Առցանց թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Երկու թվերի պտույտ և շարժում, էվկլիդեսյան ալգորիթմ

Շարունակենք զրույցը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի մասին, որը սկսել ենք «LCM. ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, սահմանում, օրինակներ» բաժնում։ Այս թեմայում մենք կքննարկենք երեք և ավելի թվերի համար LCM-ն գտնելու ուղիները և կանդրադառնանք այն հարցին, թե ինչպես գտնել բացասական թվի LCM:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով

Մենք արդեն հաստատել ենք կապը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջև: Այժմ եկեք սովորենք, թե ինչպես կարելի է որոշել LCM-ն GCD-ի միջոցով: Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչպես դա անել դրական թվերի համար:

Սահմանում 1

Դուք կարող եք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով՝ օգտագործելով LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) բանաձևը:

Օրինակ 1

Պետք է գտնել 126 և 70 համարների LCM-ն։

Լուծում

Վերցնենք a = 126, b = 70: Եկեք փոխարինենք արժեքները ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի հաշվարկման բանաձևում LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Գտնում է 70 և 126 թվերի gcd-ն։ Դրա համար մեզ անհրաժեշտ է Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, հետևաբար GCD (126 , 70) = 14 .

Եկեք հաշվարկենք LCM. LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630:

Պատասխան. LCM(126, 70) = 630:

Օրինակ 2

Գտե՛ք 68 և 34 թիվը։

Լուծում

GCD ներս այս դեպքումՍա դժվար չէ, քանի որ 68-ը բաժանվում է 34-ի։ Եկեք հաշվարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` օգտագործելով բանաձևը` LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68:

Պատասխան. LCM(68, 34) = 68:

Այս օրինակում մենք օգտագործել ենք a և b դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու կանոնը. եթե առաջին թիվը բաժանվում է երկրորդի վրա, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար կլինի առաջին թվին։

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Հիմա եկեք նայենք LCM-ի հայտնաբերման մեթոդին, որը հիմնված է թվերը պարզ գործակիցների վերածելու վրա:

Սահմանում 2

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար մենք պետք է կատարենք մի շարք պարզ քայլեր.

• մենք կազմում ենք այն թվերի բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը, որոնց համար պետք է գտնել LCM.
• մենք բացառում ենք բոլոր հիմնական գործոնները դրանց արդյունքում ստացված արտադրանքներից.
• Ընդհանուր պարզ գործակիցները վերացնելուց հետո ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի LCM-ին։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու այս մեթոդը հիմնված է LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) հավասարության վրա: Եթե ​​նայեք բանաձևին, պարզ կդառնա՝ a և b թվերի արտադրյալը հավասար է բոլոր այն գործոնների արտադրյալին, որոնք մասնակցում են այս երկու թվերի տարրալուծմանը։ Այս դեպքում երկու թվերի gcd-ն հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են այս երկու թվերի ֆակտորիզացիաներում։

Օրինակ 3

Մենք ունենք երկու թիվ 75 և 210: Մենք կարող ենք դրանք գործոնավորել հետևյալ կերպ. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. Եթե ​​կազմեք երկու սկզբնական թվերի բոլոր գործակիցների արտադրյալը, կստանաք. 2 3 3 5 5 5 5 7.

Եթե ​​բացառենք և՛ 3, և՛ 5 թվերի համար ընդհանուր գործոնները, ապա կստանանք հետևյալ ձևի արտադրյալը. 2 3 5 5 7 = 1050. Այս ապրանքը կլինի մեր LCM-ն 75 և 210 համարների համար:

Օրինակ 4

Գտեք թվերի LCM 441 Եվ 700 , երկու թվերը ֆակտորելով պարզ գործակիցների:

Լուծում

Գտնենք պայմանում տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցները.

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Մենք ստանում ենք թվերի երկու շղթա՝ 441 = 3 3 7 7 և 700 = 2 2 5 5 7:

Այս թվերի տարրալուծմանը մասնակցած բոլոր գործոնների արտադրյալը կունենա հետևյալ ձևը. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Եկեք գտնենք ընդհանուր գործոններ. Սա 7 թիվն է։ Եկեք բացառենք այն ընդհանուր արտադրանքից. 2 2 3 3 5 5 7 7. Պարզվում է, որ ՀԱՕԿ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Պատասխան. LOC(441, 700) = 44,100:

Եկեք մեկ այլ ձևակերպում տանք LCM-ը գտնելու մեթոդի՝ թվերը պարզ գործակիցների տարրալուծելու միջոցով:

Սահմանում 3

Նախկինում մենք բացառում էինք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնների ընդհանուր թվից: Այժմ մենք դա կանենք այլ կերպ.

• Եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.
• Առաջին թվի պարզ գործակիցների արտադրյալին ավելացնել երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները.
• մենք ստանում ենք արտադրյալը, որը կլինի երկու թվերի ցանկալի LCM:

Օրինակ 5

Վերադառնանք 75 և 210 թվերին, որոնց համար մենք արդեն փնտրել ենք LCM-ն նախորդ օրինակներից մեկում։ Եկեք դրանք բաժանենք պարզ գործոնների. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. 3, 5 և գործակիցների արտադրյալին 5 75 համարները ավելացնում են բացակայող գործոնները 2 Եվ 7 210 համարներ։ Մենք ստանում ենք. 2 · 3 · 5 · 5 · 7.Սա 75 և 210 թվերի LCM-ն է։

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է հաշվարկել 84 և 648 թվերի LCM-ն։

Լուծում

Պայմանից թվերը դասավորենք պարզ գործոնների. 84 = 2 2 3 7Եվ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. Արտադրանքին ավելացնենք 2, 2, 3 և 7 թվեր 84 բացակայող գործոններ 2, 3, 3 և
3 648 համարներ։ Մենք ստանում ենք ապրանքը 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536:Սա 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM (84, 648) = 4,536:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Անկախ նրանից, թե քանի թվի հետ գործ ունենք, մեր գործողությունների ալգորիթմը միշտ նույնն է լինելու. մենք հաջորդաբար կգտնենք երկու թվերի LCM: Այս դեպքի համար կա թեորեմա.

Թեորեմ 1

Ենթադրենք, որ ունենք ամբողջ թվեր a 1, a 2, …, a k. ՀԱՕԿ մ կայս թվերը հայտնաբերվում են հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k):

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարող է թեորեմը կիրառվել կոնկրետ խնդիրներ լուծելու համար։

Օրինակ 7

Դուք պետք է հաշվարկեք չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 140, 9, 54 և 250 .

Լուծում

Ներկայացնենք նշումը՝ a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250:

Եկեք սկսենք հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9): Եկեք կիրառենք Էվկլիդեսի ալգորիթմը 140 և 9 թվերի GCD-ն հաշվարկելու համար՝ 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4: Մենք ստանում ենք. Հետեւաբար, մ 2 = 1260:

Հիմա եկեք հաշվարկենք՝ օգտագործելով նույն ալգորիթմը m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54): Հաշվարկների ընթացքում մենք ստանում ենք m 3 = 3 780:

Մեզ մնում է միայն հաշվարկել m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250): Մենք հետևում ենք նույն ալգորիթմին. Մենք ստանում ենք m 4 = 94 500:

Օրինակի պայմանից չորս թվերի LCM-ն 94500 է:

Պատասխան. NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկները պարզ են, բայց բավականին աշխատատար: Ժամանակ խնայելու համար կարող եք այլ ճանապարհով գնալ։

Սահմանում 4

Մենք ձեզ առաջարկում ենք գործողությունների հետևյալ ալգորիթմը.

• մենք բոլոր թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների.
• Առաջին թվի գործակիցների արտադրյալին ավելացնում ենք բաց թողնված գործակիցները երկրորդ թվի արտադրյալից.
• նախորդ փուլում ստացված արտադրանքին ավելացնում ենք երրորդ թվի բացակայող գործակիցները և այլն.
• ստացված արտադրյալը կլինի պայմանի բոլոր թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Օրինակ 8

Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի LCM:

Լուծում

Եկեք բոլոր հինգ թվերը չափենք պարզ գործակիցների՝ 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13: Պարզ թվերը, որոնք 7 թիվն են, չեն կարող վերագրվել պարզ գործակիցների: Նման թվերը համընկնում են դրանց տարրալուծման հետ պարզ գործոնների։

Հիմա վերցնենք 84 թվի 2, 2, 3 և 7 պարզ գործակիցների արտադրյալը և գումարենք երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները։ Մենք 6 թիվը բաժանեցինք 2-ի և 3-ի։ Այս գործոններն արդեն առաջին թվի արտադրյալում են։ Հետեւաբար, մենք դրանք բաց ենք թողնում։

