Calculer la racine de 12. Extraire la racine carrée d'un nombre à plusieurs chiffres

Extraire la racine d'un grand nombre. Chers amis!Dans cet article, nous allons vous montrer comment extraire la racine d'un grand nombre sans calculatrice. Ceci est nécessaire non seulement pour résoudre certains types de problèmes de l'examen d'État unifié (il y en a qui impliquent du mouvement), mais aussi pour le développement mathématique général, il est conseillé de connaître cette technique analytique.

Il semblerait que tout soit simple : le factoriser en facteurs et l'extraire. Aucun problème. Par exemple, le nombre 291600 une fois développé donnera le produit :

On calcule :

Il y en a un MAIS ! La méthode est bonne si les diviseurs 2, 3, 4, etc. sont faciles à déterminer. Mais que se passe-t-il si le nombre dont on extrait la racine est un produit de nombres premiers ? Par exemple, 152881 est le produit des nombres 17, 17, 23, 23. Essayez de trouver ces diviseurs tout de suite.

L'essence de la méthode que nous envisageons- C'est une pure analyse. Avec des compétences développées, la racine peut être trouvée rapidement. Si la compétence n'a pas été pratiquée, mais que l'approche est simplement comprise, alors elle est un peu plus lente, mais toujours déterminée.

Prenons la racine de 190969.

Tout d’abord, déterminons entre quels nombres (multiples de cent) se situe notre résultat.

Évidemment, le résultat de la racine de ce nombre est compris entre 400 et 500, parce que

400 2 =160 000 et 500 2 =250 000

Vraiment:

au milieu, plus proche de 160 000 ou 250 000 ?

Le nombre 190969 est approximativement au milieu, mais toujours plus proche de 160000. Nous pouvons en conclure que le résultat de notre racine sera inférieur à 450. Vérifions :

En effet, c'est moins de 450, puisque 190 969< 202 500.

Vérifions maintenant le nombre 440 :

Cela signifie que notre résultat est inférieur à 440, puisque 190 969 < 193 600.

Vérification du numéro 430 :

Nous avons établi que le résultat de cette racine est compris entre 430 et 440.

Le produit de nombres terminés par 1 ou 9 donne un nombre terminé par 1. Par exemple, 21 sur 21 équivaut à 441.

Le produit de nombres avec 2 ou 8 à la fin donne un nombre avec 4 à la fin. Par exemple, 18 sur 18 équivaut à 324.

Le produit de nombres terminés par un 5 donne un nombre terminé par un 5. Par exemple, 25 sur 25 équivaut à 625.

Le produit de nombres avec 4 ou 6 à la fin donne un nombre avec 6 à la fin. Par exemple, 26 x 26 équivaut à 676.

Le produit de nombres avec 3 ou 7 à la fin donne un nombre avec 9 à la fin. Par exemple, 17 sur 17 équivaut à 289.

Puisque le nombre 190969 se termine par le nombre 9, il est le produit soit du nombre 433, soit de 437.

*Eux seuls, une fois mis au carré, peuvent donner 9 à la fin.

Nous vérifions :

Cela signifie que le résultat de la racine sera 437.

Autrement dit, nous semblons avoir « trouvé » la bonne réponse.

Comme vous pouvez le constater, le maximum requis est d'effectuer 5 actions dans une colonne. Peut-être que vous atteindrez le but tout de suite, ou que vous ne ferez que trois pas. Tout dépend de la précision avec laquelle vous faites votre estimation initiale du nombre.

Extrayez vous-même la racine de 148996

Un tel discriminant est obtenu dans le problème :

Le bateau à moteur parcourt 336 km le long du fleuve jusqu'à sa destination et, après s'être arrêté, retourne à son point de départ. Trouvez la vitesse du navire en eau calme si la vitesse actuelle est de 5 km/h, le séjour dure 10 heures et le navire revient à son point de départ 48 heures après le départ. Donnez votre réponse en km/h.

Voir la solution

Le résultat de la racine est compris entre les nombres 300 et 400 :

300 2 =90000 400 2 =160000

En effet, 90 000<148996<160000.

L'essence d'un raisonnement ultérieur revient à déterminer comment le nombre 148996 est localisé (distancé) par rapport à ces nombres.

