Առցանց կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հաշվիչ: Հավասարումների լուծում երկու փոփոխականով

Ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում անվճար հաշվիչը մաթեմատիկական հաշվարկների հնարավորությունների հարուստ զինանոցում: Այն թույլ է տալիս օգտագործել առցանց հաշվիչը գործունեության տարբեր ոլորտներում. կրթական, պրոֆեսիոնալԵվ կոմերցիոն. Իհարկե, առցանց հաշվիչի օգտագործումը հատկապես տարածված է ուսանողներԵվ դպրոցականներ, դա նրանց համար շատ ավելի հեշտ է դարձնում տարբեր հաշվարկներ կատարելը։

Միևնույն ժամանակ, հաշվիչը կարող է օգտակար գործիք դառնալ բիզնեսի որոշ ոլորտներում և տարբեր մասնագիտությունների տեր մարդկանց համար: Իհարկե, բիզնեսում կամ աշխատանքում հաշվիչ օգտագործելու անհրաժեշտությունը որոշվում է հիմնականում բուն գործունեության տեսակով: Եթե ​​ձեր բիզնեսը և մասնագիտությունը կապված են մշտական ​​հաշվարկների և հաշվարկների հետ, ապա արժե փորձել էլեկտրոնային հաշվիչը և գնահատել դրա օգտակարության աստիճանը որոշակի առաջադրանքի համար:

Այս առցանց հաշվիչը կարող է

• Ճիշտ կատարեք ստանդարտ մաթեմատիկական ֆունկցիաները, որոնք գրված են մեկ տողում, ինչպես. 12*3-(7/2) և կարող ենք մշակել ավելի մեծ թվեր, քան մենք կարող ենք հաշվել հսկայական թվեր առցանց հաշվիչում, մենք նույնիսկ չգիտենք, թե ինչպես ճիշտ անվանել այդպիսի համարը (. կան 34 նիշ, և սա ամենևին էլ սահմանը չէ).
• Բացառությամբ շոշափող, կոսինուս, սինուսև այլ ստանդարտ գործառույթներ - հաշվիչը աջակցում է հաշվարկային գործողություններին արկտանգենտ, արկկոտանգենսև ուրիշներ։
• Հասանելի է Արսենալում լոգարիթմներ, ֆակտորիալներև այլ հետաքրքիր առանձնահատկություններ
• Այս առցանց հաշվիչը գիտի, թե ինչպես կառուցել գրաֆիկներ!!!

Գրաֆիկները գծագրելու համար ծառայությունն օգտագործում է հատուկ կոճակ (գրաֆիկը գծված է մոխրագույնով) կամ այս ֆունկցիայի տառային ներկայացում (Plot): Առցանց հաշվիչում գրաֆիկ ստեղծելու համար պարզապես գրեք ֆունկցիան. հողամաս(tan(x)),x=-360..360.

Մենք վերցրել ենք շոշափողի ամենապարզ գրաֆիկը, իսկ տասնորդական կետից հետո նշել ենք X փոփոխականի միջակայքը -360-ից մինչև 360:

Դուք կարող եք կառուցել բացարձակապես ցանկացած ֆունկցիա՝ ցանկացած թվով փոփոխականներով, օրինակ՝ հողամաս (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)կամ նույնիսկ ավելի բարդ, որը դուք կարող եք գալ: Ուշադրություն դարձրեք X փոփոխականի վարքագծին - ից և մինչև միջակայքը նշվում է երկու կետի միջոցով:

Այս առցանց հաշվիչի միակ բացասական կողմը (թեև դժվար է դա անվանել թերություն) այն է, որ այն չի կարող կառուցել գնդիկներ և այլ եռաչափ պատկերներ՝ միայն հարթություն։

Ինչպես օգտագործել մաթեմատիկական հաշվիչը

1. Ցուցադրումը (հաշվիչի էկրանը) ցուցադրում է մուտքագրված արտահայտությունը և դրա հաշվարկի արդյունքը սովորական նշաններով, ինչպես գրում ենք թղթի վրա։ Այս դաշտը պարզապես ընթացիկ գործարքը դիտելու համար է: Մուտքը հայտնվում է էկրանին, երբ մուտքագրում եք մաթեմատիկական արտահայտություն մուտքագրման տողում:

2. Արտահայտության մուտքագրման դաշտը նախատեսված է հաշվարկման կարիք ունեցող արտահայտությունը գրանցելու համար: Այստեղ պետք է նշել, որ համակարգչային ծրագրերում օգտագործվող մաթեմատիկական նշանները միշտ չէ, որ նույնն են, ինչ մենք սովորաբար օգտագործում ենք թղթի վրա։ Հաշվիչի յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ակնարկում դուք կգտնեք կոնկրետ գործողության ճիշտ նշանակումը և հաշվիչի հաշվարկների օրինակները: Ստորև բերված այս էջում ներկայացված է հաշվիչի բոլոր հնարավոր գործողությունների ցանկը՝ նշելով նաև դրանց ճիշտ ուղղագրությունը:

3. Գործիքադարակ - դրանք հաշվիչի կոճակներ են, որոնք փոխարինում են համապատասխան գործողությունը ցույց տվող մաթեմատիկական նշանների ձեռքով մուտքագրմանը: Հաշվիչի որոշ կոճակներ (լրացուցիչ գործառույթներ, միավորի փոխարկիչ, մատրիցներ և հավասարումներ լուծելու, գծապատկերներ) լրացնում են առաջադրանքների տողը նոր դաշտերով, որտեղ մուտքագրվում են տվյալներ կոնկրետ հաշվարկի համար: «Պատմություն» դաշտը պարունակում է մաթեմատիկական արտահայտություններ գրելու օրինակներ, ինչպես նաև ձեր ամենավերջին վեց գրառումները:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ սեղմում եք լրացուցիչ գործառույթներ կանչելու, քանակները փոխարկելու, մատրիցներ և հավասարումներ լուծելու և գրաֆիկներ գծելու կոճակները, հաշվիչի ամբողջ վահանակը շարժվում է վերև՝ ծածկելով էկրանի մի մասը: Լրացրեք պահանջվող դաշտերը և սեղմեք «I» ստեղնը (նկարում կարմիրով ընդգծված)՝ ամբողջական չափի էկրանը տեսնելու համար:

4. Թվային ստեղնաշարը պարունակում է թվեր և թվաբանական նշաններ: «C» կոճակը ջնջում է ամբողջ մուտքը արտահայտության մուտքագրման դաշտում: Նիշերը մեկ առ մեկ ջնջելու համար հարկավոր է օգտագործել մուտքագրման տողի աջ կողմում գտնվող սլաքը:

Փորձեք միշտ փակագծերը փակել արտահայտության վերջում: Գործողությունների մեծ մասի համար դա կարևոր չէ, առցանց հաշվիչը ճիշտ կհաշվի ամեն ինչ: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում կարող են առաջանալ սխալներ: Օրինակ, երբ կոտորակային աստիճանը բարձրացվում է, չփակված փակագծերը կհանգեցնեն նրան, որ ցուցիչի կոտորակի հայտարարը կմտնի հիմքի հայտարարի մեջ: Փակման փակագիծը ցուցադրվում է գունատ մոխրագույնով և պետք է փակվի, երբ ձայնագրությունն ավարտվի:

Բանալին	Խորհրդանիշ	Գործողություն
պի	պի	Constant pi
ե	ե	Էյլերի համարը
%	%	տոկոս
()	()	Բացել/Փակել փակագծերը
,	,	Ստորակետ
մեղք	մեղք (?)	Անկյունի սինուս
cos	cos(?)	Կոսինուս
tan	tan(y)	Շոշափող
սինհ	sinh ()	Հիպերբոլիկ սինուս
կոշ	cosh ()	Հիպերբոլիկ կոսինուս
տանհ	tanh ()	Հիպերբոլիկ շոշափող
մեղք -1	ասին ()	Հակադարձ սինուս
cos -1	acos ()	Հակադարձ կոսինուս
tan -1	Աթան ()	Հակադարձ շոշափող
սինհ -1	asinh ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ սինուս
կոշ -1	ակոշ ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ կոսինուս
tanh -1	atanh ()	Հակադարձ հիպերբոլիկ շոշափող
x 2	^2	Քառակուսի
x 3	^3	Cube
x y	^	Էքսպոենտացիա
10 x	10^()	Բարձրացում 10-րդ հիմքի վրա
e x	exp()	Էյլերի թվի աստիճանականացում
vx	sqrt (x)	Քառակուսի արմատ
3 vx	sqrt3 (x)	3-րդ արմատ
yvx	sqrt (x, y)	Արմատների արդյունահանում
մատյան 2 x	log2 (x)	Երկուական լոգարիթմ
գերան	տեղեկամատյան (x)	Տասնորդական լոգարիթմ
ln	ln(x)	Բնական լոգարիթմ
log y x	log (x,y)	Լոգարիթմ
I/II		Նվազագույնի հասցնել/զանգել լրացուցիչ գործառույթներ
Միավոր		Միավորի փոխարկիչ
Մատրիցա		Մատրիցներ
Լուծել		Հավասարումներ և հավասարումների համակարգեր
		Գրաֆիկացում
Լրացուցիչ գործառույթներ (զանգել II ստեղնով)
ռեժիմ	ռեժիմ	Բաժանում մնացորդով
!	!	Գործոնային
i/j	i/j	Երևակայական միավոր
Re	Re()	Մեկուսացնելով ամբողջ իրական մասը
ես	ես ()	Բացառելով իրական մասը
|x|	abs ()	Թվային մոդուլ
Արգ	arg ()	Ֆունկցիայի փաստարկ
nCr	ncr ()	Բինոմինալ գործակից
gcd	gcd ()	GCD
lcm	lcm ()	ՀԱՕԿ
գումար	գումար ()	Բոլոր լուծումների ընդհանուր արժեքը
դեմք	factorize ()	Հիմնական ֆակտորիզացիա
տարբերություն	տարբերություն ()	Տարբերակում
աստիճան		Աստիճաններ
Ռադ		Ռադիաններ

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք գծային հավասարումների մի ամբողջ շարք, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզը:

Նախ սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և ո՞րն է կոչվում ամենապարզը։

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանի:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզին, օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում նույնական տերմիններ տվեք.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցի վրա։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ $0\cdot x=8$-ի նման մի բան է ստացվում, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ զրոյից տարբերվող թիվ: Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է այս ամենը աշխատում՝ օգտագործելով իրական կյանքի օրինակները:

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ, այն էլ՝ ամենապարզները։ Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ճշգրիտ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Այնուհետև միացրեք նմանատիպը
3. Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. տեղափոխել այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, մի կողմ, և այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխել մյուս կողմ:

Այնուհետև, որպես կանոն, ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում պետք է բերել նմանատիպեր, իսկ դրանից հետո մնում է բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար, սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսները» և «մինուսները» հաշվարկելիս:

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբություններին մենք կանդրադառնանք այսօրվա դասին: Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, ամենապարզ առաջադրանքներից։

Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Նախ, թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Մենք մեկուսացնում ենք փոփոխականները, այսինքն. Մենք տեղափոխում ենք այն ամենը, ինչ պարունակում է «X» մի կողմ, իսկ ամեն ինչ առանց «X»-ների՝ մյուս կողմ:
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, դրա մեջ կան որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջին քայլը մեզանից պահանջում է բացել փակագծերը: Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ՝ խոսքը միայն անհատական ​​պայմանների մասին է։ Եկեք գրենք այն.

Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ աջ և ձախ կողմում, բայց դա արդեն արվել է այստեղ։ Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին՝ բաժանել գործակցի վրա.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Առաջադրանք թիվ 2

Մենք կարող ենք տեսնել այս խնդրի փակագծերը, ուստի եկեք դրանք ընդլայնենք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն դիզայնը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. փոփոխականների առանձնացում.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։

Առաջադրանք թիվ 3

Ավելի հետաքրքիր է երրորդ գծային հավասարումը.

\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]

Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչ մի բանով չեն բազմապատկվում, ուղղակի նախորդում են տարբեր նշաններ։ Եկեք բաժանենք դրանք.

Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Եկեք հաշվարկենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը՝ ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցով.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս

Եթե ​​անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, դրանց մեջ կարող է լինել զրո - դրանում վատ բան չկա։

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մյուսները, դուք չպետք է որևէ կերպ խտրականություն դրեք դրա նկատմամբ կամ ենթադրեք, որ եթե դուք ստանում եք զրո, ապա ինչ-որ բան սխալ եք արել:

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի բացման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց դիմաց կա «մինուս», մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմներ. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Այս պարզ փաստի ըմբռնումը կօգնի ձեզ խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման բաներ անելը սովորական է համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների: Այժմ կոնստրուկցիաները կդառնան ավելի բարդ, և տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա։ Այնուամենայնիվ, մենք չպետք է վախենանք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի պլանի համաձայն, մենք լուծում ենք գծային հավասարում, ապա վերափոխման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր մոնոմալները, անշուշտ, կչեղարկվեն:

Օրինակ թիվ 1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք սա անենք շատ ուշադիր.

Հիմա եկեք նայենք գաղտնիությանը.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի մենք կգրենք սա պատասխանում.

\[\varnothing\]

կամ արմատներ չկան:

Օրինակ թիվ 2

Մենք կատարում ենք նույն գործողությունները. Առաջին քայլը.

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն կգրենք այսպես.

\[\varnothing\],

կամ արմատներ չկան:

Լուծման նրբությունները

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Որպես օրինակ օգտագործելով այս երկու արտահայտությունները՝ մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ՝ կարող է լինել կա՛մ մեկը, կա՛մ մեկը, կա՛մ անսահման շատ արմատներ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսն էլ ուղղակի արմատ չունեն։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերով և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «X»-ով: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկվում է յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կան երկու տերմիններ `համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկված:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր և վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարող եք բացել փակագիծը այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտված են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ինչը նշանակում է, որ ներքևում գտնվող ամեն ինչ պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են, և ամենակարևորը, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք կհղկեք այս հմտությունները մինչև ավտոմատացման աստիճան: Դուք այլևս ստիպված չեք լինի ամեն անգամ կատարել այսքան փոխակերպումներ, դուք կգրեք ամեն ինչ մեկ տողի վրա. Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ առաջադրանք անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք մի փոքր գաղտնիություն պահպանենք.

Ահա մի քանի նմաններ.

Եկեք ավարտենք վերջին քայլը.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն հանգամանքին, որ լուծելու ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիա ունեցող գործակիցներ, դրանք չեղարկեցին միմյանց, ինչը հավասարումը դարձնում է գծային և ոչ քառակուսի։

Առաջադրանք թիվ 2

\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]

Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. բազմապատկենք առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Փոխակերպումներից հետո պետք է լինի ընդհանուր չորս նոր տերմին.

Այժմ եկեք ուշադիր կատարենք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«X»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց տերմինները՝ աջ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Եվս մեկ անգամ ստացանք վերջնական պատասխանը.

Լուծման նրբությունները

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր նշումը հետևյալն է. հենց որ սկսում ենք բազմապատկել մեկից ավելի անդամ պարունակող փակագծերը, դա արվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և բազմապատկում յուրաքանչյուր տարրի հետ՝ երկրորդը; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում կունենանք չորս ժամկետ։

Հանրահաշվական գումարի մասին

Այս վերջին օրինակով ես ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7$ ասելով մենք հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք հասկանում ենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Ահա թե ինչպես է հանրահաշվական գումարը տարբերվում սովորական թվաբանական գումարից։

Հենց որ բոլոր փոխակերպումները, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում կատարելիս սկսեք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառուցվածքներ, բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս հանրահաշվում պարզապես խնդիրներ չեք ունենա:

Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Հավասարումների լուծում կոտորակներով

Նման առաջադրանքները լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք ևս մեկ քայլ ավելացնել մեր ալգորիթմին։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը:
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Բերեք նմանատիպերը։
4. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, պարզվում է, որ ամբողջովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ մենք կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ և՛ ձախ, և՛ աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ալգորիթմին ավելացնել ևս մեկ քայլ, որը կարելի է անել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ հետո, այն է՝ ազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Բացեք փակագծերը:
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Բերեք նմանատիպերը։
5. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»: Իսկ ինչո՞ւ դա կարելի է անել և՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, և՛ դրանից առաջ: Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են իրենց հայտարարով, այսինքն. Ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է։ Հետևաբար, եթե հավասարման երկու կողմերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ թիվ 1

\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4 \]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.

\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]

Այժմ ընդլայնենք.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականը.

Մենք կատարում ենք նմանատիպ տերմինների կրճատում.

