Solução. Resolvemos ∆ ASC retangular: sen A=, BH=12, portanto AB=13,AK=5 (triplo pitagórico 5,12,13). Resolva ∆ BCH retangular: BH =12, sen C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pitagórico triplo 3,4,5). O raio é encontrado pela fórmula r === 4. Resposta.4.

2.4. Triplos pitagóricos em trigonometria

A principal identidade trigonométrica é um caso especial do teorema de Pitágoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Portanto, algumas tarefas trigonométricas são facilmente resolvidas oralmente usando triplos pitagóricos.

Problemas nos quais é necessário encontrar os valores de outras funções trigonométricas a partir de um determinado valor de uma função podem ser resolvidos sem elevar ao quadrado e extrair uma raiz quadrada. Todas as tarefas desse tipo no livro escolar de álgebra (10-11) Mordkovich (nº 000-nº 000) podem ser resolvidas oralmente, conhecendo apenas alguns triplos pitagóricos: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Vamos considerar as soluções de duas tarefas.

nº 000 a). sen t = 4/5, π/2< t < π.

Solução. Triplo pitagórico: 3, 4, 5. Portanto, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

nº 000 b). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Solução. tg t \u003d 2,4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Triplo pitagórico 5,12,13. Dados os sinais, obtemos sen t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Controle e medição de materiais do exame

a) cos (arco sen 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) sin (arco 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arco 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) verifique a validade da igualdade:

arco sen 4/5 + arco sen 5/13 + arco sen 16/65 = π/2.

Solução. arco sen 4/5 + arco sen 5/13 + arco sen 16/65 = π/2

arco sen 4/5 + arco sen 5/13 = π/2 - arco sen 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Conclusão

Em problemas geométricos, muitas vezes é preciso resolver triângulos retângulos, às vezes várias vezes. Depois de analisar as tarefas dos livros escolares e dos materiais de USE, podemos concluir que são utilizados principalmente trigêmeos: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; que são fáceis de lembrar. Ao resolver algumas tarefas trigonométricas, a solução clássica usando fórmulas trigonométricas e um grande número de cálculos leva tempo, e o conhecimento dos triplos pitagóricos eliminará erros nos cálculos e economizará tempo para resolver problemas mais difíceis no exame.

lista bibliográfica

1. A álgebra e os primórdios da análise. 10-11 graus. Em 2 horas Parte 2. Um livro de tarefas para instituições de ensino / [e outros]; ed. . - 8ª ed., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : doente.

2. Álgebra de Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovsky: Proc. Para 7-9 células. com um profundo o estudo da matemática educação geral. escola do russo lang. aprendizagem, - 3ª ed. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: il.

4. Matemática: Leitor sobre história, metodologia, didática. / Comp. . - M.: Editora URAO, 2001. - 384 p.

5. Revista "Matemática na Escola" nº 1, 1965.

6. Controle e medição de materiais do exame.

7. Geometria, 7-9: Proc. para instituições de ensino /, etc. - 13ª ed. - M.: Educação, 2003. – 384 p. : doente.

8. Geometria: Proc. para 10-11 células. média escola /, etc. - 2ª ed. - M.: Educação, 1993, - 207 p.: ill.

Álgebra de Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 p.

Revista "Matemática na Escola" nº 1, 1965.

Geometria, 7-9: Proc. para instituições de ensino /, etc. - 13ª ed. - M.: Educação, 2003. – 384 p. : doente.

Roganovsky: Proc. Para 7-9 células. com um profundo o estudo da matemática educação geral. escola do russo lang. aprendizagem, - 3ª ed. - Mn.; Nar. Asveta, 2000. - 574 p.: il.

Álgebra e os primórdios da análise. 10-11 graus. Em 2 horas Parte 2. Um livro de tarefas para instituições de ensino / [e outros]; ed. . - 8ª ed., Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 p. : il., p.18.

Um exemplo importante de uma equação diofantina é dado pelo teorema de Pitágoras, que relaciona os comprimentos x e y dos catetos de um triângulo retângulo com o comprimento z de sua hipotenusa:

Claro, você encontrou uma das soluções maravilhosas desta equação em números naturais, ou seja, o triplo pitagórico de números x=3, y=4, z=5. Existem outros trigêmeos?

Acontece que existem infinitos triplos pitagóricos, e todos eles foram encontrados há muito tempo. Eles podem ser obtidos por fórmulas conhecidas, sobre as quais você aprenderá neste parágrafo.

Se as equações diofantinas de primeiro e segundo graus já foram resolvidas, a questão de resolver equações de graus superiores ainda permanece em aberto, apesar dos esforços dos principais matemáticos. Atualmente, por exemplo, a famosa conjectura de Fermat de que para qualquer valor inteiro n2 a equação

não tem soluções em números inteiros.

Para resolver certos tipos de equações diofantinas, os chamados números complexos. O que é isso? Deixe a letra i denotar algum objeto que satisfaça a condição eu 2 \u003d -1(é claro que nenhum número real satisfaz esta condição). Considere expressões da forma α+iβ, onde α e β são números reais. Tais expressões serão chamadas de números complexos, tendo definidas as operações de adição e multiplicação sobre eles, bem como sobre binômios, mas com a única diferença que a expressão eu 2 em todos os lugares vamos substituir o número -1:

7.1. Muitos dos três

Prove que se x0, y0, z0- triplo pitagórico, depois triplica y 0 , x 0 , z 0 e x 0 k, y 0 k, z 0 k para qualquer valor do parâmetro natural k também são pitagóricos.

7.2. Fórmulas privadas

Verifique se para quaisquer valores naturais m>n trindade da forma

é pitagórico. É algum triplo pitagórico x, y, z pode ser representado desta forma, se você permitir reorganizar os números x e y no triplo?

7.3. Trigêmeos irredutíveis

Um triplo pitagórico de números que não têm um divisor comum maior que 1 será chamado de irredutível. Prove que um triplo pitagórico é irredutível apenas se quaisquer dois dos números do triplo forem primos entre si.

7.4. Propriedade dos triplos irredutíveis

Prove que em qualquer triplo pitagórico irredutível x, y, z, o número z e exatamente um dos números x ou y são ímpares.

7.5. Todos os triplos irredutíveis

Prove que um triplo dos números x, y, z é um triplo pitagórico irredutível se e somente se ele coincide com o triplo até a ordem dos dois primeiros números 2mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2, Onde m>n- números naturais coprimos de paridade diferente.

7.6. Fórmulas gerais

Prove que todas as soluções da equação

em números naturais são dados até a ordem das incógnitas x e y pelas fórmulas

onde m>n ek são parâmetros naturais (para evitar a duplicação de quaisquer triplos, basta escolher números do tipo coprimo e, além disso, de paridade diferente).

7.7. primeiros 10 trigêmeos

Encontre todos os triplos pitagóricos x, y, z satisfazendo a condição x

7.8. Propriedades dos trigêmeos pitagóricos

Prove que para qualquer tripla pitagórica x, y, z afirmações são verdadeiras:

a) pelo menos um dos números x ou y é múltiplo de 3;

b) pelo menos um dos números x ou y é múltiplo de 4;

c) pelo menos um dos números x, y ou z é múltiplo de 5.

7.9. Aplicação de números complexos

O módulo de um número complexo α + iβ chamado de número não negativo

Verifique isso para quaisquer números complexos α + iβ e γ + iδ propriedade é executada

Usando as propriedades dos números complexos e seus módulos, prove que quaisquer dois inteiros m e n satisfazem a igualdade

ou seja, eles fornecem uma solução para a equação

inteiros (compare com o Problema 7.5).

7.10. Triplos não pitagóricos

Usando as propriedades dos números complexos e seus módulos (consulte o Problema 7.9), encontre fórmulas para quaisquer soluções inteiras da equação:

a) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4.

Soluções

7.1. Se um x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 , então y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 , e para qualquer valor natural de k temos

Q.E.D.

7.2. Das igualdades

concluímos que o triplo indicado no problema satisfaz a equação x 2 + y 2 = z 2 em números naturais. No entanto, nem todo triplo pitagórico x, y, z pode ser representado desta forma; por exemplo, o triplo 9, 12, 15 é pitagórico, mas o número 15 não pode ser representado como a soma dos quadrados de quaisquer dois números naturais m e n.

7.3. Se quaisquer dois números do triplo pitagórico x, y, z tem um divisor comum d, então também será um divisor do terceiro número (portanto, no caso x = x 1 d, y = y 1 d temos z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2, de onde z 2 é divisível por d 2 e z é divisível por d). Portanto, para um triplo pitagórico ser irredutível, é necessário que quaisquer dois dos números do triplo sejam coprimos,

7.4. Observe que um dos números x ou y, digamos x, de um triplo pitagórico irredutível x, y, zé ímpar porque, caso contrário, os números x e y não seriam primos entre si (consulte o problema 7.3). Se o outro número y também for ímpar, então ambos os números

dar um resto de 1 quando dividido por 4, e o número z 2 \u003d x 2 + y 2 dá resto 2 quando dividido por 4, ou seja, é divisível por 2, mas não divisível por 4, o que não pode ser. Assim, o número y deve ser par e, portanto, o número z deve ser ímpar.

7.5. Deixe o pitagórico triplicar x, y, zé irredutível e, para fins de definição, o número x é par, enquanto os números y, z são ímpares (consulte o Problema 7.4). Então

onde estão os números estão inteiros. Vamos provar que os números a e b são primos entre si. De fato, se eles tivessem um divisor comum maior que 1, os números teriam o mesmo divisor z = a + b, y = a - b, ou seja, o triplo não seria irredutível (veja o Problema 7.3). Agora, expandindo os números a e b em produtos de fatores primos, notamos que qualquer fator primo deve ser incluído no produto 4ab = x2 apenas em grau par, e se estiver incluído na expansão do número a, não estará incluído na expansão do número b e vice-versa. Portanto, qualquer fator primo está incluído na expansão do número a ou b separadamente apenas em um grau par, o que significa que esses próprios números são quadrados de números inteiros. Vamos colocar então obtemos as igualdades

além disso, os parâmetros naturais m>n são coprimos (devido à coprimeza dos números a e b) e têm paridade diferente (devido ao número ímpar z \u003d m 2 + n 2).

Sejam agora números naturais m>n de diferentes paridades coprimos. então a troika x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2, de acordo com o Problema 7.2, é pitagórico. Provemos que é irredutível. Para fazer isso, basta verificar se os números y e z não possuem divisores comuns (ver Problema 7.3). Na verdade, esses dois números são ímpares, pois os números de tipo têm paridades diferentes. Se os números y e z tiverem algum divisor comum simples (então deve ser ímpar), então cada um dos números e com eles cada um dos números m e n tem o mesmo divisor, o que contradiz sua simplicidade mútua.

7.6. Em virtude das afirmações formuladas nos Problemas 7.1 e 7.2, essas fórmulas definem apenas triplos pitagóricos. Por outro lado, qualquer triplo pitagórico x, y, z após sua redução pelo máximo divisor comum k, o par de números x e y torna-se irredutível (ver Problema 7.3) e, portanto, pode ser representado até a ordem dos números x e y na forma descrita no Problema 7.5. Portanto, qualquer tripla pitagórica é dada pelas fórmulas indicadas para alguns valores dos parâmetros.

7.7. da desigualdade z e as fórmulas do Problema 7.6, obtemos a estimativa m 2 ou seja m≤5. assumindo m = 2, n = 1 e k = 1, 2, 3, 4, 5, nós ganhamos trigêmeos 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. assumindo m=3, n=2 e k = 1, 2, nós ganhamos trigêmeos 5, 12, 13; 10, 24, 26. assumindo m = 4, n = 1, 3 e k = 1, nós ganhamos trigêmeos 8, 15, 17; 7, 24, 25. Finalmente, assumindo m=5, n=2 e k = 1, nós pegamos três 20, 21, 29.

Um método conveniente e muito preciso usado pelos agrimensores para desenhar linhas perpendiculares no solo é o seguinte. Seja necessário traçar uma perpendicular à linha MN passando pelo ponto A (Fig. 13). Largue de A na direção de AM três vezes a distância a. Em seguida, três nós são amarrados no cordão, cujas distâncias são 4a e 5a. Prendendo os nós extremos nos pontos A e B, puxe o cordão sobre o nó do meio. A corda estará localizada em um triângulo, no qual o ângulo A é reto.

Este método antigo, aparentemente usado há milhares de anos pelos construtores das pirâmides egípcias, baseia-se no fato de que cada triângulo, cujos lados estão relacionados como 3:4:5, de acordo com o conhecido teorema de Pitágoras, é em ângulo reto, pois

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Além dos números 3, 4, 5, existe, como se sabe, um conjunto incontável de inteiros positivos a, b, c, satisfazendo a relação

A 2 + b 2 \u003d c 2.

Eles são chamados de números pitagóricos. De acordo com o teorema de Pitágoras, tais números podem servir como os comprimentos dos lados de algum triângulo retângulo; portanto, a e b são chamados de "pernas" e c é chamado de "hipotenusa".

É claro que se a, b, c é um triplo de números pitagóricos, então pa, pb, pc, onde p é um fator inteiro, são números pitagóricos. Por outro lado, se os números pitagóricos tiverem um fator comum, então, por esse fator comum, você pode reduzi-los todos e, novamente, obter um triplo dos números pitagóricos. Portanto, primeiro estudaremos apenas trios de números pitagóricos coprimos (o restante é obtido a partir deles multiplicando por um fator inteiro p).