Calculons les différences 148996 - 90000=58996 et 160000 - 148996=11004.

Il s'avère que 148996 est proche (beaucoup plus proche) de 160000. Par conséquent, le résultat de la racine sera certainement supérieur à 350 et même à 360.

Nous pouvons conclure que notre résultat est supérieur à 370. De plus, c'est clair : puisque 148996 se termine par le nombre 6, cela signifie que nous devons mettre au carré un nombre se terminant par 4 ou par 6. *Seuls ces nombres, une fois mis au carré, donnent le résultat 6. .

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Comment extraire la racine à partir du numéro. Dans cet article, nous allons apprendre à calculer la racine carrée de nombres à quatre et cinq chiffres.

Prenons comme exemple la racine carrée de 1936.

Ainsi, .

Le dernier chiffre du nombre 1936 est le chiffre 6. Le carré du chiffre 4 et du chiffre 6 se termine par 6. Ainsi, 1936 peut être le carré du chiffre 44 ou du chiffre 46. Reste à vérifier par multiplication.

Moyens,

Prenons la racine carrée de 15129.

Ainsi, .

Le dernier chiffre du nombre 15129 est le nombre 9. Le carré du nombre 3 et du nombre 7 se termine par 9. Par conséquent, 15129 peut être le carré du nombre 123 ou du nombre 127. Vérifions en utilisant la multiplication.

Moyens,

Comment extraire la racine - vidéo

Et maintenant, je vous suggère de regarder la vidéo d'Anna Denisova - "Comment extraire la racine ", auteur du site" Physique simple", dans lequel elle explique comment trouver des racines carrées et cubiques sans calculatrice.

La vidéo présente plusieurs façons d'extraire les racines :

1. Le moyen le plus simple d’extraire la racine carrée.

2. Par sélection au carré de la somme.

3. Méthode babylonienne.

4. Méthode d'extraction de la racine carrée d'une colonne.

5. Un moyen rapide d’extraire la racine cubique.

6. Méthode d'extraction de racine cubique dans une colonne.

Regardons cet algorithme à l'aide d'un exemple. Nous trouverons

1ère étape. On divise le nombre sous la racine en faces à deux chiffres (de droite à gauche) :

2ème étape. On prend la racine carrée de la première face, c'est-à-dire à partir du nombre 65, on obtient le nombre 8. Sous la première face on écrit le carré du nombre 8 et on soustrait. On affecte la deuxième face (59) au reste :

(le numéro 159 est le premier reste).

3ème étape. Doublez la racine trouvée et écrivez le résultat à gauche :

4ème étape. On sépare un chiffre à droite dans le reste (159), et à gauche on obtient le nombre de dizaines (il est égal à 15). Ensuite, nous divisons 15 par le double du premier chiffre de la racine, c'est-à-dire par 16, puisque 15 n'est pas divisible par 16, le quotient donne zéro, que nous écrivons comme le deuxième chiffre de la racine. Ainsi, dans le quotient, nous avons obtenu le nombre 80, que nous doublons à nouveau et supprimons l'arête suivante

(le nombre 15 901 est le deuxième reste).

5ème étape. Dans le deuxième reste, nous séparons un chiffre à droite et divisons le nombre résultant 1590 par 160. Nous écrivons le résultat (numéro 9) comme troisième chiffre de la racine et l'ajoutons au nombre 160. Nous multiplions le nombre résultant 1609 par 9 et trouvez le reste suivant (1420) :

Par la suite, les actions sont effectuées dans l'ordre spécifié dans l'algorithme (la racine peut être extraite avec le degré de précision requis).

Commentaire. Si l'expression radicale est une fraction décimale, alors sa partie entière est divisée en bords de deux chiffres de droite à gauche, la partie fractionnaire - deux chiffres de gauche à droite et la racine est extraite selon l'algorithme spécifié.

