Գտնելով nok առցանց հաշվիչը: Ինչպես գտնել երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Երկրորդ համարը. b=

Հազար բաժանարարԱռանց տիեզերական բաժանարարի «'

Արդյունք:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար gcd( ա,բ)=6

LCM-ի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը ( ա,բ)=468

Ամենամեծ բնական թիվը, որը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել a և b թվերով, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(GCD) այս թվերից: Նշվում է gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) կամ hcf(a,b):

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու a և b թվերի LCM-ն ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է a-ի և b-ի առանց մնացորդի։ Նշվում է LCM(a,b) կամ lcm(a,b):

A և b ամբողջ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե +1-ից և −1-ից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Թող տրվի երկու դրական թիվ ա 1 և ա 2 1). Պահանջվում է գտնել այս թվերի ընդհանուր բաժանարարը, այսինքն. գտնել այդպիսի թիվ λ , որը բաժանում է թվերը ա 1 և ա 2 միաժամանակ. Եկեք նկարագրենք ալգորիթմը.

1) Այս հոդվածում թիվ բառը կհասկանա որպես ամբողջ թիվ:

Թող ա 1 ≥ ա 2 և թող

Որտեղ մ 1 , ա 3-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ա 3 <ա 2 (բաժանման մնացորդը ա 1 հատ ա 2-ը պետք է պակաս լինի ա 2).

Եկեք այդպես ձևացնենք λ բաժանում է ա 1 և ա 2 ապա λ բաժանում է մ 1 ա 2 և λ բաժանում է ա 1 −մ 1 ա 2 =ա 3 («Թվերի բաժանելիություն. բաժանելիության թեստ» հոդվածի 2-րդ դրույթ): Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար ա 1 և ա 2-ը ընդհանուր բաժանարարն է ա 2 և ա 3. Հակառակը նույնպես ճիշտ է, եթե λ ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3 ապա մ 1 ա 2 և ա 1 =մ 1 ա 2 +ա 3-ը նույնպես բաժանվում է λ . Հետևաբար ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3-ը նույնպես ընդհանուր բաժանարար է ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 3 <ա 2 ≤ա 1, ապա կարելի է ասել, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու խնդրի լուծումը ա 1 և ա 2-ը կրճատվել է թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ավելի պարզ խնդրի ա 2 և ա 3 .

Եթե ա 3 ≠0, ապա մենք կարող ենք բաժանել ա 2 վրա ա 3. Հետո

,

Որտեղ մ 1 և ա 4-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ( ա 4 մնաց բաժանումից ա 2 վրա ա 3 (ա 4 <ա 3)): Նմանատիպ պատճառաբանությամբ գալիս ենք այն եզրակացության, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 3 և ա 4-ը համընկնում է թվերի ընդհանուր բաժանարարների հետ ա 2 և ա 3, ինչպես նաև ընդհանուր բաժանարարներով ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4, ... թվեր են, որոնք անընդհատ նվազում են, և քանի որ դրանց միջև կա վերջավոր թվով ամբողջ թվեր. ա 2 և 0, ապա ինչ-որ քայլի n, բաժանման մնացորդը ա n վրա ա n+1 հավասար կլինի զրոյի ( ա n+2 =0):

.

Յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար λ թվեր ա 1 և ա 2-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 2 և ա 3 , ա 3 և ա 4 , .... ա n և ա n+1 . Ճիշտ է նաև հակառակը՝ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա n և ա n+1-ը նույնպես թվերի բաժանարարներ են ա n−1 և ա n, ...., ա 2 և ա 3 , ա 1 և ա 2. Բայց թվերի ընդհանուր բաժանարարը ա n և ա n+1-ը թիվ է ա n+1, քանի որ ա n և ա n+1-ը բաժանվում են ա n+1 (հիշեք, որ ա n+2 =0): Ուստի ա n+1-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 1 և ա 2 .

