Գտեք առցանց ամենամեծ ընդհանուր բազմապատիկը: Առցանց հաշվիչ Գտեք (հաշվարկելով) GCD և LCM

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու երեք եղանակ:

Գտեք ֆակտորիզացիայի միջոցով

Առաջին մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ տրված թվերը պարզ գործակիցների գործակցելով։

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք 99, 30 և 28 թվերի LCM-ը: Դա անելու համար եկեք այս թվերից յուրաքանչյուրը դասավորենք պարզ գործոնների.

Որպեսզի ցանկալի թիվը բաժանվի 99-ի, 30-ի և 28-ի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն ներառի այս բաժանարարների բոլոր պարզ գործակիցները: Դա անելու համար մենք պետք է այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցները հասցնենք առավելագույն հնարավոր հզորության և բազմապատկենք դրանք միասին.

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Այսպիսով, LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860-ից փոքր այլ թիվ չի բաժանվում 99-ի, 30-ի կամ 28-ի:

Տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դրանք դասավորվում են պարզ գործակիցների մեջ, այնուհետև յուրաքանչյուր պարզ գործոն վերցնում է ամենամեծ ցուցիչով, որում հայտնվում է, և այդ գործոնները բազմապատկում միասին:

Քանի որ համեմատաբար պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին: Օրինակ՝ երեք թվեր՝ 20, 49 և 33, համեմատաբար պարզ են։ Ահա թե ինչու

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340:

Նույնը պետք է արվի տարբեր պարզ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելիս: Օրինակ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231:

Ընտրությամբ գտնելը

Երկրորդ մեթոդը ընտրելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է:

Օրինակ 1. Երբ տրված թվերից ամենամեծը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար է դրանցից ամենամեծին: Օրինակ՝ տրված են չորս թվեր՝ 60, 30, 10 և 6։ Նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 60-ի, հետևաբար.

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Այլ դեպքերում ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

1. Տրված թվերից որոշի՛ր ամենամեծ թիվը։
2. Այնուհետև մենք գտնում ենք այն թվերը, որոնք մեծագույն թվի բազմապատիկն են՝ բազմապատկելով այն բնական թվերով և ստուգելով, թե արդյոք ստացված արտադրյալը բաժանվում է մնացած թվերի վրա։

Օրինակ 2. Տրված են երեք թվեր 24, 3 և 18: Մենք որոշում ենք դրանցից ամենամեծը, սա 24 թիվն է: Հաջորդը, մենք գտնում ենք 24-ի բազմապատիկ թվերը՝ ստուգելով, թե արդյոք դրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 18-ի և 3-ի.

24 · 1 = 24 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 2 = 48 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 3 = 72 - բաժանվում է 3-ի և 18-ի:

Այսպիսով, LCM (24, 3, 18) = 72:

Գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը

Երրորդ մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը:

Երկու տրված թվերի LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին, որը բաժանվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա:

Օրինակ 1. Գտե՛ք տրված երկու թվերի LCM՝ 12 և 8։ Որոշե՛ք նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (12, 8) = 4։ Բազմապատկե՛ք այս թվերը.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8) = 24:

Երեք կամ ավելի թվերի LCM-ն գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ ընթացակարգը.

1. Նախ, գտեք այս թվերից որևէ երկուսի LCM-ը:
2. Այնուհետև գտնված ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի LCM և տրված երրորդ թիվը:
3. Այնուհետև ստացված նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի LCM-ն և չորրորդ թիվը և այլն:
4. Այսպիսով, LCM-ի որոնումները շարունակվում են այնքան ժամանակ, քանի դեռ կան թվեր։

Օրինակ 2. Գտնենք տրված երեք թվերի LCM-ն՝ 12, 8 և 9։ Մենք արդեն գտել ենք 12 և 8 թվերի LCM-ն նախորդ օրինակում (սա 24 թիվն է)։ Մնում է գտնել 24 թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և տրված երրորդ թիվը՝ 9։ Որոշե՛ք դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (24, 9) = 3։ LCM-ը բազմապատկեք 9 թվով.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8, 9) = 72:

Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու խնդիրները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը հիմնականներից է, հատկապես հաճախ օգտագործվում է Թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, և առանձնապես դժվար չէ նյութը հասկանալը, անձը, ով ծանոթ է հզորություններին և բազմապատկման աղյուսակին, չի դժվարանա բացահայտել անհրաժեշտ թվերը և հայտնաբերել արդյունք.

