des classes sélectionnées - la classe "c - 8". Les relations calculées pour cette classe, obtenues à partir de (13), ont la forme :

Les relations (20), (21) sont essentiellement identiques. La différence réside uniquement dans le choix de la séquence d'actions. Ou, conformément à (20), la valeur souhaitée de a est sélectionnée (dans ce cas, cette valeur doit être divisée par 4), puis les valeurs de b et c sont déterminées. Ou, un nombre arbitraire est choisi, puis, à partir des relations (21), les trois membres du triplet de Pythagore sont déterminés. En tableau. 3 montre un certain nombre de triplets de Pythagore ainsi calculés. Cependant, calculer les valeurs des triplets de Pythagore est encore plus simple. Si au moins une valeur est connue, alors toutes les valeurs suivantes sont déterminées très simplement par les relations suivantes :

Tableau 3

La validité de la relation (22) pour tous peut être vérifiée à la fois par des triplets du tableau. 2, ainsi que d'autres sources. A titre d'exemple, dans le tableau. 4 triplets en italique d'un vaste tableau de triplets de Pythagore (10000 triplets) calculés sur la base d'un programme informatique par la relation (2) et en gras - triplets calculés par la relation (20). Ces valeurs n'étaient pas dans le tableau spécifié.

Tableau 4

Triples de Pythagore de classe "s-8"

Ainsi, pour des triplets de la forme, les relations suivantes peuvent être utilisées :

Et pour les triplets de la forme<>, on a le rapport :

Il convient de souligner que les classes ci-dessus de triplets "c - 1", "c - 2", "c - 8" représentent plus de 90% des mille premiers triplets du tableau donné dans. Cela donne des raisons de considérer ces classes comme de base. Ajoutons que lors de la dérivation des relations (22), (23), (24), aucune propriété particulière des nombres étudiés en théorie des nombres (premier, copremier, etc.) n'a été utilisée. Les régularités révélées dans la formation des triplets de Pythagore ne sont dues qu'aux propriétés systémiques des figures géométriques décrites par ces triplets - carrés, constitués d'un ensemble de carrés unitaires.

Conclusion

Maintenant, comme l'a dit Andrew Wiles en 1993, "Je pense que je devrais m'arrêter là." L'objectif fixé a été pleinement atteint. Il est montré que l'analyse des propriétés des modèles mathématiques, dont la structure est associée à des figures géométriques, est grandement simplifiée si, dans le processus d'analyse, parallèlement aux calculs purement mathématiques, les propriétés géométriques des modèles étudiés sont également pris en compte. La simplification est obtenue, notamment, du fait que le chercheur "voit" les résultats souhaités sans effectuer de transformations mathématiques.

Par exemple, l'égalité

devient évidente sans transformations sur son côté gauche, il suffit de regarder la fig. 1 pour un modèle graphique de cette égalité.

En conséquence, sur la base de l'analyse effectuée, il est montré que pour tout carré de côté, des carrés de côtés b et c peuvent être trouvés tels que l'égalité est valable pour eux et des relations sont obtenues qui fournissent des résultats avec un minimum de calculs :

pour les valeurs impaires a,

et - pour les valeurs paires.