Նշենք, որ համարը ա n+1 թվերի ամենամեծ բաժանարարն է ա n և ա n+1, քանի որ ամենամեծ բաժանարարը ա n+1-ն ինքն է ա n+1 . Եթե ա n+1-ը կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի արտադրյալ, ապա այս թվերը նույնպես թվերի ընդհանուր բաժանարարներ են։ ա 1 և ա 2. Թիվ ա n+1 կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըթվեր ա 1 և ա 2 .

Թվեր ա 1 և ա 2-ը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թվեր: Եթե ​​թվերից մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար կլինի մյուս թվի բացարձակ արժեքին։ Զրո թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը որոշված ​​չէ:

Վերոնշյալ ալգորիթմը կոչվում է Էվկլիդեսյան ալգորիթմգտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու օրինակ

Գտե՛ք 630 և 434 երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

• Քայլ 1. 630 թիվը բաժանեք 434-ի, մնացածը 196 է։
• Քայլ 2. 434 թիվը բաժանեք 196-ի, մնացածը 42 է։
• Քայլ 3. 196 թիվը բաժանեք 42-ի, մնացածը 28 է։
• Քայլ 4. 42 թիվը բաժանեք 28-ի, մնացածը 14 է։
• Քայլ 5. 28 թիվը բաժանեք 14-ի, մնացորդը 0 է։

5-րդ քայլում բաժանման մնացորդը 0 է։ Հետևաբար, 630 և 434 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 14-ն է։ Նկատի ունեցեք, որ 2 և 7 թվերը նույնպես 630 և 434 թվերի բաժանարարներն են։

Համապարփակ թվեր

Սահմանում 1. Թող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2-ը հավասար է մեկի: Այնուհետև այս թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր, չունենալով ընդհանուր բաժանարար։

Թեորեմ 1. Եթե ա 1 և ա 2 համապարփակ թվեր և λ ինչ-որ թիվ, ապա թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար λa 1 և ա 2-ը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Ապացույց. Դիտարկենք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ա 1 և ա 2 (տես վերևում):

.

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2 և հետևաբար ա n և ա n+1-ը 1 է. Այսինքն ա n+1 =1.

Եկեք այս բոլոր հավասարությունները բազմապատկենք λ , Հետո

.

Թող ընդհանուր բաժանարարը ա 1 λ Եվ ա 2 այո δ . Հետո δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 1 λ , մ 1 ա 2 λ և մեջ ա 1 λ -մ 1 ա 2 λ =ա 3 λ (տե՛ս «Թվերի բաժանելիությունը», հայտարարությունը 2): Հետագա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 2 λ Եվ մ 2 ա 3 λ , և, հետևաբար, գործոն է ա 2 λ -մ 2 ա 3 λ =ա 4 λ .

Այսպես պատճառաբանելով՝ մենք համոզված ենք, որ δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա n−1 λ Եվ մ n−1 ա n λ , և հետևաբար ներս ա n−1 λ −մ n−1 ա n λ =ա n+1 λ . Որովհետեւ ա n+1 =1, ապա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ λ . Հետևաբար թիվը δ թվերի ընդհանուր բաժանարարն է λ Եվ ա 2 .

Դիտարկենք թեորեմ 1-ի հատուկ դեպքերը:

Հետևանք 1. Թող աԵվ գՊարզ թվերը համեմատաբար են բ. Հետո նրանց արտադրանքը ակ-ի նկատմամբ պարզ թիվ է բ.

Իսկապես։ Թեորեմ 1-ից ակԵվ բունեն նույն ընդհանուր բաժանարարները, ինչ գԵվ բ. Բայց թվերը գԵվ բհամեմատաբար պարզ, այսինքն. ունեն մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետո ակԵվ բունեն նաև մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետևաբար ակԵվ բփոխադարձաբար պարզ.

Հետևանք 2. Թող աԵվ բհամապարփակ թվեր և թող բբաժանում է ակ. Հետո բբաժանում է և կ.

