Calculez en ligne le volume d'un corps de révolution autour d'un axe. Leçon « Calcul des volumes de corps de révolution à l'aide d'une intégrale définie

Définition 3. Un corps de révolution est un corps obtenu en faisant tourner une figure plate autour d'un axe qui ne coupe pas la figure et se trouve dans le même plan avec elle.

L'axe de rotation peut couper la figure s'il s'agit de l'axe de symétrie de la figure.

Théorème 2.
, axe
et segments droits
Et

tourne autour d'un axe
. Ensuite, le volume du corps de révolution résultant peut être calculé à l'aide de la formule

(2)

Preuve. Pour un tel corps, la section transversale en abscisse est un cercle de rayon
, Moyens
et la formule (1) donne le résultat requis.

Si la figure est limitée par les graphiques de deux fonctions continues
Et
et les segments de ligne
Et
, et
Et
, puis par rotation autour de l'axe des x on obtient un corps dont le volume

Exemple 3. Calculer le volume d'un tore obtenu en faisant tourner un cercle délimité par un cercle

autour de l'axe des abscisses.

R. décision. Le cercle indiqué est limité en dessous par le graphique de la fonction
, et d'en haut –
. La différence des carrés de ces fonctions :

Volume requis

(le graphique de l'intégrande est le demi-cercle supérieur, donc l'intégrale écrite ci-dessus est l'aire du demi-cercle).

Exemple 4. Segment parabolique avec base
, et la hauteur , tourne autour de la base. Calculez le volume du corps obtenu (« citron » de Cavalieri).

R. décision. Placez la parabole comme indiqué sur la figure. Alors son équation
, et
. Trouvons la valeur du paramètre :
. Ainsi, le volume requis :

Théorème 3. Soit un trapèze curviligne délimité par le graphique d'une fonction continue non négative
, axe
et segments droits
Et
, et
, tourne autour d'un axe
. Ensuite, le volume du corps de révolution résultant peut être trouvé à l'aide de la formule

(3)

L'idée de preuve. Nous divisons le segment
points

, en parties et tracez des lignes droites
. L'ensemble du trapèze sera décomposé en bandes, qui peuvent être considérées approximativement comme des rectangles avec une base
et la hauteur
.

Nous découpons le cylindre obtenu en faisant tourner un tel rectangle le long de sa génératrice et le déplions. On obtient un « presque » parallélépipède de dimensions :
,
Et
. Son volume
. Ainsi, pour le volume d'un corps de révolution on aura l'égalité approximative

Pour obtenir l’égalité exacte, il faut aller jusqu’à la limite en
. La somme écrite ci-dessus est la somme intégrale de la fonction
, donc à la limite nous obtenons l'intégrale de la formule (3). Le théorème a été prouvé.

Remarque 1. Dans les théorèmes 2 et 3, la condition
peut être omise : la formule (2) est généralement insensible au signe
, et dans la formule (3) il suffit
remplacer par
.

Exemple 5. Segment parabolique (base
, hauteur ) tourne autour de la hauteur. Trouvez le volume du corps résultant.

Solution. Plaçons la parabole comme indiqué sur la figure. Et bien que l'axe de rotation coupe la figure, lui - l'axe - est un axe de symétrie. Nous devons donc considérer uniquement la moitié droite du segment. Équation de parabole
, et
, Moyens
. On a pour volume :

Remarque 2. Si la limite curviligne d'un trapèze curviligne est donnée par des équations paramétriques
,
,
Et
,
alors vous pouvez utiliser les formules (2) et (3) avec le remplacement sur
Et
sur
lors du changement t depuis
à .

Exemple 6. La figure est limitée par le premier arc de la cycloïde
,
,
, et l'axe des x. Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner cette figure autour de : 1) l'axe
; 2) axes
.

Solution. 1) Formule générale
Dans notre cas :

2) Formule générale
Pour notre figurine :

Nous invitons les étudiants à effectuer eux-mêmes tous les calculs.

