Добавить в избранное

Пропорция прямая и обратная пропорциональные зависимости. Практическое применение прямой и обратной пропорциональной зависимости

ж) возрастом человека и размером его обуви;

з) объемом куба и длиной его ребра;

и) периметром квадрата и длиной его стороны;

к) дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется;

л) дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.

Задачи 767-778 решите, составив .

767. Стальной шарик объемом 6 см 3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см 3 ?

768. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

769. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку?

770. Для перевозки груза потребовалось 24 машины 1рузо- подъемностыо 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

771. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (процент всхожести)?

772. Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

773. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой участников секции составляют девочки и какой мальчики?

774. Колхоз по плану должен засеять 980 га кукурузой. Но план выполнили на 115%. Сколько гектаров кукурузы посеял колхоз?

775. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

776. За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свеклы, если работать с той же производительностью?

777. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

778. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса?

П 779. Вычислите устно:

780. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей:.
781. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.

782. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.

783. При каком значении х верна пропорция:

784. Найдите отношение:
а) 2 мин к 10 с; в) 0,1 кг к 0,1 г; д) 3 дм 3 к 0,6 м 3 .
б) 0,3 м 2 к 0,1 дм 2 ; г) 4 ч к 1 сут;

1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;

2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.

Д 795. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. ^^ Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

796. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили еще двух маляров. За какое время они закончат работу, считая, что все маляры будут работать с одинаковой производительностью?

797. За 2,5 кг баранины заплатили 4,75 р. Сколько баранины можно купить по той же цене на 6,65 р.?

798. В сахарной свекле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свеклы? Ответ округлите до десятых долей тонны.

799. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?

800. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле.

801. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна?

802. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?

803. Найдите значение выражения:

а) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
б) 96:7,5 + 288,51:(80 - 76,74).

Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Второй закон Ньютона
Кулоновский барьер

Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:

прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональность - Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

пропорциональность - и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

Глава I. Обыкновенные дроби.
§ 4. Отношения и пропорции:
22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

1 За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?
РЕШЕНИЕ

2 Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго 4,8 м. Найдите его ширину.
РЕШЕНИЕ

782 Определите, является ли прямой, обратной, или не является пропорциональной зависимость между величинами: путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем ее движения; стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством; площадью квадрата и длиной его стороны; массой стального бруска и его объемом; числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения; стоимостью товара и его количеством, купленным на определенную сумму денег; возрастом человека и размером его обуви; объемом куба и длиной его ребра; периметром квадрата и длиной его стороны; дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется; дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.
РЕШЕНИЕ

783 Стальной шарик объемом 6 см3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см3?
РЕШЕНИЕ

784 Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
РЕШЕНИЕ

785 Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку?
РЕШЕНИЕ

786 Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?
РЕШЕНИЕ

787 Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (всхожести)?
РЕШЕНИЕ

788 Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько их посадили, если принялось 57 лип?
РЕШЕНИЕ

789 В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки и мальчики?
РЕШЕНИЕ

790 Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод?
РЕШЕНИЕ

791 За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?
РЕШЕНИЕ

792 За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% свеклы, если работать с той же производительностью?
РЕШЕНИЕ

793 В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?
РЕШЕНИЕ

794 Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса?
РЕШЕНИЕ

796 Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей.
РЕШЕНИЕ

797 Из чисел 3. 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.
РЕШЕНИЕ

798 Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.
РЕШЕНИЕ

799 При каком значении x верна пропорция.
РЕШЕНИЕ

800 Найдите отношение 2 мин к 10 c; 0,3 м2 к 0,1 дм2; 0,1 кг к 0,1 г; 4 ч к 1 сут; 3 дм3 к 0,6 м3
РЕШЕНИЕ

801 Где на координатном луче должно быть расположено число c, чтобы была верна пропорция.
РЕШЕНИЕ

802 Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и затем, закрыв ее, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки. Если вы верно воспроизвели все числа, переходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, количества двузначных чисел и тренируйтесь в запоминании. Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память.
РЕШЕНИЕ