Vamos mostrar que em cada uma dessas trincas a, b, c uma das "pernas" deve ser par e a outra ímpar. Vamos argumentar "pelo contrário". Se ambas as "pernas" a e b forem pares, então o número a 2 + b 2 será par e, portanto, a "hipotenusa". Isso, no entanto, contradiz o fato de que os números a, b, c não têm fatores comuns, pois três números pares têm um fator comum de 2. Assim, pelo menos uma das "pernas" a, b é ímpar.

Resta mais uma possibilidade: ambas as "pernas" são ímpares e a "hipotenusa" é par. É fácil provar que isso não pode ser. Com efeito, se as "pernas" tiverem a forma

2x + 1 e 2y + 1,

então a soma de seus quadrados é

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

ou seja, é um número que, quando dividido por 4, dá resto 2. Enquanto isso, o quadrado de qualquer número par deve ser divisível por 4 sem deixar resto. Assim, a soma dos quadrados de dois números ímpares não pode ser o quadrado de um número par; em outras palavras, nossos três números não são pitagóricos.

Assim, das "pernas" a, b, uma é par e a outra é ímpar. Portanto, o número a 2 + b 2 é ímpar, o que significa que a "hipotenusa" c também é ímpar.

Suponha, para fins de definição, que ímpar seja "perna" a, e par b. Da igualdade

a 2 + b 2 = c 2

obtemos facilmente:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b).

Os fatores c + b e c - b no lado direito são coprimos. De fato, se esses números tivessem um fator primo comum diferente de um, a soma também seria divisível por esse fator.

(c + b) + (c - b) = 2c,

e diferença

(c + b) - (c - b) = 2b,

e trabalhar

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

ou seja, os números 2c, 2b e a teriam um fator comum. Como a é ímpar, esse fator é diferente de dois e, portanto, os números a, b, c têm o mesmo fator comum, que, no entanto, não pode ser. A contradição resultante mostra que os números c + b e c - b são primos primos.

Mas se o produto de números primos for um quadrado exato, então cada um deles é um quadrado, ou seja,

Resolvendo este sistema, encontramos:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 e 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d mn.

Assim, os números pitagóricos considerados têm a forma

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2.

onde m e n são alguns números ímpares coprimos. O leitor pode facilmente verificar o contrário: para qualquer tipo ímpar, as fórmulas escritas dão três números pitagóricos a, b, c.

Aqui estão alguns trigêmeos de números pitagóricos obtidos com vários tipos:

Para m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 para m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 para m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 para m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 em m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 em m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 em m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 para m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 para m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 para m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 em m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 em m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 em m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 em m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 em m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 em m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Todos os outros trios de números pitagóricos têm fatores comuns ou contêm números maiores que cem.)

Belotelov V.A. Triplos pitagóricos e seu número // Enciclopédia dos Nesterovs

Este artigo é uma resposta a um professor - um pincher. Olha, professor, como fazem na nossa aldeia.

Região de Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

É necessário o conhecimento do algoritmo de resolução de equações diofantinas (ADDE) e o conhecimento das progressões polinomiais.

SE é um número primo.

MF é um número composto.

Seja um número ímpar N. Para qualquer número ímpar diferente de um, você pode escrever uma equação.

p 2 + N \u003d q 2,

onde р + q = N, q – р = 1.

Por exemplo, para os números 21 e 23, as equações seriam, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Se N é primo, esta equação é única. Se o número N for composto, então é possível compor equações semelhantes para o número de pares de fatores que representam esse número, incluindo 1 x N.

Vamos pegar o número N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Sonhei, mas é possível, apegando-se a essa diferença entre o IF e o MF, encontrar um método para sua identificação.

Vamos introduzir a notação;

Vamos mudar a equação inferior, -

N \u003d em 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Agrupemos os valores de N de acordo com o critério em -a, ou seja vamos fazer uma mesa.

Os números N foram resumidos em uma matriz, -

Foi para essa tarefa que tive que lidar com as progressões de polinômios e suas matrizes. Tudo acabou sendo em vão - as defesas do PCh são mantidas com força. Vamos inserir uma coluna na tabela 1, onde in - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

De novo. A Tabela 2 foi obtida como resultado de uma tentativa de resolver o problema de identificação do FI e do MF. Segue-se da tabela que, para qualquer número N, existem tantas equações da forma a 2 + N \u003d em 2, em quantos pares de fatores o número N pode ser dividido, incluindo o fator 1 x N. Além disso aos números N \u003d ℓ 2, onde

ℓ - FC. Para N = ℓ 2 , onde ℓ é IF, existe uma única equação p 2 + N = q 2 . De que prova adicional podemos falar se a tabela listar fatores menores de pares de fatores formando N, de um a ∞. Colocaremos a Mesa 2 em um baú e esconderemos o baú em um armário.

Voltemos ao tópico indicado no título do artigo.

Este artigo é uma resposta a um professor - um pincher.

Pedi ajuda - precisava de uma série de números que não encontrei na Internet. Deparei-me com perguntas como, - "para quê?", "Mas mostre-me o método." Em particular, havia uma questão de saber se a série de triplos pitagóricos é infinita, "como provar isso?". Ele não me ajudou. Olha, professor, como fazem na nossa aldeia.

Vamos pegar a fórmula dos triplos pitagóricos, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Vamos passar por ARDU.

Três situações são possíveis:

I. x é um número ímpar,

y é um número par

z é um número par.

E existe uma condição x > y > z.

II. x é um número ímpar

y é um número par

z é um número ímpar.

x > z > y.

III.x - um número par,

y é um número ímpar

z é um número ímpar.

x > y > z.

Vamos começar com eu.

Vamos introduzir novas variáveis

Substitua na equação (1).

Cancelemos pela variável menor 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Vamos reduzir a variável 2β – 2γ por um menor com a introdução simultânea de um novo parâmetro ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Então, 2α - 2β = x - y - 1.

A equação (2) terá a forma, -

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Vamos esquadrá-lo -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

O ARDU dá através dos parâmetros a relação entre os termos seniores da equação, então temos a equação (3).

Não é sólido lidar com a seleção de soluções. Mas, em primeiro lugar, não há para onde ir e, em segundo lugar, várias dessas soluções são necessárias e podemos restaurar um número infinito de soluções.

Para ƒ = 1, k = 1, temos x – y = 1.

Com ƒ = 12, k = 16, temos x - y = 9.

Com ƒ = 4, k = 32, temos x - y = 25.

Você pode pegá-lo por um longo tempo, mas no final a série assumirá a forma -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Considere a opção II.

Vamos introduzir novas variáveis ​​na equação (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Reduzimos por uma variável menor 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Vamos reduzir pela variável menor 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (quatro)

2α - 2γ = x - z e substitua na equação (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Com ƒ = 3, k = 4, temos x - z = 2.