Lien bibliographique

Tous les triplets primitifs de Pythagore jusqu'à 200. Les nombres incroyables du professeur Stewart "Centre régional d'éducation" Développement méthodique Utiliser des triplets de Pythagore pour résoudre problèmes géométriques et tâches trigonométriques Kalouga, 2016 Introduction Le théorème de Pythagore est l'un des principaux et, pourrait-on dire, le plus important théorème de la géométrie. Son importance réside dans le fait que la plupart des théorèmes de géométrie peuvent en être déduits ou avec son aide. Le théorème de Pythagore est aussi remarquable en ce qu'il n'est pas du tout évident en soi. Par exemple, les propriétés d'un triangle isocèle sont visibles directement sur le dessin. Mais peu importe comment vous regardez un triangle rectangle, vous ne verrez jamais qu'il existe un rapport aussi simple entre ses côtés : a2+b2=c2. Cependant, ce n'est pas Pythagore qui a découvert le théorème qui porte son nom. Il était connu encore plus tôt, mais peut-être seulement comme un fait dérivé de mesures. Vraisemblablement, Pythagore le savait, mais en a trouvé la preuve. Il existe une infinité de nombres naturels un, b, c, satisfaisant la relation a2+b2=c2.. Ils sont appelés nombres de Pythagore. Selon le théorème de Pythagore, ces nombres peuvent servir de longueurs des côtés d'un triangle rectangle - nous les appellerons triangles de Pythagore. Objectif du travail : pour étudier la possibilité et l'efficacité d'utiliser des triplets de Pythagore pour résoudre des problèmes d'un cours de mathématiques à l'école, USE devoirs. En fonction de l'objectif du travail, les éléments suivants Tâches: Étudier l'histoire et la classification des triplets de Pythagore. Analysez des tâches à l'aide de triplets de Pythagore disponibles dans les manuels scolaires et trouvés dans le matériel de contrôle et de mesure de l'examen. Évaluer l'efficacité de l'utilisation des triplets de Pythagore et leurs propriétés pour résoudre des problèmes. Objet d'étude: triplets de nombres de Pythagore. Sujet d'étude: tâches du cours scolaire de trigonométrie et de géométrie, dans lequel les triplets de Pythagore sont utilisés. La pertinence de la recherche. Les triplets de Pythagore sont souvent utilisés en géométrie et en trigonométrie, les connaître permettra d'éliminer les erreurs de calcul et de gagner du temps. II. Partie principale. Résolution de problèmes à l'aide de triplets de Pythagore. 2.1. Tableau des triplets des nombres de Pythagore (selon Perelman) Les nombres de Pythagore ont la forme un= m n, , où m et n sont des nombres impairs premiers entre eux. Les nombres de Pythagore ont un certain nombre de caractéristiques intéressantes : L'une des "jambes" doit être un multiple de trois. L'une des "jambes" doit être un multiple de quatre. L'un des nombres de Pythagore doit être un multiple de cinq. Le livre "Entertaining Algebra" contient un tableau de triplets de Pythagore contenant des nombres jusqu'à cent, qui n'ont pas de facteurs communs. 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 152+82=172 212 +202=292 332+562=652 392+802=892 352+122=372 452+282=532 552+482=732 652+722=972 632+162=652 772+362=852 2.2. Classification de Shustrov des triplets de Pythagore. Shustrov a découvert le schéma suivant : si tous les triangles de Pythagore sont divisés en groupes, alors les formules suivantes sont valables pour la jambe impaire x, y paire et l'hypoténuse z : x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, où N est le numéro de la famille et n est le numéro ordinal du triangle de la famille. En remplaçant dans la formule à la place de N et n des entiers positifs, à partir de un, vous pouvez obtenir tous les principaux triplets de nombres de Pythagore, ainsi que des multiples d'un certain type. Vous pouvez faire un tableau de tous les triplets de Pythagore pour chaque famille. 2.3. Tâches de planimétrie Examinons les problèmes de divers manuels de géométrie et découvrons à quelle fréquence des triplets de Pythagore sont trouvés dans ces tâches. Les problèmes triviaux de recherche du troisième élément dans le tableau des triplets de Pythagore ne seront pas pris en compte, bien qu'ils se retrouvent également dans les manuels. Montrons comment réduire la solution d'un problème dont les données ne sont pas exprimées par des nombres naturels à des triplets de Pythagore. Envisagez des tâches d'un manuel de géométrie pour les élèves de la 7e à la 9e année. № 000. Trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle UN=, b=. Solution. Multipliez les longueurs des jambes par 7, nous obtenons deux éléments du triple de Pythagore 3 et 4. L'élément manquant est 5, que nous divisons par 7. Réponse. № 000. Dans le rectangle ABCD trouver BC si CD=1.5, AC=2.5. https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src="> Solution. Résolvons le triangle rectangle ACD. On multiplie les longueurs par 2, on obtient deux éléments du triplet de Pythagore 3 et 5, l'élément manquant est 4, que l'on divise par 2. Réponse : 2. Lors de la résolution du nombre suivant, vérifiez le rapport a2+b2=c2 c'est complètement facultatif, il suffit d'utiliser les nombres de Pythagore et leurs propriétés. № 000. Découvrez si un triangle est rectangle si ses côtés sont exprimés par des nombres : a) 6,8,10 (triple de Pythagore 3,4,5) - oui ; L'une des branches d'un triangle rectangle doit être divisible par 4. Réponse : non. c) 9,12,15 (Triple de Pythagore 3,4,5) - oui ; d) 10,24,26 (triple de Pythagore 5,12.13) - oui ; L'un des nombres de Pythagore doit être un multiple de cinq. Réponse : non. g) 15, 20, 25 (triple de Pythagore 3,4.5) - oui. Sur les trente-neuf tâches de cette section (théorème de Pythagore), vingt-deux sont résolues oralement à l'aide des nombres de Pythagore et de la connaissance de leurs propriétés. Considérez le problème #000 (de la section "Tâches supplémentaires") : Trouver l'aire du quadrilatère ABCD où AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm. La tâche consiste à vérifier le rapport a2+b2=c2 et prouver que le quadrilatère donné est constitué de deux triangles rectangles (théorème inverse). Et la connaissance des triplets de Pythagore : 3, 4, 5 et 5, 12, 13, élimine le besoin de calculs. Donnons des solutions à plusieurs problèmes d'un manuel de géométrie pour les élèves de la 7e à la 9e année. Problème 156 (h). Les jambes d'un triangle rectangle sont 9 et 40. Trouvez la médiane tirée vers l'hypoténuse. Solution . La médiane tracée à l'hypoténuse est égale à la moitié de celle-ci. Le triple de Pythagore est 9,40 et 41. Par conséquent, la médiane est de 20,5. Problème 156 (i). Les côtés du triangle sont : UN= 13cm, b= 20 cm et hauteur há = 12 cm Trouver la base Avec. Tâche (KIM USE). Trouver le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle aigu ABC si la hauteur BH est 12 et que l'on sait que péché A=,sin C \u003d gauche "\u003e