Как найти уравнение касательной к функции. Калькулятор онлайн
Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f
’(x
) = (x
3)’ = 3x
2 ;
Подставляем в производную x
0 = 2: f
’(x
0) = f
’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y
= 12 · (x
− 2) + 8 = 12x
− 24 + 8 = 12x
− 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f
’(x
) = (2sin x
+ 5)’ = 2cos x
;
f
’(x
0) = f
’(π
/2) = 2cos (π
/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.
Рассмотрим следующий рисунок:
На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.
Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.
При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).
Уравнение касательной
Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.
Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.
Ответ: y = 4*x - 7.
Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Определить х0.
2. Вычислить f(x0).
3. Вычислить f’(x)
Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \(f(x) \) в заданной пользователем
точке \(a \).
Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.
Если вы не знакомы с правилами ввода функций, рекомендуем с ними ознакомиться.
Введите выражение функции \(f(x)\) и число \(a\) Найти уравнение касательной Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Угловой коэффициент прямой
Напомним, что графиком линейной функции \(y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой , а угол \(\alpha \) - углом между этой прямой и осью Ox
Если \(k>0\), то \(0 Если \(kУравнение касательной к графику функции
Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f"(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.
Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f"(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.
С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f"(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \(b = f(a) - ka \).
Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:
Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) \) в точке \(x=a \).
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \(y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \(a \)
2. Вычислить \(f(a) \)
3. Найти \(f"(x) \) и вычислить \(f"(a) \)
4. Подставить найденные числа \(a, f(a), f"(a) \) в формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)
Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис.1).
Другое определение : это предельное положение секущей при Δx →0.
Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.
Строгое определение касательной:
Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , - это прямая, проходящая через точку (x о ; f (x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о ).
Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс:
|
Здесь угол α – это угол между прямой y =
kx +
b
и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой
(рис.1 и 2).
Если угол наклона прямой y =
kx +
b
острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис.4).
Уравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точке x о :
Пример
: Найдем уравнение касательной к графику функции f
(x
) = x
3 – 2x
2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Решение .
Следуем алгоритму.
1) Точка касания x о равна 2. Вычислим f (x о ):
f (x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2х , а х 3 = 3х 2 . Значит:
f ′(x ) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х .
Теперь, используя полученное значение f ′(x ), вычислим f ′(x о ):
f ′(x о ) = f ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f (x о ) = 1, f ′(x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f (x о ) + f ′(x о ) (x – x о ) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.
Ответ : у = 4х – 7.
В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение
Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .
Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :
И рассмотрим прямоугольный треугольник :
В этом треугольнике
Отсюда
Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .
Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .
Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.
1. Дана точка касания
2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .
3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.
Рассмотрим каждый тип задач.
1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .
.
б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:
Ответ: .
2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.
Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.
а) Найдем производную функции .
б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :
Приравняем каждый множитель к нулю, получим:
Ответ: 0;3;5
3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .
Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.
Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.
а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.
Сначала найдем уравнение производной.
Приравняем производную к числу -1.
Найдем значение функции в точке .
(по условию)
.
б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .
Найдем значение функции в точке .
(по условию).
Подставим эти значения в уравнение касательной:
.
Ответ:
4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку
Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.
Title="1sqrt{8-3^2}">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.
Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .
Найдем значение .
Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:
.
Значение функции в точке равно .
Найдем значение производной функции в точке .
Сначала найдем производную функции . Это .
Производная в точке равна .
Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение.
Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:
Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:
Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля.
Получим уравнение
Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.
Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }">
Решим первое уравнение.
Решим квадратное уравнение, получим
Второй корень не удовлетворяет условию title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .
Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение - мы его уже записывали.
Ответ:
.