Volume de figuras diferentes. Fórmulas para encontrar o volume de um paralelepípedo

Revisão geral. Fórmulas de estereometria!

Ola queridos amigos! Neste artigo resolvi fazer um panorama geral dos problemas de estereometria que estarão em Exame Estadual Unificado em Matemática e.Deve ser dito que as tarefas deste grupo são bastante variadas, mas não difíceis. São problemas para encontrar quantidades geométricas: comprimentos, ângulos, áreas, volumes.

Considerados: cubo, cubóide, prisma, pirâmide, poliedro composto, cilindro, cone, bola. O triste é que alguns egressos nem sequer enfrentam esses problemas durante o exame em si, embora mais de 50% deles sejam resolvidos de forma simples, quase oral.

O restante exige pouco esforço, conhecimento e técnicas especiais. Em artigos futuros consideraremos essas tarefas, não perca, assine as atualizações do blog.

Para resolver você precisa saber fórmulas para áreas de superfície e volumes paralelepípedo, pirâmide, prisma, cilindro, cone e esfera. Não existem problemas difíceis, todos se resolvem em 2-3 passos, é importante “ver” qual fórmula precisa ser aplicada.

Todas as fórmulas necessárias são apresentadas abaixo:

Bola ou esfera. Uma superfície esférica ou esférica (às vezes simplesmente uma esfera) é o local geométrico de pontos no espaço equidistantes de um ponto - o centro da bola.

Volume da bola igual ao volume de uma pirâmide cuja base tem a mesma área da superfície da bola, e a altura é o raio da bola

O volume da esfera é uma vez e meia menor que o volume do cilindro circunscrito ao seu redor.

Um cone circular pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos, razão pela qual um cone circular também é chamado de cone de revolução. Veja também Área de superfície de um cone circular

Volume de um cone redondo igual a um terço do produto da área da base S e da altura H:

(H é a altura da borda do cubo)

Um paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo. O paralelepípedo tem seis faces e todas são paralelogramos. Um paralelepípedo cujas quatro faces laterais são retângulos é chamado de paralelepípedo reto. Um paralelepípedo reto cujas seis faces são todas retângulos é denominado retangular.

Volume de um paralelepípedo retangular igual ao produto da área da base pela altura:

(S é a área da base da pirâmide, h é a altura da pirâmide)

Uma pirâmide é um poliedro que tem uma face - a base da pirâmide - um polígono arbitrário, e as demais - faces laterais - triângulos com um vértice comum, chamado de topo da pirâmide.

Uma seção paralela à base da pirâmide divide a pirâmide em duas partes. A parte da pirâmide entre sua base e esta seção é uma pirâmide truncada.

Volume de uma pirâmide truncada igual a um terço do produto da altura h(SO) pela soma das áreas da base superior S1 (abcde), base inferior de uma pirâmide truncada S2 (ABCDE) e a média proporcional entre eles.

1.

V=

n - o número de lados de um polígono regular - a base de uma pirâmide regular
a - lado de um polígono regular - a base de uma pirâmide regular
h - altura de uma pirâmide regular

Uma pirâmide triangular regular é um poliedro que tem uma face - a base da pirâmide - um triângulo regular, e o resto - as faces laterais - triângulos iguais com um vértice comum. A altura desce até o centro da base a partir do topo.

Volume de uma pirâmide triangular regular igual a um terço do produto da área de um triângulo regular, que é a base S (ABC) para a altura h(SO)

a - lado de um triângulo regular - base de uma pirâmide triangular regular
h - altura de uma pirâmide triangular regular

Derivação da fórmula do volume de um tetraedro

O volume de um tetraedro é calculado usando a fórmula clássica do volume de uma pirâmide. Você precisa substituir nele a altura do tetraedro e a área de um triângulo regular (equilátero).

Volume de um tetraedro- é igual à fração em cujo numerador a raiz quadrada de dois no denominador é doze, multiplicada pelo cubo do comprimento da aresta do tetraedro

(h é o comprimento do lado do losango)

Circunferência p tem aproximadamente três inteiros e um sétimo do comprimento do diâmetro do círculo. A proporção exata entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é indicada pela letra grega π

Como resultado, o perímetro do círculo ou circunferência é calculado pela fórmula

π rn

(r é o raio do arco, n é o ângulo central do arco em graus.)

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Para resolver problemas de geometria, você precisa conhecer fórmulas – como a área de um triângulo ou a área de um paralelogramo – além de técnicas simples que iremos abordar.

Primeiro, vamos aprender as fórmulas das áreas das figuras. Nós os reunimos especialmente em uma mesa conveniente. Imprima, aprenda e aplique!

É claro que nem todas as fórmulas geométricas estão em nossa tabela. Por exemplo, para resolver problemas de geometria e estereometria na segunda parte do perfil do Exame Estadual Unificado em matemática, são utilizadas outras fórmulas para a área de um triângulo. Com certeza iremos falar sobre eles.

Mas e se você precisar encontrar não a área de um trapézio ou triângulo, mas a área de alguma figura complexa? Existem maneiras universais! Iremos mostrá-los usando exemplos do banco de tarefas FIPI.

1. Como encontrar a área de uma figura fora do padrão? Por exemplo, um quadrilátero arbitrário? Uma técnica simples - vamos dividir esta figura naquelas sobre as quais sabemos tudo e encontrar sua área - como a soma das áreas dessas figuras.

Divida este quadrilátero com uma linha horizontal em dois triângulos com base comum igual a . As alturas desses triângulos são iguais a e . Então a área do quadrilátero é igual à soma das áreas dos dois triângulos: .

Responder: .

2. Em alguns casos, a área de uma figura pode ser representada como a diferença de algumas áreas.

Não é tão fácil calcular a que são iguais a base e a altura deste triângulo! Mas podemos dizer que sua área é igual à diferença entre as áreas de um quadrado com lado e três triângulos retângulos. Você os vê na foto? Nós temos: .

Responder: .

3. Às vezes, em uma tarefa, você precisa encontrar a área não da figura inteira, mas de parte dela. Normalmente estamos falando da área de um setor - parte de um círculo Encontre a área de um setor de um círculo de raio cujo comprimento de arco é igual a .

Nesta foto vemos parte de um círculo. A área de todo o círculo é igual a . Resta descobrir qual parte do círculo está representada. Como o comprimento de todo o círculo é igual (desde), e o comprimento do arco de um determinado setor é igual, portanto, o comprimento do arco é um fator menor que o comprimento de todo o círculo. O ângulo no qual esse arco repousa também é um fator menor que um círculo completo (ou seja, graus). Isso significa que a área do setor será várias vezes menor que a área de todo o círculo.

Meça todas as distâncias necessárias em metros. O volume de muitas figuras tridimensionais pode ser facilmente calculado usando fórmulas apropriadas. Porém, todos os valores substituídos nas fórmulas devem ser medidos em metros. Portanto, antes de inserir valores na fórmula, certifique-se de que todos eles sejam medidos em metros ou de que você tenha convertido outras unidades de medida em metros.

• 1mm = 0,001m
• 1cm = 0,01m
• 1km = 1000m

Para calcular o volume de figuras retangulares (cuboide, cubo), use a fórmula: volume = L × L × H(comprimento vezes largura vezes altura). Esta fórmula pode ser considerada como o produto da área superficial de uma das faces da figura e da aresta perpendicular a esta face.

• Por exemplo, vamos calcular o volume de uma sala com 4 m de comprimento, 3 m de largura e 2,5 m de altura. Para isso, basta multiplicar o comprimento pela largura e pela altura:
  • 4 × 3 × 2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. O volume desta sala é 30m3.
• Um cubo é uma figura tridimensional com todos os lados iguais. Assim, a fórmula para calcular o volume de um cubo pode ser escrita como: volume = L 3 (ou W 3, ou H 3).

Para calcular o volume das figuras em forma de cilindro, use a fórmula: pi× R 2 × H. O cálculo do volume de um cilindro se resume a multiplicar a área da base circular pela altura (ou comprimento) do cilindro. Encontre a área da base circular multiplicando pi (3.14) pelo quadrado do raio do círculo (R) (o raio é a distância do centro do círculo a qualquer ponto neste círculo). Depois multiplique o resultado pela altura do cilindro (H) e você encontrará o volume do cilindro. Todos os valores são medidos em metros.

• Por exemplo, vamos calcular o volume de um poço com diâmetro de 1,5 m e profundidade de 10 m. Divida o diâmetro por 2 para obter o raio: 1,5/2 = 0,75 m.
  • (3,14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. O volume do poço é 17,66m3.

Para calcular o volume de uma bola, use a fórmula: 4/3 x pi×R3. Ou seja, você só precisa saber o raio (R) da bola.

• Por exemplo, vamos calcular o volume de um balão com diâmetro de 10 m. Divida o diâmetro por 2 para obter o raio: 10/2 = 5 m.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3,14) × 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523,6. O volume do balão é 523,6m3.

Para calcular o volume das figuras em forma de cone, use a fórmula: 1/3 x pi× R 2 × H. O volume de um cone é igual a 1/3 do volume de um cilindro, que tem a mesma altura e raio.

• Por exemplo, vamos calcular o volume de uma casquinha de sorvete com raio de 3 cm e altura de 15 cm, convertendo para metros, obtemos: 0,03 m e 0,15 m, respectivamente.
  • 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
  • = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
  • = 1/3 × 0,0004239
  • = 0,000141. O volume de uma casquinha de sorvete é 0,000141m3.

Para calcular o volume de formas irregulares, use diversas fórmulas. Para fazer isso, tente dividir a figura em várias figuras com o formato correto. Em seguida, encontre o volume de cada figura e some os resultados.

• Por exemplo, vamos calcular o volume de um pequeno celeiro. O armazém tem um corpo cilíndrico com 12 m de altura e um raio de 1,5 m. O armazém também tem uma cobertura cónica com 1 m de altura. Calculando separadamente o volume da cobertura e o volume do corpo separadamente. podemos encontrar o volume total do celeiro:
  • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
  • (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 x (3,14) × 1,5 2 × 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87,178. O volume do celeiro é igual a 87,178m3.