\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Վերջնական լուծումը ստացել ենք, անցնենք երկրորդ հավասարմանը։

Օրինակ թիվ 2

\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\[\frac(\ ձախ (1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Խնդիրը լուծված է։

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի ասել ձեզ այսօր:

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե ինչ-որ տեղ ունեք քառակուսի ֆունկցիաներ, դրանք կկրճատվեն հետագա վերափոխումների ընթացքում.
• Գծային հավասարումների մեջ կան երեք տեսակի արմատներ, նույնիսկ ամենապարզները. մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, և ընդհանրապես արմատներ չկան:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ընկալման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք և լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, շատ ավելի հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ:

Հավասարումներ

Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:

Այս բաժնում մենք կհիշենք (կամ կուսումնասիրենք, կախված նրանից, թե ում եք ընտրում) ամենատարրական հավասարումները: Այսպիսով, ո՞րն է հավասարումը: Մարդկային լեզվով ասած՝ սա ինչ-որ մաթեմատիկական արտահայտություն է, որտեղ կա հավասարության նշան և անհայտ: Որը սովորաբար նշվում է տառով «X». Լուծե՛ք հավասարումը- սա x-ի այնպիսի արժեքներ գտնելն է, որ փոխարինելիս օրիգինալարտահայտությունը մեզ կտա ճիշտ ինքնությունը: Հիշեցնեմ, որ ինքնությունը մի արտահայտություն է, որը կասկածից վեր է նույնիսկ այն մարդու համար, ով բացարձակապես ծանրաբեռնված չէ մաթեմատիկական գիտելիքներով։ Ինչպես 2=2, 0=0, ab=ab և այլն: Այսպիսով, ինչպես լուծել հավասարումները:Եկեք պարզենք այն:

Կան բոլոր տեսակի հավասարումներ (ես զարմանում եմ, չէ՞): Բայց նրանց ամբողջ անսահման բազմազանությունը կարելի է բաժանել միայն չորս տեսակի.

4. Մնացած բոլորը։)

Մնացած բոլորը, իհարկե, ամենից շատ, այո...) Սա ներառում է խորանարդ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական և բոլոր տեսակի այլ բաներ: Մենք սերտորեն կաշխատենք նրանց հետ համապատասխան բաժիններում:

Անմիջապես կասեմ, որ երբեմն առաջին երեք տիպերի հավասարումները այնքան են խեղդվում, որ չես էլ ճանաչում... Ոչինչ։ Մենք կսովորենք, թե ինչպես հանգստացնել դրանք:

Իսկ ինչո՞ւ են մեզ պետք այս չորս տեսակները: Եվ հետո ինչ գծային հավասարումներլուծված է մեկ ձևով քառակուսիմյուսները, կոտորակային ռացիոնալներ - երրորդ,Ա հանգիստՆրանք ընդհանրապես չեն համարձակվում! Դե, դա այն չէ, որ նրանք ընդհանրապես չեն կարող որոշել, այլ այն է, որ ես սխալվել եմ մաթեմատիկայի հարցում:) Պարզապես նրանք ունեն իրենց հատուկ տեխնիկան և մեթոդները:

Բայց ցանկացածի համար (կրկնում եմ՝ հանուն ցանկացած!) հավասարումները լուծում են հուսալի և անհաջող հիմքեր: Աշխատում է ամենուր և միշտ: Այս հիմքը - սարսափելի է հնչում, բայց դա շատ պարզ է: Եվ շատ (Շատ!)կարևոր.

Փաստորեն, հավասարման լուծումը բաղկացած է հենց այս փոխակերպումներից: 99% Հարցի պատասխանը. Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:«Հենց այս փոխակերպումների մեջ է: Ակնարկը պարզ է՞:)

Հավասարումների նույնական փոխակերպումներ.

IN ցանկացած հավասարումներԱնհայտը գտնելու համար հարկավոր է վերափոխել և պարզեցնել սկզբնական օրինակը: Եվ այնպես, որ երբ տեսքը փոխվի հավասարման էությունը չի փոխվել.Նման փոխակերպումները կոչվում են նույնականկամ համարժեք:

Նշենք, որ այս վերափոխումները կիրառվում են մասնավորապես հավասարումների համար:Մաթեմատիկայում կան նաև ինքնության փոխակերպումներ արտահայտություններ.Սա այլ թեմա է։

Այժմ մենք կկրկնենք բոլորը, բոլորը, բոլորը հիմնականը հավասարումների նույնական փոխակերպումներ.

Հիմնական, քանի որ դրանք կարող են կիրառվել ցանկացածհավասարումներ - գծային, քառակուսի, կոտորակային, եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և այլն: և այլն:

Ինքնության առաջին փոխակերպումը. Դուք կարող եք ավելացնել (հանել) ցանկացած հավասարման երկու կողմերին ցանկացած(բայց միևնույն!) թիվ կամ արտահայտություն (ներառյալ անհայտով արտահայտությունը): Սա չի փոխում հավասարման էությունը։

Ի դեպ, դուք անընդհատ օգտագործում էիք այս փոխակերպումը, պարզապես մտածում էիք, որ ինչ-որ տերմիններ եք փոխանցում հավասարման մի մասից մյուսը՝ նշանի փոփոխությամբ։ Տեսակը:

Գործը ծանոթ է, երկուսը տեղափոխում ենք աջ, և ստանում ենք.

Իրականում դու տարելհավասարման երկու կողմերից երկուսն է: Արդյունքը նույնն է.

x+2 - 2 = 3 - 2

Նշանի փոփոխությամբ տերմինները ձախ և աջ տեղափոխելը պարզապես առաջին նույնական փոխակերպման կրճատված տարբերակն է: Իսկ մեզ ինչի՞ն է պետք այդքան խորը գիտելիքը։ -հարցնում ես։ Ոչինչ հավասարումների մեջ: Ի սեր Աստծո, համբերիր։ Պարզապես մի մոռացեք փոխել նշանը. Բայց անհավասարությունների դեպքում փոխանցելու սովորությունը կարող է փակուղի տանել...

Երկրորդ ինքնության վերափոխում: հավասարման երկու կողմերը կարելի է բազմապատկել (բաժանել) նույն բանով ոչ զրոյականթիվը կամ արտահայտությունը. Այստեղ արդեն իսկ ի հայտ է գալիս հասկանալի սահմանափակում՝ զրոյով բազմապատկելը հիմարություն է, իսկ բաժանելը՝ միանգամայն անհնար։ Սա այն փոխակերպումն է, որը դուք օգտագործում եք, երբ լուծում եք նման հիանալի բան

Պարզ է X= 2. Ինչպե՞ս գտաք այն: Ընտրությամբ? Կամ մի՞թե հենց քեզ մոտ լուսացավ: Որպեսզի չընտրեք և չսպասեք խորաթափանցությանը, դուք պետք է հասկանաք, որ դուք արդար եք բաժանել հավասարման երկու կողմերը 5-ով. Ձախ կողմը (5x) բաժանելիս հինգը կրճատվել է՝ թողնելով մաքուր X։ Ինչը հենց այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ էր: Իսկ (10)-ի աջ կողմը հինգի բաժանելիս ստացվում է, իհարկե, երկու։

վերջ։

Ծիծաղելի է, բայց այս երկու (միայն երկու) նույնական փոխակերպումները լուծման հիմքն են մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները։Վա՜յ։ Իմաստ ունի նայելու օրինակներ, թե ինչ և ինչպես, չէ՞):

Հավասարումների նույնական փոխակերպումների օրինակներ. Հիմնական խնդիրները.

Սկսենք նրանից առաջինինքնության վերափոխում. Փոխանցում ձախից աջ:

Օրինակ փոքրերի համար։)

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

3-2x=5-3x

Հիշենք կախարդանքը. «X-երով` դեպի ձախ, առանց X-ներով` աջ»:Այս ուղղագրությունը հրահանգ է առաջին ինքնության փոխակերպումն օգտագործելու համար:) Ո՞րն է աջ կողմում X-ով արտահայտությունը: 3x? Պատասխանը սխալ է։ Մեր աջ կողմում - 3x! Մինուսերեք x! Հետեւաբար, ձախ կողմում շարժվելիս նշանը կփոխվի պլյուսի: Կստացվի.

3-2x+3x=5

Այսպիսով, X-երը հավաքվել են կույտում: Անդրադառնանք թվերին: Ձախ կողմում կա երեք։ Ի՞նչ նշանով։ «Ոչ մեկի հետ» պատասխանը չի ընդունվում։) Երեքի դիմաց, իսկապես, ոչինչ չի գծվում։ Իսկ սա նշանակում է, որ երեքից առաջ կա գումարած.Այսպիսով, մաթեմատիկոսները համաձայնեցին: Ոչինչ գրված չէ, ինչը նշանակում է գումարած.Հետեւաբար, եռյակը կտեղափոխվի աջ կողմ մինուսով.Մենք ստանում ենք.

-2x+3x=5-3

Մնացել են ընդամենը մանրուքներ։ Ձախ կողմում - բերեք նմանատիպերը, աջ կողմում - հաշվեք: Պատասխանը գալիս է անմիջապես.

Այս օրինակում բավական էր մեկ ինքնության վերափոխումը։ Երկրորդը պետք չէր։ Դե, լավ:)

Օրինակ մեծ երեխաների համար։)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։