Մենք շարունակում ենք ավելացնել բաց թողնված բազմապատկիչները: Անցնենք 48 թվին, որի պարզ գործակիցների արտադրյալից վերցնում ենք 2-ը և 2-ը։ Այնուհետև չորրորդ թվից գումարում ենք 7-ի պարզ գործակիցը և հինգերորդի 11-ի և 13-ի գործակիցները։ Մենք ստանում ենք՝ 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048: Սա սկզբնական հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048:

Գտնել բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար այդ թվերը նախ պետք է փոխարինել հակառակ նշանով թվերով, այնուհետև հաշվարկները կատարել վերը նշված ալգորիթմների միջոցով։

Օրինակ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) և LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)։

Նման գործողությունները թույլատրելի են այն պատճառով, որ եթե ընդունենք դա աԵվ − ա- հակադիր թվեր,
ապա թվի բազմապատիկների բազմությունը ահամապատասխանում է թվի բազմապատիկների բազմությանը − ա.

Օրինակ 10

Անհրաժեշտ է հաշվել բացասական թվերի LCM-ն − 145 Եվ − 45 .

Լուծում

Փոխարինենք թվերը − 145 Եվ − 45 իրենց հակառակ թվերին 145 Եվ 45 . Այժմ, օգտագործելով ալգորիթմը, մենք հաշվարկում ենք LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, նախապես որոշելով GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը:

Ստանում ենք, որ թվերի LCM-ն − 145 է և − 45 հավասար է 1 305 .

Պատասխան. LCM (− 145, − 45) = 1305։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հիմնական թվաբանական հասկացություններն են, որոնք հեշտացնում են կոտորակների հետ աշխատանքը: LCM և առավել հաճախ օգտագործվում են մի քանի կոտորակների ընդհանուր հայտարարը գտնելու համար:

Հիմնական հասկացություններ

X ամբողջ թվի բաժանարարը մեկ այլ ամբողջ թիվ է, որով X-ը բաժանվում է առանց մնացորդ թողնելու: Օրինակ՝ 4-ի բաժանարարը 2 է, իսկ 36-ը 4, 6, 9 է։ X ամբողջ թվի բազմապատիկը այն Y թիվն է, որը բաժանվում է X-ի առանց մնացորդի։ Օրինակ՝ 3-ը 15-ի բազմապատիկն է, իսկ 6-ը՝ 12-ի։

Ցանկացած զույգ թվերի համար մենք կարող ենք գտնել նրանց ընդհանուր բաժանարարներն ու բազմապատիկները: Օրինակ՝ 6-ի և 9-ի համար ընդհանուր բազմապատիկը 18 է, իսկ ընդհանուր բաժանարարը՝ 3։ Ակնհայտ է, որ զույգերը կարող են ունենալ մի քանի բաժանարար և բազմապատիկ, ուստի հաշվարկներում օգտագործվում է ամենամեծ բաժանարարը GCD և ամենափոքր բազմապատիկը LCM։

Ամենափոքր բաժանարարն անիմաստ է, քանի որ ցանկացած թվի համար այն միշտ մեկն է: Մեծագույն բազմապատիկը նույնպես անիմաստ է, քանի որ բազմապատիկների հաջորդականությունը գնում է դեպի անսահմանություն։

Գտնելով gcd

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու բազմաթիվ մեթոդներ կան, որոնցից ամենահայտնիներն են.

• բաժանարարների հաջորդական որոնում, զույգի համար ընդհանուրների ընտրություն և դրանցից ամենամեծի որոնում.
• թվերի տարրալուծում անբաժանելի գործոնների.
• Էվկլիդյան ալգորիթմ;
• երկուական ալգորիթմ.

Այսօր ուսումնական հաստատություններում ամենատարածված մեթոդներն են տարրալուծումը պարզ գործոնների և Էվկլիդեսի ալգորիթմը: Վերջինս իր հերթին օգտագործվում է Դիոֆանտինի հավասարումներ լուծելիս. GCD-ի որոնումը պահանջվում է ամբողջ թվերով լուծվելու հնարավորության հավասարումը ստուգելու համար։

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը որոշվում է նաև հաջորդական թվարկումով կամ անբաժանելի գործոնների գործակցմամբ։ Բացի այդ, հեշտ է գտնել LCM-ն, եթե մեծագույն բաժանարարն արդեն որոշված ​​է: X և Y թվերի համար LCM-ն և GCD-ն կապված են հետևյալ հարաբերությամբ.

LCD (X, Y) = X × Y / GCD (X, Y):

Օրինակ, եթե GCM(15,18) = 3, ապա LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90: LCM-ի օգտագործման ամենաակնառու օրինակը ընդհանուր հայտարարի գտնելն է, որը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է: տրված կոտորակները.

