Степень с не целым показателем. Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для

Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

a n и определяемое по правилу:

Например:

Определение . Степенью числа a (a ≠ 0) с целым показателем m называется число, записываемое как a m и определяемое по правилу:

Выражения «нуль в нулевой степени» и «нуль в отрицательной степени» не определены.

Если основанием степени является обыкновенная дробь, то удобно использовать правило, которое следует непосредственно из определения:

Например:

Свойства степени с целым показателем

m, n - целые числа, p ≠ 0

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

Какое из следующих выражений равно дроби: ?

Чтобы ответить на данный вопрос, воспользуемся свойством степени с целым показателем. При делении показатели степеней с одинаковым основанием вычитаются. Таким образом, если 8 представить как 2 3 , получим, что:

Задание 2

Микропроцессор за секунду совершает 250 тыс. операций. Как эта величина записывается в стандартном виде?

Воспользуемся правилом записи чисел с использованием степеней числа 10. Если положительное число a представлено в виде a 1 ∙ 10 n , где 1 ≤ a 1 < 10, n - целое число, то говорят, что число a записано в стандартном виде.

В нашем примере, чтобы число 250000 представить в стандартном виде, необходимо, чтобы запятая стояла после числа 2, что будет удовлетворять условию, что 1 ≤ a 1 < 10. Тогда получим число 2,5. И, чтобы данное число соответствовало исходному, его необходимо умножить на 10 5 . То есть если запятую перенести на пять знаков вправо (так как степень положительная, поэтому вправо), получим 250000.

Ответ : 2,5 ∙ 10 5 .

Задание 3

Запишите числа в стандартном виде:

Чтобы представить число 0,0069 в стандартном виде, необходимо записать его в виде a 1 ∙ 10 n , где 1 ≤ a 1 ≤ 10. Перенесем запятую в числе 0,0069 на три знака вправо, только тогда получим 1 ≤ 6,9 ≤ 10. После переноса запятой получим число 6,9, которое больше числа 0,0069 в 10 3 раз. Чтобы число не изменилось, результат нужно умножить на 10 -3 . Получаем: 0,0069 = 6,9 ∙ 10 -3 .

Чтобы представить число 98000 в стандартном виде, необходимо записать его в виде a 1 ∙ 10 n , где 1 ≤ a 1 ≤ 10. Перенесем запятую в числе 98000 на четыре знака влево, только тогда получим 1 ≤ 9,8 ≤ 10 . После переноса запятой получим число 9,8, которое меньше числа 98000 в 10 -4 раз. Чтобы число не изменилось, результат нужно умножить на 10 4 . Получаем: 98000 = 9,8 ∙ 10 4 .

Примечание .

Если преобразование числа происходит с переносом запятой слева направо, то осуществляется действие деление на 10 n . Записываем как 0,0069 = 6,9 ∙ 10 -3 , выражение при преобразовании равняется .

Если преобразование числа происходит с переносом запятой справа налево, то осуществляется произведение на 10 n (записываем как 98000 = 9,8 ∙ 10 4 , выражение при преобразовании равняется 9,8 ∙ 10000 = 98000).

Задание 4

Из чисел 1,130 ∙ 10 6 ; 5,713 ∙ 10 5 ; 4,011 ∙ 10 6 ; 2,315 ∙ 10 5 выберите наибольшее.

Данное задание предполагает оценку значений сначала по степени - наибольшая степень шестая. Таких значений два: первое и третье. Затем оцениваем первый множитель: 4,011 больше 1,130. Поэтому третье значение наибольшее.

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 72. Свойства степеней с целыми показателями

В § 68 и 69 мы доказали следующие свойства степеней с натуральными показателями;

Все эти свойства оказываются справедливыми и для степеней с любыми целыми (положительными, отрицательными и нулевыми) показателями, если только числа а и b не равны нулю.

Докажем, например, что при а =/= 0

а m а n = а m+n , (1)

где т и п - любые целые числа.

Поскольку для натуральных чисел т и п формула (1) уже доказана, то нам остается рассмотреть лишь следующие три случая: 1) числа т и п отрицательны; 2) одно из чисел т и п положительно, а другое - отрицательно; 3) хотя бы одно из чисел т и п равно нулю.

Случай 1. Пусть т и п - отрицательные числа. Тогда по определению степени с отрицательным показателем

Так как т и п отрицательны, то - m и - п положительны. Поэтому

а - m а - n = а - m - n = а -( m+ n)

Значит, . Используя определение степени с отрицательным показателем, запишем:

Следовательно,

а m а n = а m+n

Случай 2. Один из показателей т и п положителен, а другой - отрицателен. Пусть, например, т > 0, а п < 0. По определению степени с отрицательным показателем

Число - п положительно; значит, по доказанному в § 71

Случай 3. Хотя бы один из показателей т и п равен нулю. Пусть, например, т = 0. Тогда по определению нулевой степени

а m а n = а 0 а n = = 1 а n = а n ,

но а m+n = а 0+n = а n . Значит, формула

а m а n = а m+n

верна и в этом случае.

Таким образом, при а =/= 0 формула

а m а n = а m+n

верна для любых целых чисел т и п .

Аналогично могут быть доказаны и остальные четыре свойства степеней с целыми показателями, упомянутые в начале этого параграфа.

Примеры, 1) 4 - 5 4 8 = 4 3 = 64;

2) (3 2) - 4 = 3 - 8 = 1 / 6561

3) [(1 / 5) - 2 ] 3 = (5 - 1) - 2 ] 3 = 3 = 5 6 = 15 625.