804 Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел.
РЕШЕНИЕ

805 Из равенства произведений 3 · 24 = 8 · 9 составьте три верные пропорции.
РЕШЕНИЕ

806 Длина отрезка AB равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин AB и CD. Какую часть AB составляет длина CD?
РЕШЕНИЕ

807 Путевка в санаторий стоит 460 р. Профсоюз оплачивает 70% стоимости путевки. Сколько за путевку заплатит отдыхающий?
РЕШЕНИЕ

808 Найдите значение выражения.
РЕШЕНИЕ

809 1) При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от отливки? 2) При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался?

§ 129. Предварительные разъяснения.

Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. Служащий и рабочий стараются к определённому времени попасть на службу, на работу, пешеход спешит дойти до известного места кратчайшим путём, истопник парового отопления беспокоится о том, что температура в котле медленно поднимается, хозяйственник строит планы снижения стоимости продукции и т. д.

Таких примеров можно было бы привести сколько угодно. Время, расстояние, температура, стоимость - всё это разнообразные величины. В первой и во второй частях настоящей книги мы ознакомились с некоторыми особенно часто встречающимися величинами: площадью, объёмом, весом. Со многими величинами мы встречаемся при изучении физики и других наук.

Представьте себе, что вы едете в поезде. Время от времени вы смотрите на часы и замечаете, как долго вы уже находитесь в пути. Вы говорите, например, что со времени отправления вашего поезда прошло 2, 3, 5, 10, 15 часов и т. д. Эти числа обозначают различные промежутки времени; они называются значениями этой величины (времени). Или вы смотрите в окно и следите по дорожным столбам за расстоянием, которое проходит ваш поезд. Перед вами мелькают числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Эти числа обозначают различные расстояния, которые прошёл поезд от места отправления. Они тоже называются значениями, на этот раз другой величины (пути или расстояния между двумя пунктами). Таким образом, одна величина, например время, расстояние, температура, может принимать сколько угодно различных значений.

Обратите внимание на то, что человек почти никогда не рассматривает только одну величину, а всегда с в я з ы в а е т её с какими-нибудь другими величинами. Ему приходится одновременно иметь дело с двумя, тремя и большим числом величин. Представьте себе, что вам нужно к 9 часам попасть в школу. Вы смотрите на часы и видите, что в вашем распоряжении 20 минут. Тогда вы быстро соображаете, стоит ли вам садиться в трамвай или вы успеете дойти до школы пешком. Подумав, вы решаете идти пешком. Заметьте, что в то время, когда вы думали, вы решали некоторую задачу. Эта задача стала простой и привычной, так как вы решаете такие задачи каждый день. В ней вы быстро сопоставили несколько величин. Именно вы посмотрели на часы, значит, учли время, затем вы мысленно представили себе р а с с т о я н и е от вашего дома до школы; наконец, вы сравнили две величины: скорость вашего шага и скорость трамвая, и сделали вывод, что за данное время (20 мин.) вы успеете дойти пешком. Из этого простого примера вы видите, что в нашей практике некоторые величины связаны между собой, т. е. зависят друг от друга

В главе двенадцатой было рассказано об отношении однородных величин. Например, если один отрезок равен 12 м, а другой 4 м, то отношение этих отрезков будет 12: 4.

Мы говорили, что это есть отношение двух однородных величин. Можно сказать иначе, что это есть отношение двух чисел одного наименования.

Теперь, когда мы больше познакомились с величинами и ввели понятие значения величины, можно по-новому высказать определение отношения. В самом деле, когда мы рассматривали два отрезка 12 м и 4 м, то мы говорили об одной величине - длине, а 12 м и 4 м - это были только два разных значения этой величины.

Поэтому в дальнейшем, когда мы станем говорить об отношении, то будем рассматривать при этом два значения одной какой-нибудь величины, а отношением одного значения величины к другому значению той же величины будем называть частное от деления первого значения на второе.