Remarque 3. Soit un secteur courbe délimité par une ligne continue
et des rayons
,

, tourne autour d'un axe polaire. Le volume du corps résultant peut être calculé à l'aide de la formule.

Exemple 7. Partie d'une figure délimitée par une cardioïde
, couché en dehors du cercle
, tourne autour d'un axe polaire. Trouvez le volume du corps résultant.

Solution. Les deux lignes, et donc la figure qu’elles limitent, sont symétriques par rapport à l’axe polaire. Par conséquent, il est nécessaire de considérer uniquement la partie pour laquelle
. Les courbes se croisent à
Et

à
. De plus, le chiffre peut être considéré comme la différence de deux secteurs, et donc le volume peut être calculé comme la différence de deux intégrales. Nous avons:

Tâches pour une décision indépendante.

1. Un segment circulaire dont la base
, hauteur , tourne autour de la base. Trouvez le volume du corps de rotation.

2. Trouver le volume d'un paraboloïde de révolution dont la base , et la hauteur est .

3. Figure délimitée par un astéroïde
,
tourne autour de l’axe des abscisses. Trouvez le volume du corps résultant.

4. Figure délimitée par des lignes
Et
tourne autour de l’axe des x. Trouvez le volume du corps de rotation.

figure plate autour d'un axe

Exemple 3

Étant donné une figure plate délimitée par les lignes , , .

1) Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par ces lignes.

2) Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Attention! Même si vous ne souhaitez lire que le deuxième point, commencez par Nécessairement lis le premier !

Solution: La tâche se compose de deux parties. Commençons par le carré.

1) Faisons un dessin :

Il est facile de voir que la fonction spécifie la branche supérieure de la parabole et la fonction spécifie la branche inférieure de la parabole. Devant nous se trouve une parabole triviale qui « repose sur le côté ».

La figure souhaitée, dont l'aire doit être trouvée, est ombrée en bleu.

Comment trouver l'aire d'une figure ? On peut le trouver de la manière « normale ». De plus, l'aire de la figure se trouve comme la somme des aires :

- sur le segment ;

- sur le segment.

C'est pourquoi :

Il existe une solution plus rationnelle : elle consiste à passer aux fonctions inverses et à intégrer le long de l'axe.

Comment accéder aux fonctions inverses ? En gros, vous devez exprimer « x » par « y ». Tout d'abord, regardons la parabole :

Cela suffit, mais assurons-nous que la même fonction peut être dérivée de la branche inférieure :

C'est plus facile avec une ligne droite :

Maintenant, regardez l'axe : veuillez périodiquement incliner votre tête à 90 degrés vers la droite pendant que vous expliquez (ce n'est pas une blague !). Le chiffre dont nous avons besoin se trouve sur le segment indiqué par la ligne pointillée rouge. Dans ce cas, sur le segment la ligne droite est située au dessus de la parabole, ce qui signifie que l'aire de la figure doit être trouvée à l'aide de la formule que vous connaissez déjà : . Qu'est-ce qui a changé dans la formule ? Juste une lettre et rien de plus.

! Note : Limites d'intégration des axes devrait être placéstrictement de bas en haut !

Trouver la zone :

Sur le segment donc :

Veuillez noter comment j'ai effectué l'intégration, c'est la manière la plus rationnelle, et dans le prochain paragraphe de la tâche, il sera clair pourquoi.

Pour les lecteurs qui doutent de la justesse de l'intégration, je trouverai des dérivées :

La fonction intégrande d'origine est obtenue, ce qui signifie que l'intégration a été effectuée correctement.

Répondre:

2) Calculons le volume du corps formé par la rotation de cette figure autour de l'axe.

Je vais redessiner le dessin dans un design légèrement différent :

Ainsi, la figure ombrée en bleu tourne autour de l’axe. Le résultat est un « papillon en vol stationnaire » qui tourne autour de son axe.

Pour trouver le volume d'un corps de rotation, on va intégrer le long de l'axe. Nous devons d’abord passer aux fonctions inverses. Cela a déjà été fait et décrit en détail dans le paragraphe précédent.