Սահմանում

Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով։ Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։

NOC-ն անվանման համար ընդունված կարճ անվանումն է՝ հավաքված առաջին տառերից։

Թիվ ստանալու ուղիներ

Թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է LCM-ն գտնելու համար, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների.

Օրինակ #1

Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար օգտագործում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվ, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։

Օրինակ թիվ 2

Առաջադրանքի երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է։ Տրված են 300 և 1260 համարները, LOC գտնելը պարտադիր է։ Խնդիրը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.

Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Առաջին փուլն ավարտված է.

Երկրորդ փուլը ներառում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր գործոնի համար երևույթների ամենամեծ թիվը վերցված է սկզբնական թվերից: LCM-ն ընդհանուր թիվ է, ուստի թվերի գործակիցները պետք է կրկնվեն դրանում, յուրաքանչյուրը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում: Երկու սկզբնական թվերն էլ պարունակում են 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր ուժերով 7-ը առկա է միայն մեկ դեպքում.

Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ ներդնել յուրաքանչյուր թիվ՝ ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը ճիշտ լրացման դեպքում, առաջադրանքը տեղավորվում է երկու քայլի մեջ՝ առանց բացատրության.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք հաշվարկել անհրաժեշտ թիվը բազմապատկելով, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:

Փորձաքննություն:

6300 / 300 = 21 - ճիշտ;

6300 / 1260 = 5 - ճիշտ:

Ստացված արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ բաժանելով LCM-ն երկու սկզբնական թվերի վրա, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։

Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ:

Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անպետք ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակները կրճատելն է ընդհանուր հայտարարի: Այն, ինչ սովորաբար սովորում են միջնակարգ դպրոցի 5-6-րդ դասարաններում. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ առկա են այդպիսի պայմաններ: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի բազմապատիկ, այլև շատ ավելի մեծ թվի՝ երեք, հինգ և այլն։ Որքան շատ թվեր, այնքան շատ գործողություններ առաջադրանքի մեջ, բայց բարդությունը չի ավելանում:

Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Արտահայտություն կազմելու համար անհրաժեշտ է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար անհրաժեշտ է որոշել առավելագույն աստիճանը։

Ուշադրություն. բոլոր գործոնները պետք է հասցվեն ամբողջական պարզեցման, հնարավորության դեպքում տարրալուծվեն միանիշ մակարդակի:

Փորձաքննություն:

1) 3000 / 250 = 12 - ճիշտ;

2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;

3) 3000 / 1500 = 2 - ճիշտ:

Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։

Մեկ այլ ճանապարհ

Մաթեմատիկայի մեջ շատ բաներ կապված են, շատ բաներ կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու՝ LCM-ին։ Պարզ երկնիշ և միանիշ թվերի դեպքում կարելի է կիրառել հետևյալ մեթոդը. Կազմվում է աղյուսակ, որի մեջ բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը՝ հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցնել մի թիվ և գրել այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն 3-5 միավորը բավական է, երկրորդ և հաջորդ թվերն անցնում են նույն հաշվողական գործընթացին։ Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:

Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք բոլոր թվերը միացնող LCM-ը.

1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:

2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:

3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:

Նկատելի է, որ բոլոր թվերը միանգամայն տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի այն կլինի ՀԱՕԿ-ը։ Այս հաշվարկում ներգրավված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում: Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականին նշանակալի, LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկը, որը բաժանվում է բոլոր տրված սկզբնական արժեքներին, իսկ GCD-ն ներառում է ամենամեծ արժեքի հաշվարկը, որով բաժանվում են սկզբնական թվերը:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Սահմանում 2

Եթե ​​a բնական թիվը բաժանվում է $b$ բնական թվի վրա, ապա $b$-ը կոչվում է $a$-ի բաժանարար, իսկ $a$-ը՝ $b$-ի բազմապատիկ։

Թող $a$ և $b$ լինեն բնական թվեր։ $c$ թիվը կոչվում է $a$ և $b$-ի ընդհանուր բաժանարար։

$a$ և $b$ թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը վերջավոր է, քանի որ այս բաժանարարներից և ոչ մեկը չի կարող $a$-ից մեծ լինել։ Սա նշանակում է, որ այս բաժանարարներից կա ամենամեծը, որը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և նշվում է հետևյալ նշումներով.

$GCD \(a;b)\ կամ \D\(a;b)$

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Օրինակ 1

Գտե՛ք $121$ և $132.$ թվերի gcd-ն

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Ընտրեք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$GCD=2\cdot 11=22$

Օրինակ 2

Գտե՛ք $63$ և $81$ միանվագների gcd-ն։

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար:

Եկեք թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Մենք ընտրում ենք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Գտնենք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$GCD=3\cdot 3=9$

Դուք կարող եք գտնել երկու թվերի gcd-ն այլ կերպ՝ օգտագործելով թվերի բաժանարարների մի շարք:

Օրինակ 3

Գտեք $48$ և $60$ թվերի gcd-ն։

Լուծում:

Գտնենք $48$ թվի բաժանարարների բազմությունը՝ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\աջ\)$

Հիմա եկեք գտնենք $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\աջ\) թվի բաժանարարների բազմությունը: $

Գտնենք այս բազմությունների խաչմերուկը՝ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - այս բազմությունը կորոշի $48$ և $60 թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը։ $. Այս հավաքածուի ամենամեծ տարրը կլինի $12$ թիվը: Սա նշանակում է, որ $48$ և $60$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $12$ է։

NPL-ի սահմանում

Սահմանում 3

Բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկները$a$-ը և $b$-ը բնական թիվ են, որը և $a$-ի և $b$-ի բազմապատիկն է:

Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները այն թվերն են, որոնք բաժանվում են սկզբնական թվերի վրա՝ առանց մնացորդի, օրինակ՝ $25$ և $50$, ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն $50,100,150,200$ և այլն։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կկոչվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և կնշանակվի LCM$(a;b)$ կամ K$(a;b).$:

Երկու թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գործոնների թվերը վերածվում են պարզ գործոնների
2. Գրի՛ր առաջին թվի մաս կազմող գործոնները և դրանց ավելացրո՛ւ այն գործոնները, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և առաջինի մաս չեն կազմում։

Օրինակ 4

Գտեք $99$ և $77$ թվերի LCM:

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար

Գործոնների թվերը վերածվում են պարզ գործոնների

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Գրեք առաջինում ներառված գործոնները

դրանց ավելացրեք բազմապատկիչներ, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և ոչ առաջինի մաս

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Թվերի բաժանարարների ցուցակներ կազմելը հաճախ շատ աշխատատար խնդիր է: Գոյություն ունի GCD-ն գտնելու միջոց, որը կոչվում է Էվկլիդեսյան ալգորիթմ:

Հայտարարություններ, որոնց վրա հիմնված է Էվկլիդեսյան ալգորիթմը.

Եթե ​​$a$ և $b$ բնական թվեր են, և $a\vdots b$, ապա $D(a;b)=b$

Եթե ​​$a$ և $b$-ն այնպիսի բնական թվեր են, որ $b

Օգտագործելով $D(a;b)= D(a-b;b)$, մենք կարող ենք հաջորդաբար կրճատել դիտարկվող թվերը, մինչև հասնենք այնպիսի թվերի, որ դրանցից մեկը բաժանվի մյուսի վրա: Այնուհետև այս թվերից փոքրը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $a$ և $b$ թվերի համար:

GCD-ի և LCM-ի հատկությունները

1. $a$-ի և $b$-ի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ բաժանվում է K$(a;b)$-ի
2. Եթե ​​$a\vdots b$, ապա К$(a;b)=a$

Եթե ​​K$(a;b)=k$ և $m$ բնական թիվ են, ապա K$(am;bm)=km$

Եթե ​​$d$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բաժանարար է, ապա K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d): ) $

Եթե ​​$a\vdots c$ և $b\vdots c$, ապա $\frac(ab)(c)$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բազմապատիկն է:

$a$ և $b$ ցանկացած բնական թվերի համար գործում է հավասարությունը

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$ և $b$ թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար $D(a;b)$ թվի բաժանարարն է։

Ստորև ներկայացված նյութը LCM-նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ, սահմանում, օրինակներ, կապ LCM-ի և GCD-ի միջև վերնագրված հոդվածից տեսության տրամաբանական շարունակությունն է: Այստեղ մենք կխոսենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM), և հատուկ ուշադրություն ենք դարձնելու օրինակների լուծմանը։ Նախ, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է հաշվարկվում երկու թվերի LCM-ն՝ օգտագործելով այս թվերի GCD-ն: Այնուհետև մենք կքննարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելը՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք երեք և ավելի թվերի LCM-ն գտնելու վրա, ինչպես նաև ուշադրություն կդարձնենք բացասական թվերի LCM-ի հաշվարկին:

Էջի նավարկություն.

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու եղանակներից մեկը հիմնված է LCM-ի և GCD-ի միջև փոխհարաբերությունների վրա: LCM-ի և GCD-ի միջև գոյություն ունեցող կապը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել երկու դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հայտնի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով: Համապատասխան բանաձեւն է LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Դիտարկենք LCM-ն գտնելու օրինակներ՝ օգտագործելով տրված բանաձևը։

Օրինակ։

Գտե՛ք 126 և 70 երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Լուծում.

Այս օրինակում a=126, b=70: Եկեք օգտագործենք LCM-ի և GCD-ի միջև կապը՝ արտահայտված բանաձևով LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Այսինքն՝ նախ պետք է գտնել 70 և 126 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որից հետո գրավոր բանաձևով կարող ենք հաշվել այս թվերի LCM-ը։

Գտնենք GCD(126, 70)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, հետևաբար՝ GCD(126, 70)=14:

Այժմ մենք գտնում ենք պահանջվող նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը. GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Պատասխան.

LCM(126, 70)=630:

Օրինակ։

Ինչի՞ է հավասար LCM(68, 34):

Լուծում.

Որովհետեւ 68-ը բաժանվում է 34-ի, ապա GCD(68, 34)=34: Այժմ մենք հաշվարկում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը. GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Պատասխան.

LCM(68, 34)=68:

Նկատի ունեցեք, որ նախորդ օրինակը համապատասխանում է a և b դրական ամբողջ թվերի համար LCM գտնելու հետևյալ կանոնին. եթե a թիվը բաժանվում է b-ի, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a է:

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է թվերը պարզ գործոնների վերածելու վրա: Եթե ​​դուք կազմեք արտադրյալը տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցներից, ապա այս արտադրյալից բացառեք բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցները, որոնք առկա են տվյալ թվերի տարրալուծման մեջ, ապա ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ .

LCM-ն գտնելու հայտարարված կանոնը բխում է հավասարությունից LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Իրոք, a և b թվերի արտադրյալը հավասար է a և b թվերի ընդլայնմանը մասնակցող բոլոր գործոնների արտադրյալին։ Իր հերթին, GCD(a, b) հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են a և b թվերի ընդարձակման մեջ (ինչպես նկարագրված է GCD-ի հայտնաբերման բաժնում՝ օգտագործելով թվերի ընդլայնումը պարզ գործոնների):

Օրինակ բերենք. Տեղեկացնենք, որ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: Այս ընդլայնումների բոլոր գործակիցներից կազմենք արտադրյալը՝ 2·3·3·5·5·5·7: Այժմ այս արտադրյալից մենք բացառում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք առկա են և՛ 75 թվի ընդլայնման, և՛ 210 թվի ընդլայնման մեջ (այդ գործոնները 3 և 5 են), այնուհետև արտադրյալը կունենա 2·3·5·5·7 ձև: . Այս արտադրյալի արժեքը հավասար է 75-ի և 210-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, այսինքն. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Օրինակ։

441 և 700 թվերը դասավորե՛ք պարզ գործակիցներ և գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Լուծում.

441 և 700 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների.

Ստանում ենք 441=3·3·7·7 և 700=2·2·5·5·7:

Այժմ եկեք ստեղծենք արտադրյալ բոլոր գործոններից, որոնք ներգրավված են այս թվերի ընդլայնման մեջ՝ 2·2·3·3·5·5·7·7·7: Եկեք այս արտադրանքից բացառենք բոլոր գործոնները, որոնք միաժամանակ առկա են երկու ընդարձակման մեջ (մեկ այդպիսի գործոն կա՝ սա 7 թիվն է). 2·2·3·3·5·5·7·7: Այսպիսով, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Պատասխան.

NOC(441, 700)= 44 100:

LCM-ը գտնելու կանոնը՝ օգտագործելով թվերի գործոնավորումը պարզ գործակիցների, կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել։ Եթե ​​b թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվեն a թվի ընդլայնման գործակիցներին, ապա ստացված արտադրյալի արժեքը հավասար կլինի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։.

Օրինակ՝ վերցնենք նույն 75 և 210 թվերը, դրանց տարրալուծումները պարզ գործակիցների հետևյալն են՝ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: 75 թվի ընդլայնումից 3, 5 և 5 գործակիցներին գումարում ենք 210 թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 7 գործակիցները, ստանում ենք 2·3·5·5·7 արտադրյալը, որի արժեքը. հավասար է LCM (75, 210):

Օրինակ։

Գտե՛ք 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Լուծում.

Մենք նախ ստանում ենք 84 և 648 թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Նրանք նման են 84=2·2·3·7 և 648=2·2·2·3·3·3·3: 84 թվի ընդլայնումից 2, 2, 3 և 7 գործոններին գումարում ենք 648 թվի ընդլայնումից բացակայող 2, 3, 3 և 3 գործակիցները, ստանում ենք 2 2 2 3 3 3 3 7 արտադրյալը, որը հավասար է 4 536-ի։ Այսպիսով, 84-ի և 648-ի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը 4536 է:

Պատասխան.

LCM(84, 648)=4,536:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով երկու թվերի LCM: Հիշենք համապատասխան թեորեմը, որը հնարավորություն է տալիս գտնել երեք և ավելի թվերի LCM:

Թեորեմ.

Թող տրված լինեն a 1, a 2,…, a k դրական ամբողջ թվերը, այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը m k-ը գտնում ենք հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = LCM(m 2, a. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .

Դիտարկենք այս թեորեմի կիրառությունը՝ օգտագործելով չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակը։

Օրինակ։

Գտե՛ք 140, 9, 54 և 250 չորս թվերի LCM:

Լուծում.

Այս օրինակում a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250:

Նախ մենք գտնում ենք m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Դա անելու համար, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք որոշում ենք GCD(140, 9), ունենք 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, հետևաբար, GCD(140, 9)=1, որտեղից GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260։ Այսինքն, m 2 =1 260:

Այժմ մենք գտնում ենք m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Հաշվարկենք այն GCD(1 260, 54) միջոցով, որը նույնպես որոշում ենք Էվկլիդեսյան ալգորիթմի միջոցով՝ 1 260=54·23+18, 54=18·3։ Ապա gcd(1,260, 54)=18, որից gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780: Այսինքն, m 3 =3 780:

Մնում է միայն գտնել m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Դա անելու համար մենք գտնում ենք GCD(3,780, 250)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3: Հետևաբար, GCM(3,780, 250)=10, որտեղից GCM(3,780, 250)= 3 780 250՝ GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Այսինքն, m 4 =94,500:

Այսպիսով, սկզբնական չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 94500 է:

Պատասխան.

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Շատ դեպքերում հարմար է գտնել երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` օգտագործելով տվյալ թվերի պարզ գործոնավորումը: Այս դեպքում դուք պետք է հետևեք հետևյալ կանոնին. Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է արտադրյալին, որը կազմված է հետևյալ կերպ. երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվում են առաջին թվի ընդլայնման բոլոր գործոններին, բացակայող գործակիցները՝ ընդլայնվելուց. երրորդ թիվը ավելացվում է ստացված գործոններին և այլն:

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակ՝ օգտագործելով պարզ գործոնավորումը:

Օրինակ։

Գտե՛ք 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Լուծում.

Նախ ստանում ենք այս թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների՝ 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7-ը պարզ թիվ է, այն համընկնում է. իր տարրալուծմամբ պարզ գործոնների) և 143=11·13.

Այս թվերի LCM-ն գտնելու համար առաջին 84 թվի գործակիցներին (դրանք 2, 2, 3 և 7 են) պետք է ավելացնել բացակայող գործոնները երկրորդ 6 թվի ընդլայնումից։ 6 թվի տարրալուծումը բացակայող գործոններ չի պարունակում, քանի որ և՛ 2-ը, և՛ 3-ն արդեն առկա են առաջին 84 թվի տարրալուծման մեջ։ Այնուհետև 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 2-րդ և 2-ի բացակայող գործոնները 48-ի երրորդ թվի ընդլայնումից, ստանում ենք 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոնների հավաքածու։ Հաջորդ քայլում այս հավաքածուին բազմապատկիչներ ավելացնելու կարիք չի լինի, քանի որ 7-ն արդեն պարունակվում է դրանում: Վերջապես, 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 143 թվի ընդլայնումից բացակայող 11 և 13 գործոնները։ Ստանում ենք 2·2·2·2·3·7·11·13 արտադրյալը, որը հավասար է 48048-ի:

Բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է տրված թվի վրա՝ առանց մնացորդի։ Թվերի խմբի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է խմբի յուրաքանչյուր թվի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։ Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար պետք է գտնել տրված թվերի պարզ գործակիցները: LCM-ը կարող է նաև հաշվարկվել՝ օգտագործելով մի շարք այլ մեթոդներ, որոնք կիրառվում են երկու կամ ավելի թվերի խմբերի համար:

Քայլեր

Բազմապատիկների շարք

Նայեք այս թվերին.Այստեղ նկարագրված մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, երբ տրվում է երկու թիվ, որոնցից յուրաքանչյուրը 10-ից փոքր է: Եթե տրված են ավելի մեծ թվեր, օգտագործեք այլ մեթոդ:

• Օրինակ, գտեք 5-ի և 8-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Սրանք փոքր թվեր են, այնպես որ կարող եք օգտագործել այս մեթոդը:

1. Բազմապատիկը այն թիվն է, որը բաժանվում է տրված թվի վրա՝ առանց մնացորդի։ Բազմապատկերները կարելի է գտնել բազմապատկման աղյուսակում:

   • Օրինակ՝ 5-ի բազմապատիկ թվերն են՝ 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40:

2. Գրի՛ր մի շարք թվեր, որոնք առաջին թվի բազմապատիկն են։Դա արեք առաջին թվի բազմապատիկի տակ՝ թվերի երկու հավաքածու համեմատելու համար:

   • Օրինակ՝ 8-ի բազմապատիկ թվերն են՝ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 և 64:

3. Գտե՛ք ամենափոքր թիվը, որն առկա է բազմապատիկների երկու խմբերում:Ընդհանուր թիվը գտնելու համար գուցե հարկ լինի գրել բազմակի երկար շարքեր: Ամենափոքր թիվը, որն առկա է բազմապատիկների երկու խմբերում, ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

   • Օրինակ, ամենափոքր թիվը, որը հայտնվում է 5-ի և 8-ի բազմապատիկների շարքում, 40-ն է: Հետևաբար, 40-ը 5-ի և 8-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

   Առաջնային ֆակտորիզացիա

   1. Նայեք այս թվերին.Այստեղ նկարագրված մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, երբ տրվում է երկու թիվ, որոնցից յուրաքանչյուրը 10-ից մեծ է: Եթե տրված են ավելի փոքր թվեր, օգտագործեք այլ մեթոդ:

      • Օրինակ՝ գտե՛ք 20 և 84 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Թվերից յուրաքանչյուրը 10-ից մեծ է, ուստի կարող եք օգտագործել այս մեթոդը:

   2. Առաջին թիվը վերածեք պարզ գործոնների:Այսինքն՝ պետք է գտնել այնպիսի պարզ թվեր, որոնք, երբ բազմապատկվեն, ստացվի տվյալ թիվ։ Երբ պարզեք հիմնական գործոնները, գրեք դրանք որպես հավասարումներ:

      • Օրինակ, 2 × 10 = 20 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ 10=20)Եվ 2 × 5 = 10 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ (\mathbf (5))=10). Այսպիսով, 20 թվի պարզ գործակիցները 2, 2 և 5 թվերն են: Գրե՛ք դրանք որպես արտահայտություն.

   3. Երկրորդ թիվը վերածեք պարզ գործակիցների:Դա արեք այնպես, ինչպես գործոնավորեցիք առաջին թիվը, այսինքն՝ գտեք այնպիսի պարզ թվեր, որոնք բազմապատկելու դեպքում կստացվի տվյալ թիվը։

      • Օրինակ, 2 × 42 = 84 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (2) )\ անգամ 42=84), 7 × 6 = 42 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (7) )\ անգամ 6=42)Եվ 3 × 2 = 6 (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (3) )\ անգամ (\mathbf (2) )=6). Այսպիսով, 84 թվի պարզ գործակիցները 2, 7, 3 և 2 թվերն են: Գրե՛ք դրանք որպես արտահայտություն.

   4. Գրե՛ք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնները:Գրեք այնպիսի գործոններ, ինչպիսիք են բազմապատկման գործողությունը: Երբ գրում եք յուրաքանչյուր գործոն, խաչեք այն երկու արտահայտություններում (արտահայտություններ, որոնք նկարագրում են թվերի գործոնավորումը պարզ գործակիցների):

      • Օրինակ, երկու թվերն էլ ունեն ընդհանուր գործակից 2, այնպես որ գրեք 2 × (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ)և երկու արտահայտություններում էլ խաչիր 2-ը:
      • Երկու թվերն էլ ընդհանուր են 2-ի մեկ այլ գործակից, այնպես որ գրեք 2 × 2 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 2)և երկրորդ 2-ը երկու արտահայտություններում էլ հատիր։

   5. Մնացած գործոնները ավելացրեք բազմապատկման գործողությանը:Սրանք գործոններ են, որոնք երկու արտահայտություններում էլ չեն խաչվում, այսինքն՝ գործոններ, որոնք ընդհանուր չեն երկու թվերի համար։

      • Օրինակ՝ արտահայտության մեջ 20 = 2 × 2 × 5 (\ցուցադրման ոճ 20=2\անգամ 2\անգամ 5)Երկու երկուսն էլ (2) խաչված են, քանի որ դրանք ընդհանուր գործոններ են: Գործակից 5-ը չի հատվում, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 2 × 5 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 2\անգամ 5)
      • Արտահայտության մեջ 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ցուցադրման ոճ 84=2\անգամ 7\անգամ 3\անգամ 2)երկու երկուսը (2) նույնպես խաչված են: 7 և 3 գործակիցները խաչված չեն, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ցուցադրման ոճ 2 \ անգամ 2 \ անգամ 5 \ անգամ 7 \ անգամ 3).

   6. Հաշվիր ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:Դա անելու համար բազմապատկեք գրավոր բազմապատկման գործողության թվերը:

      • Օրինակ, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 2\անգամ 5\անգամ 7\անգամ 3=420). Այսպիսով, 20-ի և 84-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 420-ն է:

   Ընդհանուր գործոններ գտնելը

   1. Նկարեք ցանց, ինչպես տիկ-տաք-ոտքի խաղը:Նման ցանցը բաղկացած է երկու զուգահեռ ուղիղներից, որոնք հատվում են (ուղիղ անկյան տակ) ևս երկու զուգահեռ գծերի հետ։ Սա ձեզ կտա երեք տող և երեք սյունակ (ցանցը շատ նման է # պատկերակին): Առաջին համարը գրեք առաջին տողում և երկրորդ սյունակում: Առաջին շարքում և երրորդ սյունակում գրեք երկրորդ թիվը։

      • Օրինակ՝ գտե՛ք 18 և 30 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Առաջին շարքում և երկրորդ սյունակում գրե՛ք 18 թիվը, իսկ առաջին շարքում և երրորդ սյունակում գրե՛ք 30 թիվը:

   2. Գտե՛ք երկու թվերի համար ընդհանուր բաժանարարը:Գրեք այն առաջին տողում և առաջին սյունակում: Ավելի լավ է փնտրել հիմնական գործոնները, բայց դա պարտադիր չէ։

      • Օրինակ, 18-ը և 30-ը զույգ թվեր են, ուստի նրանց ընդհանուր գործակիցը 2-ն է: Այսպիսով, առաջին տողում և առաջին սյունակում գրեք 2:

   3. Յուրաքանչյուր թիվը բաժանեք առաջին բաժանարարի վրա:Գրի՛ր յուրաքանչյուր գործակից համապատասխան թվի տակ: քանորդը երկու թվերի բաժանման արդյունք է:

      • Օրինակ, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), ուրեմն 9-ը գրեք 18-ի տակ։
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), այնպես որ գրեք 15-ը 30-ի տակ։

   4. Գտե՛ք երկու քանորդների համար ընդհանուր բաժանարարը:Եթե ​​նման բաժանարար չկա, բաց թողեք հաջորդ երկու քայլերը: Հակառակ դեպքում գրեք բաժանարարը երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում:

      • Օրինակ, 9-ը և 15-ը բաժանվում են 3-ի, ուստի երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում գրեք 3:

   5. Յուրաքանչյուր քանորդ բաժանեք իր երկրորդ բաժանարարի վրա:Յուրաքանչյուր բաժանման արդյունքը գրի՛ր համապատասխան քանորդի տակ:

      • Օրինակ, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), ուրեմն 9-ի տակ գրեք 3:
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), ուրեմն 15-ի տակ գրեք 5:

   6. Անհրաժեշտության դեպքում ցանցին ավելացրեք լրացուցիչ բջիջներ:Կրկնեք նկարագրված քայլերը, մինչև որ քանորդները ունենան ընդհանուր բաժանարար:

   7. Շրջեք ցանցի առաջին սյունակի և վերջին շարքի թվերը:Այնուհետև ընտրված թվերը գրեք որպես բազմապատկման գործողություն:

      • Օրինակ՝ 2 և 3 թվերն առաջին սյունակում են, իսկ 3 և 5 թվերը՝ վերջին շարքում, ուստի բազմապատկման գործողությունը գրեք այսպես. 2 × 3 × 3 × 5 (\ցուցադրման ոճ 2\անգամ 3\անգամ 3\անգամ 5).

   8. Գտե՛ք թվերի բազմապատկման արդյունքը.Սա կհաշվի երկու տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

      • Օրինակ, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 3\ անգամ 3\ անգամ 5=90). Այսպիսով, 18-ի և 30-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 90-ն է:

   Էվկլիդեսի ալգորիթմը

   1. Հիշեք բաժանման գործողության հետ կապված տերմինաբանությունը:Շահաբաժինն այն թիվն է, որը բաժանվում է: Բաժանարարը այն թիվն է, որի վրա բաժանվում է: քանորդը երկու թվերի բաժանման արդյունք է: Մնացորդը երկու թվեր բաժանելիս մնացած թիվն է:

      • Օրինակ՝ արտահայտության մեջ 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)ոստ. 3:
        15-ը շահաբաժինն է
        6-ը բաժանարար է
        2-ը գործակից է
        3-ը մնացորդն է: