Nacrtajte y x 2. Kvadratne i kubične funkcije

"Prirodni logaritam" - 0,1. prirodni logaritmi. 4. „Logaritamski pikado“. 0,04. 7.121.

"Funkcija snage 9. stupanj" - U. Kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n gdje je n zadani prirodni broj. X. Eksponent je paran prirodan broj (2n).

"Kvadratna funkcija" - 1 Definicija kvadratne funkcije 2 Svojstva funkcije 3 Grafikon funkcije 4 Kvadratne nejednadžbe 5 Zaključak. Svojstva: Nejednakosti: Pripremio Andrey Gerlitz, učenik 8.A razreda. Plan: Grafikon: -Intervali monotonosti pri a > 0 pri a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Kvadratna funkcija i njezin graf" - Odluka. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pripada. Kada je a=1, formula y=ax ima oblik.

"Kvadratna funkcija razreda 8" - 1) Konstruirajte vrh parabole. Crtanje kvadratne funkcije. x. -7. Nacrtajte funkciju. Algebra 8. razred Učiteljica 496 škola Bovina TV -1. Plan izgradnje. 2) Konstruirajte os simetrije x=-1. g.

Funkcijski graf je vizualni prikaz ponašanja neke funkcije na koordinatnoj ravnini. Dijagrami pomažu razumjeti različite aspekte funkcije koji se ne mogu odrediti iz same funkcije. Možete graditi grafove mnogih funkcija, a svaka od njih bit će dana specifičnom formulom. Graf bilo koje funkcije izgrađen je prema određenom algoritmu (ako ste zaboravili točan postupak crtanja grafa određene funkcije).

Koraci

Crtanje linearne funkcije

Odredite je li funkcija linearna. Linearna funkcija dana je formulom oblika F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ili y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primjer, ), a njegov graf je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu konstantu (konstantu) bez eksponenata, predznaka korijena i slično. S obzirom na funkciju sličnog oblika, crtanje takve funkcije je prilično jednostavno. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Koristite konstantu za označavanje točke na y-osi. Konstanta (b) je "y" koordinata sjecišne točke grafa s osi Y. To jest, to je točka čija je "x" koordinata 0. Dakle, ako je x = 0 zamijenjeno formulom , tada je y = b (konstanta). U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je 5, odnosno točka presjeka s osi Y ima koordinate (0,5). Nacrtajte ovu točku na koordinatnu ravninu.

Pronađite nagib pravca. Jednak je množitelju varijable. U našem primjeru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s varijablom "x" je faktor 2; dakle, nagib je 2. Nagib određuje kut nagiba pravca prema X-osi, odnosno što je nagib veći, funkcija brže raste ili opada.

Zapišite nagib kao razlomak. Nagib je jednak tangensu kuta nagiba, odnosno omjeru okomite udaljenosti (između dviju točaka na pravoj liniji) i horizontalne udaljenosti (između istih točaka). U našem primjeru, nagib je 2, tako da možemo reći da je okomita udaljenost 2, a vodoravna udaljenost 1. Zapišite ovo kao razlomak: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ako je nagib negativan, funkcija je opadajuća.

1. Od točke gdje se linija siječe s osi Y nacrtajte drugu točku koristeći okomite i vodoravne udaljenosti. Linearna funkcija može se iscrtati pomoću dvije točke. U našem primjeru, točka sjecišta s osi Y ima koordinate (0,5); od ove točke pomaknite se 2 mjesta prema gore, a zatim 1 mjesto udesno. Označite točku; imat će koordinate (1,7). Sada možete nacrtati ravnu liniju.

   Pomoću ravnala nacrtajte ravnu liniju kroz dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću točku, ali u većini slučajeva grafikon se može izgraditi pomoću dvije točke. Dakle, iscrtali ste linearnu funkciju.

   Crtanje točaka na koordinatnoj ravnini

   1. Definirajte funkciju. Funkcija se označava kao f(x). Sve moguće vrijednosti varijable "y" nazivamo rasponom funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "x" nazivamo domenom funkcije. Na primjer, razmotrimo funkciju y = x+2, odnosno f(x) = x+2.

      Nacrtajte dvije okomite crte koje se sijeku. Vodoravna linija je os X. Okomita linija je os Y.

      Označite koordinatne osi. Razdvojite svaku os na jednake segmente i numerirajte ih. Sjecište osi je 0. Za X os: pozitivni brojevi se ucrtavaju desno (od 0), a negativni brojevi lijevo. Za Y-os: pozitivni brojevi su iscrtani na vrhu (od 0), a negativni brojevi na dnu.

      Pronađite vrijednosti "y" iz vrijednosti "x". U našem primjeru f(x) = x+2. Zamijenite određene vrijednosti "x" u ovu formulu da biste izračunali odgovarajuće vrijednosti "y". Ako je dana složena funkcija, pojednostavite je izdvajanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Nacrtajte točke na koordinatnoj ravnini. Za svaki par koordinata učinite sljedeće: pronađite odgovarajuću vrijednost na x-osi i nacrtajte okomitu liniju (točkasta linija); pronađite odgovarajuću vrijednost na y-osi i nacrtajte vodoravnu crtu (točkasta linija). Označite točku sjecišta dviju isprekidanih linija; dakle, iscrtali ste točku grafikona.

      Obrišite isprekidane linije. Učinite to nakon iscrtavanja svih točaka grafikona na koordinatnoj ravnini. Napomena: graf funkcije f(x) = x je pravac koji prolazi središtem koordinata [točka s koordinatama (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je pravac paralelan s pravcem f(x) = x, ali pomaknut prema gore za dvije jedinice i stoga prolazi kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2) .

   Iscrtavanje složene funkcije

   Pronađite nulte točke funkcije. Nule funkcije su vrijednosti varijable "x" pri kojoj je y = 0, odnosno to su točke presjeka grafa s osi x. Imajte na umu da nemaju sve funkcije nule, ali ovo je prvi korak u procesu iscrtavanja bilo koje funkcije. Da biste pronašli nule funkcije, postavite je jednaku nuli. Na primjer:

   Pronađite i označite horizontalne asimptote. Asimptota je linija kojoj se graf funkcije približava, ali nikada ne prelazi (to jest, funkcija nije definirana u ovom području, na primjer, kada se dijeli s 0). Označite asimptotu točkastom linijom. Ako je varijabla "x" u nazivniku razlomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nazivnik postavite na nulu i pronađite "x". U dobivenim vrijednostima varijable "x" funkcija nije definirana (u našem primjeru povucite isprekidane linije kroz x = 2 i x = -2), jer ne možete dijeliti s 0. Ali asimptote ne postoje samo u slučajevima kada funkcija sadrži frakcijski izraz. Stoga se preporuča koristiti zdrav razum:

Konstruirajte krivulju zadanu parametarskim jednadžbama \

Proučimo najprije grafove funkcija \(x\lijevo(t \desno)\) i \(x\lijevo(t \desno)\). Obje funkcije su kubni polinomi koji su definirani za sve \(x \in \mathbb(R).\) Pronađite derivaciju \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ desno) = (\lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Rješavanje jednadžbe \ ( x"\lijevo(t \desno) = 0,\) definiraju stacionarne točke funkcije \(x\lijevo(t \desno):\) \[ (x"\lijevo(t \desno) = 0, )\;\ ; (\Desna strelica 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) funkcija \(x\lijevo(t \desno)\) doseže maksimum jednak \ i u točki \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) ima minimum jednako \[ (x\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) ) = ((\lijevo((\frac(1)(3)) \desno)^3) + (\lijevo( (\ frac(1)(3)) \desno)^2) - \lijevo((\frac(1)(3)) \desno) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Razmotrimo derivaciju \(y"\lijevo(t \desno):\) \[ ( y"\ lijevo(t \desno) = (\lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Pronađite stacionarne točke funkcije \(y\lijevo(t \desno):\) \[ (y"\lijevo(t \desno) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\desna strelica (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Ovdje, slično, funkcija \(y\left(t \right)\) doseže svoj maksimum u točki \(t = -2:\) \ i svoj minimum u točki \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\lijevo((\frac(2)(3)) \desno) ) = ((\lijevo(( \frac(2)(3)) \pravo t)^3) + 2(\lijevo((\frac(2)(3)) \desno)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafovi funkcija \(x\left(t) \ desno)\), \(y\lijevo(t \desno)\) shematski su prikazani na slici \(15a.\)

Slika 15a		Sl.15b

Slika 15c

Imajte na umu da budući da \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\lijevo(t \desno) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \desno) = \pm \infty ,) \] tada krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) nema ni vertikalu, nema horizontalnih asimptota. Štoviše, budući da \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\lijevo(t \desno)))((x\lijevo(t \desno))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \lijevo[ (y\lijevo(t \desno) - kx\lijevo(t \desno)) \desno] ) = (\lim\granice_(t \to \pm \infty ) \lijevo((\otkaži(\ boja (plava)(t^3)) + \boja(crvena)(2(t^2)) - \boja(zelena)(4t) - \otkaži(\boja(plava)(t^3)) - \ boja (crveno)(t^2) + \boja(zeleno)(t)) \desno) ) = (\lim\granice_(t \to \pm \infty ) \lijevo((\boja(crveno)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] tada krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) također nema kosih asimptota.