Իսկապես։ Հաստատման պայմանից ակԵվ բունեն ընդհանուր բաժանարար բ. Թեորեմ 1-ի ուժով. բպետք է լինի ընդհանուր բաժանարար բԵվ կ. Ուստի բբաժանում է կ.

Եզրակացություն 1-ը կարելի է ընդհանրացնել.

Հետևանք 3. 1. Թող թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 , ..., ա m-ը թվի համեմատ պարզ է բ. Հետո ա 1 ա 2 , ա 1 ա 2 · ա 3 , ..., ա 1 ա 2 ա 3 ··· ա m, այս թվերի արտադրյալը թվի համեմատ պարզ է բ.

2. Եկեք ունենանք թվերի երկու շարք

այնպես, որ առաջին շարքի յուրաքանչյուր թիվ պարզ է երկրորդ շարքի յուրաքանչյուր թվի հարաբերությամբ: Այնուհետև ապրանքը

Պետք է գտնել թվեր, որոնք բաժանվում են այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա:

Եթե ​​թիվը բաժանվում է ա 1, ապա այն ունի ձևը սա 1 որտեղ սինչ-որ թիվ. Եթե քթվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է ա 1 և ա 2, ապա

Որտեղ ս 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է: Հետո

է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկները ա 1 և ա 2 .

ա 1 և ա 2-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2:

Մենք պետք է գտնենք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Վերոնշյալից հետևում է, որ թվերի ցանկացած բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε Եվ ա 3 և ետ: Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε Եվ ա 3 այո ε 1 . Հաջորդը, թվերի բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε 1 և ա 4 . Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε 1 և ա 4 այո ε 2. Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ թվերի բոլոր բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համընկնում է որոշակի թվի բազմապատիկներին ε n, որը կոչվում է տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Այն հատուկ դեպքում, երբ թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2-ը, ինչպես ցույց է տրված վերևում, ունի (3) ձևը: Հաջորդը, քանի որ ա 3 պարզ թվերի նկատմամբ ա 1 , ա 2 ապա ա 3 պարզ թիվ ա 1 · ա 2 (Հետևանք 1): Նշանակում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 ,ա 2 ,ա 3-ը թիվ է ա 1 · ա 2 · ա 3. Նմանապես պատճառաբանելով՝ հանգում ենք հետևյալ պնդումներին.

Հայտարարություն 1. Համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը հավասար է նրանց արտադրյալին ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Հայտարարություն 2. Ցանկացած թիվ, որը բաժանվում է համապարփակ թվերից յուրաքանչյուրի վրա ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը նույնպես բաժանվում է նրանց արտադրյալի վրա ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ՝ GCD և LCM գտնելու համար

Գտեք GCD և LOC

Գտնվել է GCD և LOC՝ 5806

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

• Մուտքագրեք թվերը մուտքագրման դաշտում
• Եթե ​​մուտքագրեք սխալ նիշեր, մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
• սեղմեք «Գտեք GCD և LOC» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

• Թվերը մուտքագրվում են բաժանված բացատով, կետով կամ ստորակետով
• Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի GCD և LCM գտնելը դժվար չէ

Ի՞նչ են GCD-ն և NOC-ը:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըմի քանի թվեր ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կրճատվում է որպես GCD.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի: Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​որ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մեկ այլ թվի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվ բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով՝ կարող եք ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի բաժանելիության թեստ 2-ի վրա
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն հավասար է 0-ի, 2-ի, 4-ի, 6-ի կամ 8-ի, ապա թիվը զույգ է, ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է 2-ի:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:Մենք նայում ենք վերջին թվանշանին՝ 8 - նշանակում է թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի բաժանելիության թեստ 3-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, դուք պետք է հաշվարկեք թվանշանների գումարը և ստուգեք, թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք նորից կրկնել նույն գործընթացը:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 3-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 3-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի բաժանելիության թեստ 5-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո է կամ հինգ։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի բաժանելիության թեստ 9-ի վրա
Այս նշանը շատ նման է երեքի բաժանելիության նշանին. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 9-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի gcd-ն

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հաշվարկելու ամենահեշտ ձևը այդ թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները գտնելն ու ամենամեծն ընտրելն է։

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD(28, 36) գտնելու օրինակը.

