Plotar y x 2. Funções quadráticas e cúbicas

"Logaritmo natural" - 0,1. logaritmos naturais. 4. "Dados logarítmicos". 0,04. 7.121.

"Função de potência grau 9" - U. Parábola cúbica. Y = x3. Professora da 9ª série Ladoshkina I.A. Y = x2. Hipérbole. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n onde n é um determinado número natural. X. O expoente é um número natural par (2n).

"Função quadrática" - 1 Definição da função quadrática 2 Propriedades da função 3 Gráficos da função 4 Desigualdades quadráticas 5 Conclusão. Propriedades: Desigualdades: Elaborado por Andrey Gerlitz, aluno da 8ª série. Plano: Gráfico: -Intervalos de monotonicidade em a > 0 em a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Função quadrática e seu gráfico" - Decisão. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-pertence. Quando a=1, a fórmula y=ax assume a forma.

"Função quadrática classe 8" - 1) Construa o topo da parábola. Plotando uma função quadrática. x. -7. Plote a função. Álgebra Grade 8 Professor 496 escola Bovina TV -1. Plano de construção. 2) Construa o eixo de simetria x=-1. y.

Um gráfico de função é uma representação visual do comportamento de alguma função no plano de coordenadas. Os gráficos ajudam a entender vários aspectos de uma função que não podem ser determinados a partir da própria função. Você pode construir gráficos de muitas funções, e cada uma delas será dada por uma fórmula específica. O gráfico de qualquer função é construído de acordo com um determinado algoritmo (se você esqueceu o processo exato de traçar um gráfico de uma determinada função).

Passos

Plotando uma Função Linear

Determine se a função é linear. Uma função linear é dada por uma fórmula da forma F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) ou y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(por exemplo, ), e seu gráfico é uma linha reta. Assim, a fórmula inclui uma variável e uma constante (constante) sem quaisquer expoentes, sinais de raiz e similares. Dada uma função de forma semelhante, plotar tal função é bastante simples. Aqui estão outros exemplos de funções lineares:

Use uma constante para marcar um ponto no eixo y. A constante (b) é a coordenada “y” do ponto de interseção do gráfico com o eixo Y. Ou seja, é um ponto cuja coordenada “x” é 0. Assim, se x = 0 é substituído na fórmula , então y = b (constante). Em nosso exemplo y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) a constante é 5, ou seja, o ponto de interseção com o eixo Y tem coordenadas (0,5). Trace este ponto no plano coordenado.

Encontre a inclinação da linha.É igual ao multiplicador da variável. Em nosso exemplo y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) com a variável "x" é um fator de 2; assim, a inclinação é 2. A inclinação determina o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo X, ou seja, quanto maior a inclinação, mais rápido a função aumenta ou diminui.

Escreva a inclinação como uma fração. A inclinação é igual à tangente do ângulo de inclinação, ou seja, a razão entre a distância vertical (entre dois pontos em uma linha reta) e a distância horizontal (entre os mesmos pontos). Em nosso exemplo, a inclinação é 2, então podemos dizer que a distância vertical é 2 e a distância horizontal é 1. Escreva isso como uma fração: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Se a inclinação for negativa, a função é decrescente.

1. Do ponto onde a linha cruza com o eixo Y, desenhe um segundo ponto usando as distâncias vertical e horizontal. Uma função linear pode ser plotada usando dois pontos. Em nosso exemplo, o ponto de interseção com o eixo Y tem coordenadas (0,5); a partir deste ponto, mova 2 espaços para cima e 1 espaço para a direita. Marque um ponto; terá coordenadas (1,7). Agora você pode desenhar uma linha reta.

   Use uma régua para traçar uma linha reta passando por dois pontos. Para evitar erros, encontre o terceiro ponto, mas na maioria dos casos o gráfico pode ser construído usando dois pontos. Assim, você traçou uma função linear.

   Desenhar pontos no plano coordenado

   1. Defina uma função. A função é denotada como f(x). Todos os valores possíveis da variável "y" são chamados de imagem da função, e todos os valores possíveis da variável "x" são chamados de domínio da função. Por exemplo, considere a função y = x+2, ou seja, f(x) = x+2.

      Desenhe duas linhas perpendiculares que se cruzam. A linha horizontal é o eixo X. A linha vertical é o eixo Y.

      Rotule os eixos coordenados. Divida cada eixo em segmentos iguais e numere-os. O ponto de interseção dos eixos é 0. Para o eixo X: os números positivos são plotados à direita (a partir de 0) e os números negativos à esquerda. Para o eixo Y: os números positivos são plotados na parte superior (a partir de 0) e os números negativos na parte inferior.

      Encontre os valores "y" dos valores "x". No nosso exemplo f(x) = x+2. Substitua certos valores "x" nesta fórmula para calcular os valores "y" correspondentes. Se for dada uma função complexa, simplifique-a isolando o "y" em um lado da equação.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Desenhe pontos no plano de coordenadas. Para cada par de coordenadas, faça o seguinte: encontre o valor correspondente no eixo x e desenhe uma linha vertical (linha pontilhada); encontre o valor correspondente no eixo y e desenhe uma linha horizontal (linha pontilhada). Marque o ponto de interseção das duas linhas pontilhadas; assim, você traçou um ponto gráfico.

      Apague as linhas pontilhadas. Faça isso depois de plotar todos os pontos do gráfico no plano de coordenadas. Nota: o gráfico da função f(x) = x é uma reta passando pelo centro de coordenadas [ponto com coordenadas (0,0)]; o gráfico f(x) = x + 2 é uma linha paralela à linha f(x) = x, mas deslocada duas unidades para cima e, portanto, passando pelo ponto com coordenadas (0,2) (porque a constante é 2) .

   Plotando uma função complexa

   Encontre os zeros da função. Os zeros de uma função são os valores da variável "x" em que y = 0, ou seja, esses são os pontos de interseção do gráfico com o eixo x. Lembre-se de que nem todas as funções têm zeros, mas este é o primeiro passo no processo de traçar um gráfico de qualquer função. Para encontrar os zeros de uma função, iguale-a a zero. Por exemplo:

   Encontre e rotule as assíntotas horizontais. Uma assíntota é uma linha que o gráfico de uma função se aproxima, mas nunca cruza (ou seja, a função não é definida nesta área, por exemplo, quando dividida por 0). Marque a assíntota com uma linha pontilhada. Se a variável "x" estiver no denominador de uma fração (por exemplo, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), defina o denominador como zero e encontre "x". Nos valores obtidos da variável "x", a função não está definida (no nosso exemplo, desenhe linhas tracejadas por x = 2 e x = -2), porque você não pode dividir por 0. Mas as assíntotas existem não apenas nos casos em que a função contém uma expressão fracionária. Portanto, recomenda-se usar o bom senso:

Construa uma curva dada por equações paramétricas \

Vamos primeiro estudar os gráficos das funções \(x\left(t \right)\) e \(x\left(t \right)\). Ambas as funções são polinômios cúbicos definidos para todo \(x \in \mathbb(R).\) Encontre a derivada \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ direita) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Resolvendo a equação \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definem os pontos estacionários da função \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0, )\;\; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] (t = 1\) a função \(x\left(t \right)\) atinge um máximo igual a \ e no ponto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) tem um mínimo igual a \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\left( (\ frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \frac( 1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Considere a derivada \(y"\left(t \right):\) \[ ( y"\ esquerda(t \direita) = (\esquerda(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \direita)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4 .) \ ] Encontre os pontos estacionários da função \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t ^2) + 4t - 4 = 0,)\;\;(\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\ ;\frac(2) (3).) \] Aqui, similarmente, a função \(y\left(t \right)\) atinge seu máximo no ponto \(t = -2:\) \ e seu mínimo no ponto \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left(( \frac(2)(3)) \righ t)^3) + 2(\left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27 )) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Gráficos de funções \(x\left(t \ direita)\), \(y\left(t \right)\) são mostrados esquematicamente na figura \(15a.\)

Fig.15a		Fig.15b

Fig.15c

Note que desde \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] então a curva \(y\left(x \right)\) não tem vertical, sem assíntotas horizontais. Além disso, uma vez que \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (azul)(t^3)) + \color(vermelho)(2(t^2)) - \cor(verde)(4t) - \cancelar(\cor(azul)(t^3)) - \ cor (vermelho)(t^2) + \color(verde)(t)) \direita) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(vermelho)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] então a curva \(y\left(x \right)\) também não possui assíntotas oblíquas.

Vamos determinar os pontos de interseção do gráfico \(y\left(x \right)\) com os eixos coordenados. A interseção com o eixo x ocorre nos seguintes pontos: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Rightarrow (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

\ \[ (x\left(((t_2)) \right) = x\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ^3) + (\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right)^2) - \left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \approx 20,18;) \] \[ (x\left(((t_3)) \right) = x\left(( - 1 + \ sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^3) + (\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^2) - \ left( ( - 1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \direita) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2.18. ) \] Em da mesma forma, encontramos os pontos de interseção do gráfico com o eixo y: \[ (x\left(t \right) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\; \; (\Rightarrow t\left(((t^2) + t - 1) \right) = 0;) \]

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Seta para a direita (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)

\ \[ (y\left(((t_2)) \right) = y\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left((\ frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^2) - 4\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 + 3\sqrt 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \cancel(2) - \cancel(\sqrt 5) + 3 + \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \approx 7,47 ;) \] \[ (y\left(((t_3)) \right) = y\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ((\left (( \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ^2 ) - 4\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 - \sqrt 5 ) \right ) ) = ( - \cancel(2) + \cancel(\sqrt 5) + 3 - \cancel(\sqrt 5) + \cancel(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \approx - 1,47 .) \] Divide o eixo \(t\) em \(5\) intervalos: \[ (\left(( - \infty , - 2) \right),)\;\; (\esquerda(( - 2, - 1) \direita),)\;\; (\esquerda(( - 1,\frac(1)(3)) \direita),)\;\; (\left((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \right),)\;\; (\left((\frac(2)(3), + \infty ) \right).) \] No primeiro intervalo \(\left(( - \infty , - 2) \right)\) os valores ​​\(x \) e \(y\) aumentam de \(-\infty\) para \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) e \(y\left(( - 2 ) \right) = 8.\) Isso é mostrado esquematicamente na figura \(15b.\)

No segundo intervalo \(\left(( - 2, - 1) \right)\) a variável \(x\) aumenta de \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) para \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) e a variável \(y\) diminui de \(y\left(( - 2) \right) = 8\) para \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Aqui temos uma seção da curva decrescente \(y\left(x \right).\) Ela intercepta o eixo y no ponto \(\left(( 0,3 + 2\sqrt 5 ) \right).\)

No terceiro intervalo \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ambas as variáveis ​​diminuem. \(x\) muda de \(x\left(( - 1) \right) = 1\) para \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Consequentemente, \(y\) diminui de \(y\left(( - 1) \right) = 5\) para \(y\ left( (\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Curva \(y\left(x \right)\ ) intercepta a origem das coordenadas.

No quarto intervalo \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) a variável \(x\) aumenta de \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) para \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) e a variável \(y\) diminui de \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) para \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Nesta seção, a curva \(y\left(x \right)\) intercepta o eixo y no ponto \(\left( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)

Finalmente, no último intervalo \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) ambas as funções \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) aumenta. A curva \(y\left(x \right)\) intercepta o eixo x no ponto \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2,18.\)

Para refinar a forma da curva \(y\left(x \right)\), calculamos os pontos máximo e mínimo. A derivada \(y"\left(x \right)\) é expressa como \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ direita)))((\cancela(3)\esquerda((t + 1) \direita)\esquerda((t - \frac(1)(3)) \direita))) ) = (\frac(( \ esquerda((t + 2) \direita)\esquerda((t - \frac(2)(3)) \direita)))((\esquerda((t + 1) \direita)\esquerda((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] A mudança no sinal da derivada \(y"\left(x \right)\) é mostrada na figura \(15c.\) Pode-se ver que no ponto \(t = - 2,\), ou seja, no limite dos \(I\)th e \(II\)th intervalos, a curva tem um máximo, e para \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (no limite \(IV\) th e \(V\)th intervalos) há um mínimo. Ao passar pelo ponto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) a derivada também muda de sinal de mais para menos, mas nessa região a curva \(y\left(x \right)\ ) não é uma função inequívoca. Portanto, o ponto indicado não é um extremo.

Também investigamos a convexidade dessa curva. segunda derivada\(y""\left(x \right)\) tem a forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \direita))"_t)))(((x"_t))) = \frac(((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ direita ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \direita)\esquerda((6t + 2) \direita)))((((\esquerda((3(t^2) + 2t - 1) \direita))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \direita)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \direita))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(marrom) ( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon) ( 8)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(verde)(18t) + \color(marrom)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \ frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \direita))^3))). \] Consequentemente, a segunda derivada muda de sinal para o oposto ao passar pelos seguintes pontos (Fig.\(15c\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \direita ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\esquerda((\frac(1)(3)) \direita) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt(105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40,8.) \] Portanto, esses pontos são pontos de inflexão da curva \(y\left (x \à direita).\)

Um gráfico esquemático da curva \(y\left(x \right)\) é mostrado acima na figura \(15b.\)

Como construir uma parábola? Existem várias maneiras de representar graficamente uma função quadrática. Cada um deles tem seus prós e contras. Vamos considerar duas maneiras.

Vamos começar plotando uma função quadrática como y=x²+bx+c e y= -x²+bx+c.

Exemplo.

Plote a função y=x²+2x-3.

Solução:

y=x²+2x-3 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para cima. Coordenadas do vértice da parábola

A partir do vértice (-1;-4) construímos um gráfico da parábola y=x² (a partir da origem. Em vez de (0;0) - o vértice (-1;-4). De (-1;- 4) vamos para a direita em 1 unidade e para cima em 1, depois para a esquerda em 1 e para cima em 1, então: 2 - direita, 4 - para cima, 2 - esquerda, 4 - para cima, 3 - direita, 9 - para cima, 3 - esquerda, 9 - para cima, esses 7 pontos não são suficientes, então - 4 para a direita, 16 - para cima, etc.).

O gráfico da função quadrática y= -x²+bx+c é uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo. Para construir um gráfico, procuramos as coordenadas do vértice e a partir delas construímos uma parábola y= -x².

Exemplo.

Plote a função y= -x²+2x+8.

Solução:

y= -x²+2x+8 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

Do topo construímos uma parábola y = -x² (1 - direita, 1 - baixo; 1 - esquerda, 1 - baixo; 2 - direita, 4 - baixo; 2 - esquerda, 4 - baixo, etc.):

Este método permite construir uma parábola rapidamente e não causa dificuldades se você souber plotar as funções y=x² e y= -x². Desvantagem: se as coordenadas do vértice forem números fracionários, a plotagem não é muito conveniente. Se você quiser saber os valores exatos dos pontos de interseção do gráfico com o eixo x, terá que resolver adicionalmente a equação x² + bx + c = 0 (ou -x² + bx + c = 0), mesmo que esses pontos possam ser determinados diretamente a partir da figura.

Outra forma de construir uma parábola é por pontos, ou seja, você pode encontrar vários pontos no gráfico e traçar uma parábola através deles (levando em conta que a reta x=xₒ é o seu eixo de simetria). Normalmente, para isso, eles pegam o topo da parábola, os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados e 1-2 pontos adicionais.

Plote a função y=x²+5x+4.

Solução:

y=x²+5x+4 é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para cima. Coordenadas do vértice da parábola

ou seja, o topo da parábola é o ponto (-2,5; -2,25).

Estão procurando. No ponto de interseção com o eixo Ox y=0: x²+5x+4=0. As raízes da equação quadrática x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, ou seja, receberam dois pontos no gráfico (-1; 0) e (-4; 0).

No ponto de interseção do gráfico com o eixo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Obteve um ponto (0; 4).

Para refinar o gráfico, você pode encontrar um ponto adicional. Vamos tomar x=1, então y=1²+5∙1+4=10, ou seja, mais um ponto do gráfico - (1; 10). Marcamos esses pontos no plano coordenado. Levando em consideração a simetria da parábola em relação à reta que passa por seu vértice, marcamos mais dois pontos: (-5; 6) e (-6; 10) e traçamos uma parábola através deles:

Plote a função y= -x²-3x.

Solução:

y= -x²-3x é uma função quadrática. O gráfico é uma parábola com ramos para baixo. Coordenadas do vértice da parábola

O topo (-1,5; 2,25) é o primeiro ponto da parábola.

Nos pontos de interseção do gráfico com o eixo x y=0, ou seja, resolvemos a equação -x²-3x=0. Suas raízes são x=0 e x=-3, ou seja, (0; 0) e (-3; 0) são mais dois pontos no gráfico. O ponto (o; 0) é também o ponto de interseção da parábola com o eixo y.

Em x=1 y=-1²-3∙1=-4, ou seja, (1; -4) é um ponto adicional para plotagem.

Construir uma parábola a partir de pontos é um método mais demorado em comparação com o primeiro. Se a parábola não interceptar o eixo Ox, serão necessários mais pontos adicionais.

Antes de continuar a construção de gráficos de funções quadráticas da forma y=ax²+bx+c, considere a construção de gráficos de funções usando transformações geométricas. Gráficos de funções na forma y=x²+c também são mais convenientes de construir usando uma dessas transformações - tradução paralela.

Rubrica: |

Planeje a construção de uma função quadrática.

1. Domínio da função (D(y)).

2. O gráfico desta função é uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima (para baixo), porque a = __ > 0 (a = __< 0).

3. Coordenadas do topo da parábola.

4. Equação do eixo de simetria.

5. Ponto de interseção do gráfico com o eixoOY.

6. Zeros de função.

7. Tabela de valores de funções.

8. Gráfico.

Um exemplo de plotagem de um gráfico de função y = x 2 – 4 x + 3

1. D(y) = (- ∞; + ∞).

2. O gráfico desta função é uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima, desde a \u003d 1\u003e 0.

3. Coordenadas do vértice da parábola:

x 0 = - , y 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1.

4. Equação do eixo de simetriax = 2.

5. Ponto de interseção com o eixoOY (0; 3).

6. Zeros de função:

x 2 – 4 x + 3 = 0 D = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

x 1 = = 1 x 2 = = 3

7. Vamos fazer uma tabela de valores de função:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Vamos construir um gráfico

Propriedades da função:

1. O conjunto de valores de função (E (y)).

2. Intervalos de constância da função (y>0, y<0).

3. Intervalos de monotonicidade da função (aumentos, decréscimos).

4. Pontos de máximo e mínimo da função.

Propriedades da Função y = x 2 – 4 x + 3.

1. E (y) = [-1; + ∞).

2. y < 0, при x (1; 3).