Maintenant, nous inclinons à nouveau la tête vers la droite et étudions notre silhouette. Évidemment, le volume d'un corps de rotation doit être trouvé comme la différence de volumes.

On fait pivoter la figure entourée en rouge autour de l'axe, ce qui donne un cône tronqué. Notons ce volume par .

On fait tourner la figure entourée en vert autour de l'axe et on la note par le volume du corps de rotation résultant.

Le volume de notre papillon est égal à la différence de volumes.

Nous utilisons la formule pour trouver le volume d'un corps de révolution :

Quelle est la différence avec la formule du paragraphe précédent ? Seulement dans la lettre.

Mais l'avantage de l'intégration, dont j'ai parlé récemment, est beaucoup plus facile à trouver , plutôt que d'élever d'abord l'intégrande à la 4ème puissance.

Répondre:

Notez que si l’on fait tourner la même figure plate autour de l’axe, vous obtiendrez un corps de rotation complètement différent, avec un volume différent, naturellement.

Exemple 7

Calculer le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure délimitée par des courbes et .

Solution: Faisons un dessin :

En chemin, nous nous familiariserons avec les graphiques de certaines autres fonctions. Voici un graphique intéressant d'une fonction paire...

Pour déterminer le volume d'un corps de révolution, il suffit d'utiliser la moitié droite de la figure, que j'ai ombrée en bleu. Les deux fonctions sont paires, leurs graphiques sont symétriques par rapport à l'axe et notre figure est symétrique. Ainsi, la partie droite ombrée, tournant autour de l'axe, coïncidera certainement avec la partie gauche non ombrée.

Sujet : « Calcul des volumes de corps de révolution à l'aide d'une intégrale définie »

Type de cours : combiné.

Objectif de la leçon : apprendre à calculer les volumes des corps de révolution à l'aide d'intégrales.

Tâches :

consolider la capacité d'identifier les trapèzes curvilignes à partir d'un certain nombre de figures géométriques et développer la compétence de calculer les aires des trapèzes curvilignes ;

se familiariser avec le concept de figure tridimensionnelle ;

apprendre à calculer les volumes des corps de rotation ;

favoriser le développement de la pensée logique, d'un discours mathématique compétent et de la précision lors de la construction de dessins ;

cultiver l'intérêt pour le sujet, en opérant avec des concepts et des images mathématiques, cultiver la volonté, l'indépendance et la persévérance pour atteindre le résultat final.

Progression de la leçon

I. Moment organisationnel.

Salutations du groupe. Communiquer les objectifs de la leçon aux élèves.

Je voudrais commencer la leçon d’aujourd’hui par une parabole. « Il était une fois un homme sage qui savait tout. Un homme voulait prouver que le sage ne sait pas tout. Tenant un papillon dans ses mains, il demanda : « Dis-moi, sage, quel papillon est entre mes mains : mort ou vivant ? Et il pense : « Si le vivant le dit, je la tuerai ; si le mort le dit, je la relâcherai. » Le sage, après réflexion, répondit : « Tout est entre vos mains. »

Par conséquent, travaillons de manière fructueuse aujourd’hui, acquérons un nouveau bagage de connaissances et nous appliquerons les compétences et les capacités acquises dans la vie future et dans les activités pratiques. « Tout est entre vos mains ».

II. Répétition du matériel précédemment étudié.

Rappelons les points principaux du matériel étudié précédemment. Pour ce faire, terminons la tâche « Éliminer le mot supplémentaire ».

(Les élèves disent un mot supplémentaire.)

Droite "Différentiel". Essayez de nommer les mots restants avec un mot commun. (Calcul intégral.)

Rappelons les principales étapes et concepts associés au calcul intégral.

Exercice. Récupérez les lacunes. (L'élève sort et écrit les mots demandés avec un marqueur.)

Travaillez dans des cahiers.

La formule de Newton-Leibniz a été dérivée du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716). Et cela n’est pas surprenant, car les mathématiques sont le langage parlé par la nature elle-même.

Voyons comment cette formule est utilisée pour résoudre des problèmes pratiques.