Odredimo sjecišne točke grafa \(y\lijevo(x \desno)\) s koordinatnim osima. Sjecište s osi x događa se u sljedećim točkama: \[ (y\lijevo(t \desno) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\desna strelica t\lijevo(((t^2) + 2t - 4) \desno) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\desna strelica D = 4 - 4 \cdot \lijevo(( - 4) \desno) = 20,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \veliki\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalna veličina = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\ \[ (x\lijevo(((t_2)) \desno) = x\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ) = ((\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ^3) + (\lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno)^2) - \lijevo(( - 1 - \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \lijevo((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \desno) + \lijevo((1 + 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \približno 20,18;) \] \[ (x\lijevo(((t_3)) \desno) = x\lijevo(( - 1 + \ sqrt 5 ) \desno) ) = ((\lijevo(( - 1 + \sqrt 5 ) \desno)^3) + (\lijevo(( - 1 + \sqrt 5 ) \desno)^2) - \ lijevo( ( - 1 + \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \lijevo((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \desno) + \lijevo((1 - 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18. ) \] U na isti način, nalazimo točke presjeka grafa s y-osi: \[ (x\lijevo(t \desno) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\; \; (\desna strelica t\lijevo(((t^2) + t - 1) \desno) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\desna strelica D = 1 - 4 \cdot \lijevo(( - 1) \desno) = 5,)\;\; (\ Desna strelica (t_(2,3)) = \veliki\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalna veličina.) \)

\ \[ (y\lijevo(((t_2)) \desno) = y\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ((\lijevo((\ frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno)^3) + 2(\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno)^2) - 4\lijevo((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ( - \frac(1)(8)\lijevo((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \desno) + \frac(1)(2)\lijevo((1 + 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 2\lijevo((1 + \sqrt 5 ) \desno) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \približno 7,47 ;) \] \[ (y\lijevo(((t_3)) \desno) = y\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ((\lijevo (( \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno)^3) + 2(\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ^2 ) - 4\lijevo((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \desno) ) = ( - \frac(1)(8)\lijevo((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \desno) + \frac(1)(2)\lijevo((1 - 2\sqrt 5 + 5) \desno) + 2\lijevo((1 - \sqrt 5 ) \desno ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \približno - 1,47 .) \] Podijelite os \(t\) u \(5\) intervalima: \[ (\lijevo(( - \infty , - 2) \desno),)\;\; (\lijevo(( - 2, - 1) \desno),)\;\; (\lijevo(( - 1,\frac(1)(3)) \desno),)\;\; (\lijevo((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \desno),)\;\; (\lijevo((\frac(2)(3), + \infty ) \desno).) \] Na prvom intervalu \(\lijevo(( - \infty , - 2) \desno)\) vrijednosti ​\(x \) i \(y\) rastu od \(-\infty\) do \(x\lijevo(( - 2) \desno) = - 2\) i \(y\lijevo(( - 2 ) \desno) = 8.\) Ovo je shematski prikazano na slici \(15b.\)

Na drugom intervalu \(\lijevo(( - 2, - 1) \desno)\) varijabla \(x\) raste od \(x\lijevo(( - 2) \desno) = - 2\) do \ (x \lijevo(( - 1) \desno) = 1,\) i varijabla \(y\) se smanjuje od \(y\lijevo(( - 2) \desno) = 8\) na \(y\lijevo (( - 1) \desno) = 5.\) Ovdje imamo dio opadajuće krivulje \(y\lijevo(x \desno).\) Ona siječe y-os u točki \(\lijevo(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \desno).\)

Na trećem intervalu \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) obje varijable se smanjuju. \(x\) mijenja se iz \(x\lijevo(( - 1) \desno) = 1\) u \(x\lijevo((\veliki\frac(1)(3)\normalna veličina) \desno) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Sukladno tome, \(y\) se smanjuje od \(y\lijevo(( - 1) \desno) = 5\) na \(y\ lijevo( (\veliki\frac(1)(3)\normalna veličina) \desno) = - \veliki\frac(29)((27))\normalna veličina.\) Krivulja \(y\lijevo(x \desno)\ ) siječe ishodište koordinata.

Na četvrtom intervalu \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) varijabla \(x\) raste od \( x\lijevo((\veliki\frac(1)(3)\normalnaveličina) \desno) = - \veliki\frac(5)((27))\normalnaveličina\) do \(x\lijevo((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) i varijabla \(y\) smanjuje se od \(y\left(( \veliki\ frac(1)(3)\normalna veličina) \desno) = - \veliki\frac(29)((27))\normalna veličina\) do \(y\lijevo((\veliki\frac(2)( 3)\ normalna veličina) \desno) = - \velika\frac(40)((27))\normalna veličina.\) U ovom odjeljku, krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) siječe y-os u točki \(\lijevo( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \desno).\)

Konačno, na zadnjem intervalu \(\lijevo((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \desno)\) obje funkcije \(x\lijevo(t \desno)\), \ ( y\lijevo(t \desno)\) povećanje. Krivulja \(y\lijevo(x \desno)\) siječe x-os u točki \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18.\)

Da bismo precizirali oblik krivulje \(y\lijevo(x \desno)\), izračunavamo maksimalnu i minimalnu točku. Derivacija \(y"\lijevo(x \desno)\) izražava se kao \[ (y"\lijevo(x \desno) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\lijevo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno))^\prime )))((( ( \lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \desno))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\lijevo((t + 2) \desno)\lijevo((t - \frac(2)(3)) \ desno)))((\cancel(3)\lijevo((t + 1) \desno)\lijevo((t - \frac(1)(3)) \desno))) ) = (\frac(( \ lijevo((t + 2) \desno)\lijevo((t - \frac(2)(3)) \desno)))((\lijevo((t + 1) \desno)\lijevo((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Promjena predznaka derivacije \(y"\left(x \right)\) prikazana je na slici \(15c.\) Vidi se da je u točki \(t = - 2,\) t.j. na granici \(I\)-tog i \(II\)-tog intervala krivulja ima maksimum, a za \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (na granici \(IV\) th i \(V\)th interval) postoji minimum. Kada prolazi kroz točku \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) izvod također mijenja predznak iz plus u minus, ali u ovom području krivulja \(y\lijevo(x \desno)\ ) nije jednoznačna funkcija. Dakle, navedena točka nije ekstrem.

Također istražujemo konveksnost ove krivulje. Druga derivacija\(y""\lijevo(x \desno)\) ima oblik: \[ y""\lijevo(x \desno) = (y""_(xx)) = \frac((((\lijevo( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \desno))^\prime )))((((\lijevo(((t^3) + (t^2) - t) \ desno ))^\prime ))) = \frac((\lijevo((6t + 4) \desno)\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno) - \lijevo((3( t ^2) + 4t - 4) \desno)\lijevo((6t + 2) \desno)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \lijevo((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \desno)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(kesten) ( 4) - \otkaži(\boja(plava)(18(t^3))) - \boja(crvena)(30(t^2)) + \boja(zelena)(16t) + \boja(kesten) ( 8)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - \boja(crvena)(6(t^2) ) ) + \boja(zelena)(18t) + \boja(kesten)(4)))((((\lijevo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - 6\lijevo((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno)\lijevo((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno)))((((\lijevo((t + 1) \desno))^3)((\lijevo((3t - 1) \desno))^3))). \] Posljedično, druga derivacija mijenja predznak u suprotan kada prolazi kroz sljedeće točke (Sl.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \desno ) = 1,)\;\; (y\lijevo(( - 1) \desno) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,24;)\;\; (y\lijevo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\lijevo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\lijevo((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,1;)\;\; (y\lijevo((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,8.) \] Stoga su ove točke točke infleksije krivulje \(y\lijevo (x \desno).\)

Shematski prikaz krivulje \(y\lijevo(x \desno)\) prikazan je gore na slici \(15b.\)

Kako izgraditi parabolu? Postoji nekoliko načina za crtanje grafa kvadratne funkcije. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Razmotrimo dva načina.

Počnimo iscrtavanjem kvadratne funkcije kao što je y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Primjer.

Nacrtajte funkciju y=x²+2x-3.

Riješenje:

y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

Iz vrha (-1;-4) gradimo graf parabole y=x² (kao iz ishodišta. Umjesto (0;0) - vrh (-1;-4). Iz (-1;- 4) idemo desno za 1 jedinicu i gore za 1, zatim lijevo za 1 i gore za 1, zatim: 2 - desno, 4 - gore, 2 - lijevo, 4 - gore, 3 - desno, 9 - gore, 3 - lijevo, 9 - gore. Ovih 7 točaka nije dovoljno, zatim - 4 desno, 16 - gore itd.).

Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola čije su grane usmjerene prema dolje. Da bismo izgradili graf, tražimo koordinate vrha i iz njih gradimo parabolu y= -x².

Primjer.

Nacrtajte funkciju y= -x²+2x+8.

Riješenje:

y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Od vrha gradimo parabolu y = -x² (1 - desno, 1 - dolje; 1 - lijevo, 1 - dolje; 2 - desno, 4 - dolje; 2 - lijevo, 4 - dolje, itd.):

Ova vam metoda omogućuje brzo sastavljanje parabole i ne uzrokuje poteškoće ako znate crtati funkcije y=x² i y= -x². Nedostatak: ako su koordinate vrhova razlomački brojevi, crtanje nije baš zgodno. Ako želite znati točne vrijednosti točaka sjecišta grafa s x-osi, morat ćete dodatno riješiti jednadžbu x² + bx + c = 0 (ili -x² + bx + c = 0), čak i ako se te točke mogu izravno odrediti sa slike.

Drugi način građenja parabole je po točkama, odnosno možete pronaći nekoliko točaka na grafu i nacrtati parabolu kroz njih (uzimajući u obzir da je pravac x=xₒ njegova os simetrije). Obično za to uzimaju vrh parabole, točke sjecišta grafikona s koordinatnim osima i 1-2 dodatne točke.

Nacrtajte funkciju y=x²+5x+4.

Riješenje:

y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema gore. Koordinate vrha parabole

odnosno vrh parabole je točka (-2,5; -2,25).

traže . U točki presjeka s osi Ox y=0: x²+5x+4=0. Korijeni kvadratne jednadžbe x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, odnosno dobili su dvije točke na grafu (-1; 0) i (-4; 0).

U sjecištu grafa s osi Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Osvojio bod (0; 4).

Da biste poboljšali grafikon, možete pronaći dodatnu točku. Uzmimo x=1, pa y=1²+5∙1+4=10, odnosno još jednu točku grafa - (1; 10). Te točke označimo na koordinatnoj ravnini. Uzimajući u obzir simetriju parabole u odnosu na ravnu crtu koja prolazi njezinim vrhom, označimo još dvije točke: (-5; 6) i (-6; 10) i kroz njih povučemo parabolu:

Nacrtajte funkciju y= -x²-3x.

Riješenje:

y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola s granama prema dolje. Koordinate vrha parabole

Vrh (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.

U točkama presjeka grafa s x-osi y=0, odnosno rješavamo jednadžbu -x²-3x=0. Njegovi korijeni su x=0 i x=-3, odnosno (0; 0) i (-3; 0) su još dvije točke na grafu. Točka (o; 0) je također točka presjeka parabole s osi y.

Na x=1 y=-1²-3∙1=-4, tj. (1; -4) je dodatna točka za crtanje.

Izgradnja parabole iz točaka je dugotrajnija metoda u usporedbi s prvom. Ako parabola ne siječe os Ox, bit će potrebno više dodatnih točaka.

Prije nego što nastavimo crtati kvadratne funkcije oblika y=ax²+bx+c, razmotrimo crtanje funkcija pomoću geometrijskih transformacija. Grafove funkcija oblika y=x²+c također je najprikladnije graditi pomoću jedne od ovih transformacija - paralelnog prevođenja.

Rubrika: |

Plan za konstruiranje kvadratne funkcije.

1. Funkcijska domena (D(g)).

2. Graf ove funkcije je parabola čije su grane usmjerene gore (dolje), jer a = __ > 0 (a = __< 0).

3. Koordinate vrha parabole.

4. Jednadžba osi simetrije.

5. Točka presjeka grafa s osiOY.

6. Funkcijske nule.

7. Tablica vrijednosti funkcije.

8. Grafikon.

Primjer crtanja grafa funkcije g = x 2 – 4 x + 3

1. D(g) = (- ∞; + ∞).

2. Graf ove funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore, budući da je a \u003d 1\u003e 0.

3. Koordinate vrha parabole:

x 0 = - , g 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1.

4. Jednadžba osi simetrijex = 2.

5. Točka presjeka s osiOY (0; 3).

6. Funkcijske nule:

x 2 – 4 x + 3 = 0 D = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

x 1 = = 1 x 2 = = 3

7. Napravimo tablicu vrijednosti funkcije:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Izgradimo graf

Svojstva funkcije:

1. Skup vrijednosti funkcije (E (g)).

2. Intervali konstantnosti funkcije (g>0, g<0).

3. Intervali monotonosti funkcije (povećanja, opadanja).

4. Točke maksimuma i minimuma funkcije.

Svojstva funkcije g = x 2 – 4 x + 3.

1. E (g) = [-1; + ∞).

2. g < 0, при x (1; 3).