Համապարփակ թվեր

Եթե ​​թվերի զույգը չունի ընդհանուր բաժանարարներ, ապա այդպիսի զույգը կոչվում է համապարփակ: Նման զույգերի gcd-ն միշտ հավասար է մեկին, և հիմնվելով բաժանարարների և բազմապատիկների միջև կապի վրա՝ նույնական զույգերի համար gcd-ը հավասար է նրանց արտադրյալին։ Օրինակ՝ 25 և 28 թվերը համեմատաբար պարզ են, քանի որ չունեն ընդհանուր բաժանարարներ, և LCM(25, 28) = 700, որը համապատասխանում է նրանց արտադրյալին։ Ցանկացած երկու անբաժանելի թիվ միշտ կլինի համեմատաբար պարզ:

Ընդհանուր բաժանարար և բազմակի հաշվիչ

Օգտագործելով մեր հաշվիչը, դուք կարող եք հաշվարկել GCD-ն և LCM-ն կամայական թվով թվերի համար, որոնցից կարող եք ընտրել: Ընդհանուր բաժանարարների և բազմապատիկների հաշվարկման առաջադրանքները հանդիպում են 5-րդ և 6-րդ դասարանների թվաբանության մեջ, սակայն GCD-ն և LCM-ն մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններն են և օգտագործվում են թվերի տեսության, պլանաչափության և հաղորդակցական հանրահաշվում:

Իրական կյանքի օրինակներ

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը օգտագործվում է մի քանի կոտորակի ընդհանուր հայտարարը գտնելիս: Ենթադրենք, թվաբանական խնդիրում պետք է գումարել 5 կոտորակ.

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Կոտորակներ ավելացնելու համար արտահայտությունը պետք է կրճատվի ընդհանուր հայտարարի, ինչը նվազեցնում է LCM-ի գտնելու խնդիրը: Դա անելու համար հաշվիչում ընտրեք 5 թվեր և համապատասխան բջիջներում մուտքագրեք հայտարարների արժեքները: Ծրագիրը հաշվարկելու է LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360: Այժմ դուք պետք է հաշվարկեք լրացուցիչ գործակիցներ յուրաքանչյուր կոտորակի համար, որոնք սահմանվում են որպես LCM-ի և հայտարարի հարաբերակցությունը: Այսպիսով, լրացուցիչ բազմապատկիչները նման կլինեն.

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Սրանից հետո բոլոր կոտորակները բազմապատկում ենք համապատասխան լրացուցիչ գործակցով և ստանում.

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Մենք կարող ենք հեշտությամբ գումարել նման կոտորակները և ստանալ 159/360 արդյունք: Կոտորակը փոքրացնում ենք 3-ով և տեսնում վերջնական պատասխանը՝ 53/120։

Գծային դիոֆանտին հավասարումների լուծում

Գծային դիոֆանտին հավասարումները ax + by = d ձևի արտահայտություններ են։ Եթե ​​d / gcd(a, b) հարաբերակցությունը ամբողջ թիվ է, ապա հավասարումը լուծելի է ամբողջ թվերով: Եկեք ստուգենք մի քանի հավասարումներ՝ տեսնելու, թե արդյոք դրանք ունեն ամբողջական լուծում: Նախ, եկեք ստուգենք 150x + 8y = 37 հավասարումը: Օգտագործելով հաշվիչը, մենք գտնում ենք GCD (150.8) = 2. Բաժանել 37/2 = 18.5: Թիվն ամբողջ թիվ չէ, հետևաբար հավասարումը չունի ամբողջական արմատներ։

Եկեք ստուգենք 1320x + 1760y = 10120 հավասարումը: Օգտագործեք հաշվիչը՝ գտնելու GCD(1320, 1760) = 440: Բաժանեք 10120/440 = 23: Արդյունքում ստանում ենք ամբողջ թիվ, հետևաբար, Diophantine համակարդակելի հավասարումը. .

Եզրակացություն

GCD-ն և LCM-ը մեծ դեր են խաղում թվերի տեսության մեջ, և հասկացություններն իրենք լայնորեն օգտագործվում են մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում: Օգտագործեք մեր հաշվիչը՝ ցանկացած թվով թվերի ամենամեծ բաժանարարները և ամենափոքր բազմապատիկները հաշվարկելու համար:

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու երեք եղանակ:

Գտեք ֆակտորիզացիայի միջոցով

Առաջին մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ տրված թվերը պարզ գործակիցների գործակցելով։

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք 99, 30 և 28 թվերի LCM-ը: Դա անելու համար եկեք այս թվերից յուրաքանչյուրը դասավորենք պարզ գործոնների.

