Пифагорын гурвалсан анхны тоонууд. Пифагорын гурван ихэр
Натурал тоонуудын шинж чанарыг судлах нь Пифагорчуудыг онолын арифметикийн өөр нэг "мөнхийн" асуудал (тооны онол) руу хөтөлсөн - түүний үр хөврөл нь Эртний Египт, Эртний Вавилон дахь Пифагораас хамаагүй өмнө гарч ирсэн бөгөөд ерөнхий шийдэл олдоогүй байна. өнөөдрийг хүртэл. Орчин үеийн хэллэгээр дараах байдлаар томъёолж болох асуудлаас эхэлье: тодорхойгүй тэгшитгэлийг натурал тоогоор шийд.
Өнөөдөр энэ даалгавар гэж нэрлэгддэг Пифагорын асуудал, ба түүний шийдлүүд - (1.2.1) тэгшитгэлийг хангасан натурал тоонуудын гурав дахин - гэж нэрлэдэг. Пифагорын гурван ихэр. Пифагорын теоремыг Пифагорын асуудалтай илт холбосон тул сүүлийнх нь геометрийн томъёог өгч болно: бүхэл тоотой бүх тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг ол. x, yба бүхэл гипотенуз z.
Пифагорын асуудлын тодорхой шийдлүүдийг эрт дээр үед мэддэг байсан. Берлин дэх Египетийн музейд хадгалагдаж байсан Фараон I Аменемхет (МЭӨ 2000 он)-ын үеийн папируст бид талуудын харьцаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг олжээ. Германы математикийн хамгийн том түүхч М.Канторын (1829 - 1920) хэлснээр эртний Египетэд тусгай мэргэжил байсан. гарпедонаптууд- сүм хийд, пирамид тавих ёслолын үеэр тэгш өнцөгтийг 12 (= 3 + 4 + 5) тэнцүү зайтай зангилаа бүхий олсоор тэмдэглэсэн "олс чангалагч". Харпедонаптын тусламжтайгаар тэгш өнцөг үүсгэх арга нь 36-р зурагнаас тодорхой харагдаж байна.
Эртний математикийн өөр нэг судлаач Ван дер Ваерден Кантортой эрс санал нийлэхгүй байгаа ч эртний Египетийн архитектурын хувь хэмжээ нь Канторын талд байгааг гэрчилдэг гэж хэлэх ёстой. Гэсэн хэдий ч өнөөдөр талуудын харьцаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг гэж нэрлэдэг Египет.
хуудсан дээр дурдсанчлан. 76, эртний Вавилоны эрин үеэс хамаарах, Пифагорын гурвалсан 15 мөр агуулсан шавар хавтан хадгалагдан үлджээ. Египетээс (3, 4, 5) 15 (45, 60, 75) үржүүлснээр олж авсан өчүүхэн гурваас гадна (3367, 3456, 4825), тэр ч байтугай (12709) гэх мэт маш нарийн төвөгтэй Пифагор гурвалууд байдаг. , 13500, 18541)! Эдгээр тоог энгийн тооллогоор биш, зарим нэг дүрэм журмын дагуу олсон гэдэгт эргэлзэхгүй байна.
Гэсэн хэдий ч (1.2.1) тэгшитгэлийг натурал тоонуудын ерөнхий шийдлийн тухай асуултыг зөвхөн Пифагорчууд л гаргаж, шийдсэн. Математикийн аливаа асуудлын ерөнхий томъёолол нь эртний египетчүүд болон эртний вавилончуудад харь байсан. Зөвхөн Пифагороос л математикийг дедуктив шинжлэх ухаан болгон төлөвшүүлэх эхлэл тавигддаг бөгөөд энэ зам дахь эхний алхамуудын нэг нь Пифагорын гурвалсан асуудлыг шийдэх явдал байв. Эртний уламжлал нь тэгшитгэлийн анхны шийдлүүдийг (1.2.1) Пифагор, Платон нарын нэртэй холбодог. Эдгээр шийдлүүдийг дахин бүтээхийг хичээцгээе.
Пифагор (1.2.1) тэгшитгэлийг аналитик хэлбэрээр биш, харин дөрвөлжин тоо хэлбэрээр бодож байсан нь тодорхой бөгөөд дотроос нь квадрат тоо болон -ийг олох шаардлагатай байв. Энэ тоог талтай дөрвөлжин хэлбэрээр илэрхийлэх нь зүйн хэрэг байв yнэг тал нь бага zанхны дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл. Дараа нь 37-р зурагнаас харахад хялбар байдаг тул (зүгээр л харна уу!) Үлдсэн дөрвөлжин тооны хувьд тэгш байдал хангагдсан байх ёстой. Тиймээс бид шугаман тэгшитгэлийн системд хүрнэ
Эдгээр тэгшитгэлийг нэмж, хасаад бид (1.2.1) тэгшитгэлийн шийдийг олно.
Үүссэн шийдэл нь зөвхөн сондгой тоогоор натурал тоог өгдөг болохыг харахад хялбар байдаг. Тиймээс бид эцэст нь байна
Гэх мэтчилэн уламжлал нь энэ шийдвэрийг Пифагорын нэртэй холбодог.
(1.2.2) системийг тэгшитгэлээс (1.2.1) албан ёсоор авч болохыг анхаарна уу. Үнэхээр,
Эндээс бид (1.2.2) -д хүрнэ.