1. Մենք գործակցում ենք երկու թվերն էլ՝ 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործոններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործոնների արտադրյալը՝ 1 2 2 = 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին մեթոդն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև ընտրել մի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի gcd-ն։ Դիտարկենք միայն այն։

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), ինչպես արդեն հայտնի է, հավասար է 4-ի
3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252:

Գտնելով GCD և LCM մի քանի թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Դա անելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնվելիք թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը: Կարող եք նաև օգտագործել հետևյալ կապը մի քանի թվերի gcd-ն գտնելու համար. GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Նման հարաբերությունը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

1. Նախ, եկեք գործոնացնենք թվերը՝ 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3:
2. Գտնենք ընդհանուր գործոնները՝ 1, 2 և 2։
3. Նրանց արտադրանքը կտա GCD՝ 1·2·2 = 4
4. Հիմա եկեք գտնենք LCM-ը. դա անելու համար նախ գտնենք LCM-ը (12, 32): 12·32 / 4 = 96:
5. Բոլոր երեք թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12:
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288:

Բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է տրված թվի վրա՝ առանց մնացորդի։ Թվերի խմբի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է խմբի յուրաքանչյուր թվի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։ Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար պետք է գտնել տրված թվերի պարզ գործակիցները: LCM-ը կարող է նաև հաշվարկվել՝ օգտագործելով մի շարք այլ մեթոդներ, որոնք կիրառվում են երկու կամ ավելի թվերի խմբերի համար:

Քայլեր

Բազմապատիկների շարք

Նայեք այս թվերին.Այստեղ նկարագրված մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, երբ տրվում է երկու թիվ, որոնցից յուրաքանչյուրը 10-ից փոքր է: Եթե տրված են ավելի մեծ թվեր, օգտագործեք այլ մեթոդ:

• Օրինակ, գտեք 5-ի և 8-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Սրանք փոքր թվեր են, այնպես որ կարող եք օգտագործել այս մեթոդը:

1. Բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է տրված թվի վրա՝ առանց մնացորդի։ Բազմապատկերները կարելի է գտնել բազմապատկման աղյուսակում:

   • Օրինակ՝ 5-ի բազմապատիկ թվերն են՝ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40:

2. Գրի՛ր մի շարք թվեր, որոնք առաջին թվի բազմապատիկն են։Դա արեք առաջին թվի բազմապատիկի տակ՝ թվերի երկու հավաքածու համեմատելու համար:

   • Օրինակ՝ 8-ի բազմապատիկ թվերն են՝ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 և 64:

3. Գտե՛ք ամենափոքր թիվը, որն առկա է բազմապատիկների երկու խմբերում:Ընդհանուր թիվը գտնելու համար գուցե հարկ լինի գրել բազմակի երկար շարքեր: Ամենափոքր թիվը, որն առկա է բազմապատիկների երկու խմբերում, ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

   • Օրինակ, ամենափոքր թիվը, որը հայտնվում է 5-ի և 8-ի բազմապատիկների շարքում, 40-ն է: Հետևաբար, 40-ը 5-ի և 8-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

   Հիմնական ֆակտորիզացիա

   1. Նայեք այս թվերին.Այստեղ նկարագրված մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, երբ տրվում է երկու թիվ, որոնցից յուրաքանչյուրը 10-ից մեծ է: Եթե տրված են ավելի փոքր թվեր, օգտագործեք այլ մեթոդ:

      • Օրինակ՝ գտե՛ք 20 և 84 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Թվերից յուրաքանչյուրը 10-ից մեծ է, ուստի կարող եք օգտագործել այս մեթոդը:

   2. Առաջին թիվը վերածեք պարզ գործոնների:Այսինքն՝ պետք է գտնել այնպիսի պարզ թվեր, որոնք, երբ բազմապատկվեն, ստացվի տվյալ թիվ։ Երբ պարզեք հիմնական գործոնները, գրեք դրանք որպես հավասարումներ:

      • Օրինակ, 2 × 10 = 20 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ 10=20)Եվ 2 × 5 = 10 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ (\mathbf (5))=10). Այսպիսով, 20 թվի պարզ գործակիցները 2, 2 և 5 թվերն են: Գրե՛ք դրանք որպես արտահայտություն.

   3. Երկրորդ թիվը վերածեք պարզ գործակիցների:Դա արեք այնպես, ինչպես գործոնավորեցիք առաջին թիվը, այսինքն՝ գտեք այնպիսի պարզ թվեր, որոնք բազմապատկելու դեպքում կստացվի տվյալ թիվը։

      • Օրինակ, 2 × 42 = 84 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ 42=84), 7 × 6 = 42 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (7) )\ անգամ 6=42)Եվ 3 × 2 = 6 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (3) )\ անգամ (\mathbf (2) )=6). Այսպիսով, 84 թվի պարզ գործակիցները 2, 7, 3 և 2 թվերն են: Գրե՛ք դրանք որպես արտահայտություն.

   4. Գրե՛ք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնները:Գրեք այնպիսի գործոններ, ինչպիսիք են բազմապատկման գործողությունը: Երբ գրում եք յուրաքանչյուր գործոն, խաչեք այն երկու արտահայտություններում (արտահայտություններ, որոնք նկարագրում են թվերի գործոնավորումը պարզ գործակիցների):

      • Օրինակ, երկու թվերն էլ ունեն ընդհանուր գործակից 2, այնպես որ գրեք 2 × (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ)և երկու արտահայտություններում էլ խաչիր 2-ը:
      • Երկու թվերն էլ ընդհանուր են 2-ի մեկ այլ գործակից, այնպես որ գրեք 2 × 2 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 2)և երկրորդ 2-ը երկու արտահայտություններում էլ հատիր։

   5. Բազմապատկման գործողությանը ավելացրեք մնացած գործոնները:Սրանք գործոններ են, որոնք երկու արտահայտություններում էլ չեն խաչվում, այսինքն՝ գործոններ, որոնք ընդհանուր չեն երկու թվերի համար։

      • Օրինակ՝ արտահայտության մեջ 20 = 2 × 2 × 5 (\ցուցադրման ոճ 20=2\անգամ 2\անգամ 5)Երկու երկուսն էլ (2) խաչված են, քանի որ դրանք ընդհանուր գործոններ են: Գործակից 5-ը չի հատվում, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 2 × 5 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 2\անգամ 5)
      • Արտահայտության մեջ 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ցուցադրման ոճ 84=2\անգամ 7\անգամ 3\անգամ 2)երկու երկուսը (2) նույնպես խաչված են: 7 և 3 գործակիցները խաչված չեն, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ցուցադրման ոճ 2 \ անգամ 2 \ անգամ 5 \ անգամ 7 \ անգամ 3).

   6. Հաշվիր ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:Դա անելու համար բազմապատկեք գրավոր բազմապատկման գործողության թվերը:

      • Օրինակ, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 2\անգամ 5\անգամ 7\անգամ 3=420). Այսպիսով, 20-ի և 84-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 420-ն է:

   Ընդհանուր գործոններ գտնելը

   1. Նկարեք ցանց, ինչպես տիկ-տաք-ոտքի խաղը:Նման ցանցը բաղկացած է երկու զուգահեռ ուղիղներից, որոնք հատվում են (ուղիղ անկյան տակ) ևս երկու զուգահեռ գծերի հետ։ Սա ձեզ կտա երեք տող և երեք սյունակ (ցանցը շատ նման է # պատկերակին): Առաջին համարը գրեք առաջին տողում և երկրորդ սյունակում: Առաջին շարքում և երրորդ սյունակում գրեք երկրորդ թիվը։

      • Օրինակ՝ գտե՛ք 18 և 30 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Առաջին շարքում և երկրորդ սյունակում գրե՛ք 18 թիվը, իսկ առաջին շարքում և երրորդ սյունակում գրե՛ք 30 թիվը:

   2. Գտե՛ք երկու թվերի համար ընդհանուր բաժանարարը:Գրեք այն առաջին շարքում և առաջին սյունակում: Ավելի լավ է փնտրել հիմնական գործոնները, բայց դա պարտադիր չէ։

      • Օրինակ, 18-ը և 30-ը զույգ թվեր են, ուստի նրանց ընդհանուր գործակիցը 2-ն է: Այսպիսով, առաջին տողում և առաջին սյունակում գրեք 2:

   3. Յուրաքանչյուր թիվը բաժանեք առաջին բաժանարարի վրա:Յուրաքանչյուր քանորդ գրի՛ր համապատասխան թվի տակ: քանորդը երկու թվերի բաժանման արդյունք է:

      • Օրինակ, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), ուրեմն 9-ը գրեք 18-ի տակ։
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), այնպես որ գրեք 15-ը 30-ի տակ։

   4. Գտե՛ք երկու քանորդների համար ընդհանուր բաժանարարը:Եթե ​​նման բաժանարար չկա, բաց թողեք հաջորդ երկու քայլերը: Հակառակ դեպքում գրեք բաժանարարը երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում:

      • Օրինակ, 9-ը և 15-ը բաժանվում են 3-ի, ուստի երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում գրեք 3:

   5. Յուրաքանչյուր քանորդ բաժանեք իր երկրորդ բաժանարարի վրա:Յուրաքանչյուր բաժանման արդյունքը գրի՛ր համապատասխան քանորդի տակ:

      • Օրինակ, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), ուրեմն 9-ի տակ գրեք 3:
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), ուրեմն 15-ի տակ գրեք 5:

   6. Անհրաժեշտության դեպքում ցանցին ավելացրեք լրացուցիչ բջիջներ:Կրկնեք նկարագրված քայլերը, մինչև որ քանորդներն ունենան ընդհանուր բաժանարար:

   7. Շրջեք ցանցի առաջին սյունակի և վերջին շարքի թվերը:Այնուհետև ընտրված թվերը գրեք որպես բազմապատկման գործողություն:

      • Օրինակ՝ 2 և 3 թվերն առաջին սյունակում են, իսկ 3 և 5 թվերը՝ վերջին շարքում, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 3 × 3 × 5 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 3\անգամ 3\անգամ 5).

   8. Գտե՛ք թվերի բազմապատկման արդյունքը.Սա կհաշվի երկու տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

      • Օրինակ, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 3\ անգամ 3\ անգամ 5=90). Այսպիսով, 18-ի և 30-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 90-ն է:

   Էվկլիդեսի ալգորիթմը

   1. Հիշեք բաժանման գործողության հետ կապված տերմինաբանությունը:Շահաբաժինն այն թիվն է, որը բաժանվում է: Բաժանարարը այն թիվն է, որի վրա բաժանվում է: քանորդը երկու թվերի բաժանման արդյունք է: Մնացորդը երկու թվեր բաժանելիս մնացած թիվն է:

      • Օրինակ՝ արտահայտության մեջ 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ոստ. 3:
        15-ը շահաբաժինն է
        6-ը բաժանարար է
        2-ը գործակից է
        3-ը մնացորդն է:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Սահմանում 2

Եթե ​​a բնական թիվը բաժանվում է $b$ բնական թվի վրա, ապա $b$-ը կոչվում է $a$-ի բաժանարար, իսկ $a$-ը՝ $b$-ի բազմապատիկ։

Թող $a$ և $b$ լինեն բնական թվեր։ $c$ թիվը կոչվում է $a$ և $b$-ի ընդհանուր բաժանարար։

$a$ և $b$ թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը վերջավոր է, քանի որ այս բաժանարարներից և ոչ մեկը չի կարող $a$-ից մեծ լինել։ Սա նշանակում է, որ այս բաժանարարներից կա ամենամեծը, որը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և նշվում է հետևյալ նշումով.

$GCD \(a;b)\ կամ \D\(a;b)$

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Օրինակ 1

Գտե՛ք $121$ և $132.$ թվերի gcd-ն

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Ընտրեք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$GCD=2\cdot 11=22$

Օրինակ 2

Գտե՛ք $63$ և $81$ միաբանականների gcd-ն։

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար:

Եկեք թվերը դասավորենք պարզ գործոնների

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Մենք ընտրում ենք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Գտնենք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$GCD=3\cdot 3=9$

Դուք կարող եք գտնել երկու թվերի gcd-ն այլ կերպ՝ օգտագործելով թվերի բաժանարարների մի շարք:

Օրինակ 3

Գտեք $48$ և $60$ թվերի gcd-ն։

Լուծում:

Գտնենք $48$ թվի բաժանարարների բազմությունը՝ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\աջ\)$

Հիմա եկեք գտնենք $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\աջ\) թվի բաժանարարների բազմությունը: $

Գտնենք այս բազմությունների խաչմերուկը՝ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - այս բազմությունը կորոշի $48$ և $60 թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը։ $. Այս հավաքածուի ամենամեծ տարրը կլինի $12$ թիվը: Սա նշանակում է, որ $48$ և $60$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $12$ է։

NPL-ի սահմանում

Սահմանում 3

Բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկները$a$-ը և $b$-ը բնական թիվ են, որը և $a$-ի և $b$-ի բազմապատիկն է:

Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները այն թվերն են, որոնք բաժանվում են սկզբնական թվերի վրա՝ առանց մնացորդի, օրինակ՝ $25$ և $50$, ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն $50,100,150,200$ և այլն։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կկոչվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և կնշանակվի LCM$(a;b)$ կամ K$(a;b).$:

Երկու թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գործոնների թվերը վերածվում են պարզ գործոնների
2. Գրի՛ր առաջին թվի մաս կազմող գործոնները և դրանց ավելացրո՛ւ այն գործոնները, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և առաջինի մաս չեն կազմում։

Օրինակ 4

Գտեք $99$ և $77$ թվերի LCM:

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար

Գործոնների թվերը վերածվում են պարզ գործոնների

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Գրեք առաջինում ներառված գործոնները

դրանց ավելացրեք բազմապատկիչներ, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և ոչ առաջինի մաս

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Թվերի բաժանարարների ցուցակներ կազմելը հաճախ շատ աշխատատար խնդիր է: Գոյություն ունի GCD-ն գտնելու միջոց, որը կոչվում է Էվկլիդեսյան ալգորիթմ:

Հայտարարություններ, որոնց վրա հիմնված է Էվկլիդեսյան ալգորիթմը.

Եթե ​​$a$ և $b$ բնական թվեր են, և $a\vdots b$, ապա $D(a;b)=b$

Եթե ​​$a$-ը և $b$-ն այնպիսի բնական թվեր են, որ $b

Օգտագործելով $D(a;b)= D(a-b;b)$, մենք կարող ենք հաջորդաբար կրճատել դիտարկվող թվերը, մինչև հասնենք այնպիսի թվերի, որ դրանցից մեկը բաժանվի մյուսի վրա: Այնուհետև այս թվերից փոքրը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $a$ և $b$ թվերի համար:

GCD-ի և LCM-ի հատկությունները

1. $a$-ի և $b$-ի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ բաժանվում է K$(a;b)$-ի
2. Եթե ​​$a\vdots b$, ապա К$(a;b)=a$

Եթե ​​K$(a;b)=k$ և $m$ բնական թիվ են, ապա K$(am;bm)=km$

Եթե ​​$d$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բաժանարար է, ապա K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d): ) $

Եթե ​​$a\vdots c$ և $b\vdots c$, ապա $\frac(ab)(c)$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բազմապատիկն է:

$a$ և $b$ ցանկացած բնական թվերի համար գործում է հավասարությունը

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ և $b$ թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար $D(a;b)$ թվի բաժանարարն է։