Որպեսզի ցանկալի թիվը բաժանվի 99-ի, 30-ի և 28-ի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն ներառի այս բաժանարարների բոլոր պարզ գործակիցները: Դա անելու համար մենք պետք է այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցները հասցնենք առավելագույն հնարավոր հզորության և բազմապատկենք դրանք միասին.

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Այսպիսով, LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860-ից փոքր այլ թիվ չի բաժանվում 99-ի, 30-ի կամ 28-ի:

Տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դրանք դասավորվում են պարզ գործակիցների մեջ, այնուհետև յուրաքանչյուր պարզ գործոն վերցնում է ամենամեծ ցուցիչով, որում հայտնվում է, և այդ գործոնները բազմապատկում միասին:

Քանի որ համեմատաբար պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին: Օրինակ՝ երեք թվեր՝ 20, 49 և 33, համեմատաբար պարզ են։ Ահա թե ինչու

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340:

Նույնը պետք է արվի տարբեր պարզ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելիս: Օրինակ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231:

Ընտրությամբ գտնելը

Երկրորդ մեթոդը ընտրելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է:

Օրինակ 1. Երբ տրված թվերից ամենամեծը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար է դրանցից ամենամեծին: Օրինակ՝ տրված են չորս թվեր՝ 60, 30, 10 և 6։ Նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 60-ի, հետևաբար.

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Այլ դեպքերում ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

1. Տրված թվերից որոշի՛ր ամենամեծ թիվը։
2. Այնուհետև մենք գտնում ենք այն թվերը, որոնք մեծագույն թվի բազմապատիկն են՝ բազմապատկելով այն բնական թվերով և ստուգելով, թե արդյոք ստացված արտադրյալը բաժանվում է մնացած թվերի վրա։

Օրինակ 2. Տրված են երեք թվեր 24, 3 և 18: Մենք որոշում ենք դրանցից ամենամեծը, սա 24 թիվն է: Հաջորդը, մենք գտնում ենք 24-ի բազմապատիկ թվերը՝ ստուգելով, թե արդյոք դրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 18-ի և 3-ի.

24 · 1 = 24 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 2 = 48 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 3 = 72 - բաժանվում է 3-ի և 18-ի:

Այսպիսով, LCM (24, 3, 18) = 72:

Գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը

Երրորդ մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը:

Երկու տրված թվերի LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին, որը բաժանվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա:

Օրինակ 1. Գտե՛ք տրված երկու թվերի LCM՝ 12 և 8։ Որոշե՛ք նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (12, 8) = 4։ Բազմապատկե՛ք այս թվերը.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8) = 24:

Երեք կամ ավելի թվերի LCM-ն գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ ընթացակարգը.

1. Նախ, գտեք այս թվերից որևէ երկուսի LCM-ը:
2. Այնուհետև գտնված ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի LCM և տրված երրորդ թիվը:
3. Այնուհետև ստացված նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի LCM-ն և չորրորդ թիվը և այլն:
4. Այսպիսով, LCM-ի որոնումները շարունակվում են այնքան ժամանակ, քանի դեռ կան թվեր։

Օրինակ 2. Գտնենք տրված երեք թվերի LCM-ն՝ 12, 8 և 9։ Մենք արդեն գտել ենք 12 և 8 թվերի LCM-ն նախորդ օրինակում (սա 24 թիվն է)։ Մնում է գտնել 24 թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և տրված երրորդ թիվը՝ 9։ Որոշե՛ք դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (24, 9) = 3։ LCM-ը բազմապատկեք 9 թվով.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8, 9) = 72:

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել LCM-ը, նախ պետք է որոշել «բազմակի» տերմինի իմաստը:

A-ի բազմապատիկը բնական թիվ է, որը բաժանվում է A-ի առանց մնացորդի Այսպիսով, 5-ի բազմապատիկ թվերը կարելի է համարել 15, 20, 25 և այլն:

Որոշակի թվի բաժանարարները կարող են լինել սահմանափակ թվով, բայց կան անսահման թվով բազմապատիկներ:

Բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է դրանց վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Ինչպես գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) (երկու, երեք կամ ավելի) ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է այս բոլոր թվերի վրա։

LOC-ը գտնելու համար կարող եք օգտագործել մի քանի մեթոդներ.

Փոքր թվերի համար հարմար է այս թվերի բոլոր բազմապատիկները գրել տողի վրա, մինչև դրանց մեջ ընդհանուր բան չգտնեք։ Բազմապատիկները նշվում են K մեծատառով:

Օրինակ, 4-ի բազմապատիկները կարելի է գրել այսպես.

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Այսպիսով, դուք կարող եք տեսնել, որ 4 և 6 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 24 թիվն է: Այս նշումը կատարվում է հետևյալ կերպ.

LCM (4, 6) = 24

Եթե ​​թվերը մեծ են, գտե՛ք երեք կամ ավելի թվերի ընդհանուր բազմապատիկը, ապա ավելի լավ է օգտագործել LCM-ի հաշվարկման այլ մեթոդ։

Առաջադրանքն ավարտելու համար անհրաժեշտ է տրված թվերը դասավորել պարզ գործակիցների:

Նախ պետք է գրել տողի վրա ամենամեծ թվի տարրալուծումը, իսկ դրա տակ՝ մնացածը:

Յուրաքանչյուր թվի տարրալուծումը կարող է պարունակել տարբեր թվով գործոններ:

Օրինակ՝ 50 և 20 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

Ավելի փոքր թվի ընդլայնման ժամանակ պետք է առանձնացնել այն գործոնները, որոնք բացակայում են առաջին ամենամեծ թվի ընդլայնման մեջ, այնուհետև ավելացնել դրանք: Ներկայացված օրինակում բացակայում է երկուսը:

Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել 20-ի և 50-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Այսպիսով, ավելի մեծ թվի պարզ և երկրորդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնք ներառված չեն մեծ թվի ընդլայնման մեջ, կլինի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Երեք և ավելի թվերի LCM-ը գտնելու համար պետք է դրանք բոլորը դասավորել պարզ գործակիցների, ինչպես նախորդ դեպքում:

Որպես օրինակ՝ կարող եք գտնել 16, 24, 36 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Այսպիսով, տասնվեցի ընդլայնումից միայն երկու երկուսը չեն ներառվել ավելի մեծ թվի ֆակտորիզացիայի մեջ (մեկը քսանչորսի ընդլայնման մեջ է)։

Այսպիսով, դրանք պետք է ավելացվեն ավելի մեծ թվի ընդլայնմանը:

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Կան ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի որոշման հատուկ դեպքեր։ Այսպիսով, եթե թվերից մեկը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել մյուսի, ապա այդ թվերից ավելի մեծը կլինի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Օրինակ, տասներկու և քսանչորսի LCM-ն քսանչորս է:

Եթե ​​անհրաժեշտ է գտնել նույնական բաժանարարներ չունեցող համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, ապա դրանց LCM-ն հավասար կլինի նրանց արտադրյալին։

Օրինակ, LCM (10, 11) = 110:

Երկրորդ համարը. b=

Հազար բաժանարարԱռանց տիեզերական բաժանարարի «'

Արդյունք:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար gcd( ա,բ)=6

LCM-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ( ա,բ)=468

Ամենամեծ բնական թիվը, որը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել a և b թվերով, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(GCD) այս թվերից: Նշվում է gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) կամ hcf(a,b):

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու a և b թվերի LCM-ն ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է a-ի և b-ի առանց մնացորդի։ Նշվում է LCM(a,b) կամ lcm(a,b):

A և b ամբողջ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե +1-ից և −1-ից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Թող տրվի երկու դրական թիվ ա 1 և ա 2 1). Պահանջվում է գտնել այս թվերի ընդհանուր բաժանարարը, այսինքն. գտնել այդպիսի թիվ λ , որը բաժանում է թվերը ա 1 և ա 2 միաժամանակ. Եկեք նկարագրենք ալգորիթմը.

1) Այս հոդվածում թիվ բառը կհասկանա որպես ամբողջ թիվ:

Թող ա 1 ≥ ա 2 և թող

Որտեղ մ 1 , ա 3-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ա 3 <ա 2 (բաժանման մնացորդը ա 1 հատ ա 2-ը պետք է պակաս լինի ա 2).

Եկեք այդպես ձևացնենք λ բաժանում է ա 1 և ա 2 ապա λ բաժանում է մ 1 ա 2 և λ բաժանում է ա 1 −մ 1 ա 2 =ա 3 («Թվերի բաժանելիություն. բաժանելիության թեստ» հոդվածի 2-րդ դրույթ): Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար ա 1 և ա 2-ը ընդհանուր բաժանարարն է ա 2 և ա 3. Հակառակը նույնպես ճիշտ է, եթե λ ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3 ապա մ 1 ա 2 և ա 1 =մ 1 ա 2 +ա 3-ը նույնպես բաժանվում է λ . Հետևաբար ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3-ը նույնպես ընդհանուր բաժանարար է ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 3 <ա 2 ≤ա 1, ապա կարելի է ասել, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու խնդրի լուծումը ա 1 և ա 2-ը կրճատվել է թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ավելի պարզ խնդրի ա 2 և ա 3 .

Եթե ա 3 ≠0, ապա մենք կարող ենք բաժանել ա 2 վրա ա 3. Հետո

,

Որտեղ մ 1 և ա 4-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ( ա 4 մնաց բաժանումից ա 2 վրա ա 3 (ա 4 <ա 3)): Նմանատիպ պատճառաբանությամբ գալիս ենք այն եզրակացության, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 3 և ա 4-ը համընկնում է թվերի ընդհանուր բաժանարարների հետ ա 2 և ա 3, ինչպես նաև ընդհանուր բաժանարարներով ա 1 և ա 2. Որովհետեւ ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4, ... թվեր են, որոնք անընդհատ նվազում են, և քանի որ դրանց միջև կա վերջավոր թվով ամբողջ թվեր. ա 2 և 0, ապա ինչ-որ քայլի n, բաժանման մնացորդը ա n վրա ա n+1 հավասար կլինի զրոյի ( ա n+2 =0):

.

Յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար λ թվեր ա 1 և ա 2-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 2 և ա 3 , ա 3 և ա 4 , .... ա n և ա n+1 . Ճիշտ է նաև հակառակը՝ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա n և ա n+1-ը նույնպես թվերի բաժանարարներ են ա n−1 և ա n, ...., ա 2 և ա 3 , ա 1 և ա 2. Բայց թվերի ընդհանուր բաժանարարը ա n և ա n+1-ը թիվ է ա n+1, քանի որ ա n և ա n+1-ը բաժանվում են ա n+1 (հիշեք, որ ա n+2 =0): Ուստի ա n+1-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 1 և ա 2 .

Նշենք, որ համարը ա n+1 թվերի ամենամեծ բաժանարարն է ա n և ա n+1, քանի որ ամենամեծ բաժանարարը ա n+1-ն ինքն է ա n+1 . Եթե ա n+1-ը կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի արտադրյալ, ապա այս թվերը նույնպես թվերի ընդհանուր բաժանարարներ են։ ա 1 և ա 2. Թիվ ա n+1 կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըթվեր ա 1 և ա 2 .

Թվեր ա 1 և ա 2-ը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թվեր: Եթե ​​թվերից մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար կլինի մյուս թվի բացարձակ արժեքին։ Զրո թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը որոշված ​​չէ:

Վերոնշյալ ալգորիթմը կոչվում է Էվկլիդյան ալգորիթմգտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու օրինակ

Գտե՛ք 630 և 434 երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

• Քայլ 1. 630 թիվը բաժանեք 434-ի, մնացածը 196 է։
• Քայլ 2. 434 թիվը բաժանեք 196-ի, մնացածը 42 է։
• Քայլ 3. 196 թիվը բաժանեք 42-ի, մնացածը 28 է։
• Քայլ 4. 42 թիվը բաժանեք 28-ի, մնացածը 14 է։
• Քայլ 5. 28 թիվը բաժանեք 14-ի, մնացորդը 0 է։

5-րդ քայլում բաժանման մնացորդը 0 է։ Հետևաբար, 630 և 434 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 14-ն է։ Նկատի ունեցեք, որ 2 և 7 թվերը նույնպես 630 և 434 թվերի բաժանարարներն են։

Համապարփակ թվեր

Սահմանում 1. Թող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2-ը հավասար է մեկի: Այնուհետև այս թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր, չունենալով ընդհանուր բաժանարար։

Թեորեմ 1. Եթե ա 1 և ա 2 համապարփակ թվեր և λ ինչ-որ թիվ, ապա թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար λa 1 և ա 2-ը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Ապացույց. Դիտարկենք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ա 1 և ա 2 (տես վերևում):

.

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2 և հետևաբար ա n և ա n+1-ը 1 է. Այսինքն ա n+1 =1.

Եկեք այս բոլոր հավասարությունները բազմապատկենք λ , Հետո

.

Թող ընդհանուր բաժանարարը ա 1 λ Եվ ա 2 այո δ . Հետո δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 1 λ , մ 1 ա 2 λ և մեջ ա 1 λ -մ 1 ա 2 λ =ա 3 λ (տե՛ս «Թվերի բաժանելիությունը», հայտարարությունը 2): Հետագա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 2 λ Եվ մ 2 ա 3 λ , և, հետևաբար, ներառված է որպես գործոն ա 2 λ -մ 2 ա 3 λ =ա 4 λ .

Այսպես պատճառաբանելով՝ մենք համոզված ենք, որ δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա n−1 λ Եվ մ n−1 ա n λ , և հետևաբար ներս ա n−1 λ −մ n−1 ա n λ =ա n+1 λ . Որովհետեւ ա n+1 =1, ապա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ λ . Հետևաբար թիվը δ թվերի ընդհանուր բաժանարարն է λ Եվ ա 2 .

Դիտարկենք թեորեմ 1-ի հատուկ դեպքերը:

Հետևանք 1. Թող աԵվ գՊարզ թվերը համեմատաբար են բ. Հետո նրանց արտադրանքը ակ-ի նկատմամբ պարզ թիվ է բ.

Իսկապես։ Թեորեմ 1-ից ակԵվ բունեն նույն ընդհանուր բաժանարարները, ինչ գԵվ բ. Բայց թվերը գԵվ բհամեմատաբար պարզ, այսինքն. ունեն մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետո ակԵվ բունեն նաև մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետևաբար ակԵվ բփոխադարձաբար պարզ.

Հետևանք 2. Թող աԵվ բհամապարփակ թվեր և թող բբաժանում է ակ. Հետո բբաժանում է և կ.

Իսկապես։ Հաստատման պայմանից ակԵվ բունեն ընդհանուր բաժանարար բ. Թեորեմ 1-ի ուժով. բպետք է լինի ընդհանուր բաժանարար բԵվ կ. Ուստի բբաժանում է կ.

Եզրակացություն 1-ը կարելի է ընդհանրացնել.

Հետևանք 3. 1. Թող թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 , ..., ա m-ը թվի համեմատ պարզ է բ. Հետո ա 1 ա 2 , ա 1 ա 2 · ա 3 , ..., ա 1 ա 2 ա 3 ··· ա m, այս թվերի արտադրյալը թվի համեմատ պարզ է բ.

2. Եկեք ունենանք թվերի երկու շարք

այնպես, որ առաջին շարքի յուրաքանչյուր թիվ պարզ է երկրորդ շարքի յուրաքանչյուր թվի հարաբերությամբ: Այնուհետև ապրանքը

Պետք է գտնել թվեր, որոնք բաժանվում են այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա:

Եթե ​​թիվը բաժանվում է ա 1, ապա այն ունի ձևը սա 1 որտեղ սինչ-որ թիվ. Եթե քթվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է ա 1 և ա 2, ապա

Որտեղ ս 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է: Հետո

է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկները ա 1 և ա 2 .

ա 1 և ա 2-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2:

Մենք պետք է գտնենք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Վերոնշյալից հետևում է, որ թվերի ցանկացած բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε Եվ ա 3 և ետ: Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε Եվ ա 3 այո ε 1 . Հաջորդը, թվերի բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε 1 և ա 4 . Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε 1 և ա 4 այո ε 2. Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ թվերի բոլոր բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համընկնում է որոշակի թվի բազմապատիկներին ε n, որը կոչվում է տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Այն հատուկ դեպքում, երբ թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2-ը, ինչպես ցույց է տրված վերևում, ունի (3) ձևը: Հաջորդը, քանի որ ա 3 պարզ թվերի նկատմամբ ա 1 , ա 2 ապա ա 3 պարզ թիվ ա 1 · ա 2 (Հետևանք 1): Նշանակում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 ,ա 2 ,ա 3-ը թիվ է ա 1 · ա 2 · ա 3. Նմանապես պատճառաբանելով՝ հանգում ենք հետևյալ պնդումներին.

Հայտարարություն 1. Համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը հավասար է նրանց արտադրյալին ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Հայտարարություն 2. Ցանկացած թիվ, որը բաժանվում է համապարփակ թվերից յուրաքանչյուրի վրա ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը նույնպես բաժանվում է նրանց արտադրյալի վրա ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.