Пифагорын шийдэл нь нэлээд хатуу хязгаарлалт () дор олдсон нь тодорхой бөгөөд бүх Пифагорын гурвалсан хэсгүүдээс хол байдаг. Дараагийн алхам бол , дараа нь тавих явдал юм, учир нь зөвхөн энэ тохиолдолд квадрат тоо байх болно. Тиймээс систем нь Пифагорын гурвалсан байх болно. Одоо гол нь
Теорем.Хэрвээ хболон qөөр өөр паритеттай анхны тоонууд, дараа нь бүх анхдагч Пифагорын гурвалсан тоог томъёогоор олно.
Бескровный I.M. нэг
1 OAO Angstrem-M
Ажлын зорилго нь a2+b2=c2 хэлбэрийн Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолох арга, алгоритмыг боловсруулах явдал юм. Шинжилгээний үйл явц нь системчилсэн хандлагын зарчмын дагуу явагдсан. Математик загваруудын зэрэгцээ Пифагорын гурвалсан гишүүн бүрийг нийлмэл квадрат хэлбэрээр харуулсан график загваруудыг ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь нэгж квадратуудын багцаас бүрддэг. Хязгааргүй Пифагор гурвалсан багц нь b-c утгын зөрүүгээр ялгагдах хязгааргүй олон дэд олонлогуудыг агуулдаг нь тогтоогдсон. Энэ зөрүүг урьдчилан тодорхойлсон ямар ч утга бүхий Пифагорын гурвалсан хэлбэрийг бий болгох алгоритмыг санал болгож байна. Ямар ч 3≤a утгын хувьд Пифагорын гурвалсан байдаг болохыг харуулсан
Пифагорын гурван ихэр
системийн шинжилгээ
математик загвар
график загвар
1. Аносов Д.Н. Математик болон түүнээс ямар нэг зүйлийг харах. - М.: MTSNMO, 2003. - 24 х.: өвчтэй.
2. Айерланд К., Розен М. Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.
3. Бескровный И.М. Байгууллага дахь системийн шинжилгээ ба мэдээллийн технологи: Сурах бичиг. - М.: RUDN, 2012. - 392 х.
4. Саймон Сингх. Фермагийн сүүлчийн теорем.
5. Ферма П. Тооны онол ба диофантийн шинжилгээний судалгаа. - М.: Наука, 1992.
6. Яптро. Ucoz, эндээс авах боломжтой: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.
Пифагорын гурвалсан тоонууд нь Пифагорын x2 + y2 = z2 харьцааг хангадаг гурван бүхэл тооны когорт юм. Ерөнхийдөө энэ нь диофантийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол, тухайлбал үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байдаг тэгшитгэлийн систем юм. Тэд Вавилоны үеэс, өөрөөр хэлбэл Пифагороос эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Тэд Пифагор өөрийн алдартай теоремыг тэдний үндсэн дээр нотолсоны дараа энэ нэрийг авсан. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвын тухай асуудлыг нэг талаар хөндөж буй олон тооны эх сурвалжийн дүн шинжилгээнээс үзэхэд эдгээр гурвалсан ангиллын одоо байгаа ангиуд, тэдгээрийг бий болгох боломжит арга замуудын талаархи асуулт хараахан бүрэн тайлагдаагүй байна.
Тиймээс Саймон Сингхийн номонд: - "Пифагорын шавь нар ба дагалдагчид ... Пифагорын гурван к гэгдэхийг олох нууцыг дэлхийд хэлсэн." Гэсэн хэдий ч бид үүнийг уншина: - "Пифагорчууд өөр Пифагор гурвалсан гурвалсан, өөр квадратуудыг олохыг мөрөөддөг байсан бөгөөд үүнээс гурав дахь том дөрвөлжин нэмэх боломжтой байв. …Тоо өсөх тусам Пифагорын гурвалсан тоо улам ховор болж, олоход хэцүү болж байна. Пифагорчууд ийм гурвыг олох аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг ашиглан Пифагорын гурван ихэр хязгааргүй олон байдгийг баталжээ.
Төөрөгдөл үүсгэж буй үгсийг ишлэлд онцлон тэмдэглэв. Яагаад "Пифагорчууд ... олохыг мөрөөддөг байсан бол" хэрэв тэд "ийм гурвыг олох аргыг зохион бүтээсэн ...", яагаад олон тооны хувьд "тэдгээрийг олох нь улам бүр хэцүү болж байна ...".
Алдарт математикч Д.В. Аносов, хүссэн хариултаа өгсөн бололтой. - “Х, y, z гэсэн натурал (өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоо) гурвалсан тоонууд байдаг.
x2 + y2 = z2. (нэг)
...х2+y2=z2 тэгшитгэлийн бүх шийдийг натурал тоон дээр олох боломжтой юу? …Тиймээ. Хариулт нь ийм шийдэл бүрийг төлөөлж болно
x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),
Энд l, m, n нь натурал тоо ба m>n, эсвэл x ба у-г сольж байгаа ижил төстэй хэлбэрээр. Бүх боломжит натурал l ба m > n-ийн (2)-ын x, y, z нь (1)-ийн x ба у-ийн сэлгэлт хүртэлх бүх боломжит шийдлүүд гэдгийг бид арай товчхон хэлж болно. Жишээлбэл, гурвалсан (3, 4, 5) -ийг l=1, m=2, n=1 гэж авна. ... Вавилончууд энэ хариултыг мэдэж байсан бололтой, гэхдээ тэд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна."
