Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Основные свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство - знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α . Второе свойство - периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и - α .
Yandex.RTB R-A-339285-1
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: "угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти". Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A 0 (1 , 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α , попадем в точку A 1 (x , y) . В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A 1 (x , y) , угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α = 30 ° лежит в первой четверти. Угол - 210 ° является углом второй четверти. Угол 585 ° - угол третьей четверти. Угол - 45 ° - это угол четвертой четверти.
При этом углы ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус - это ордината точки A 1 (x , y) . Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной - отрицательна.
Косинус - это абсцисса точки A 1 (x , y) . В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс - отношение ординаты точки к абсциссе. Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки - отрицательным. Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям.
Важно помнить!
- Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус - в 3 и 4 четвертях.
- Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус - в 2 и 3 четвертях.
- Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
- Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус - в 2 и 4 четвертях.
Свойство периодичности
Свойство периодичности - одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.
Свойство периодичности
При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.
Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A 1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Математически данное свойство записывается так:
sin α + 2 π · z = sin α cos α + 2 π · z = cos α t g α + 2 π · z = t g α c t g α + 2 π · z = c t g α
Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов.
Приведем примеры.
sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5
t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° · (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° · (- 1)) = t g (- 329 °)
Вновь обратимся к единичной окружности.
Точка A 1 (x , y) - результат поворота начальной точки A 0 (1 , 0) вокруг центра окружности на угол α . Точка A 2 (x , - y) - результат поворота начальной точки на угол - α .
Точки A 1 и A 2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° точки A 1 и A 2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x , y) , а вторая - (x , - y) . Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:
sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y
Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.
Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α
Согласно этому свойству, справедливы равенства
sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °
Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тип урока: систематизации знаний и промежуточного контроля.
Оборудование: тригонометрический круг, тесты, карточки с заданиями.
Цели урока: систематизировать изученный теоретический материал по определениям синуса, косинуса, тангенса угла; проверить степень усвоения знаний по данной теме и применение на практике.
Задачи:
- Обобщить и закрепить понятия синуса, косинуса и тангенса угла.
- Формировать комплексное представление о тригонометрических функциях.
- Способствовать выработке у учащихся желания и потребности изучения тригонометрического материала; воспитывать культуру общения, умение работать в группах и потребности в самообразовании.
«Кто смолоду делает и думает сам, тот
становится потом, надёжнее, крепче, умнее.
(В.Шукшин)
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Класс представлен тремя группами. В каждой группе консультант.
Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.
II. Актуализация знаний (фронтальная работа с классом)
1) Работа в группах по заданиям:
1. Сформулировать определение sin угла.
– Какие знаки имеет sin α в каждой координатной четверти?
– При каких значениях имеет смысл, выражение sin α, и какие значения оно может принимать?
2. Вторая группа те – же вопросы для cos α.
3. Третья группа ответы готовит по тем же вопросам tg α и ctg α.
В это время трое учащихся самостоятельно работают у доски по карточкам (представители разных групп).
Карточка № 1.
Практическая работа.
С помощью единичной окружности вычислить для угла 50 , 210 и – 210
значения sin α, cos α и tg α.
Карточка № 2.
Определить знак выражения: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4,1 и sin 2.
Карточка № 3.
1) Вычислить:
2) Сравнить: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30
2) Устно:
а) Предложен ряд чисел: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Среди них есть лишние. Какое свойство sin α или cos α могут выражать эти числа (Может ли sin α или cos α принимать эти значения).
б) Имеет ли смысл выражение: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
ctg (– π). Почему?
в) Существует ли наименьшее и наибольшее значение sin или cos, tg, ctg.
г) Верно ли?
1) α = 1000 является углом II четверти;
2) α = – 330 является углом IV четверти.
д) Числам соответствует одна и та же точка на единичной окружности.
3) Работа у доски
№ 567 (2; 4) – Найти значение выражения
№ 583 (1-3) Определить знак выражения
Домашнее задание: таблица в тетради. № 567(1, 3) № 578
III. Усвоение дополнительных знаний. Тригонометрия в ладони
Учитель:
Оказывается, значения синусов и косинусов углов «находятся» на вашей ладони. Протяните руку (любую) и разведите как можно сильнее пальцы (как на плакате). Приглашается один ученик. Мы измеряем углы между нашими пальцами.
Берется треугольник, где есть угол в 30, 45 и 60 90 и прикладываем вершину угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону совмещаем с мизинцем, а другую сторону – с одним из остальных пальцев.
Оказывается между мизинцем и большим пальцем угол 90, между мизинцем и безымянным – 30, между мизинцем и средним – 45, между мизинцем и указательным – 60. И это у всех людей без исключения
мизинец № 0 – соответствует 0,
безымянный № 1 – соответствует 30,
средний № 2 – соответствует 45,
указательный № 3 – соответствует 60,
большой № 4 – соответствует 90.
Таким образом, у нас на руке 4 пальца и запомним формулу:
№ пальца |
Угол |
Значение |
Это просто мнемическое правило. Вообще значение sin α или cos α надо знать наизусть, но иногда это правило поможет в трудную минуту.
Придумайте правило для cos (углы без изменения, а отсчета от большого пальца). Физическая пауза, связанная со знаками sin α или cos α.
IV. Проверка усвоений ЗУН
Самостоятельная работа с обратной связью
Каждый ученик получает тест (4 варианта) и лист с ответами для всех одинаковый.
Тест
Вариант 1
1) При каком угле поворота радиус займет то же положение, что и при повороте на угол 50.
2) Найдите значение выражения: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Какое из чисел меньше нуля: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Вариант 2
1) При каком угле поворота радиус займет тоже положении, что и при повороте на угол 10.
2) Найти значение выражения: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Какое из чисел больше нуля: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Вариант 3
1) Найдите значение выражения: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin 40, cos (– 10), tg 210, sin 140.
3) Углом какой четверти является угол α, если sin α > 0, cos α < 0.
Вариант 4
1) Найдите значение выражения: tg 60 – 6ctg 90.
2) Какое из чисел меньше нуля: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Углом какой четверти является угол α, если ctg α< 0, cos α> 0.
А
|
Б
|
В
|
Г
|
Д
|
Е
|
Ж
|
З
|
И
|
Л
|
М
|
|
Н
|
О
|
П
|
Р
|
С
|
Т
|
У
|
Ф
|
Х
|
Ш
|
Ю
|
Я
|
(слово – тригонометрия ключевое)
V. Сведения из истории тригонометрии
Учитель: Тригонометрия – это достаточно важный раздел математики для жизни человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций сформулировал и доказал известные формулы, мы их учить будем позже. Жизнь Эйлера очень интересна и я советую познакомиться с ней по книге Яковлева «Леонард Эйлер».
(Сообщение ребят по данной теме)
VI. Подведение итогов урока
Игра «Крестики – нолики»
Участвуют двое учащихся самых активных. Их поддерживают группы. Решение заданий записывается в тетрадь.
Задания
1) Найти ошибку
а) sin 225 = – 1,1 в) sin 115 < О
б) cos 1000 = 2 г) cos (– 115) > 0
2) Выразите в градусах угол
3) Выразите в радианах угол 300
4) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь выражение: 1+ sin α;
5) Определите знак выражения: sin 260, cos 300.
6) В какой четверти числовой окружности расположена точка
7) Определите знаки выражения: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Вычислите:
9) Сравнить: sin 2 и sin 350
VII. Рефлексия урока
Учитель:
Где мы можем встретиться с тригонометрией?
На каких уроках в 9 классе, да и сейчас вы применяете понятия sin α, cos α; tg α; ctg α и с какой целью?
Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) - от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.
И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом , т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.
Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это - направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях... Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.
Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?
Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.
Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.
Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.
А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°... Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно
110°. И считаем
, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°...
Уловили? А теперь - внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же
положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые
синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе - есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.
Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках - разные. А вот тригонометрические функции у них - одинаковые.
Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки - положительный отсчёт. По ходу - отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас . От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно... Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.
Углы больше 360°.
Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот - уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает... Но угол больше 270° - а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.
Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов - это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые ! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами...
Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)
Ну что, потренируемся?)
Отвечаем на вопросы. Сначала простые.
1. В какую четверть попадает угол -325° ?
2. В какую четверть попадает угол 3000° ?
3. В какую четверть попадает угол -3000° ?
Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой "Практической работы..." всё подробненько... В таких вопросах неуверенности быть не должно!
4. Какой знак имеет sin555° ?
5. Какой знак имеет tg555° ?
Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555... Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.
А теперь вопросы помудрёнее.
6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.
7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.
8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.
9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.
Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются... Так и быть, переведу. Только для вас!
Слова "привести выражение к..." означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное - не имеет значения.
Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре... Не разбежишься в вариантах.
6. sin57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°) , правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок... Именно поэтому пришлось сделать урок: "Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?" В Разделе 555. Там задания 4 - 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)
В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи" . Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает , чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.