§ 130. Величины прямо пропорциональные.

Рассмотрим задачу, в условие которой входят две величины: расстояние и время.

Задача 1. Тело, движущееся прямолинейно и равномерно, проходит в каждую секунду 12 см. Определить путь, пройденный телом в 2, 3, 4, ..., 10 секунд.

Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением времени и расстояния.

Таблица даёт нам возможность сопоставить эти два ряда значений. Мы видим из неё, что когда значения первой величины (времени) постепенно увеличиваются в 2, 3, ..., 10 раз, то и значения второй величины (расстояния) тоже увеличиваются в 2, 3,..., 10 раз. Таким образом, при увеличении значений одной величины в несколько раз значения другой величины увеличиваются во столько же раз, а при уменьшении значений одной величины в несколько раз значения другой величины уменьшаются во столько же раз.

Рассмотрим теперь задачу, в которую входят две такие величины: количество материи и стоимость её.

Задача 2. 15 м ткани стоят 120 руб. Вычислить стоимость этой ткани для нескольких других количеств метров, указанных в таблице.

По этой таблице мы можем проследить, каким образом постепенно возрастает стоимость товара в зависимости от увеличения его количества. Несмотря на то что в этой задаче фигурируют совсем другие величины (в первой задаче - время и расстояние, а здесь - количество товара и его стоимость), тем не менее в поведении этих величин можно обнаружить большое сходство.

В самом деле, в верхней строке таблицы идут числа, обозначающие число метров ткани, под каждым из них написано число, выражающее стоимость соответствующего количества товара. Даже при беглом взгляде на эту таблицу видно, что числа и в верхнем и в нижнем ряду возрастают ; при более же внимательном рассмотрении таблицы и при сравнении отдельных столбцов обнаруживается, что во всех случаях значения второй величины возрастают во столько же раз, во сколько возрастают значения первой, т. е. если значение первой величины возросло, положим, в 10 раз, то и значение второй величины увеличилось тоже в 10 раз.

Если мы станем просматривать таблицу справа налево , то обнаружим, что указанные значения величин будут уменьшаться в одинаковое число раз. В этом смысле между первой задачей и второй имеется безусловное сходство.

Пары величин, с которыми мы встретились в первой и второй задачах, называются прямо пропорциональными.

Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.

О таких величинах говорят также, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью.

В природе и в окружающей нас жизни встречается множество подобных величин. Приведём примеры:

1. Время работы (день, два дня, три дня и т. д.) и заработок , полученный за это время при подённой оплате труда.

2. Объём какого-нибудь предмета, сделанного из однородного материала, и вес этого предмета.

§ 131. Свойство прямо пропорциональных величин.

Возьмём задачу, в которую входят следующие две величины: рабочее время и заработок. Если ежедневный заработок 20 руб., то заработок за 2 дня будет 40 руб., и т. д. Удобнее всего составить таблицу, в которой определённому числу дней будет соответствовать определённый заработок.

Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли 10 различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённое значение второй величины, например 2 дням соответствуют 40 руб.; 5 дням соответствуют 100 руб. В таблице эти числа написаны одно под другим.

Мы уже знаем, что если две величины прямо пропорциональны, то каждая из них в процессе своего изменения увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличивается и другая. Отсюда сразу следует: если мы возьмём отношение каких-нибудь двух значений первой величины, то оно будет равно отношению двух соответствующих значений второй величины. В самом деле:

Почему это происходит? А потому, что эти величины прямо пропорциональны, т. е. когда одна из них (время) увеличилась в 3 раза, то и другая (заработок) увеличилась в 3 раза.

Мы пришли, следовательно, к такому выводу: если взять два каких-нибудь значения первой величины и разделить их одно на другое, а потом разделить одно на другое соответствующие им значения второй величины, то в обоих случаях получится одно и то же число, т. е. одно и то же отношение. Значит, два отношения, которые мы выше написали, можно соединить знаком равенства, т. е.