Exemple 1 : Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes

Solution: Construisons des graphiques de fonctions sur le plan de coordonnées . Sélectionnons la zone de la figure qui doit être trouvée.

III. Apprendre du nouveau matériel.

Faites attention à l'écran. Qu'est-ce qui est montré sur la première image ? (La figure montre une figure plate.)

Qu'est-ce qui est montré sur la deuxième image ? Ce chiffre est-il plat ? (La figure montre une figure tridimensionnelle.)

Dans l'espace, sur terre et dans la vie de tous les jours, nous rencontrons non seulement des figures plates, mais aussi des figures tridimensionnelles, mais comment calculer le volume de tels corps ? Par exemple : le volume d'une planète, d'une comète, d'une météorite, etc.

Les gens pensent au volume à la fois lorsqu’ils construisent des maisons et lorsqu’ils versent de l’eau d’un récipient à un autre. Des règles et des techniques de calcul des volumes ont dû émerger ; leur précision et leur justification sont une autre affaire.

L'année 1612 fut très fructueuse pour les habitants de la ville autrichienne de Linz, où vécut le célèbre astronome Johannes Kepler, notamment pour le raisin. Les gens préparaient des tonneaux de vin et voulaient savoir comment déterminer pratiquement leurs volumes.

Ainsi, les travaux considérés de Kepler ont marqué le début de tout un courant de recherches qui ont culminé dans le dernier quart du XVIIe siècle. conception dans les travaux de I. Newton et G.V. Leibniz du calcul différentiel et intégral. Dès lors, les mathématiques des variables prennent une place prépondérante dans le système de connaissances mathématiques.

Aujourd'hui, vous et moi allons nous engager dans de telles activités pratiques, par conséquent,

Le sujet de notre leçon : « Calcul des volumes des corps de rotation à l'aide d'une intégrale définie. »

Vous apprendrez la définition d’un corps de révolution en accomplissant la tâche suivante.

"Labyrinthe".

Exercice. Trouvez un moyen de sortir de la situation confuse et notez la définition.

IVCalcul des volumes.

À l'aide d'une intégrale définie, vous pouvez calculer le volume d'un corps particulier, en particulier un corps de rotation.

Un corps de révolution est un corps obtenu en faisant tourner un trapèze courbe autour de sa base (Fig. 1, 2)

Le volume d'un corps de révolution est calculé à l'aide de l'une des formules:

1. autour de l’axe OX.

2. , si la rotation d'un trapèze courbe autour de l'axe de l'ampli-op.

Les élèves notent les formules de base dans un cahier.

L'enseignant explique les solutions aux exemples au tableau.

1. Trouver le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des ordonnées d'un trapèze curviligne délimité par des lignes : x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Solution.

Réponse : 1163 cm3.

2. Trouvez le volume du corps obtenu en faisant tourner un trapèze parabolique autour de l'axe des x y = , x = 4, y = 0.

Solution.

V. Simulateur mathématique.

2. L'ensemble de toutes les primitives d'une fonction donnée est appelé

A) une intégrale indéfinie,

B) fonction,

B) différenciation.

7. Trouver le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses d'un trapèze curviligne délimité par des lignes :

D/Z. Consolidation du nouveau matériel

Calculer le volume du corps formé par la rotation du pétale autour de l'axe des x y = x2, y2 = x.

Construisons des graphiques de la fonction. y = x2, y2 = x. Transformons le graphique y2 = x sous la forme y = .

On a V = V1 - V2 Calculons le volume de chaque fonction :

Conclusion:

L'intégrale définie est une certaine base pour l'étude des mathématiques, qui apporte une contribution irremplaçable à la résolution de problèmes pratiques.

Le thème « Intégral » démontre clairement le lien entre les mathématiques et la physique, la biologie, l'économie et la technologie.

Le développement de la science moderne est impensable sans l’utilisation de l’intégrale. A cet égard, il faut commencer à l'étudier dans le cadre de l'enseignement secondaire spécialisé !

VI. Classement.(Avec commentaire.)

Le grand Omar Khayyam - mathématicien, poète, philosophe. Il nous encourage à être maîtres de notre propre destin. Écoutons un extrait de son œuvre :

Vous dites, cette vie est un instant.
Appréciez-le, inspirez-vous-en.
Au fur et à mesure que vous le dépensez, cela passera.
N'oubliez pas : elle est votre création.

I. Volumes des corps de rotation. Étudiez au préalable le chapitre XII, paragraphes 197, 198 du manuel de G. M. Fikhtengolts * Analysez en détail les exemples donnés au paragraphe 198.

508. Calculez le volume d'un corps formé en faisant tourner une ellipse autour de l'axe Ox.

Ainsi,

530. Trouvez la surface formée par rotation autour de l'axe Ox de l'arc sinusoïdal y = sin x du point X = 0 au point X = It.

531. Calculez la surface d'un cône de hauteur h et de rayon r.

532. Calculer la surface formée

rotation de l'astroïde x3 -)- y* - a3 autour de l'axe Ox.

533. Calculez la surface formée en faisant tourner la boucle de la courbe 18 ug - x (6 - x) z autour de l'axe Ox.

534. Trouver la surface du tore produit par la rotation du cercle X2 - j - (y-3)2 = 4 autour de l'axe Ox.

535. Calculer la surface formée par la rotation du cercle X = a coût, y = asint autour de l'axe Ox.

536. Calculer la surface formée par la rotation de la boucle de la courbe x = 9t2, y = St - 9t3 autour de l'axe Ox.

537. Trouver la surface formée par la rotation de l'arc de courbe x = e*sint, y = el cost autour de l'axe Ox

de t = 0 à t = —.

538. Montrer que la surface produite par la rotation de l'arc cycloïde x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) autour de l'axe Oy est égale à 16 u2 o2.

539. Trouvez la surface obtenue en faisant tourner le cardioïde autour de l'axe polaire.

540. Trouver la surface formée par la rotation du lemniscate Autour de l'axe polaire.

Tâches supplémentaires pour le chapitre IV

Aires des figures planes

541. Trouver toute l'aire de la région délimitée par la courbe Et l'axe Ox.

542. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

543. Trouver la partie de l'aire de la région située dans le premier quadrant et délimitée par la courbe

l coordonner les axes.

544. Trouver la superficie de la région contenue à l'intérieur

boucles :

545. Trouvez l'aire de la région délimitée par une boucle de la courbe :

546. Trouvez l'aire de la région contenue à l'intérieur de la boucle :

547. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

548. Trouver l'aire de la région délimitée par la courbe

Et l'axe Ox.

549. Trouver l'aire de la région délimitée par l'axe Oxr

droit et courbe

Comment calculer le volume d'un corps de rotation
en utilisant une intégrale définie ?

En général, il existe de nombreuses applications intéressantes en calcul intégral ; en utilisant une intégrale définie, vous pouvez calculer l'aire d'une figure, le volume d'un corps de rotation, la longueur d'un arc, la surface de rotation et bien plus encore. Ce sera donc amusant, restez optimiste !

Imaginez une figure plate sur le plan de coordonnées. Introduit ? ... Je me demande qui a présenté quoi... =))) Nous avons déjà trouvé son domaine. Mais, en plus, cette figure peut également être tournée, et pivotée de deux manières :

- autour de l'axe des abscisses ;
- autour de l'axe des ordonnées.

Cet article examinera les deux cas. La deuxième méthode de rotation est particulièrement intéressante ; elle pose le plus de difficultés, mais en fait la solution est presque la même que dans la rotation plus courante autour de l'axe des x. En prime, je reviendrai sur problème de trouver l'aire d'une figure, et je vais vous expliquer comment trouver la zone de la deuxième manière - le long de l'axe. Ce n’est pas vraiment un bonus car le matériel s’intègre bien dans le sujet.

Commençons par le type de rotation le plus populaire.

figure plate autour d'un axe

Calculez le volume d'un corps obtenu en faisant tourner une figure délimitée par des lignes autour d'un axe.

Solution: Comme dans le problème de trouver la zone, la solution commence par le dessin d'une figure plate. C'est-à-dire que sur le plan il faut construire une figure délimitée par les lignes , et ne pas oublier que l'équation précise l'axe. Comment réaliser un dessin plus efficacement et plus rapidement peut être trouvé sur les pages Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires Et . Il s’agit d’un rappel chinois, et à ce stade, je ne m’étendrai pas davantage.

Le dessin ici est assez simple :

La figure plate souhaitée est ombrée en bleu ; c'est celle qui tourne autour de l'axe. À la suite de la rotation, le résultat est une soucoupe volante légèrement ovoïde et symétrique par rapport à l'axe. En fait, le corps a un nom mathématique, mais je suis trop paresseux pour clarifier quoi que ce soit dans l'ouvrage de référence, alors passons à autre chose.

Comment calculer le volume d'un corps de révolution ?

Le volume d'un corps de révolution peut être calculé à l'aide de la formule:

Dans la formule, le nombre doit être présent avant l'intégrale. C'est ce qui s'est passé - tout ce qui tourne dans la vie est lié à cette constante.

Je pense qu'il est facile de deviner comment fixer les limites d'intégration « a » et « be » à partir du dessin terminé.

Fonction... quelle est cette fonction ? Regardons le dessin. La figure plane est délimitée par le graphique de la parabole en haut. C'est la fonction impliquée dans la formule.

Dans les tâches pratiques, une figure plate peut parfois être située en dessous de l'axe. Cela ne change rien - l'intégrande dans la formule est au carré : , donc l'intégrale est toujours non négative, ce qui est très logique.

Calculons le volume d'un corps de rotation à l'aide de cette formule :

Comme je l'ai déjà noté, l'intégrale s'avère presque toujours simple, l'essentiel est d'être prudent.

Répondre:

Dans votre réponse, vous devez indiquer la dimension - unités cubes. Autrement dit, dans notre corps de rotation, il y a environ 3,35 « cubes ». Pourquoi cubique unités? Parce que la formulation la plus universelle. Il peut y avoir des centimètres cubes, il peut y avoir des mètres cubes, il peut y avoir des kilomètres cubes, etc., c'est le nombre d'hommes verts que votre imagination peut mettre dans une soucoupe volante.

Trouver le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure délimitée par des lignes , ,

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Considérons deux problèmes plus complexes, qui sont également souvent rencontrés dans la pratique.

Calculer le volume du corps obtenu en tournant autour de l'axe des abscisses de la figure délimitée par les lignes , , et

Solution: Représentons dans le dessin une figure plate délimitée par les droites , , , , sans oublier que l'équation définit l'axe :

Le chiffre souhaité est ombré en bleu. Lorsqu'il tourne autour de son axe, il se révèle être un beignet surréaliste à quatre coins.

Calculons le volume du corps de rotation comme différence de volumes de corps.

Regardons d’abord la figure entourée en rouge. Lorsqu'il tourne autour d'un axe, on obtient un tronc de cône. Notons le volume de ce tronc de cône par .

Considérons le chiffre entouré en vert. Si vous faites pivoter cette figure autour de l'axe, vous obtiendrez également un cône tronqué, seulement un peu plus petit. Notons son volume par .

Et, évidemment, la différence de volumes correspond exactement au volume de notre « beignet ».

On utilise la formule standard pour trouver le volume d'un corps de rotation :

1) La figure entourée en rouge est délimitée au dessus par une droite, donc :

2) La figure entourée en vert est délimitée au dessus par une droite, donc :

3) Volume du corps de révolution souhaité :

Répondre:

Il est curieux que dans ce cas, la solution puisse être vérifiée à l'aide de la formule scolaire pour calculer le volume d'un cône tronqué.

La décision elle-même est souvent rédigée plus brièvement, quelque chose comme ceci :

Maintenant, prenons un peu de repos et parlons des illusions géométriques.

Les gens ont souvent des illusions associées aux volumes, ce qui a été remarqué par Perelman (un autre) dans le livre Géométrie divertissante. Regardez la figure plate dans le problème résolu - elle semble avoir une petite superficie et le volume du corps de révolution est d'un peu plus de 50 unités cubes, ce qui semble trop grand. D’ailleurs, une personne moyenne boit l’équivalent d’une pièce de 18 mètres carrés de liquide au cours de sa vie, ce qui, au contraire, semble un volume trop petit.

Après une digression lyrique, il convient juste de résoudre un problème créatif :

Calculer le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure plate délimitée par les lignes , , où .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Veuillez noter que tous les cas se produisent dans la bande, en d'autres termes, des limites d'intégration toutes faites sont en réalité données. Dessinez correctement les graphiques des fonctions trigonométriques, permettez-moi de vous rappeler le matériel de cours sur transformations géométriques de graphiques: si l'argument est divisé par deux : , alors les graphiques sont étirés deux fois le long de l'axe. Il est conseillé de trouver au moins 3-4 points d'après les tables trigonométriques pour compléter le dessin avec plus de précision. Solution complète et réponse à la fin de la leçon. À propos, la tâche peut être résolue de manière rationnelle et peu rationnelle.

Calcul du volume d'un corps formé par rotation
figure plate autour d'un axe

Le deuxième paragraphe sera encore plus intéressant que le premier. La tâche de calculer le volume d'un corps de rotation autour de l'axe des ordonnées est également un invité assez courant dans les travaux de test. En cours de route, il sera considéré problème de trouver l'aire d'une figure la deuxième méthode est l'intégration le long de l'axe, elle vous permettra non seulement d'améliorer vos compétences, mais vous apprendra également à trouver la voie de solution la plus rentable. Il y a aussi un sens de la vie pratique à cela ! Comme mon professeur de méthodes d'enseignement des mathématiques l'a rappelé avec un sourire, de nombreux diplômés l'ont remerciée avec les mots : « Votre matière nous a beaucoup aidé, maintenant nous sommes des gestionnaires efficaces et gérons le personnel de manière optimale. Profitant de cette occasion, je lui exprime également ma grande gratitude, d'autant plus que j'utilise les connaissances acquises aux fins prévues =).

Je le recommande à tout le monde, même aux nuls. De plus, la matière apprise dans le deuxième paragraphe fournira une aide précieuse dans le calcul des intégrales doubles..

Étant donné une figure plate délimitée par les lignes , , .

1) Trouvez l'aire d'une figure plate délimitée par ces lignes.
2) Trouver le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Attention! Même si vous souhaitez lire uniquement le deuxième point, assurez-vous de lire le premier en premier !

Solution: La tâche se compose de deux parties. Commençons par le carré.

1) Faisons un dessin :

Il est facile de voir que la fonction spécifie la branche supérieure de la parabole et la fonction spécifie la branche inférieure de la parabole. Devant nous se trouve une parabole triviale qui « repose sur le côté ».

La figure souhaitée, dont l'aire doit être trouvée, est ombrée en bleu.

Comment trouver l'aire d'une figure ? On peut le retrouver de la manière « habituelle », qui a été discutée en classe Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure. De plus, l'aire de la figure se trouve comme la somme des aires :
- sur le segment ;
- sur le segment.

C'est pourquoi :

Pourquoi la solution habituelle est-elle mauvaise dans ce cas ? Premièrement, nous avons deux intégrales. Deuxièmement, les intégrales sont des racines, et les racines des intégrales ne sont pas un cadeau, et de plus, vous pouvez vous tromper en substituant les limites de l'intégration. En fait, les intégrales, bien sûr, ne sont pas tueuses, mais en pratique tout peut être bien plus triste, j'ai juste choisi les « meilleures » fonctions pour le problème.

Il existe une solution plus rationnelle : elle consiste à passer aux fonctions inverses et à intégrer le long de l'axe.

Comment accéder aux fonctions inverses ? En gros, vous devez exprimer « x » par « y ». Tout d'abord, regardons la parabole :

Cela suffit, mais assurons-nous que la même fonction peut être dérivée de la branche inférieure :

C'est plus facile avec une ligne droite :

Maintenant, regardez l'axe : veuillez périodiquement incliner votre tête à 90 degrés vers la droite pendant que vous expliquez (ce n'est pas une blague !). Le chiffre dont nous avons besoin se trouve sur le segment indiqué par la ligne pointillée rouge. Dans ce cas, sur le segment la ligne droite est située au dessus de la parabole, ce qui signifie que l'aire de la figure doit être trouvée à l'aide de la formule que vous connaissez déjà : . Qu'est-ce qui a changé dans la formule ? Juste une lettre et rien de plus.

! Note: Les limites d'intégration le long de l'axe doivent être fixées strictement de bas en haut!

Trouver la zone :

Sur le segment donc :

Veuillez noter comment j'ai effectué l'intégration, c'est la manière la plus rationnelle, et dans le prochain paragraphe de la tâche, il sera clair pourquoi.

Pour les lecteurs qui doutent de la justesse de l'intégration, je trouverai des dérivées :

La fonction intégrande d'origine est obtenue, ce qui signifie que l'intégration a été effectuée correctement.

Répondre:

2) Calculons le volume du corps formé par la rotation de cette figure autour de l'axe.

Je vais redessiner le dessin dans un design légèrement différent :

Ainsi, la figure ombrée en bleu tourne autour de l’axe. Le résultat est un « papillon en vol stationnaire » qui tourne autour de son axe.

Pour trouver le volume d'un corps de rotation, on va intégrer le long de l'axe. Nous devons d’abord passer aux fonctions inverses. Cela a déjà été fait et décrit en détail dans le paragraphe précédent.

Maintenant, nous inclinons à nouveau la tête vers la droite et étudions notre silhouette. Évidemment, le volume d'un corps de rotation doit être trouvé comme la différence de volumes.

On fait pivoter la figure entourée en rouge autour de l'axe, ce qui donne un cône tronqué. Notons ce volume par .

On fait tourner la figure entourée en vert autour de l'axe et on la note par le volume du corps de rotation résultant.

Le volume de notre papillon est égal à la différence de volumes.

Nous utilisons la formule pour trouver le volume d'un corps de révolution :

Quelle est la différence avec la formule du paragraphe précédent ? Seulement dans la lettre.

Mais l'avantage de l'intégration, dont j'ai parlé récemment, est beaucoup plus facile à trouver , plutôt que d'élever d'abord l'intégrande à la 4ème puissance.

Répondre:

Notez que si l’on fait tourner la même figure plate autour de l’axe, vous obtiendrez un corps de rotation complètement différent, avec un volume différent, naturellement.

Étant donné une figure plate délimitée par des lignes et un axe.

1) Accédez aux fonctions inverses et trouvez l'aire d'une figure plane délimitée par ces lignes en intégrant sur la variable.
2) Calculez le volume du corps obtenu en faisant tourner une figure plate délimitée par ces lignes autour de l'axe.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Les personnes intéressées peuvent également trouver l'aire d'une figure de la manière « habituelle », vérifiant ainsi le point 1). Mais si, je le répète, vous faites pivoter une figure plate autour de l'axe, vous obtiendrez un corps de rotation complètement différent avec un volume différent, d'ailleurs la bonne réponse (également pour ceux qui aiment résoudre des problèmes).

La solution complète aux deux points proposés de la tâche se trouve à la fin de la leçon.

Oui, et n’oubliez pas d’incliner la tête vers la droite pour comprendre les corps de rotation et les limites de l’intégration !

J'étais sur le point de terminer l'article, mais aujourd'hui, ils ont apporté un exemple intéressant rien que pour trouver le volume d'un corps de révolution autour de l'axe des ordonnées. Frais:

Calculer le volume d'un corps formé par rotation autour de l'axe d'une figure délimitée par des courbes et .

Solution: Faisons un dessin :

En chemin, nous nous familiariserons avec les graphiques de certaines autres fonctions. Voici un graphique intéressant d'une fonction paire...