MATÉRIEL DIDACTIQUE

1. Prenez la racine carrée du nombre : a) 32 ; b) 32h45 ; c) 249,5 ; d) 0,9511.

Dans la préface de sa première édition « Au royaume de l'ingéniosité » (1908), E. I. Ignatiev écrit : « … l'initiative intellectuelle, la vivacité d'esprit et « l'ingéniosité » ne peuvent être « enfoncées » dans la tête de personne. Les résultats ne sont fiables que lorsque l’introduction au domaine de la connaissance mathématique se fait d’une manière simple et agréable, en utilisant des objets et des exemples tirés de situations ordinaires et quotidiennes, choisis avec l’esprit et le divertissement appropriés. »

Dans la préface de l'édition de 1911 « Le rôle de la mémoire en mathématiques », E.I. Ignatiev écrit : « ... en mathématiques, ce ne sont pas les formules qu'il faut retenir, mais le processus de réflexion. »

Pour extraire la racine carrée, il existe des tableaux de carrés pour les nombres à deux chiffres ; vous pouvez factoriser le nombre en facteurs premiers et extraire la racine carrée du produit. Un tableau de carrés ne suffit parfois pas ; extraire la racine par factorisation est une tâche fastidieuse, qui ne conduit pas non plus toujours au résultat souhaité. Essayez de prendre la racine carrée de 209764 ? La prise en compte des facteurs premiers donne le produit 2*2*52441. Par essais et erreurs, sélection - ceci, bien sûr, peut être fait si vous êtes sûr qu'il s'agit d'un nombre entier. La méthode que je souhaite proposer permet dans tous les cas de prendre la racine carrée.

Il était une fois à l'institut (Institut pédagogique d'État de Perm) que nous avons découvert cette méthode, dont je veux maintenant parler. Je ne me suis jamais demandé si cette méthode avait une preuve, alors maintenant je devais en déduire moi-même une partie.

La base de cette méthode est la composition du nombre =.

=&, c'est-à-dire & 2 =596334.

1. Divisez le nombre (5963364) en paires de droite à gauche (5`96`33`64)

2. Extrayez la racine carrée du premier groupe à gauche (- numéro 2). C'est ainsi que nous obtenons le premier chiffre de &.

3. Trouvez le carré du premier chiffre (2 2 =4).

4. Trouvez la différence entre le premier groupe et le carré du premier chiffre (5-4=1).

5. Nous notons les deux chiffres suivants (nous obtenons le nombre 196).

6. Doublez le premier chiffre que nous avons trouvé et écrivez-le à gauche derrière la ligne (2*2=4).

7. Nous devons maintenant trouver le deuxième chiffre du nombre & : le double du premier chiffre que nous avons trouvé devient le chiffre des dizaines du nombre qui, multiplié par le nombre d'unités, doit obtenir un nombre inférieur à 196 (c'est-à-dire le chiffre 4, 44*4=176). 4 est le deuxième chiffre de &.

8. Trouvez la différence (196-176=20).

9. On démolit le groupe suivant (on obtient le numéro 2033).

10. Doublez le nombre 24, nous obtenons 48.

Il y a 11,48 dizaines dans un nombre, multiplié par le nombre de un, nous devrions obtenir un nombre inférieur à 2033 (484*4=1936). Le chiffre des unités que nous avons trouvé (4) est le troisième chiffre du nombre &.

J'ai donné la preuve pour les cas suivants :

1. Extraire la racine carrée d'un nombre à trois chiffres ;

2. Extraire la racine carrée d'un nombre à quatre chiffres.

Méthodes approximatives d'extraction de racines carrées (sans utiliser de calculatrice).

1. Les anciens Babyloniens utilisaient la méthode suivante pour trouver la valeur approximative de la racine carrée de leur nombre x. Ils ont représenté le nombre x comme la somme a 2 + b, où a 2 est le carré exact de l'entier naturel a (a 2 ? x) le plus proche du nombre x, et ont utilisé la formule . (1)

A l'aide de la formule (1), on extrait la racine carrée, par exemple, du nombre 28 :

Le résultat de l’extraction de la racine de 28 à l’aide de MK est 5,2915026.

Comme vous pouvez le constater, la méthode babylonienne donne une bonne approximation de la valeur exacte de la racine.

2. Isaac Newton a développé une méthode pour prendre des racines carrées qui remonte à Héron d'Alexandrie (vers 100 après JC). Cette méthode (dite méthode de Newton) est la suivante.

Laisser un 1- la première approximation d'un nombre (comme 1 vous pouvez prendre les valeurs de la racine carrée d'un nombre naturel - un carré exact ne dépassant pas X) .

Ensuite, une approximation plus précise un 2 Nombres trouvé par la formule .

Les étudiants demandent toujours : « Pourquoi ne puis-je pas utiliser une calculatrice lors de l’examen de mathématiques ? Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans calculatrice ? Essayons de répondre à cette question.

Comment extraire la racine carrée d’un nombre sans l’aide d’une calculatrice ?

Action racine carrée inverse à l’action de la quadrature.

√81= 9 9 2 =81

Si vous prenez la racine carrée d’un nombre positif et mettez le résultat au carré, vous obtenez le même nombre.

À partir de petits nombres qui sont des carrés exacts de nombres naturels, par exemple 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, les racines carrées peuvent être extraites oralement. Habituellement, à l'école, ils enseignent un tableau de carrés de nombres naturels jusqu'à vingt. Connaissant ce tableau, il est facile d'extraire les racines carrées des nombres 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. A partir des nombres supérieurs à 400 vous pouvez les extraire en utilisant la méthode de sélection en utilisant quelques astuces. Essayons de regarder cette méthode avec un exemple.

Exemple: Extraire la racine du nombre 676.

On remarque que 20 2 = 400, et 30 2 = 900, ce qui signifie 20< √676 < 900.

Les carrés exacts des nombres naturels se terminent par 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9.
Le nombre 6 est donné par 4 2 et 6 2.
Cela signifie que si la racine provient de 676, alors elle est soit 24, soit 26.

Reste à vérifier : 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Répondre: √676 = 26 .

Plus exemple: √6889 .

Puisque 80 2 = 6400 et 90 2 = 8100, alors 80< √6889 < 90.
Le nombre 9 est donné par 3 2 et 7 2, alors √6889 est égal à 83 ou 87.

Vérifions : 83 2 = 6889.

Répondre: √6889 = 83 .

Si vous avez du mal à résoudre en utilisant la méthode de sélection, vous pouvez factoriser l'expression radicale.

Par exemple, trouver √893025.

Prenons en compte le nombre 893025, rappelez-vous, vous avez fait cela en sixième année.

On obtient : √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Plus exemple : √20736. Factorisons le nombre 20736 :

Nous obtenons √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Bien entendu, la factorisation nécessite une connaissance des signes de divisibilité et des compétences en factorisation.

Et enfin, il y a règle pour extraire les racines carrées. Faisons connaissance avec cette règle avec des exemples.

Calculer √279841.

Pour extraire la racine d'un entier à plusieurs chiffres, on le divise de droite à gauche en faces contenant 2 chiffres (le bord le plus à gauche peut contenir un chiffre). On l’écrit ainsi : 27’98’41

Pour obtenir le premier chiffre de la racine (5), on prend la racine carrée du plus grand carré parfait contenu dans la première face de gauche (27).
Ensuite, le carré du premier chiffre de la racine (25) est soustrait de la première face et la face suivante (98) est ajoutée à la différence (soustraite).
A gauche du nombre obtenu 298, écrivez le double chiffre de la racine (10), divisez par celui-ci le nombre de toutes les dizaines du nombre obtenu précédemment (29/2 ≈ 2), testez le quotient (102 ∙2 = 204 ne doit pas dépasser 298) et écrivez (2) après le premier chiffre de la racine.
Ensuite, le quotient résultant 204 est soustrait de 298 et l'arête suivante (41) est ajoutée à la différence (94).
A gauche du nombre obtenu 9441, écrivez le double produit des chiffres de la racine (52 ∙2 = 104), divisez le nombre de toutes les dizaines du nombre 9441 (944/104 ≈ 9) par ce produit, testez le Le quotient (1049 ∙9 = 9441) doit être 9441 et notez-le (9) après le deuxième chiffre de la racine.

Nous avons reçu la réponse √279841 = 529.

Extraire de la même manière racines de fractions décimales. Seul le nombre radical doit être divisé en faces de manière à ce que la virgule soit entre les faces.

Exemple. Trouvez la valeur √0,00956484.

N'oubliez pas que si une fraction décimale a un nombre impair de décimales, la racine carrée ne peut pas en être extraite.

Alors maintenant, vous avez vu trois façons d’extraire la racine. Choisissez celui qui vous convient le mieux et entraînez-vous. Pour apprendre à résoudre des problèmes, il faut les résoudre. Et si vous avez des questions, .

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