В заключение отметим еще два свойства степеней с целыми показателями (заучивать эти свойства не нужно).

6) Если a > b > 0 и п отрицательно, то а n < b n , то есть из двух степеней с положительными основаниями и одинаковыми отрицательными показателями больше та, основание которой меньше .

Например,

5 - 3 < 4 - 3 (1 / 125 < 1 / 64); (1 / 3) - 2 > (1 / 2) - 2 (9 > 4)

7) Если 0 < а < 1, то из двух степеней а m и а n больше та, показатель которой меньше .

Если а >1, то из двух степеней а m и а n больше та, показатель которой больше .

Под т и п здесь подразумеваются любые целые числа, а не только натуральные.

Например,

(1 / 2) - 5 > (1 / 2) - 4 или 32 > 16

2 - 5 <2 - 4 , или 1 / 32 < 1 / 16 и т. д.

Предлагаем учащимся доказать эти свойства самостоятельно.

Упражнения

532. Вычислить:

533. Какое число больше:

а) 5 - 63 или 5 - 64 ; в) 5 - 63 или (1 / 5) - 63

б) 5 - 63 или 6 - 63 ; г) (1 / 5) 63 или 5 - 63 ?

534. Упростить выражение

и найти его числовое значение при

a = - 4, b = - 1 / 2

535. При каком показателе п степень а n не зависит от основания а ?

После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

Навигация по странице.

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :

основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение ;
свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение ;
свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
сравнение степени с нулем:
- если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
- если a=0 , то a n =0 ;
- если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
если a и b – положительные числа и a
если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 00 справедливо неравенство a m >a n .

Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень , имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n ), либо отрицательным числом (что происходит при m
Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

Теперь рассмотрим свойство степени произведения : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

Приведем пример: .

Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

Теперь озвучим свойство возведения степени в степень : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

Переходим к отрицательным основаниям степени.

Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m - натуральное. Тогда . По каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 <0 , (−0,003) 17 <0 и .

Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его.

Неравенство a n свойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n .

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

Докажем, что при m>n и 00 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0
Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

Свойства степеней с целыми показателями
Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем ab −n ;

если m и n – целые числа, причем m>n , то при 01 выполняется неравенство a m >a n .

При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

Аналогично .

И .

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Так как по условию a0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a
Аналогично, при m<0 имеем a m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 00 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n - натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из . Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 01 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 00 – неравенство a p >a q .

Свойства степеней с иррациональными показателями

Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p b p ;

для иррациональных чисел p и q , p>q при 00 – неравенство a p >a q .

Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

Список литературы.

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Возведение числа в натуральную степень означает его непосредственное повторение собственным сомножителем в раз. Число, повторяющееся в качестве сомножителя - это основание степени, а число, указывающее на количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Полученный результат выполненных действий и есть степень. Например, три в шестой степени означает повторение числа три в виде множителя шесть раз.

Основанием степени может выступать любое число, отличное от нуля.

Вторая и третья имеют специальные названия. Это, соответственно, квадрат и куб.

За первую степень числа принимают само же это число.

Для положительных чисел также определена степень, имеющая рациональный показатель. Как всем известно, любое записывается в виде дроби, числитель которой является целым, знаменатель же - натуральным, то есть целым положительным, отличным от единицы.

Степень с рациональным показателем представляет из себя корень степени, равной знаменателю показателя степени, а подкоренное выражение - это основание степени, возведенное в степень, равную числителю. Например: три в 4/5 равно корню пятой степени из трех в четвертой.

Отметим некоторые свойства, вытекающие непосредственно из рассматриваемого определения:

любое положительное число в рациональной степени - положительно;

значение степени с рациональным показателем не зависит от формы его записи;

если основание отрицательное, то рациональная степень этого числа не определена.

При положительном основании свойства степени верны независимо от показателя.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. Умножая степени, имеющие одинаковые основания, основание оставляют без изменения и складывают показатели. Например: при умножении трех в пятой степени на три в седьмой получают три в двенадцатой степени (5+7=12) .

2. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, их оставляют без изменения, а показатели вычитывают. Например: при делении трех в восьмой на три в пятой степени получают три в квадрате (8-5=3).

3. Когда основание оставляют без изменения, а показатели перемножают. Например: при возведении 3 в пятой в седьмую получают 3 в тридцать пятой (5х7=35).

4. Чтобы возвести произведение в степень, в ту же возводится каждый из множителей. Например: при возведении произведения 2х3 в пятую получают произведение два в пятой на три в пятой.

5. Чтобы возвести дробь в степень, в ту же степень возводят числитель и знаменатель. Например: при возведении 2/5 в пятую получают дробь, в числителе которой - два в пятой, в знаменателе - пять в пятой.

Отмеченные свойства степени справедливы и для дробных показателей.

Свойства степени с рациональным показателем

Введем некоторые определения. Любое отличное от 0 возведенное в нулевую, равно единице.

Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в степень с отрицательным целым показателем - это дробь с числителем единица и знаменателем, равным степени того же числа, но имеющего противоположный показатель.

Дополним свойства степени несколькими новыми, которые касаются рациональных показателей.

Степень с рациональным показателем не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя его показателя на неравное нулю одно и то же число.

При основании больше единицы:

если показатель положительный, то степень больше 1;

при отрицательном - меньше единицы.

При основании меньше единицы, наоборот:

если показатель положительный, то степень меньше единицы;

при отрицательном - больше 1.

Когда показатель степени растет, то:

растет сама степень, если основание больше единицы;

убывает, если основание меньше единицы.

КАТЕГОРИИ