Нет сомнения в том, что если бы мы взяли не эти отношения, а другие и не в том порядке, а в обратном, то также получили бы равенство отношений. В самом деле, будем рассматривать значения наших величин слева направо и возьмём третьи и девятые значения:

60:180 = 1 / 3 .

Значит, мы можем написать:

Отсюда вытекает такой вывод: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

§ 132. Формула прямой пропорциональности.

Составим таблицу стоимости различных количеств конфет, если 1 кг их стоит 10,4 руб.

Теперь поступим таким образом. Возьмём любое число второй строки и разделим его на соответствующее число первой строки. Например:

Вы видите, что в частном всё время получается одно и то же число. Следовательно, для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся). В нашем примере это частное равно 10,4. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности. В данном случае оно выражает цену единицы измерения, т. е. одного килограмма товара.

Как найти или вычислить коэффициент пропорциональности? Чтобы это сделать, нужно взять любое значение одной величины и разделить его на соответствующее значение другой.

Обозначим это произвольное значение одной величины буквой у , а соответствующее значение другой величины - буквой х , тогда коэффициент пропорциональности (обозначим его К ) найдём посредством деления:

В этом равенстве у - делимое, х - делитель и К - частное, а так как по свойству деления делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

y = Kx

Полученное равенство называется формулой прямой пропорциональности. Пользуясь этой формулой, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из прямо пропорциональных величин, если знаем соответствующие значения другой величины и коэффициент пропорциональности.

Пример. Из физики мы знаем, что вес Р какого-либо тела равен его удельному весу d , умноженному на объём этого тела V , т. е. Р = d V .

Возьмём пять железных болванок различного объёма; зная удельный вес железа (7,8), можем вычислить веса этих болванок по формуле:

Р = 7,8 V .

Сравнивая эту формулу с формулой у = Кх , видим, что у = Р , х = V , а коэффициент пропорциональности К = 7,8. Формула та же, только буквы другие.

Пользуясь этой формулой, составим таблицу: пусть объем 1-й болванки равен 8 куб. см, тогда вес её равен 7,8 8 = 62,4 (г). Объём 2-й болванки 27 куб. см. Её вес равен 7,8 27 = 210,6 (г). Таблица будет иметь такой вид:

Вычислите сами числа, недостающие в этой таблице, пользуясь формулой Р = d V .

§ 133. Другие способы решения задач с прямо пропорциональными величинами.

В предыдущем параграфе мы решили задачу, в условие которой входили прямо пропорциональные величины. Для этой цели мы предварительно вывели формулу прямой пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем два других способа решения подобных задач.

Составим задачу по числовым данным, приведённым в таблице предыдущего параграфа.

Задача. Болванка объёмом 8 куб. см весит 62,4 г. Сколько будет весить болванка объёмом 64 куб. см?

Решение. Вес железа, как известно, пропорционален его объёму. Если 8 куб. см весят 62,4 г, то 1 куб. см будет весить в 8 раз меньше, т. е.

62,4: 8 = 7,8 (г).

Болванка объёмом 64 куб. см будет весить в 64 раза больше, чем болванка в 1 куб. см, т. е.

7,8 64 = 499,2(г).

Мы решили нашу задачу способом приведения к единице. Смысл этого названия оправдывается тем, что для её решения нам пришлось в первом вопросе найти вес единицы объёма.

2. Способ пропорции. Решим эту же задачу способом пропорции.

Так как вес железа и его объём - величины прямо пропорциональные, то отношение двух значений одной величины (объёма) равно отношению двух соответствующих значений другой величины (веса), т. е.

(буквой Р мы обозначили неизвестный вес болванки). Отсюда:

(г).

Задача решена способом пропорций. Это значит, что для её решения была составлена пропорция из чисел, входящих в условие.

§ 134. Величины обратно пропорциональные.

Рассмотрим следующую задачу: «Пять каменщиков могут сложить кирпичные стены дома в 168 дней. Определить, во сколько дней могли бы выполнить ту же работу 10, 8, 6 и т. д. каменщиков».