Com ƒ = 8, k = 14, temos x - z = 8.

Com ƒ = 3, k = 24, temos x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Vamos desenhar um trapézio -

Vamos escrever uma fórmula.

onde n=1, 2,...∞.

O caso III não será descrito - não há soluções para ele.

Para a condição II, o conjunto de triplos será o seguinte:

A equação (1) é apresentada como x 2 = z 2 + y 2 para maior clareza.

Para a condição I, o conjunto dos triplos será o seguinte:

No total, são pintadas 9 colunas de triplos, cinco triplos em cada. E cada uma das colunas apresentadas pode ser escrita até ∞.

Como exemplo, considere os triplos da última coluna, onde x - y \u003d 81.

Para os valores de x, escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula

Para os valores de escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula

Para os valores de z, escrevemos um trapézio, -

Vamos escrever a fórmula

Onde n = 1 ÷ ∞.

Como prometido, uma série de tripletos com x - y = 81 voa para ∞.

Houve uma tentativa para os casos I e II de construir matrizes para x, y, z.

Escreva as últimas cinco colunas de x das linhas superiores e construa um trapézio.

Não funcionou e o padrão deveria ser quadrático. Para fazer tudo a céu aberto, descobriu-se que era necessário combinar as colunas I e II.

No caso II, as grandezas y, z são novamente trocadas.

Conseguimos mesclar por um motivo - as cartas se encaixam bem nessa tarefa - tivemos sorte.

Agora você pode escrever matrizes para x, y, z.

Vamos pegar nas últimas cinco colunas do valor x das linhas superiores e construir um trapézio.

Está tudo bem, você pode construir matrizes e vamos começar com uma matriz para z.

Corro até o armário para pegar um baú.

Total: Além de um, cada número ímpar do eixo numérico participa da formação dos triplos pitagóricos por igual número de pares de fatores que formam esse número N, incluindo o fator 1 x N.

O número N \u003d ℓ 2, onde ℓ - SE, forma um triplo pitagórico, se ℓ é MF, então não há triplo nos fatores ℓхℓ.

Vamos construir matrizes para x, y.

Vamos começar com a matriz para x. Para fazer isso, vamos puxar a grade de coordenadas do problema de identificação do IF e MF.

A numeração das linhas verticais é normalizada pela expressão

Vamos remover a primeira coluna, porque

A matriz terá a forma -

Vamos descrever as linhas verticais, -

Vamos descrever os coeficientes em "a", -

Vamos descrever os membros gratuitos, -

Vamos fazer uma fórmula geral para "x", -

Se fizermos um trabalho semelhante para "y", obteremos -

Você pode abordar esse resultado do outro lado.

Vamos pegar a equação,

e 2 + N = em 2 .

Vamos mudar um pouco -

N \u003d em 2 - a 2.

Vamos esquadrá-lo -

N 2 \u003d em 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Aos lados esquerdo e direito da equação, adicione em magnitude 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d em 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

E finalmente -

(em 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Os triplos pitagóricos são compostos da seguinte forma:

Considere um exemplo com o número N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

As colunas verticais da Tabela 2 são numeradas com valores em - a, enquanto as colunas verticais da Tabela 3 são numeradas com valores x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Vamos fazer três equações.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Os fatores 3 e 39 não são números relativamente primos, então um triplo resultou em um fator de 9.

Vamos representar o acima escrito em símbolos gerais, -

Neste trabalho, tudo, inclusive um exemplo de cálculo de triplos pitagóricos com o número

N = 117, vinculado ao menor fator em - a. Discriminação explícita em relação ao fator em + a. Vamos corrigir essa injustiça - vamos compor três equações com fator em + a.

Voltemos à questão da identificação de IF e MF.

Muitas coisas foram feitas nesse sentido, e hoje veio pelas mãos o seguinte pensamento - não existe equação de identificação e não existe tal coisa para determinar os fatores.

Suponha que tenhamos encontrado a relação F = a, b (N).

Existe uma fórmula

Você pode se livrar na fórmula F de in e obter uma equação homogênea do enésimo grau em relação a a, ou seja, F = a(N).

Para qualquer grau n desta equação, existe um número N com m pares de fatores, para m > n.

E como consequência, uma equação homogênea de grau n deve ter m raízes.

Sim, isso não pode ser.

Neste trabalho, os números N foram considerados para a equação x 2 = y 2 + z 2 quando estão na equação no lugar z. Quando N está no lugar de x, esta é outra tarefa.

Atenciosamente, Belotelov V.A.

Beskrovny I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

O objetivo do trabalho é desenvolver métodos e algoritmos para o cálculo de triplos pitagóricos da forma a2+b2=c2. O processo de análise foi realizado de acordo com os princípios de uma abordagem sistemática. Juntamente com os modelos matemáticos, são usados ​​modelos gráficos que exibem cada membro da tripla pitagórica na forma de quadrados compostos, cada um dos quais consiste em um conjunto de quadrados unitários. Foi estabelecido que um conjunto infinito de triplos pitagóricos contém um número infinito de subconjuntos que se distinguem pela diferença entre os valores b–c. É proposto um algoritmo para a formação de triplos pitagóricos com qualquer valor predeterminado dessa diferença. É mostrado que existem triplos pitagóricos para qualquer valor 3≤a

trigêmeos pitagóricos

análise de sistema

modelo matemático

modelo gráfico

1. Anosov D.N. Um olhar sobre a matemática e algo dela. - M.: MTSNMO, 2003. - 24 p.: il.

2. Ayerland K., Rosen M. Introdução clássica à moderna teoria dos números. – M.: Mir, 1987.

3. Beskrovny I.M. Análise de Sistemas e Tecnologia da Informação nas Organizações: Livro Didático. - M.: RUDN, 2012. - 392 p.

4. Simon Singh. Último Teorema de Fermat.

5. Ferma P. Estudos em Teoria dos Números e Análise Diofantina. – M.: Nauka, 1992.

6. Yaptro. Ucoz, Disponível em: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Os triplos pitagóricos são um grupo de três inteiros que satisfazem a relação pitagórica x2 + y2 = z2. De um modo geral, este é um caso especial de equações diofantinas, ou seja, sistemas de equações em que o número de incógnitas é maior que o número de equações. Eles são conhecidos há muito tempo, desde a época da Babilônia, ou seja, muito antes de Pitágoras. E eles adquiriram o nome depois que Pitágoras provou seu famoso teorema com base neles. No entanto, como decorre da análise de inúmeras fontes nas quais a questão dos triplos pitagóricos é abordada de uma forma ou de outra, a questão das classes existentes desses triplos e as possíveis formas de sua formação ainda não foram totalmente divulgadas.

Assim, no livro de Simon Singh, diz: - "Os discípulos e seguidores de Pitágoras... contaram ao mundo o segredo de encontrar os chamados três k pitagóricos." No entanto, a seguir lemos: - “Os pitagóricos sonhavam em encontrar outros triplos pitagóricos, outros quadrados, dos quais seria possível acrescentar um terceiro grande quadrado. …À medida que os números aumentam, os triplos pitagóricos estão se tornando cada vez mais raros e cada vez mais difíceis de encontrar. Os pitagóricos inventaram um método para encontrar tais trigêmeos e, usando-o, provaram que existem infinitos trigêmeos pitagóricos.

Palavras que causam confusão são destacadas na citação. Por que "os pitagóricos sonhavam em encontrar ..." se eles "inventaram um método para encontrar tais triplos ...", e por que para grandes números "torna-se cada vez mais difícil encontrá-los ...".

Na obra do famoso matemático D.V. Anosov, a resposta desejada parece ter sido dada. - “Existem trios de números naturais (isto é, inteiros positivos) x, y, z que

x2 + y2 = z2. (1)

…é possível encontrar todas as soluções da equação x2+y2=z2 em números naturais? …Sim. A resposta é que cada uma dessas soluções pode ser representada como

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

onde l, m, n são números naturais, e m>n, ou em uma forma similar na qual x e y são trocados. Podemos dizer um pouco mais brevemente que x, y, z de (2) com todos os naturais possíveis l e m > n são todas soluções possíveis de (1) até uma permutação de x e y. Por exemplo, o triplo (3, 4, 5) é obtido com l=1, m=2, n=1. ... Aparentemente, os babilônios sabiam essa resposta, mas não se sabe como chegaram a ela.

Normalmente os matemáticos são conhecidos por sua exatidão no rigor de suas formulações. Mas, nesta citação, tal rigor não é observado. Então, o que exatamente: encontrar ou imaginar? Obviamente, são coisas completamente diferentes. Aqui está uma linha de triplos "recém-assados" (obtidos pelo método descrito abaixo):

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Não há dúvida de que cada um desses triplos pode ser representado na forma de relação (2) e então os valores de l, m, n podem ser calculados. Mas, isso é depois que todos os valores dos triplos foram encontrados. Mas e antes disso?

Não se pode descartar que as respostas a essas perguntas sejam conhecidas há muito tempo. Mas, por algum motivo, eles ainda não foram encontrados. Assim, o objetivo deste trabalho é uma análise sistemática da totalidade dos exemplos conhecidos de triplos pitagóricos, a busca de relações formadoras de sistemas em vários grupos de triplos e a identificação de características sistêmicas desses grupos e, em seguida, o desenvolvimento de simples algoritmos eficientes para calcular triplos com uma configuração predeterminada. Por configuração entendemos a relação entre as grandezas que compõem o triplo.

Como kit de ferramentas, será utilizado um aparato matemático em um nível que não vai além do referencial da matemática ensinada no ensino médio, e análise de sistemas com base nos métodos descritos em.

Construção de modelo

Do ponto de vista da análise de sistemas, qualquer tripla pitagórica é um sistema formado por objetos, que são três números e suas propriedades. Sua totalidade, na qual os objetos são colocados em certas relações e formam um sistema com novas propriedades que não são inerentes nem aos objetos individuais nem a qualquer outra de sua totalidade, onde os objetos são colocados em outras relações.

Na equação (1), os objetos do sistema são números naturais relacionados por relações algébricas simples: à esquerda do sinal de igual está a soma de dois números elevado a 2, à direita está o terceiro número, também elevado à potência de 2. Os números individuais, à esquerda da igualdade, sendo elevados à potência de 2, não impõem nenhuma restrição à operação de sua soma - a soma resultante pode ser qualquer coisa. Mas, o sinal de igual colocado após a operação de soma impõe uma restrição de sistema ao valor dessa soma: a soma deve ser um número tal que o resultado da operação de extração da raiz quadrada seja um número natural. E esta condição não é satisfeita para quaisquer números substituídos no lado esquerdo da igualdade. Assim, o sinal de igual colocado entre dois termos da equação e o terceiro transforma o triplo de termos em um sistema. Uma novidade desse sistema é a introdução de restrições nos valores dos números originais.

Com base na forma de escrita, o triplo pitagórico pode ser considerado como um modelo matemático de um sistema geométrico constituído por três quadrados interligados por relações de soma e igualdade, conforme mostra a Fig. 1. Fig. 1 é um modelo gráfico do sistema em consideração, e seu modelo verbal é a declaração:

A área de um quadrado com comprimento de lado c pode ser dividida sem deixar resto em dois quadrados com comprimentos de lado a e b, de modo que a soma de suas áreas seja igual à área do quadrado original, ou seja, todos os três As grandezas a, b e c estão relacionadas pela relação

Modelo gráfico da decomposição de um quadrado

No âmbito dos cânones da análise de sistemas, sabe-se que se um modelo matemático reflete adequadamente as propriedades de um determinado sistema geométrico, a própria análise das propriedades desse sistema nos permite esclarecer as propriedades de seu modelo matemático, para conhecê-los mais profundamente, esclarecê-los e, se necessário, aprimorá-los. Este é o caminho que seguiremos.

Esclareçamos que, de acordo com os princípios da análise de sistemas, as operações de adição e subtração só podem ser realizadas em objetos compostos, ou seja, objetos compostos por um conjunto de objetos elementares. Portanto, perceberemos qualquer quadrado como uma figura formada por um conjunto de quadrados elementares ou unitários. Então a condição para obter uma solução em números naturais é equivalente a aceitar a condição de que o quadrado unitário é indivisível.

Um quadrado unitário é um quadrado cujo comprimento de cada lado é igual a um. Ou seja, quando a área de um quadrado unitário determina a seguinte expressão.

O parâmetro quantitativo de um quadrado é sua área, que é determinada pelo número de quadrados unitários que podem ser colocados em uma determinada área. Para um quadrado com um valor arbitrário de x, a expressão x2 determina a área do quadrado formado por segmentos de comprimento x segmentos unitários. x2 unidades quadradas podem ser colocadas na área deste quadrado.

As definições acima podem ser percebidas como triviais e óbvias, mas não são. DN Anosov define o conceito de área de uma maneira diferente: - “... a área de uma figura é igual à soma das áreas de suas partes. Por que temos certeza de que é assim? ... Imaginamos uma figura feita de algum tipo de material homogêneo, então sua área é proporcional à quantidade de matéria nela contida - sua massa. Entende-se ainda que quando dividimos um corpo em várias partes, a soma de suas massas é igual à massa do corpo original. Isso é compreensível, porque tudo é composto por átomos e moléculas, e como seu número não mudou, sua massa total também não mudou ... Afinal, na verdade, a massa de um pedaço de material homogêneo é proporcional ao seu volume; portanto, você precisa saber que o volume da "folha" que tem a forma de uma determinada figura é proporcional à sua área. Em uma palavra, ... que a área de uma figura é igual à soma das áreas de suas partes, na geometria é preciso provar isso. ... No livro de Kiselev, a existência de uma área que tem a mesma propriedade que estamos discutindo agora foi postulada honestamente como algum tipo de suposição, e foi dito que isso era realmente verdade, mas não vamos provar isso. Assim o teorema de Pitágoras, se for provado com áreas, em um sentido puramente lógico, permanecerá não completamente provado.

Parece-nos que as definições da unidade quadrada introduzidas acima removem o D.N indicado. Anosov incerteza. Afinal, se a área de um quadrado e um retângulo é determinada pela soma dos quadrados unitários que os preenchem, quando o retângulo é dividido em partes adjacentes arbitrárias, a área do retângulo é naturalmente igual ao soma de todas as suas partes.

Além disso, as definições introduzidas removem a incerteza de usar os conceitos "dividir" e "adicionar" em relação a figuras geométricas abstratas. De fato, o que significa dividir um retângulo ou qualquer outra figura plana em partes? Se for uma folha de papel, pode ser cortada com uma tesoura. Se a terra - coloque uma cerca. Quarto - coloque uma partição. E se for um quadrado desenhado? Desenhe uma linha divisória e declare que o quadrado está dividido? Mas, afinal, D.I. Mendeleev: "... Você pode declarar tudo, mas você - vá em frente, demonstre!"

E usando as definições propostas, “Dividir uma figura” significa dividir o número de quadrados unitários que preenchem essa figura em duas (ou mais) partes. O número de unidades quadradas em cada uma dessas partes determina sua área. A configuração dessas partes pode ser arbitrária, mas a soma de suas áreas sempre será igual à área da figura original. Talvez os matemáticos considerem esses argumentos incorretos, então os tomaremos como uma suposição. Se tais suposições são aceitáveis ​​​​no livro de Kiselyov, seria um pecado não usarmos tal técnica.

O primeiro passo na análise do sistema é identificar a situação do problema. No início desta etapa, várias centenas de triplos pitagóricos encontrados em várias fontes foram examinadas. Ao mesmo tempo, chamou-se a atenção para o fato de que todo o conjunto de triplos pitagóricos mencionados nas publicações pode ser dividido em vários grupos que diferem na configuração. Consideraremos a diferença nos comprimentos dos lados dos quadrados originais e subtraídos, ou seja, o valor c-b, como sinal de uma configuração específica. Por exemplo, em publicações, os triplos que satisfazem a condição c-b=1 são frequentemente mostrados como exemplo. Assumimos que todo o conjunto dessas triplas pitagóricas forma um conjunto, que chamaremos de "Classe c-1", e analisaremos as propriedades dessa classe.

Considere os três quadrados mostrados na figura, onde c é o comprimento do lado do quadrado a ser reduzido, b é o comprimento do lado do quadrado a ser subtraído e a é o comprimento do lado do quadrado formado da diferença deles. Na fig. 1 pode-se ver que ao subtrair a área do quadrado subtraído da área do quadrado reduzido, duas bandas de quadrados unitários permanecem no restante:

Para formar um quadrado a partir desse resto, a condição deve ser satisfeita

Essas relações nos permitem determinar os valores de todos os membros da tripla por um único dado número c. O menor número c que satisfaz a relação (6) é c = 5. Assim, foram determinados os comprimentos de todos os três lados dos quadrados que satisfazem a relação (1). Lembre-se de que o valor b do lado do quadrado médio

foi escolhido quando decidimos formar um quadrado do meio reduzindo o lado do quadrado original em um. Então das relações (5), (6). (7) obtemos a seguinte relação:

do que se segue que o valor escolhido c = 5 determina exclusivamente os valores b = 4, a = 3.

Como resultado, são obtidas relações que permitem representar qualquer tripla pitagórica da classe "c - 1" de tal forma, onde os valores de todos os três membros são determinados por um parâmetro especificado - o valor c:

Acrescentamos que o número 5 no exemplo acima apareceu como o mínimo de todos os valores possíveis de c para os quais a equação (6) tem solução em números naturais. O próximo número que tem a mesma propriedade é 13, depois 25, depois 41, 61, 85, etc. Como você pode ver, nesta série de números, os intervalos entre os números adjacentes aumentam rapidamente. Então, por exemplo, depois de um valor válido , o próximo valor válido é , e depois de , o próximo valor válido é , ou seja, o valor válido é mais de cinquenta milhões do anterior!

Agora fica claro de onde saiu essa frase do livro: - “À medida que os números aumentam, os triplos pitagóricos são cada vez menos comuns, e fica cada vez mais difícil encontrá-los ...”. No entanto, esta afirmação não é verdadeira. Basta olhar para os triplos pitagóricos correspondentes aos pares acima de valores vizinhos de c, pois uma característica chama imediatamente a atenção - em ambos os pares, nos quais os valores de c são separados por intervalos tão grandes, o valores de a acabam sendo números ímpares vizinhos. De fato, para o primeiro par temos

e para o segundo par

Portanto, não são os próprios triplos que são "cada vez menos comuns", mas os intervalos entre os valores vizinhos de c estão aumentando. As próprias trincas pitagóricas, como será mostrado abaixo, existem para qualquer número natural.

Agora considere os triplos da próxima classe - "Classe c-2". Como pode ser visto a partir da fig. 1, ao subtrair de um quadrado de lado c um quadrado de lado (c - 2), o resto é a soma de duas bandas unitárias. O valor dessa soma é determinado pela equação:

Da equação (10) obtemos uma relação que define qualquer um do conjunto infinito de triplos classe "c-2":

A condição para a existência de uma solução para a equação (11) em números naturais é qualquer valor c para o qual a é um número natural. O valor mínimo de c para o qual existe uma solução é c = 5. Então, o triplo “inicial” para esta classe de triplos é determinado pelo conjunto a = 4, b = 3, c = 5. Ou seja, novamente, o clássico triplo 3, 4, 5 é formado, só que agora a área do quadrado a ser subtraído é menor que a área do restante.

E, finalmente, vamos analisar os triplos da classe "s-8". Para esta classe de triplos, subtraindo a área do quadrado da área c2 do quadrado original, obtemos:

Então, da equação (12) segue:

O valor mínimo de c para o qual existe a solução é c = 13. O triplo pitagórico nesse valor assumirá a forma 12, 5, 13. Nesse caso, novamente, a área do quadrado a ser subtraído é menor que a área do restante. E reorganizando as designações nos lugares, obtemos o triplo 5, 12, 13, que por sua configuração pertence à classe "c - 1". Parece que uma análise mais aprofundada de outras configurações possíveis não revelará nada fundamentalmente novo.

Derivação de índices calculados

Na seção anterior, a lógica de análise foi desenvolvida de acordo com os requisitos da análise de sistemas em quatro de suas cinco principais etapas: análise da situação-problema, formação de objetivos, formação de funções e formação de estrutura. Agora é hora de passar para a quinta etapa final - o teste de viabilidade, ou seja, o teste de até que ponto os objetivos são alcançados. .

A Tabela 1 é mostrada abaixo. 1, que mostra os valores dos triplos pitagóricos pertencentes à classe "c - 1". A maioria dos triplos é encontrada em várias publicações, mas triplos para valores iguais a 999, 1001 não foram encontrados em publicações conhecidas.

tabela 1

Triplos pitagóricos de classe "c-1"

Pode-se verificar que todos os triplos satisfazem a relação (3). Assim, um dos objetivos traçados foi alcançado. As relações (9), (11), (13) obtidas na seção anterior permitem formar um conjunto infinito de triplos, definindo o único parâmetro c, o lado do quadrado reduzido. Esta, é claro, é uma opção mais construtiva do que a relação (2), para cujo uso deve-se definir arbitrariamente três números l, m, n, tendo qualquer valor, então procurar uma solução, sabendo apenas que no final, um triplo pitagórico certamente será obtido, e qual deles é desconhecido. No nosso caso, a configuração do triplo que está sendo formado é conhecida de antemão e apenas um parâmetro precisa ser definido. Mas, infelizmente, nem todo valor desse parâmetro tem solução. E você precisa saber com antecedência seus valores permitidos. Portanto, o resultado é bom, mas longe do ideal. É desejável obter uma solução tal que os triplos pitagóricos possam ser calculados para qualquer número natural dado arbitrariamente. Para tanto, voltemos à quarta etapa - a formação da estrutura das relações matemáticas obtidas.

Como a escolha do valor c como parâmetro básico para determinar os membros restantes do triplo se mostrou inconveniente, outra opção deve ser tentada. Como pode ser visto na Tabela. 1, a escolha do parâmetro a como base parece ser preferível, uma vez que os valores desse parâmetro são seguidos em uma série de números naturais ímpares. Após transformações simples, trazemos as relações (9) para uma forma mais construtiva:

As relações (14) nos permitem encontrar um triplo pitagórico para qualquer valor ímpar pré-atribuído a. Ao mesmo tempo, a simplicidade da expressão para b permite que você faça cálculos mesmo sem uma calculadora. Com efeito, escolhendo, por exemplo, o número 13, obtemos:

E para o número 99, respectivamente, obtemos:

As relações (15) permitem obter os valores de todos os três termos da string pitagórica para qualquer n dado, partindo de n=1.

Agora considere as triplas pitagóricas da classe "c - 2". Na tabela. 2 mostra dez desses triplos como um exemplo. Além disso, apenas três pares de triplos foram encontrados em publicações conhecidas - 8, 15, 23; 12, 35, 36; e 16, 63, 65. Isso acabou sendo suficiente para determinar os padrões pelos quais eles são formados. Os sete restantes foram encontrados a partir de relações derivadas anteriormente (11). Por conveniência de cálculo, essas razões foram transformadas de modo que todos os parâmetros sejam expressos em termos de a. De (11) segue obviamente que todos os triplos para a classe "c - 2" satisfazem as seguintes relações:

mesa 2

Ternos pitagóricos de classe "c-2"

Como pode ser visto na Tabela. 2, todo o conjunto infinito de triplos da classe "c - 2" pode ser dividido em duas subclasses. Para triplas em que o valor de a é divisível por 4 sem deixar resto, os valores de b e c são ímpares. Esses triplos, para os quais GCD = 1, são chamados de primitivos. Para triplos cujos valores a não são divisíveis por 4 em números inteiros, todos os três membros do triplo a, b, c são pares.

Agora vamos revisar os resultados da análise da terceira das classes selecionadas - a classe "c - 8". As relações calculadas para esta classe, obtidas de (13), têm a forma:

As relações (20), (21) são essencialmente idênticas. A diferença está apenas na escolha da sequência de ações. Ou, de acordo com (20), o valor desejado de a é selecionado (neste caso, esse valor deve ser dividido por 4), então os valores de b e c são determinados. Ou, um número arbitrário é escolhido e, a partir das relações (21), todos os três membros do triplo pitagórico são determinados. Na tabela. 3 mostra uma série de triplos pitagóricos calculados dessa maneira. No entanto, calcular os valores dos triplos pitagóricos é ainda mais fácil. Se pelo menos um valor for conhecido, todos os valores subsequentes serão determinados de forma muito simples pelas seguintes relações:

Tabela 3

A validade da relação (22) para todos pode ser verificada tanto pelos triplos da Tabela. 2, bem como de outras fontes. Como exemplo, na Tabela. 4 triplos em itálico de uma extensa tabela de triplos pitagóricos (10000 triplos) calculados com base em um programa de computador por relação (2) e em negrito - triplos calculados por relação (20). Esses valores não estavam na tabela especificada.

Tabela 4

Triplos pitagóricos de classe "s-8"

Assim, para triplos da forma, as seguintes relações podem ser usadas:

E para trigêmeos da forma<>, temos a razão:

Vale ressaltar que as classes de triplos acima "c - 1", "c - 2", "c - 8" perfazem mais de 90% dos primeiros mil triplos da tabela fornecida. Isso dá motivos para considerar essas classes como base. Acrescentemos que, ao derivar as relações (22), (23), (24), não foram usadas propriedades especiais dos números estudados na teoria dos números (primos, primos primos, etc.). As regularidades reveladas na formação dos triplos pitagóricos devem-se apenas às propriedades do sistema das figuras geométricas descritas por esses triplos - quadrados, constituídos por um conjunto de quadrados unitários.

Conclusão

Agora, como disse Andrew Wiles em 1993, "acho que devo parar por aí". O objetivo traçado foi plenamente alcançado. É mostrado que a análise das propriedades de modelos matemáticos, cuja estrutura está associada a figuras geométricas, é muito simplificada se, no processo de análise, juntamente com cálculos puramente matemáticos, as propriedades geométricas dos modelos em estudo também forem levado em consideração. A simplificação é alcançada, em particular, pelo fato de o pesquisador "ver" os resultados desejados sem realizar transformações matemáticas.

Por exemplo, a igualdade

torna-se evidente sem transformações no seu lado esquerdo, basta olhar para a fig. 1 para um modelo gráfico dessa igualdade.

Como resultado, com base na análise realizada, mostra-se que para qualquer quadrado com um lado, quadrados com lados b e c podem ser encontrados de modo que a igualdade seja válida para eles e sejam obtidas relações que forneçam resultados com uma quantidade mínima de cálculos:

para valores ímpares a,

e - para valores pares.

link bibliográfico

Todos os pitagóricos primitivos triplicam até 200. Números Incríveis do Professor Stewart "Centro Regional de Educação" Desenvolvimento metódico Usando trios pitagóricos na resolução problemas geométricos e tarefas trigonométricas USE Kaluga, 2016 I. Introdução O teorema de Pitágoras é um dos principais e, pode-se até dizer, o mais importante teorema da geometria. Sua importância reside no fato de que a maioria dos teoremas da geometria pode ser deduzida dela ou com sua ajuda. O teorema de Pitágoras também é notável porque em si não é nada óbvio. Por exemplo, as propriedades de um triângulo isósceles podem ser vistas diretamente no desenho. Mas não importa como você olhe para um triângulo retângulo, você nunca verá que existe uma razão tão simples entre seus lados: a2+b2=c2. No entanto, não foi Pitágoras quem descobriu o teorema que leva seu nome. Era conhecido ainda antes, mas talvez apenas como um fato derivado de medições. Presumivelmente, Pitágoras sabia disso, mas encontrou provas. Existem infinitos números naturais a, b, c, satisfazendo a relação a2+b2=c2.. Eles são chamados de números pitagóricos. De acordo com o teorema de Pitágoras, esses números podem servir como os comprimentos dos lados de algum triângulo retângulo - vamos chamá-los de triângulos pitagóricos. Objetivo: estudar a possibilidade e a eficácia do uso de triplos pitagóricos para a resolução de problemas de um curso de matemática escolar, trabalhos de USE. Com base no objetivo do trabalho, as seguintes tarefas: Estudar a história e a classificação dos triplos pitagóricos. Analisar tarefas usando triplos pitagóricos que estão disponíveis em livros escolares e encontrados nos materiais de controle e medição do exame. Avalie a eficácia do uso de triplos pitagóricos e suas propriedades para a resolução de problemas. objeto de estudo: triplos pitagóricos de números. assunto de estudo: tarefas do curso escolar de trigonometria e geometria, nas quais são usadas as triplas pitagóricas. A relevância da pesquisa. Os triplos pitagóricos são frequentemente usados ​​em geometria e trigonometria, e conhecê-los eliminará erros nos cálculos e economizará tempo. II. Parte principal. Resolução de problemas usando triplos pitagóricos. 2.1. Tabela de triplos de números pitagóricos (segundo Perelman) Os números pitagóricos têm a forma uma= m n, , onde m e n são alguns números ímpares coprimos. Os números pitagóricos têm várias características interessantes: Uma das "pernas" deve ser um múltiplo de três. Uma das "pernas" deve ser um múltiplo de quatro. Um dos números pitagóricos deve ser um múltiplo de cinco. O livro "Entertaining Algebra" contém uma tabela de triplos pitagóricos contendo números até cem, que não possuem fatores comuns. 32+42=52 52+122=132 72+242=252 92+402=412 112+602=612 132+842=852 152+82=172 212 +202=292 332+562=652 392+802=892 352+122=372 452+282=532 552+482=732 652+722=972 632+162=652 772+362=852 2.2. A classificação de Shustrov dos triplos pitagóricos. Shustrov descobriu o seguinte padrão: se todos os triângulos pitagóricos são divididos em grupos, então as seguintes fórmulas são válidas para a perna ímpar x, par y e hipotenusa z: x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, onde N é o número da família en é o número ordinal do triângulo na família. Substituindo na fórmula no lugar de N e n quaisquer números inteiros positivos, a partir de um, você pode obter todos os principais triplos de números pitagóricos, bem como múltiplos de um determinado tipo. Você pode fazer uma tabela de todos os triplos pitagóricos para cada família. 2.3. Tarefas de planimetria Vamos considerar os problemas de vários livros didáticos de geometria e descobrir com que frequência as triplas pitagóricas são encontradas nessas tarefas. Problemas triviais de encontrar o terceiro elemento na tabela de triplos pitagóricos não serão considerados, embora também sejam encontrados em livros didáticos. Vamos mostrar como reduzir a solução de um problema cujos dados não são expressos por números naturais a triplos pitagóricos. Considere as tarefas de um livro de geometria para as séries 7-9. № 000. Encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo uma=, b=. Solução. Multiplique os comprimentos das pernas por 7, obtemos dois elementos do triplo pitagórico 3 e 4. O elemento que falta é 5, que dividimos por 7. Resposta. № 000. No retângulo ABCD, encontre BC se CD=1,5, AC=2,5. https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src="> Solução. Vamos resolver o triângulo retângulo ACD. Multiplicamos os comprimentos por 2, obtemos dois elementos do triplo pitagórico 3 e 5, o elemento que falta é 4, que dividimos por 2. Resposta: 2. Ao resolver o próximo número, verifique a razão a2+b2=c2é totalmente opcional, basta usar os números pitagóricos e suas propriedades. № 000. Descubra se um triângulo é retângulo se seus lados forem expressos por números: a) 6,8,10 (triplo pitagórico 3,4,5) - sim; Um dos catetos de um triângulo retângulo deve ser divisível por 4. Resposta: não. c) 9,12,15 (tríplice pitagórica 3,4,5) - sim; d) 10,24,26 (tríplice pitagórica 5,12,13) ​​- sim; Um dos números pitagóricos deve ser um múltiplo de cinco. Resposta: não. g) 15, 20, 25 (triplo pitagórico 3,4,5) - sim. Das trinta e nove tarefas nesta seção (teorema de Pitágoras), vinte e duas são resolvidas oralmente usando os números de Pitágoras e o conhecimento de suas propriedades. Considere o problema nº 000 (da seção "Tarefas adicionais"): Encontre a área do quadrilátero ABCD onde AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm. A tarefa é verificar a relação a2+b2=c2 e prove que o quadrilátero dado consiste em dois triângulos retângulos (o teorema inverso). E o conhecimento dos triplos pitagóricos: 3, 4, 5 e 5, 12, 13 elimina a necessidade de cálculos. Vamos dar soluções para vários problemas de um livro de geometria para as séries 7-9. Problema 156 (h). Os catetos de um triângulo retângulo são 9 e 40. Encontre a mediana desenhada para a hipotenusa. Solução . A mediana traçada para a hipotenusa é igual a metade dela. O triplo pitagórico é 9,40 e 41. Portanto, a mediana é 20,5. Problema 156 (i). Os lados do triângulo são: uma= 13cm, b= 20 cm e altura hс = 12 cm Encontre a base Com. Tarefa (USO DE KIM). Encontre o raio de um círculo inscrito em um triângulo agudo ABC se a altura BH é 12 e é conhecido que pecado A=,pecado C \u003d esquerda "\u003e