Математикчид ихэвчлэн томъёололынхоо нарийн ширийн зүйлд нямбай байдгаараа алдартай. Гэхдээ энэ ишлэлд ийм хатуу байдал ажиглагдаагүй байна. Тэгэхээр яг юу вэ: олох уу, төсөөлөх үү? Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь огт өөр зүйл юм. "Шинэхэн шатаасан" гурвалсан шугам энд байна (доор тайлбарласан аргаар олж авсан):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Эдгээр гурвалсан бүрийг (2) хамаарлын хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь l, m, n-ийн утгыг тооцоолж болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Гэхдээ энэ нь гурвалсан бүх утгыг олсны дараа юм. Гэхдээ үүнээс өмнө яах вэ?
Эдгээр асуултын хариулт аль эрт тодорхой байгааг үгүйсгэх аргагүй. Гэвч зарим шалтгааны улмаас тэд одоо болтол олдоогүй байна. Тиймээс энэхүү ажлын зорилго нь Пифагорын гурвалсан жишээнүүдийн нийлбэрт системчилсэн дүн шинжилгээ хийх, янз бүрийн гурвалсан бүлгүүдэд систем үүсгэх харилцааг эрэлхийлж, эдгээр бүлгүүдийн онцлог шинж чанарыг тодорхойлох, дараа нь энгийн дүр төрхийг хөгжүүлэх явдал юм. Урьдчилан тодорхойлсон тохиргоотой гурвалсан тоог тооцоолох үр ашигтай алгоритмууд. Тохиргоо гэж бид гурвыг бүрдүүлдэг хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг хэлнэ.
Ахлах сургуульд заадаг математикийн хүрээнээс хэтрээгүй түвшинд математикийн хэрэглүүр ашиглах, мөн дээр дурдсан аргад тулгуурлан системийн шинжилгээ хийх юм.
Загварын барилга
Системийн шинжилгээний үүднээс авч үзвэл аливаа Пифагорын гурвалсан систем нь гурван тоо ба тэдгээрийн шинж чанаруудаас бүрддэг объектууд юм. Объектуудыг тодорхой харилцаанд байрлуулж, бие даасан объектууд эсвэл тэдгээрийн бусад бүхэллэгт хамаарахгүй шинэ шинж чанартай системийг бүрдүүлдэг тэдгээрийн цогц байдал, объектуудыг бусад харилцаанд байрлуулдаг.
Тэгшитгэл (1)-д системийн объектууд нь энгийн алгебрийн харилцаатай холбоотой натурал тоонууд юм: тэнцүү тэмдгийн зүүн талд хоёр тооны нийлбэр нь 2-ын зэрэглэлд хүрсэн, баруун талд гурав дахь тоо байна. 2-ын хүч рүү. Хувь хүний тоо, тэгш байдлын зүүн талд, 2-ын зэрэглэлд өргөгдсөн, тэдгээрийн нийлбэрийн үйл ажиллагаанд ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй - үр дүнд нь нийлбэр нь юу ч байж болно. Гэхдээ нийлбэрийн үйлдлийн дараа тавьсан тэнцүү тэмдэг нь энэ нийлбэрийн утгад системийн хязгаарлалт тавьдаг: нийлбэр нь квадрат язгуурыг задлах үйлдлийн үр дүн нь натурал тоо байх тийм тоо байх ёстой. Мөн тэгш байдлын зүүн талд орлуулсан тоонуудын хувьд энэ нөхцөл хангагдахгүй. Ийнхүү тэгшитгэлийн хоёр гишүүн ба гурав дахь гишүүний хооронд тавьсан тэнцүү тэмдэг нь гурвалсан гишүүнийг систем болгон хувиргадаг. Энэхүү системийн шинэ онцлог нь анхны тоонуудын утгыг хязгаарлах явдал юм.
Бичгийн хэлбэр дээр үндэслэн Пифагорын гурвалсан гурвалсан нийлбэр ба тэгш байдлын харьцаагаар хоорондоо холбогдсон гурван квадратаас бүрдэх геометрийн системийн математик загвар гэж үзэж болно. 1. Зураг. 1 нь авч үзэж буй системийн график загвар бөгөөд түүний аман загвар нь дараахь мэдэгдэл юм.
Хажуугийн урт c бүхий квадратын талбайг үлдэгдэлгүйгээр a ба b хажуугийн урттай хоёр квадрат болгон хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь анхны дөрвөлжингийн талбайтай тэнцүү байхаар, өөрөөр хэлбэл бүх гурвын талбайтай тэнцүү байна. a, b, c хэмжигдэхүүнүүд нь хамаарлаар холбогдоно
Квадрат задралын график загвар
Системийн шинжилгээний хуулиудын хүрээнд хэрэв математик загвар нь тодорхой геометрийн системийн шинж чанарыг хангалттай тусгадаг бол энэ системийн шинж чанарын дүн шинжилгээ нь түүний математик загварын шинж чанарыг тодруулах боломжийг олгодог. тэдгээрийг илүү гүнзгий мэдэж, тодруулж, шаардлагатай бол сайжруулах. Энэ бол бидний дагаж мөрдөх зам юм.
Системийн шинжилгээний зарчмуудын дагуу нэмэх, хасах үйлдлийг зөвхөн нийлмэл объектууд, өөрөөр хэлбэл энгийн объектуудын багцаас бүрдсэн объектууд дээр гүйцэтгэх боломжтой гэдгийг тодруулцгаая. Тиймээс бид ямар ч квадратыг энгийн буюу нэгж квадратуудын багцаас бүрдсэн дүрс гэж ойлгох болно. Тэгвэл натурал тоогоор шийдийг олж авах нөхцөл нь нэгж квадрат хуваагдахгүй байх нөхцөлийг хүлээн зөвшөөрсөнтэй тэнцэнэ.
Тал бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү квадратыг нэгж квадрат гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, нэгж квадратын талбай нь дараах илэрхийллийг тодорхойлно.
Квадрат талбайн тоон үзүүлэлт нь тухайн талбайд байрлуулж болох нэгж квадратуудын тоогоор тодорхойлогддог талбай юм. Дурын утга бүхий дөрвөлжингийн хувьд x2 илэрхийлэл нь х урттай сегментийн хэсгүүдээс үүссэн квадратын талбайг тодорхойлно. Энэ квадратын талбайд x2 нэгж квадратуудыг байрлуулж болно.
Дээрх тодорхойлолтууд нь өчүүхэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж болох ч тийм биш юм. Д.Н. Аносов талбайн тухай ойлголтыг өөрөөр тодорхойлсон: - "... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид яагаад ийм байгаа гэдэгт итгэлтэй байна вэ? ... Бид ямар нэгэн төрлийн нэгэн төрлийн материалаар хийсэн дүрсийг төсөөлж, дараа нь түүний талбай нь түүнд агуулагдах бодисын хэмжээ буюу масстай пропорциональ байна. Биеийг хэд хэдэн хэсэгт хуваахад тэдгээрийн массын нийлбэр нь анхны биеийн масстай тэнцүү байна гэдгийг цааш нь ойлгодог. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь бүх зүйл атом, молекулуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн тоо өөрчлөгдөөгүй тул нийт масс нь ч өөрчлөгдөөгүй ... Эцсийн эцэст, нэг төрлийн материалын масс нь түүний эзэлхүүнтэй пропорциональ байна; Тиймээс өгөгдсөн дүрс хэлбэртэй "хуудас" -ын эзэлхүүн нь түүний талбайтай пропорциональ гэдгийг та мэдэх хэрэгтэй. Нэг үгээр хэлбэл, ... дүрсийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг геометрийн хувьд үүнийг батлах шаардлагатай. ...Киселевийн сурах бичигт бидний одоо хэлэлцэж байгаа өмч хөрөнгөтэй газар нутаг байгаа нь ямар нэгэн таамаглал гэж үнэнчээр дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь үнэндээ үнэн байсан гэж хэлсэн боловч бид үүнийг батлахгүй. Тиймээс Пифагорын теорем нь талбайн тусламжтайгаар нотлогдвол цэвэр логик утгаараа бүрэн батлагдаагүй хэвээр үлдэнэ.
Дээр дурдсан нэгж квадратын тодорхойлолтууд нь заасан D.N-ийг хассан мэт санагдаж байна. Аносовын тодорхойгүй байдал. Эцсийн эцэст, хэрэв дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн талбайг тэдгээрийг дүүргэх нэгж квадратуудын нийлбэрээр тодорхойлдог бол тэгш өнцөгтийг дурын зэргэлдээ хэсгүүдэд хуваах үед тэгш өнцөгтийн талбай нь байгалийн хувьд тэнцүү байна. түүний бүх хэсгүүдийн нийлбэр.
Нэмж дурдахад, танилцуулсан тодорхойлолтууд нь хийсвэр геометрийн дүрстэй холбоотой "хуваах", "нэмэх" гэсэн ойлголтыг ашиглах тодорхой бус байдлыг арилгадаг. Тэгш өнцөгт эсвэл бусад хавтгай дүрсийг хэсэг болгон хуваах нь юу гэсэн үг вэ? Хэрэв энэ нь цаасан хуудас бол хайчаар хайчилж болно. Хэрэв газар бол - хашаа тавь. Өрөө - хуваалт тавих. Хэрэв энэ нь зурсан дөрвөлжин бол яах вэ? Хуваах шугам зурж, квадрат хуваагдсан гэж мэдэгдэнэ үү? Гэхдээ эцэст нь D.I. Менделеев: "... Та бүх зүйлийг тунхаглаж болно, гэхдээ та - урагшаа, жагсаал!"
Санал болгож буй тодорхойлолтыг ашиглан "Зураг хуваах" гэдэг нь энэ зургийг дүүргэх нэгж квадратуудын тоог хоёр (эсвэл түүнээс дээш) хэсэгт хуваахыг хэлнэ. Эдгээр хэсэг тус бүрийн нэгж квадратуудын тоо нь түүний талбайг тодорхойлно. Эдгээр хэсгүүдийн тохиргоог дур зоргоороо өгч болох боловч тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь үргэлж анхны зургийн талбайтай тэнцүү байх болно. Математикчид эдгээр аргументуудыг буруу гэж үзэж магадгүй, тэгвэл бид тэдгээрийг таамаглал болгон авах болно. Хэрэв Киселевын сурах бичигт ийм таамаглалыг хүлээн зөвшөөрвөл ийм арга хэрэглэхгүй байх нь бидний хувьд нүгэл болно.
Системийн шинжилгээний эхний алхам бол асуудлын нөхцөл байдлыг тодорхойлох явдал юм. Энэ үе шатны эхэнд янз бүрийн эх сурвалжаас олдсон хэдэн зуун Пифагор гурвыг судалж үзсэн. Үүний зэрэгцээ, хэвлэлд дурдсан Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн багцыг тохиргооны хувьд ялгаатай хэд хэдэн бүлэгт хувааж болох нь анхаарал татав. Бид анхны болон хасагдсан квадратуудын талуудын уртын зөрүү, өөрөөр хэлбэл c-b утгыг тодорхой тохиргооны шинж тэмдэг гэж үзэх болно. Жишээлбэл, хэвлэлд c-b=1 нөхцөлийг хангасан гурвалсан тоог жишээ болгон харуулсан байдаг. Ийм Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн багцыг бид "Анги c-1" гэж нэрлэх болно гэж бид таамаглаж байгаа бөгөөд бид энэ ангийн шинж чанарыг шинжлэх болно.
Зурагт үзүүлсэн гурван квадратыг авч үзье, үүнд c нь квадратын багасгах талын урт, b нь хасах квадратын талын урт, a нь үүссэн квадратын хажуугийн урт юм. тэдний ялгаанаас. Зураг дээр. 1-ээс харахад хасагдсан квадратын талбайг багасгасан квадратын талбайгаас хасах үед үлдсэн хэсэгт нэгж квадратын хоёр тууз үлдэх болно.
Энэ үлдэгдэлээс квадрат үүсгэхийн тулд нөхцөлийг хангасан байх ёстой
Эдгээр харилцаа нь гурвалсан бүх гишүүдийн утгыг нэг өгөгдсөн c тоогоор тодорхойлох боломжийг олгодог. (6) харьцааг хангадаг хамгийн бага c тоо c = 5. Ийнхүү (1) харьцааг хангадаг квадратын гурван талын уртыг тодорхойлсон. Дундаж квадратын талын утгыг b гэдгийг санаарай
анхны дөрвөлжингийн талыг нэгээр багасгаж дунд дөрвөлжин үүсгэхээр шийдсэн үед сонгосон. Дараа нь (5), (6) харилцаанаас. (7) бид дараах харьцааг олж авна.
Үүнээс үзэхэд c = 5 сонгосон утга нь b = 4, a = 3 утгуудыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.
Үүний үр дүнд "c - 1" ангиллын аль ч Пифагорын гурвалсан хэсгийг ийм хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог харилцааг олж авсан бөгөөд бүх гурван гишүүний утгыг заасан нэг параметрээр тодорхойлдог c утга:
Дээрх жишээн дэх 5-ын тоо нь натурал тоон дээрх тэгшитгэл (6)-ийн шийдэлтэй c-ийн бүх боломжит утгуудын хамгийн бага тоо гэж бид нэмж хэлэв. Ижил шинж чанартай дараагийн тоо нь 13, дараа нь 25, дараа нь 41, 61, 85 гэх мэт тоонууд юм. Энэ цуврал тоонуудад зэргэлдээх тоонуудын хоорондын зай маш хурдан нэмэгдэж байгааг та харж байна. Жишээлбэл, хүчинтэй утгын дараа дараагийн хүчинтэй утга нь , дараа нь дараагийн хүчинтэй утга нь , өөрөөр хэлбэл хүчинтэй утга нь өмнөхөөсөө тавин саяас илүү байна!
Номонд энэ хэллэг хаанаас гаралтай нь тодорхой боллоо: - "Тоо нэмэгдэх тусам Пифагорын гурвалсан тоо улам бүр багасч, тэдгээрийг олоход улам бүр хэцүү болж байна ...". Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэл үнэн биш юм. Дээрх хос c-ийн хөрш зэргэлдээх утгуудтай тохирох Пифагор гурвыг л харах хэрэгтэй, учир нь нэг онцлог шинж чанар нь шууд анхаарал татдаг - хоёр хосын хувьд c-ийн утгууд нь ийм том интервалаар тусгаарлагдсан байдаг. эргэх утгууд нь хөрш сондгой тоонууд болно. Үнэхээр эхний хосын хувьд бидэнд байна
мөн хоёр дахь хосын хувьд
Тиймээс гурвалсан тоонууд нь өөрсдөө "бага, бага түгээмэл" биш, харин c-ийн хөрш зэргэлдээх утгуудын хоорондын зай нэмэгдэж байна. Доор үзүүлсэн шиг Пифагорын гурвалсан тоо нь ямар ч натурал тоонд байдаг.
Одоо дараагийн анги болох "Class c-2" гурвыг авч үзье. Зураг дээрээс харж болно. 1, c талтай квадратаас талтай квадратыг (c - 2) хасах үед үлдэгдэл нь хоёр нэгж зурвасын нийлбэр болно. Энэ нийлбэрийн утгыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.
(10) тэгшитгэлээс бид "c-2" гурвалсан ангиллын хязгааргүй олонлогийн аль нэгийг тодорхойлох хамаарлыг олж авна.
(11) тэгшитгэлийн шийдэл натурал тоонд байх нөхцөл нь а нь натурал тоо болох аливаа c утга юм. Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 5. Дараа нь энэ гурвалсан ангиллын "эхлэх" гурвалсан нь a = 4, b = 3, c = 5 олонлогоор тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, сонгодог гурвалсан 3, 4, 5 үүссэн, зөвхөн одоо хасах квадратын талбай нь үлдсэн хэсгээс бага байна.
Эцэст нь "s-8" ангийн гурвалсан шинж чанаруудыг шинжилье. Энэ гурвалсан ангиллын хувьд квадратын талбайг анхны квадратын c2 талбайгаас хасвал бид дараахь зүйлийг авна.
Дараа нь (12) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.
Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 13. Энэ утга дахь Пифагорын гурвалсан нь 12, 5, 13 хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд дахин хасах квадратын талбай нь -ээс бага байна. үлдсэн хэсгийн талбай. Тэмдэглэгээг газар дээр нь өөрчлөхөд бид "c - 1" ангилалд багтдаг гурвалсан 5, 12, 13-ыг авдаг. Бусад боломжит тохиргоонуудын цаашдын дүн шинжилгээ нь цоо шинэ зүйлийг илрүүлэхгүй байх шиг байна.
Тооцоолсон харьцааны гарал үүсэл
Өмнөх хэсэгт шинжилгээний логикийг системийн шинжилгээний шаардлагын дагуу асуудлын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх, зорилго бий болгох, чиг үүрэг, бүтцийг бүрдүүлэх гэсэн таван үндсэн үе шатын дөрөвт нь боловсруулсан болно. Одоо эцсийн буюу тав дахь шат буюу техник эдийн засгийн үндэслэлийн шалгалт, өөрөөр хэлбэл зорилгодоо хэр хүрч байгааг шалгах цаг болжээ. .
Хүснэгт 1-ийг доор үзүүлэв. "c - 1" ангилалд хамаарах Пифагорын гурвалсан утгыг харуулсан 1. Ихэнх гурвыг янз бүрийн хэвлэлд олдог боловч 999, 1001-тэй тэнцэх утгыг гурав дахин олдог нь мэдэгдэж буй хэвлэлд олдсонгүй.
Хүснэгт 1
"c-1" ангийн Пифагорын гурвалсан
Бүх гурвалсан үзүүлэлтүүд (3) харьцааг хангаж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Ийнхүү өмнөө тавьсан зорилтуудын нэг нь биеллээ. Өмнөх хэсэгт олж авсан (9), (11), (13) харьцаанууд нь багасгасан квадратын тал болох цорын ганц c параметрийг тохируулснаар хязгааргүй гурвалсан олонлог үүсгэх боломжтой болгодог. Энэ нь мэдээжийн хэрэг (2) хамаарлаас илүү бүтээмжтэй хувилбар бөгөөд үүнийг ашиглахын тулд ямар нэгэн утгатай l, m, n гэсэн гурван тоог дур мэдэн тогтоож, эцэст нь зөвхөн үүнийг мэдэж байж шийдлийг хайх хэрэгтэй. Пифагорын гурвалсан нь гарцаагүй олж авах бөгөөд аль нь тодорхойгүй байна. Манай тохиолдолд үүсэж буй гурвалсан тохиргоог урьдчилан мэддэг бөгөөд зөвхөн нэг параметрийг тохируулах шаардлагатай байдаг. Гэвч харамсалтай нь энэ параметрийн утга бүр шийдэлтэй байдаггүй. Мөн та түүний зөвшөөрөгдөх утгыг урьдчилан мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс үр дүн нь сайн, гэхдээ хамгийн тохиромжтой зүйлээс хол байна. Дурын өгөгдсөн натурал тоогоор Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолох ийм шийдлийг олж авах нь зүйтэй юм. Үүний тулд бид дөрөв дэх үе шат - олж авсан математик харилцааны бүтцийг бий болгох руу буцъя.
Гурвалсан хэсгийн үлдсэн гишүүдийг тодорхойлох үндсэн параметр болох c утгыг сонгох нь тохиромжгүй болсон тул өөр хувилбарыг туршиж үзэх хэрэгтэй. Хүснэгтээс харж болно. 1-д энэ параметрийн утгууд нь дараалсан сондгой натурал тоонуудын эгнээнд байгаа тул үндсэн параметр болгон a параметрийг сонгох нь илүү дээр юм шиг санагдаж байна. Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид харилцааг (9) илүү бүтээлч хэлбэрт оруулдаг.
Харилцаа (14) нь урьдаас тогтоосон сондгой утгын хувьд Пифагорын гурвалсан утгыг олох боломжийг бидэнд олгодог. Үүний зэрэгцээ b-ийн илэрхийллийн энгийн байдал нь тооцоолуургүйгээр ч тооцоо хийх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 13-ын тоог сонгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.
Мөн 99 дугаарын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.
Харилцаа (15) нь n=1-ээс эхлэн өгөгдсөн n-ийн хувьд Пифагорын мөрийн бүх гурван гишүүний утгыг авах боломжийг олгодог.
Одоо "c - 2" ангийн Пифагорын гурвыг авч үзье. Хүснэгтэнд. 2-т жишээ болгон ийм арван гурвыг харуулав. Түүгээр ч зогсохгүй мэдэгдэж буй хэвлэлд зөвхөн гурван хос гурвалсан олдсон - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ба 16, 63, 65. Энэ нь тэдгээрийн үүссэн хэв маягийг тодорхойлоход хангалттай байсан. Үлдсэн долоо нь өмнө нь үүссэн харилцаанаас олдсон (11). Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс эдгээр харьцааг бүх параметрүүдийг a-ээр илэрхийлэхийн тулд өөрчилсөн. (11)-ээс харахад "c - 2" ангиллын бүх гурвалсан үзүүлэлтүүд дараах харилцааг хангаж байна.
хүснэгт 2
Пифагорын гурвалсан "c-2"
Хүснэгтээс харж болно. 2, "c - 2" ангиллын хязгааргүй гурвалсан багцыг хоёр дэд ангид хувааж болно. a-ийн утга 4-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг гурвалсан тоонуудын хувьд b ба c-ийн утга сондгой байна. GCD = 1 гэсэн ийм гурвалжуудыг команд гэж нэрлэдэг. a утгууд нь бүхэл тоонд 4-т хуваагддаггүй гурвалсан тоонуудын хувьд a, b, c гурвалсан гурван гишүүн бүгд тэгш байна.
Одоо сонгогдсон ангиудын гурав дахь нь болох "c - 8" ангийн шинжилгээний үр дүнг авч үзье. (13)-аас авсан энэ ангийн тооцоолсон хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.
Харилцаа (20), (21) нь үндсэндээ ижил байна. Ялгаа нь зөвхөн үйлдлийн дарааллыг сонгох явдал юм. Эсвэл (20) дагуу a-ийн хүссэн утгыг сонгоно (энэ тохиолдолд энэ утгыг 4-т хуваах шаардлагатай), дараа нь b ба c утгуудыг тодорхойлно. Эсвэл дурын тоог сонгоод дараа нь (21) харьцаанаас Пифагорын гурвалсан гурван гишүүнийг тодорхойлно. Хүснэгтэнд. 3-т ийм аргаар тооцоолсон хэд хэдэн Пифагорын гурвалсан тоог харуулав. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан утгыг тооцоолох нь бүр ч хялбар байдаг. Хэрэв дор хаяж нэг утгыг мэддэг бол дараагийн бүх утгыг дараах хамаарлаар маш энгийнээр тодорхойлно.
Хүснэгт 3
Бүгдэд хамаарах (22) хамаарлын үнэн зөвийг Хүснэгтээс гурав дахин дахин баталгаажуулж болно. 2, түүнчлэн бусад эх сурвалжаас. Жишээ нь, Хүснэгтэнд. Компьютерийн програмын үндсэн дээр (2) хамаарлаар тооцоолсон Пифагорын гурвалсан (10000 гурвалсан) өргөн хүснэгтээс 4 налуу гурвалсан гурвалсан үсгийг (2) харьцаагаар, тод үсгээр бичсэн - гурвалсан тоог (20) хамаарлаар тооцоолсон. Эдгээр утгууд нь заасан хүснэгтэд байхгүй байсан.
Хүснэгт 4
Пифагорын гурвалсан "s-8"
Үүний дагуу гурвалсан хэлбэрийн хувьд дараах харилцааг ашиглаж болно.
Мөн гурвалсан хэлбэрийн хувьд<
Дээрх "c - 1", "c - 2", "c - 8" гурвалсан ангиуд нь өгөгдсөн хүснэгтээс эхний мянган гурвын 90 гаруй хувийг бүрдүүлдэг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь эдгээр ангиудыг суурь гэж үзэх үндэслэл болж байна. (22), (23), (24) харилцааг гаргахдаа тооны онолд судлагдсан тоонуудын тусгай шинж чанарыг (анхны, хоёрдогч тоо гэх мэт) ашиглаагүйг нэмж хэлье. Пифагорын гурвалсан хэлбэрүүд үүсэхэд илэрсэн зүй тогтол нь зөвхөн эдгээр гурвалсан хэсгүүдийн дүрсэлсэн геометрийн дүрсүүдийн системийн шинж чанаруудтай холбоотой юм - нэгж квадратуудын багцаас бүрдэх квадратууд.
Дүгнэлт
Эндрю Уайлс 1993 онд "Би энд зогсох ёстой гэж бодож байна" гэж хэлсэн. Зорилгодоо бүрэн хүрсэн. Шинжилгээний явцад зөвхөн математик тооцооллын зэрэгцээ судалж буй загваруудын геометрийн шинж чанарыг харгалзан үзэх юм бол бүтэц нь геометрийн дүрстэй холбоотой математик загваруудын шинж чанарын шинжилгээг ихээхэн хялбаршуулдаг болохыг харуулж байна. харгалзан үзсэн. Ялангуяа судлаач математикийн хувиргалт хийхгүйгээр хүссэн үр дүнгээ "хардаг" нь хялбаршуулсан явдал юм.
Жишээлбэл, тэгш байдал
зүүн талдаа ямар ч өөрчлөлтгүйгээр тодорхой болсон тул та зөвхөн зураг руу харах хэрэгтэй. Энэ тэгш байдлын график загварын хувьд 1.
Үүний үр дүнд хийсэн шинжилгээний үндсэн дээр аль ч талтай квадратын хувьд b ба c талтай квадратуудыг олж, тэдгээрийн хувьд тэгш байдлыг хангаж, хамгийн бага хэмжээтэй үр дүнг өгөх харилцааг олж авах боломжтой болохыг харуулсан. тооцоо:
сондгой утгуудын хувьд a,
ба - тэгш утгын хувьд.
Ном зүйн холбоос
Бескровный I.M. Пифагорын гурвалсан шинж чанаруудын СИСТЕМИЙН ШИНЖИЛГЭЭ // Орчин үеийн шинжлэх ухаан шаардсан технологи. - 2013. - No 11. - P. 135-142;URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (хандах огноо: 2020-03-20). "Байгалийн түүхийн академи" хэвлэлийн газраас эрхлэн гаргадаг сэтгүүлүүдийг та бүхэнд хүргэж байна.
Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзье. Пифагорын оюутнууд анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг төлөөлөх томьёог ашиглан Пифагорын гурвыг үүсгэх энгийн аргыг зохион бүтээжээ.
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,
Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,
4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4
Үүнтэй төстэй томъёог эртний Грекийн гүн ухаантан Платон санал болгосон:
(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,
Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсанууд үүснэ.
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Таны харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвыг өгч чадахгүй.
Олон гишүүнтийн нийлбэр болгон задалсан дараах олон гишүүнтийг авч үзье.
(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .
Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:
а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.
Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн томоос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоог үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурав дахин үүсдэггүй. Энд эхний гурвалсанууд нь: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Бүх анхдагч гурвыг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аболон б, бболон в, аболон в- дээд зэргийн байх ёстой. Болъё аболон бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 нь мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба вгэж хуваагдах ёстой г. Энэ нь анхдагч гурвалсан зүйл биш юм.
Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аболон б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, түүнчлэн а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.
Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1-ийн үлдэгдэлтэй ба 2-ын үлдэгдэлтэй байж болохгүй. аболон бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба үлдэгдэл -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.
Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараахь тоонуудаар хангаж байна.
а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)
Хаана мболон nөөр өөр хослолуудтай нийцдэг. Эхний удаад эдгээр хамаарал нь 2300 r амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс тодорхой болсон. буцаж.
(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё а- тэгвэл давхар бболон в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосууд. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уболон в − б = 2v, хаана у,vзарим бүхэл тоонууд юм. Тийм ч учраас
а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у 2 v = 4Хэт ягаан туяа
Тиймээс ( а/2) 2 = Хэт ягаан туяа.
Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уболон vхоёрдогч юм. Болъё уболон v- гэж хуваагддаг г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Тиймээс вболон бгэж хуваагдах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.
Учир нь Хэт ягаан туяа = (а/2) 2 ба уболон vҮүнийг батлахад амархан уболон vзарим тооны квадратууд байх ёстой.
Тэгэхээр эерэг бүхэл тоонууд байна мболон n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь
а 2 = 4Хэт ягаан туяа = 4м 2 n 2 тийм
а = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .
Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.
Үүнийг харуулах л үлдлээ мболон nөөр өөр хослолтой. Хэрвээ мболон n- тэгвэл хосолсон уболон vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй зүйл, учир нь тэдгээр нь хосолсон байдаг. Хэрвээ мболон n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, учир нь боломжгүй юм вболон бхоёрдогч юм.
Тиймээс ямар ч анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мболон nдуудсан тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, анхдагч Пифагорын гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд
а= 120 = 2 12 5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,
Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь хосолсон бөгөөд өөр өөр хослолууд юм.
Энэ нь тоогоор нотлогдож болно м, nтомъёо (2) нь анхдагч Пифагорын гурвалсан (a,b,c)-ийг өгдөг. Үнэхээр,
а 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,
Тэр бол ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Хэсэг хугацааны дараа үүнийг баталцгаая а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонуудыг хуваана х> 1. Түүнээс хойш мболон nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бболон в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Учир нь Рхуваадаг бболон в, дараа нь Р 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, учир нь боломжгүй юм х≠ 2. Тиймээс м, nхоёрдогч ба а,б,вбас давуу талтай.
Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёогоор үүсгэгдсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.
Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10
| м | n | а | б | в | м | n | а | б | в |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь цуврал хэв маяг байгааг харуулж байна.
- эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагдана;
- тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
- тоо а 4-т хуваагддаг;
- ажил а· б 12-т хуваагддаг.
1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр (өндөр) гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. Зураг 1-д. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.
Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл
Хэрэв та диагональ дагуу явахгүй бол гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал руу явах ёстой нэмэлт зайг "илүүдэл" гэж нэрлэсэн.
Илүүдэл ба өсөлтөөр Пифагорын гурвалжны талуудыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h
Бүх хослол биш hболон дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны үржвэр юм г. Энэ тоо гөсөлт гэж нэрлэдэг ба хамаарна hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, хаана кэерэг бүхэл тоо юм.
Хосуудын тусламжтайгаар ( к,h) та бүх Пифагор гурвалжныг, түүний дотор анхдагч бус ба ерөнхий гурвалжныг дараах байдлаар үүсгэж болно.
(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h
Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кболон h coprime ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2 h/гболон h > 0.
Олох кболон h-аас ( а,б,в) дараахь зүйлийг хий.
- h = в − б;
- бичих hХэрхэн h = pq 2, хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
- г = 2pqхэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
- к = (а − h)/г.
Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) хувьд бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоо нь ( к,h) = (3,2).
Гурвалсан (459,1260,1341) хувьд бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, тиймээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).
-аар гурвыг зааж байна hболон кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна
к = 4С/(dP), (5)
Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + втүүний периметр юм. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос гаралтай.
Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй юм -тай = (а − r)+(б − r) = а + б − 2r, хаана rнь тойргийн радиус юм. Эндээс h = в − б = а − 2rболон д = а − h = 2r.
Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан 2-р хүснэгтээс h, к, нэмэгдэж байгаа нь харагдаж байна кгурвалжны талууд нэмэгдэнэ. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү өндөр дараалалтай байна.
Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.
| h | к | а | б | в | h | к | а | б | в |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, дээд нь, at q= 1. Иймд утга г 2√-ийн хувьд hхэр их байгаагийн хэмжүүр юм hзарим тооны квадратаас хол.