Если 5 каменщиков сложили стены дома за 168 дней, то (при одинаковой производительности труда) 10 каменщиков могли бы выполнить это вдвое скорее, так как в среднем 10 человек выполняют работу в два раза большую, чем 5 человек.

Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением числа рабочих и рабочего времени.

Например, чтобы узнать, сколько дней потребуется 6 рабочим, надо сначала вычислить, сколько дней требуется одному рабочему (168 5 = 840), а затем - шести рабочим (840: 6 = 140). Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли шесть различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённее; значение второй величины, например 10-ти соответствует 84, числу 8 - число 105 и т. д.

Если мы будем рассматривать значения обеих величин слева направо, то увидим, что значения верхней величины возрастают , a значения нижней убывают . Возрастание и убывание подчинено следующему закону: значения числа рабочих увеличиваются во столько же раз, во сколько раз уменьшаются значения затраченного рабочего времени. Ещё проще эту мысль можно выразить так: чем б о л ь ш е занято в каком-либо деле рабочих, тем меньше им нужно времени для выполнения определённой работы. Две величины, с которыми мы встретились в этой задаче, называются обратно пропорциональными.

Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными.

В жизни встречается много подобных величин. Приведём примеры.

1. Если на 150 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от ц е н ы одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара; это видно из таблицы:

С повышением в несколько раз цены конфет уменьшается во столько же раз число килограммов конфет, какое можно купить на 150 руб. В этом случае две величины (вес товара и его цена) обратно пропорциональны.

2. Если расстояние между двумя городами 1 200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения: пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, поездом, на самолёте. Чем меньше скорость , тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы:

С увеличением скорости в несколько раз время передвижения уменьшается во столько же раз. Значит, при данных условиях скорость и время - величины обратно пропорциональные.

§ 135. Свойство обратно пропорциональных величин.

Возьмём второй пример, который мы рассматривали в предыдущем параграфе. Там мы имели дело с двумя величинами - скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время. Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвёртого значения верхней величины к седьмому значению (40: 80), то оно не будет равно отношению четвёртого и седьмого значений нижней величины (30: 15). Это можно написать так:

40: 80 не равно 30: 15, или 40: 80 =/= 30: 15.

Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию. Например:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

§ 136. Формула обратной пропорциональности.

Рассмотрим задачу: «Имеется 6 кусков шёлковой ткани разной величины и различных сортов. Стоимость всех кусков одинаковая. В одном куске 100 м ткани ценой по 20 руб. за метр. Сколько метров в каждом из остальных пяти кусков, если метр ткани в эгих кусках соответственно стоит 25, 40, 50, 80, 100 руб.?» Для решения этой задачи составим таблицу:

Нам нужно заполнить пустые клетки в верхней строке этой таблицы. Попробуем сначала определить, сколько метров во втором куске. Это можно сделать следующим образом. Из условия задачи известно, что стоимость всех кусков одинаковая. Стоимость первого куска определить легко: в нём 100 м и каждый метр стоит 20 руб., значит, в первом куске шёлка на 2 000 руб. Так как во втором куске шёлка на столько же рублей, то, разделив 2 000 руб. на цену одного метра, т. е. на 25, мы найдём величину второго куска: 2 000: 25 = 80 (м). Таким же образом мы найдём величину всех остальных кусков. Таблица примет вид:

Нетрудно видеть, что между числом метров и ценой существует обратно пропорциональная зависимость.

Если вы сами проделаете необходимые вычисления, то заметите, что каждый раз вам придётся делить число 2 000 на цену 1 м. Наоборот, если вы теперь начнёте умножать величину куска в метрах на цену 1 м, то всё время будете получать число 2 000. Этого и нужно было ожидать, так как каждый кусок стоит 2 000 руб.

Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся).

В нашей задаче это произведение равно 2 000. Проверьте, что и в предыдущей задаче, где говорилось о скорости движения и времени, необходимом для переезда из одного города в другой, существовало также постоянное для той задачи число (1 200).

Принимая во внимание все сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х , а соответствующее значение другой ве личины - буквой у . Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К , т. е.

х у = К .

В этом равенстве х - множимое, у - множитель и K - произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит,

Это и есть формула обратной пропорциональности. Пользуясь ею, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из обратно пропорциональных величин, зная значения другой и постоянное число К .

Рассмотрим ещё задачу: «Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 страниц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц, и тогда у него на странице получилось 2 500 букв. Затем он взял те числа страниц, какие указаны ниже в таблице, и снова вычислил, сколько букв будет на странице».

Попробуем и мы вычислить, сколько будет букв на странице, если в книге будет 100 страниц.

Во всей книге 240 000 букв, так как 2 500 96 = 240 000.

Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у - число букв на странице, х - число страниц):

В нашем примере К = 240 000, следовательно,

Итак, на странице 2 400 букв.

Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет:

Наша таблица примет вид:

Остальные клетки заполните самостоятельно.

§ 137. Другие способы решения задач с обратно пропорциональными величинами.

В предыдущем параграфе мы решали задачи, в условия которых входили обратно пропорциональные величины. Мы предварительно вывели формулу обратной пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем для таких задач два других способа решения.

1. Способ приведения к единице.

Задача. 5 токарей могут сделать некоторую работу в 16 дней. Во сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей?

Решение. Между числом токарей и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость. Если 5 токарей делают работу за 16 дней, то одному человеку для этого понадобится в 5 раз больше времени, т. е.

5 токарей выполняют работу в 16 дней,

1 токарь выполнит её в 16 5 = 80 дней.

В задаче спрашивается, во сколько дней выполнят работу 8 токарей. Очевидно, они справятся с работой в 8 раз скорее, чем 1 токарь, т. е. за

80: 8 = 10 (дней).

Это и есть решение задачи способом приведения к единице. Здесь пришлось прежде всего определить время выполнения работы одним рабочим.

2. Способ пропорции. Решим ту же задачу вторым способом.

Так как между числом рабочих и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость, то можно написать: продолжительность работы 5 токарей новое число токарей (8) продолжительность работы 8 токарей прежнее число токарей (5) Обозначим искомую продолжительность работы буквой х и подставим в пропорцию, выраженную словами, необходимые числа:

Та же самая задача решена способом пропорций. Для её решения нам пришлось составить пропорцию из чисел, входящих в условие задачи.

Примечание. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос о прямой и обратной пропорциональности. Природа и жизнь дают нам множество примеров прямой и обратной пропорциональной зависимости величин. Однако нужно заметить, что эти два вида зависимости являются только простейшими. Наряду с ними встречаются иные, более сложные зависимости между величинами. Кроме того, не нужно думать, что если какие-нибудь две величины одновременно возрастают, то между ними обязательно существует прямая пропорциональность. Это далеко не так. Например, плата за проезд по железной дороге возрастает в зависимости от расстояния: чем дальше мы едем, тем больше платим, ко это не значит, что плата пропорциональна расстоянию.

Типы зависимостей

Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.

Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается

Замечание 1

Такая зависимость называется прямой :

С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.

Рассмотрим другой пример.

Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.

Замечание 2

Такая зависимость называется обратной :

С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.

Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).

Определение зависимостей между величинами

Пример 1

Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.

Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.

Замечание 3

Такую зависимость называют пропорциональной :

Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.

Пример 2

За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?

Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.

В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .

Прямая пропорциональность

Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.

Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.

Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.

Как видно, эти отношения равны между собой:

$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.

Определение 1

Равенство двух отношений называется пропорцией .

При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.

Определение 2

Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.

Пример 3

Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.

Решение .

Время прямо пропорционально расстоянию:

$t=\frac{S}{v}$.

Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:

$\frac{2S}{v}=2t$;

$\frac{3S}{v}=3t$.

Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа

Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов

Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.

Составим пропорцию: